Acasă · Matematică M2 clasa a X-a · Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un real, văzute în planul complex (M2, științe ale naturii)

Adunarea, scăderea și înmulțirea cu un real, văzute în planul complex (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Sateliții meteorologici fixează poziția ochiului unui uragan la fiecare șase ore. Între două fixări, ochiul se poate deplasa și o sută de kilometri, spre vest și spre nord, iar o deplasare de acest fel se scrie ca un număr complex: partea reală spune cât s-a mutat spre est, partea imaginară cât s-a mutat spre nord. În lecția de față, de clasa a X-a, la profilul științe ale naturii (M2), vezi ce înseamnă în plan cele trei operații. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: felul în care se văd în plan adunarea, scăderea și înmulțirea cu un număr real este cerut de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 conține numerele complexe în formă algebrică, în domeniul „Algebră”, dar nu conține interpretarea geometrică a operațiilor. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă o conține la materia clasei a X-a.

Calculul cu părți reale și imaginare îl cunoști din lecția despre adunarea și scăderea numerelor complexe la M2, iar imaginea geometrică, afixul și modulul ca distanță până la origine, din lecția despre planul complex la M2. Vei folosi și două rezultate din clasa a IX-a, distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment în coordonate, plus egalitatea vectorilor din lecția despre coordonatele unui vector.

Ce vei învăța

Vei ști unde se află imaginea sumei a două numere complexe și de ce ea completează un paralelogram cu originea.
Vei ști să citești diferența $z_{1} - z_{2}$ ca deplasare de la un punct la altul și să calculezi distanța dintre două imagini cu $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ .
Vei ști ce face în plan înmulțirea cu un număr real pozitiv, negativ sau subunitar.
Vei ști să scrii afixul mijlocului unui segment, al centrului de greutate al unui triunghi și al celui de-al patrulea vârf al unui paralelogram.
Vei ști să explici geometric de ce modulul sumei nu depășește suma modulelor.
Vei ști să folosești aceste interpretări în probleme cu deplasări din științe.

Hai să descoperim împreună

1. Ce coordonate are imaginea sumei și de ce închide un paralelogram?

Fie $z_{1} = a + bi$ și $z_{2} = c + d i$ , cu imaginile $M_{1} (a, b)$ și $M_{2} (c, d)$ . Suma $z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d) i$ are imaginea $M (a + c, b + d)$ .

Imaginea sumei este vârful opus originii în paralelogramul care are laturile $O M_{1}$ și $O M_{2}$ , atunci când punctele $O$ , $M_{1}$ , $M_{2}$ nu sunt coliniare. Afixul lui $z_{1}$ și vectorul de poziție $O M_{1}$ au aceleași coordonate, iar suma afixelor este suma vectorilor de poziție: regula paralelogramului din lecția despre adunarea vectorilor se citește aici direct pe afixe. Pe coordonate, vectorul $O M_{1}$ are coordonatele $(a, b)$ , iar vectorul $M_{2} M$ are coordonatele $((a + c) - c, (b + d) - d) = (a, b)$ . Doi vectori cu aceleași coordonate sunt egali, deci segmentele $O M_{1}$ și $M_{2} M$ sunt paralele, au aceeași lungime și același sens, iar patrulaterul $O M_{1} M M_{2}$ este paralelogram.

Pe numerele $z_{1} = 4 + i$ și $z_{2} = 1 + 3 i$ : suma este $5 + 4 i$ , iar punctele sunt $O (0, 0)$ , $M_{1} (4, 1)$ , $M_{2} (1, 3)$ și $M (5, 4)$ . Diagonala $O M$ are mijlocul $(\frac{5}{2}, 2)$ , iar diagonala $M_{1} M_{2}$ are mijlocul $(\frac{4 + 1}{2}, \frac{1 + 3}{2}) = (\frac{5}{2}, 2)$ : diagonalele se înjumătățesc, al doilea semn că figura este un paralelogram.

2. Cum se adună deplasări făcute una după alta?

Dacă ochiul uraganului se mută întâi cu $w_{1}$ , apoi cu $w_{2}$ , poziția finală nu se obține desenând un paralelogram din origine, ci așezând deplasările cap la cap: pornești din $O$ , mergi până la imaginea lui $w_{1}$ , apoi, din acel punct, faci o deplasare egală cu $w_{2}$ . Punctul la care ajungi este imaginea sumei $w_{1} + w_{2}$ . Este regula triunghiului din lecția despre adunarea vectorilor, citită pe afixe: a doua săgeată pornește din vârful primei, iar pozițiile succesive sunt sumele parțiale.

Cele două reguli dau același punct, pentru că latura $M_{2} M$ a paralelogramului este tocmai a doua săgeată mutată paralel. Ordinea în care faci deplasările nu schimbă punctul final: pe paralelogram, drumul prin $M_{1}$ și drumul prin $M_{2}$ se termină în același vârf, ceea ce este forma geometrică a egalității $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$ .

Regula triunghiului se prelungește la oricâte deplasări: săgețile se pun cap la cap, iar afixul ultimului vârf este suma lor. Traseul real poate fi lung și frânt; deplasarea totală este o singură săgeată, de la punctul de plecare la cel de sosire.

3. Cum se citește diferența $z_{1} - z_{2}$ ca săgeată?

Din $z_{2} + (z_{1} - z_{2}) = z_{1}$ și din regula triunghiului rezultă că $z_{1} - z_{2}$ este deplasarea care duce imaginea lui $z_{2}$ în imaginea lui $z_{1}$ : vectorul $M_{2} M_{1}$ , mutat cu originea în $O$ .

Lungimea acestei deplasări este distanța dintre cele două puncte. Dacă $z_{1} = x_{1} + y_{1} i$ și $z_{2} = x_{2} + y_{2} i$ , atunci

$∣ z_{1} - z_{2} ∣ = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} = M_{1} M_{2},$

adică formula distanței din clasa a IX-a. Distanța dintre imaginile a două numere complexe se obține ca modulul diferenței lor. Pentru $z_{2} = 0$ se regăsește $∣ z_{1} ∣ = O M_{1}$ , rezultatul din lecția despre planul complex.

Pe numerele $z_{1} = 6 + 5 i$ și $z_{2} = - 1 + 2 i$ : $z_{1} - z_{2} = 7 + 3 i$ , deci distanța dintre imagini este $49 + 9 = 58$ . Ordinea scăderii contează pentru deplasare, $z_{2} - z_{1} = - 7 - 3 i$ fiind săgeata de sens opus, dar nu contează pentru distanță, pentru că $∣ - w ∣ = ∣ w ∣$ .

Un caz particular este distanța dintre imaginea lui $z = a + bi$ și imaginea conjugatului $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ , două puncte $M$ și $M^{'}$ simetrice față de axa reală (vezi conjugatul unui număr complex). Diferența este $z - \overset{z}{ˉ} = 2 bi$ , deci distanța dintre imaginile lui $z$ și $\overset{z}{ˉ}$ este $M M^{'} = ∣ z - \overset{z}{ˉ} ∣ = 2∣ b ∣$ . Segmentul $M M^{'}$ este vertical, iar axa reală îl taie chiar la mijloc, în punctul $(a, 0)$ . În lecția despre planul complex cele două puncte au fost doar desenate; lungimea segmentului se calculează aici, ca modul al unei diferențe.

4. Ce face înmulțirea cu un număr real?

Pentru $z = a + bi$ și $k$ real, $k z = k a + k bi$ : ambele coordonate ale imaginii se înmulțesc cu $k$ . Vectorii $O M (a, b)$ și $O M^{'} (k a, k b)$ verifică $a \cdot k b - k a \cdot b = 0$ , condiția de coliniaritate din lecția despre coordonatele unui vector, deci imaginea lui $k z$ stă pe dreapta care trece prin $O$ și prin imaginea lui $z$ .

Pe această dreaptă, poziția depinde de $k$ :

pentru $k > 0$ , imaginea lui $k z$ este de aceeași parte a originii ca imaginea lui $z$ ;
pentru $k < 0$ , este de cealaltă parte; pentru $k = - 1$ se obține simetrica față de $O$ ;
distanța până la origine se înmulțește cu $∣ k ∣$ : $∣ k z ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ z ∣$ , regula lungimii din lecția despre înmulțirea unui vector cu un scalar; pentru $∣ k ∣ > 1$ punctul se depărtează, iar pentru $∣ k ∣ < 1$ se apropie.

Pe $z = 2 - 3 i$ : $3 z = 6 - 9 i$ este de aceeași parte, la distanța $∣3 z ∣ = 313$ de origine; $- 2 z = - 4 + 6 i$ este de partea opusă, de două ori mai departe; $\frac{1}{2} z = 1 - \frac{3}{2} i$ este la jumătatea drumului dintre $O$ și imaginea lui $z$ . Împărțirea la un număr real nenul nu este o operație nouă: $\frac{z}{k}$ înseamnă înmulțirea cu $\frac{1}{k}$ .

În limbajul deplasărilor, un multiplu real are un sens direct. Dacă ochiul uraganului păstrează aceeași viteză și aceeași direcție, deplasarea pe trei intervale de câte șase ore este $3 w$ , adică aceeași săgeată, de trei ori mai lungă; dacă vântul de altitudine îl împinge exact înapoi, deplasarea devine un multiplu negativ. O deplasare pe altă direcție nu se mai poate scrie însă ca multiplu real al lui $w$ .

Simetria față de origine, dată de $- z$ , nu trebuie confundată cu simetria față de axa reală, dată de conjugat, pe care ai văzut-o în lecția despre planul complex.

5. Cum se scriu afixele mijlocului și ale centrului de greutate?

Mijlocul segmentului $A B$ are coordonatele egale cu semisumele coordonatelor capetelor. În limbajul numerelor complexe, afixul lui este $\frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ : o adunare urmată de înmulțirea cu $\frac{1}{2}$ . Geometric, mijlocul este jumătatea diagonalei $O M$ din paralelogramul construit pe $O A$ și $O B$ .

Pentru $A (- 1 + 4 i)$ și $B (5 + 2 i)$ , mijlocul are afixul $\frac{4 + 6 i}{2} = 2 + 3 i$ . Centrul de greutate al unui triunghi $A B C$ , punctul în care se întâlnesc medianele, are afixul $\frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$ ; cu $C (5 - 9 i)$ se obține $\frac{9 - 3 i}{3} = 3 - i$ .

Formula este cea vectorială din lecția despre centrul de greutate, scrisă pe afixe: media se face direct pe numerele complexe, fără să separi abscisele de ordonate, iar rezultatul se verifică pe desen, la intersecția medianelor.

6. Cum găsești al patrulea vârf al unui paralelogram?

Patrulaterul $A B C D$ , cu vârfurile în această ordine, este paralelogram exact când diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc, adică exact când $\frac{z _{A} + z _{C}}{2} = \frac{z _{B} + z _{D}}{2}$ . Egalitatea se simplifică la $z_{A} + z_{C} = z_{B} + z_{D}$ , de unde

$z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B} .$

Pentru $A (1 + 2 i)$ , $B (4 + i)$ și $C (6 + 5 i)$ obții $z_{D} = (1 + 2 i) + (6 + 5 i) - (4 + i) = 3 + 6 i$ . Control: $A B$ are coordonatele $(3, - 1)$ , la fel ca $D C$ , de la $(3, 6)$ la $(6, 5)$ . Ordinea literelor contează: pentru paralelogramul $A B D C$ , al patrulea vârf ar fi altul.

7. Cum se citește pe afixe inegalitatea $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ ?

În lecția despre modul ai folosit, fără demonstrație, inegalitatea $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ . Ea este inegalitatea triunghiului pentru vectori, din lecția despre adunarea vectorilor, citită pe afixe. În triunghiul format de $O$ , imaginea $M_{1}$ a lui $z_{1}$ și imaginea $M$ a sumei, laturile au lungimile $O M_{1} = ∣ z_{1} ∣$ , $M_{1} M = ∣ z_{2} ∣$ , pentru că $M_{1} M$ este a doua săgeată, și $O M = ∣ z_{1} + z_{2} ∣$ , iar o latură nu depășește suma celorlalte două. Cazul de egalitate, cu săgeți de aceeași direcție și același sens, este discutat tot acolo.

Pentru $z_{1} = 3 + i$ și $z_{2} = 1 + 4 i$ : $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = ∣4 + 5 i ∣ = 41 \approx 6, 40$ , iar $∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣ = 10 + 17 \approx 7, 29$ . Pentru deplasări, inegalitatea spune ceva evident: drumul frânt nu este niciodată mai scurt decât drumul drept.

8. Ce se întâmplă la înmulțirea cu $i$ ?

Programa de examen numește doar înmulțirea cu un număr real, dar merită să vezi o dată și ce face înmulțirea cu $i$ . Pentru $z = 3 + 2 i$ obții $i z = 3 i + 2 i^{2} = - 2 + 3 i$ . Dreapta $O M$ are panta $\frac{2}{3}$ , dreapta $O M^{'}$ are panta $- \frac{3}{2}$ , iar produsul pantelor este $- 1$ : cele două drepte sunt perpendiculare, după criteriul din clasa a IX-a. Mai mult, $∣ i z ∣ = ∣ z ∣ = 13$ . Imaginea lui $i z$ se obține deci rotind imaginea lui $z$ cu un unghi drept în jurul originii, în sens trigonometric. Observația rămâne aici ca ilustrare: rotațiile cu unghiuri oarecare cer forma trigonometrică, care nu figurează nici în programa de examen din 2014, nici în lista de conținuturi a programei noi, unde apare doar ca recomandare opțională pentru profesorii care au timp.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Suma și paralelogramul ei

Se consideră numerele complexe $z_{1} = - 2 + 5 i$ și $z_{2} = 6 + i$ , cu imaginile $M_{1}$ și $M_{2}$ . Calculați $z_{1} + z_{2}$ și arătați că $O$ , $M_{1}$ , imaginea $M$ a sumei și $M_{2}$ formează un paralelogram.

Rezolvare. $z_{1} + z_{2} = (- 2 + 6) + (5 + 1) i = 4 + 6 i$ , deci $M (4, 6)$ . Vectorul $O M_{1}$ are coordonatele $(- 2, 5)$ , iar vectorul $M_{2} M$ are coordonatele $(4 - 6, 6 - 1) = (- 2, 5)$ . Vectorii sunt egali, iar punctele $O$ , $M_{1}$ , $M_{2}$ nu sunt coliniare, fiindcă $(- 2) \cdot 1 - 6 \cdot 5 = - 32 \neq = 0$ ; deci $O M_{1} M M_{2}$ este paralelogram. Figura A arată construcția.

Exemplul 2 — Distanța dintre două imagini și mijlocul segmentului

Punctele $A$ și $B$ au afixele $z_{A} = 7 + 5 i$ și $z_{B} = - 2 - 3 i$ . Calculați lungimea segmentului $A B$ și afixul mijlocului său.

Rezolvare. $z_{A} - z_{B} = (7 + 2) + (5 + 3) i = 9 + 8 i$ , deci

$A B = ∣9 + 8 i ∣ = 81 + 64 = 145 \approx 12, 04.$

Mijlocul are afixul $\frac{z _{A} + z _{B}}{2} = \frac{5 + 2 i}{2} = \frac{5}{2} + i$ . În Figura B, săgeata punctată pornită din $O$ spre punctul $(9, 8)$ este paralelă cu $B A$ și are aceeași lungime: diferența este deplasarea de la $B$ la $A$ .

Exemplul 3 — Un multiplu real al unui număr complex

Fie $z = 5 - 2 i$ . a) Arătați că originea, imaginea lui $z$ și imaginea lui $3 z$ sunt coliniare. b) Determinați numărul real negativ $k$ pentru care distanța de la origine la imaginea lui $k z$ este $\frac{29}{2}$ .

Rezolvare. a) $3 z = 15 - 6 i$ . Vectorii $O M (5, - 2)$ și $O M^{'} (15, - 6)$ verifică $5 \cdot (- 6) - 15 \cdot (- 2) = - 30 + 30 = 0$ , deci sunt coliniari, iar punctele sunt pe aceeași dreaptă prin origine.

b) $∣ z ∣ = 25 + 4 = 29$ , iar $∣ k z ∣ = ∣ k ∣ \cdot 29$ . Din $∣ k ∣ \cdot 29 = \frac{29}{2}$ rezultă $∣ k ∣ = \frac{1}{2}$ , iar condiția $k < 0$ dă $k = - \frac{1}{2}$ . Imaginea lui $- \frac{1}{2} z = - \frac{5}{2} + i$ este de cealaltă parte a originii, la jumătatea distanței (Figura C).

Exemplul 4 — Drumul ochiului unui uragan

Poziția ochiului unui uragan este fixată la fiecare șase ore. În trei intervale consecutive, deplasările au fost $w_{1} = - 9 + 5 i$ , $w_{2} = - 7 + 6 i$ și $w_{3} = - 4 + 8 i$ , în zeci de kilometri (partea reală spre est, partea imaginară spre nord), pornind din punctul $O$ . a) Determinați afixul poziției după $18$ ore. b) La ce distanță de punctul de plecare se află ochiul? c) Dacă în următoarele $12$ ore ochiul se deplasează cu $2 w_{3}$ , unde ajunge?

Rezolvare. a) După regula triunghiului, pozițiile succesive sunt sumele parțiale: după $6$ ore $w_{1} = - 9 + 5 i$ , după $12$ ore $w_{1} + w_{2} = - 16 + 11 i$ , iar după $18$ ore $w_{1} + w_{2} + w_{3} = (- 9 - 7 - 4) + (5 + 6 + 8) i = - 20 + 19 i$ .

b) Distanța este modulul: $∣ - 20 + 19 i ∣ = 400 + 361 = 761 \approx 27, 59$ zeci de kilometri, adică aproximativ $276$ km. Drumul parcurs efectiv, $∣ w_{1} ∣ + ∣ w_{2} ∣ + ∣ w_{3} ∣ = 106 + 85 + 80 \approx 28, 46$ zeci de kilometri, este mai lung, cum spune inegalitatea din subsecțiunea 7.

c) $2 w_{3} = - 8 + 16 i$ este o deplasare pe aceeași direcție cu $w_{3}$ , de două ori mai lungă. Noua poziție are afixul $(- 20 + 19 i) + (- 8 + 16 i) = - 28 + 35 i$ . Figura D arată traseul primelor $18$ ore.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: suma în locul diferenței

Punctele $A$ și $B$ au afixele $2 - 5 i$ și $- 9 + 3 i$ . Un elev scrie: „ $A B = ∣ z_{A} + z_{B} ∣ = ∣ - 7 - 2 i ∣ = 53$ .” Unde greșește și cât este $A B$ ?

Rezolvare. Suma $z_{A} + z_{B}$ are ca imagine al patrulea vârf al paralelogramului construit pe $O A$ și $O B$ ; modulul ei este lungimea diagonalei din $O$ , nu lungimea segmentului $A B$ . Distanța cere diferența: $z_{A} - z_{B} = 11 - 8 i$ , deci $A B = ∣11 - 8 i ∣ = 121 + 64 = 185$ . Control pe coordonate: $A (2, - 5)$ și $B (- 9, 3)$ dau $1 1^{2} + 8^{2} = 185$ . Rezultatul elevului, $53$ , este dublul distanței de la $O$ la mijlocul segmentului $A B$ , al cărui afix este $- \frac{7}{2} - i$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Punctele $A$ , $B$ , $C$ din planul complex au afixele $z_{A} = - 3 + 2 i$ , $z_{B} = 5 + 4 i$ și $z_{C} = 1 - 6 i$ . a) Determinați afixul centrului de greutate $G$ al triunghiului $A B C$ . b) Calculați lungimea medianei $A M$ , unde $M$ este mijlocul segmentului $B C$ . c) Arătați că $A G = 2 \cdot GM$ .

Rezolvare. a) $z_{G} = \frac{( - 3 + 2 i ) + ( 5 + 4 i ) + ( 1 - 6 i )}{3} = \frac{3}{3} = 1$ , deci $G$ este punctul $(1, 0)$ , pe axa reală.

b) $z_{M} = \frac{( 5 + 4 i ) + ( 1 - 6 i )}{2} = \frac{6 - 2 i}{2} = 3 - i$ , iar $A M = ∣ z_{M} - z_{A} ∣ = ∣6 - 3 i ∣ = 45 = 35$ .

c) $A G = ∣ z_{G} - z_{A} ∣ = ∣4 - 2 i ∣ = 20 = 25$ și $GM = ∣ z_{M} - z_{G} ∣ = ∣2 - i ∣ = 5$ , deci $A G = 2 \cdot GM$ . Centrul de greutate împarte mediana în raportul $2 : 1$ , lucru pe care calculul îl confirmă.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, spune ce operație corespunde întrebării: suma pentru compunerea deplasărilor, diferența pentru o distanță, înmulțirea cu un real pentru o deplasare pe aceeași direcție.

1. Pentru $z_{1} = 2 + 7 i$ și $z_{2} = 5 - 3 i$ , calculează $z_{1} + z_{2}$ și arată că originea, imaginile lui $z_{1}$ , $z_{2}$ și imaginea sumei sunt vârfurile unui paralelogram.

2. Află lungimea segmentului care unește punctele de afixe $3 + 20 i$ și $- 4 - 4 i$ .

3. Cât de departe unul de altul se află punctele de afixe $- 3 + 5 i$ și $5$ ?

4. Fie $z = - 1 + 3 i$ . Determină numărul real $k$ pentru care imaginea lui $k z$ se află la distanța $210$ de origine, de partea opusă imaginii lui $z$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr complex nenul $z$ și orice număr real $k$ , imaginea lui $k z$ este mai departe de origine decât imaginea lui $z$ .”

6. Determină afixul mijlocului $M$ al segmentului cu capetele de afixe $- 4 + 9 i$ și $10 + i$ , apoi arată că $M$ este la aceeași distanță de cele două capete.

7. Punctele $A$ și $B$ au afixele $2 + 5 i$ și $- 6 + i$ . Determină afixul punctului $C$ pentru care centrul de greutate al triunghiului $A B C$ este originea.

8. Fie $z_{1} = 3 - 2 i$ . Imaginea sumei $z_{1} + z_{2}$ este punctul $P (1, 4)$ . Determină $z_{2}$ .

9. (Problemă aplicată.) Două aisberguri sunt urmărite prin satelit. Într-o zi, pozițiile lor au afixele $11 + 38 i$ și $- 1 + 3 i$ , în kilometri, față de o stație de referință. a) Calculează distanța dintre aisberguri. b) În următoarele $4$ zile, curentul le deplasează pe amândouă cu $3 - 2 i$ kilometri pe zi. Ce afixe au pozițiile lor la final?

10. Punctele $A$ , $B$ , $C$ au afixele $1 + i$ , $8 + 2 i$ și $2 + 8 i$ . Calculează lungimile laturilor triunghiului $A B C$ și precizează ce fel de triunghi este.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră numerele complexe $z_{1} = - 4 + 7 i$ și $z_{2} = 8 - 9 i$ . a) Calculați $z_{2} - z_{1}$ . b) Arătați că distanța dintre imaginile geometrice ale numerelor $z_{1}$ și $z_{2}$ este $20$ . c) Determinați valoarea reală a lui $a$ pentru care punctul de afix $z_{1} + a$ este pe axa imaginară.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Punctele $A$ , $B$ , $C$ din planul complex au afixele $2 - i$ , $7 + i$ și $5 + 6 i$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic și isoscel.

13. Pentru $z_{1} = 6 + i$ și $z_{2} = - 1 + 4 i$ , calculează $∣ z_{1} + z_{2} ∣$ și $∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ și compară rezultatele.

14. Punctul $A$ are afixul $2 + 3 i$ , iar mijlocul segmentului $A B$ are afixul $5 - i$ . Determină afixul punctului $B$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Punctele $A$ , $B$ , $C$ din planul complex au afixele $2 - 3 i$ , $7 + i$ și $5 + 6 i$ . a) Determinați afixul punctului $D$ pentru care $A B C D$ este paralelogram. b) Verificați că diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc.

16. Pentru $z = - 6 + 11 i$ , calculează $z - \overset{z}{ˉ}$ și distanța dintre imaginile lui $z$ și $\overset{z}{ˉ}$ . În ce punct taie segmentul dintre ele axa reală?

17. Pentru ce valori reale ale lui $k$ punctul de afix $k (2 - i)$ cade în cadranul al II-lea?

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice numere complexe $z_{1}$ și $z_{2}$ , are loc $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} + ∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2})$ , și interpretează egalitatea pe paralelogramul construit pe imaginile lor. Verifică apoi pe cazul $z_{1} = 5 + i$ , $z_{2} = 2 - 5 i$ .

Răspunsuri și explicații

1. $z_{1} + z_{2} = 7 + 4 i$ . Vectorul de la $O$ la $(2, 7)$ are coordonatele $(2, 7)$ , iar vectorul de la $(5, - 3)$ la $(7, 4)$ are coordonatele $(2, 7)$ ; cum $O$ , $(2, 7)$ și $(5, - 3)$ nu sunt coliniare, $2 \cdot (- 3) - 5 \cdot 7 = - 41 \neq = 0$ , figura este paralelogram.

2. Diferența este $(3 + 20 i) - (- 4 - 4 i) = 7 + 24 i$ , deci distanța este $49 + 576 = 625 = 25$ .

3. Diferența este $(- 3 + 5 i) - 5 = - 8 + 5 i$ , deci distanța este $64 + 25 = 89$ .

4. $∣ z ∣ = 10$ , deci $∣ k ∣ \cdot 10 = 210$ dă $∣ k ∣ = 2$ . Partea opusă cere $k < 0$ , deci $k = - 2$ și $k z = 2 - 6 i$ .

5. Fals. Distanța până la origine se înmulțește cu $∣ k ∣$ , deci crește doar pentru $∣ k ∣ > 1$ . Pentru $z = 4 - 2 i$ și $k = \frac{1}{2}$ , $∣ k z ∣ = ∣2 - i ∣ = 5$ , mai mic decât $∣ z ∣ = 20$ ; pentru $k = - 1$ distanța rămâne aceeași.

6. $z_{M} = \frac{( - 4 + 9 i ) + ( 10 + i )}{2} = \frac{6 + 10 i}{2} = 3 + 5 i$ . Distanțele sunt $∣ (- 4 + 9 i) - (3 + 5 i) ∣ = ∣ - 7 + 4 i ∣ = 65$ și $∣ (10 + i) - (3 + 5 i) ∣ = ∣7 - 4 i ∣ = 65$ .

7. Din $\frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3} = 0$ rezultă $z_{C} = - (z_{A} + z_{B}) = - (- 4 + 6 i) = 4 - 6 i$ .

8. $z_{2} = (1 + 4 i) - (3 - 2 i) = - 2 + 6 i$ . Control: $(3 - 2 i) + (- 2 + 6 i) = 1 + 4 i$ .

9. a) Diferența pozițiilor este $12 + 35 i$ , deci distanța este $144 + 1225 = 1369 = 37$ km. b) Fiecare aisberg se deplasează cu $4 (3 - 2 i) = 12 - 8 i$ kilometri, deci pozițiile finale au afixele $(11 + 38 i) + (12 - 8 i) = 23 + 30 i$ și $(- 1 + 3 i) + (12 - 8 i) = 11 - 5 i$ .

10. $A B = ∣7 + i ∣ = 50$ , $A C = ∣1 + 7 i ∣ = 50$ și $B C = ∣ - 6 + 6 i ∣ = 72$ . Două laturi sunt egale, deci triunghiul este isoscel, cu baza $B C$ .

11. a) $z_{2} - z_{1} = 12 - 16 i$ . b) $∣12 - 16 i ∣ = 144 + 256 = 400 = 20$ . c) $z_{1} + a = (a - 4) + 7 i$ are imaginea pe axa imaginară exact când $a - 4 = 0$ , deci $a = 4$ .

12. $A B = ∣5 + 2 i ∣ = 29$ , $B C = ∣ - 2 + 5 i ∣ = 29$ și $A C = ∣3 + 7 i ∣ = 58$ . Cum $A B^{2} + B C^{2} = 29 + 29 = 58 = A C^{2}$ , triunghiul este dreptunghic în $B$ , după reciproca teoremei lui Pitagora, iar $A B = B C$ îl face isoscel.

13. $z_{1} + z_{2} = 5 + 5 i$ , cu $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = 52 \approx 7, 07$ ; $∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣ = 37 + 17 \approx 10, 21$ . Modulul sumei este mai mic, deoarece cele două deplasări nu au aceeași direcție.

14. Din $\frac{z _{A} + z _{B}}{2} = 5 - i$ rezultă $z_{B} = 2 (5 - i) - (2 + 3 i) = 8 - 5 i$ .

15. a) $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B} = (2 - 3 i) + (5 + 6 i) - (7 + i) = 2 i$ . b) Mijlocul lui $A C$ are afixul $\frac{7 + 3 i}{2}$ , iar mijlocul lui $B D$ are afixul $\frac{( 7 + i ) + 2 i}{2} = \frac{7 + 3 i}{2}$ .

16. $\overset{z}{ˉ} = - 6 - 11 i$ , deci $z - \overset{z}{ˉ} = 22 i$ , iar distanța dintre imagini este $∣22 i ∣ = 22$ . Imaginile $(- 6, 11)$ și $(- 6, - 11)$ sunt simetrice față de axa reală, deci segmentul o taie la mijloc, în punctul $(- 6, 0)$ .

17. $k (2 - i) = 2 k - k i$ . În cadranul al II-lea abscisa e negativă, iar ordonata pozitivă: $2 k < 0$ și $- k > 0$ , adică $k < 0$ .

18. Cu $z_{1} = a + bi$ și $z_{2} = c + d i$ , $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} = (a + c)^{2} + (b + d)^{2}$ și $∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = (a - c)^{2} + (b - d)^{2}$ ; adunând, produsele duble se reduc și rămâne $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) = 2 (∣ z_{1} ∣^{2} + ∣ z_{2} ∣^{2})$ . În paralelogramul construit pe $O M_{1}$ și $O M_{2}$ , $∣ z_{1} + z_{2} ∣$ și $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ sunt lungimile diagonalelor, iar $∣ z_{1} ∣$ , $∣ z_{2} ∣$ sunt lungimile laturilor: suma pătratelor diagonalelor este suma pătratelor celor patru laturi, relație pe care o găsești și în lecția despre teorema cosinusului. Pe cazul dat: $∣7 - 4 i ∣^{2} + ∣3 + 6 i ∣^{2} = 65 + 45 = 110$ , iar $2 (26 + 29) = 110$ .

De reținut

Imaginea sumei $z_{1} + z_{2}$ este vârful opus originii în paralelogramul cu laturile $O M_{1}$ și $O M_{2}$ ; pentru deplasări succesive se folosește regula triunghiului, cu săgețile cap la cap.
$z_{1} - z_{2}$ este deplasarea de la imaginea lui $z_{2}$ la imaginea lui $z_{1}$ , iar $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ este distanța dintre ele.
Imaginea lui $k z$ , cu $k$ real, stă pe dreapta care unește originea cu imaginea lui $z$ , de aceeași parte pentru $k > 0$ și de partea opusă pentru $k < 0$ , la distanța $∣ k ∣ \cdot ∣ z ∣$ de origine.
Mijlocul segmentului $A B$ are afixul $\frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ , centrul de greutate are afixul $\frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3}$ , iar în paralelogramul $A B C D$ , $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B}$ .
$∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ , pentru că o latură a triunghiului format de săgeți nu întrece suma celorlalte două; egalitatea cere aceeași direcție și același sens.

Greșeli frecvente

Iei distanța dintre imaginile lui $z$ și $k z$ egală cu $∣ k ∣ \cdot ∣ z ∣$ . Produsul $∣ k ∣ \cdot ∣ z ∣$ este distanța de la origine la imaginea lui $k z$ . Distanța dintre cele două imagini este $∣ k z - z ∣ = ∣ k - 1∣ \cdot ∣ z ∣$ : pentru $z = 2 - 3 i$ și $k = 3$ , ea este $213$ , nu $313$ .
Scrii al patrulea vârf fără să ții cont de ordinea literelor. Formula $z_{D} = z_{A} + z_{C} - z_{B}$ este pentru paralelogramul $A B C D$ , în care $A$ și $C$ sunt vârfuri opuse. Pentru $A B D C$ vârfurile opuse sunt altele și formula se schimbă.
Confunzi $- z$ cu $\overset{z}{ˉ}$ . Imaginea lui $- z$ este simetrica imaginii lui $z$ față de origine; imaginea conjugatului este simetrica față de axa reală. Pentru $z = 4 + i$ , $- z = - 4 - i$ , iar $\overset{z}{ˉ} = 4 - i$ .
Citești $- 2 z$ ca pe o micșorare. Semnul minus întoarce punctul de cealaltă parte a originii, iar factorul $2$ îl duce de două ori mai departe. O apropiere de origine cere $∣ k ∣ < 1$ , nu $k < 0$ .
Iei imaginea sumei drept mijlocul segmentului. Punctul de afix $z_{1} + z_{2}$ este vârful paralelogramului, de două ori mai departe de origine decât mijlocul segmentului $M_{1} M_{2}$ , al cărui afix este jumătatea sumei.

Aplică acasă

Drumul unui uragan real. Pe pagina unui serviciu meteorologic, găsește pozițiile ochiului unui uragan la patru momente consecutive, la câte șase ore. Așază-le pe o hartă cu caroiaj, cu originea în prima poziție și unitatea de zece kilometri, și scrie fiecare poziție ca număr complex. Calculează deplasările dintre poziții, ca diferențe, și lungimea fiecăreia, ca modul, apoi împarte la șase ore ca să afli viteza de deplasare a ochiului.
Dreapta multiplilor. Într-o aplicație de geometrie dinamică, reprezintă punctul de afix $z$ ales de tine și punctul de afix $k z$ , cu $k$ controlat de un glisor între $- 3$ și $3$ . Urmărește drumul celui de-al doilea punct și notează pentru ce valori ale lui $k$ trece prin origine, prin imaginea lui $z$ și prin simetrica ei.
Al patrulea colț. Pe o hartă cu caroiaj, alege trei repere, de pildă trei intersecții de străzi, și scrie-le afixele $a$ , $b$ , $c$ . Calculează afixul $a + c - b$ , marchează punctul și verifică cu rigla că cele patru puncte formează un paralelogram: laturile opuse au aceeași lungime, iar diagonalele se taie la jumătate.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează capitolul de numere complexe cu partea pe care programa de examen o cere și programa de bază a clasei a X-a o lasă deoparte: ce înseamnă în plan suma, diferența și produsul cu un număr real. Accentul cade pe trei traduceri: suma ca paralelogram sau lanț de deplasări, modulul diferenței ca distanță, multiplul real ca punct pe dreapta prin origine. Mulțimile de puncte descrise prin condiții cu module, cercurile și mediatoarele nu fac parte din materia M2 și nu apar în lecție.

Întrebări bune de control: „Ce afix are deplasarea de la $A$ la $B$ ?”; „Ce punct corespunde lui $- 3 z$ față de imaginea lui $z$ ?”; „Cum afli al patrulea vârf al paralelogramului $A B C D$ ?”. Semn bun: elevul desenează punctele înainte de calcul și își controlează rezultatul pe desen.

Programa și examenul. Programa de examen a Bacalaureatului M2 (M_șt-nat) pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a X-a, „interpretarea geometrică a operațiilor de adunare și de scădere a numerelor complexe și a înmulțirii acestora cu un număr real”. În programa nouă (OMEC 6930/2025, Anexa 28), capitolul „Numere complexe” cuprinde forma algebrică, conjugatul, modulul, operațiile și ecuația de gradul al doilea, fără interpretarea geometrică; nota metodologică a anexei recomandă aplicațiile numerelor complexe în geometrie doar opțional, dacă profesorul are timp. Tema trece astfel în suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029, iar la proba MAT_P2 din 2030 nu figurează. Înmulțirea cu $i$ ca rotație apare în lecție doar ca observație, fiindcă programa de examen numește numai înmulțirea cu un număr real. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, prima cerință a Subiectului I este un calcul cu două numere complexe, fără interpretare geometrică.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: operațiile și modulul interpretate geometric, cu mulțimi de puncte. Pentru recapitulare, rezolvă testul suplimentului, cu exerciții despre numerele complexe în plan.

Întrebări frecvente

Ce are în plus lecția M1 despre interpretarea geometrică față de varianta M2?

La mate-info (M1), aceeași interpretare deschide drumul spre mulțimi de puncte descrise prin condiții cu module: cercuri, discuri, mediatoare, valori extreme ale unui modul. Varianta M2 se oprește la ce cere programa de examen de la științe ale naturii: suma, diferența și înmulțirea cu un număr real, cu aplicații la mijloace, centre de greutate, paralelograme și deplasări.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea interpretarea geometrică?

Programa pentru sesiunile 2027–2029 cere, la materia clasei a X-a, sensul geometric al sumei, al diferenței și al produsului cu un număr real, dar nu precizează subiectul. În modelul oficial pentru 2026, prima cerință a Subiectului I este un calcul cu numere complexe, fără interpretare geometrică. La MAT_P2 din 2030 tema nu apare.

Ce legătură are lecția cu vectorii din clasa a X-a?

Imaginea numărului $a + bi$ și vectorul de coordonate $(a, b)$ poartă aceeași informație. Adunarea numerelor complexe se face exact ca adunarea vectorilor pe coordonate, înmulțirea cu un real la fel, iar modulul corespunde lungimii vectorului. De aceea regula paralelogramului, egalitatea vectorilor și condiția de coliniaritate se folosesc direct în planul complex.

Face parte înmulțirea cu $i$ din materia de examen?

Programa de examen pentru 2027–2029 numește doar înmulțirea cu un număr real. Faptul că înmulțirea cu $i$ rotește imaginea cu un unghi drept în jurul originii se verifică ușor prin calcul și ajută la înțelegere, dar în lecție rămâne o observație. Rotațiile cu unghiuri oarecare cer forma trigonometrică, absentă din conținuturile M2 și din programa de examen.

Cum îmi verific pe desen o sumă sau o diferență?

Reprezintă imaginile celor două numere și construiește paralelogramul cu originea: vârful opus originii trebuie să aibă coordonatele sumei calculate. Pentru o diferență, săgeata de la imaginea scăzătorului la imaginea descăzutului, mutată cu originea în $O$ , trebuie să ajungă în punctul diferenței. O nepotrivire vizibilă arată de obicei un semn greșit.

De ce împărțirea la un număr real nu e o operație separată?

Împărțirea la numărul real nenul $k$ înseamnă înmulțirea cu $\frac{1}{k}$ , deci are aceeași interpretare: imaginea rămâne pe dreapta prin origine, iar distanța până la origine se împarte la $∣ k ∣$ . Pentru $k$ negativ, punctul trece de cealaltă parte a originii. Afixul mijlocului unui segment este tocmai o sumă împărțită la $2$ .