Interpretare geometrică: distanțe: pe scurt

Adunarea a două numere complexe se citește geometric prin regula paralelogramului: dacă $A$, $B$ sunt imaginile lui $z_1$, $z_2$, atunci imaginea sumei este al patrulea vârf $C$ al paralelogramului $OACB$ (diagonalele $OC$ și $AB$ au același mijloc).

Rezultatul central al lecției: $|z_1-z_2|$ este distanța dintre imaginile lui $z_1$ și $z_2$. De aici pornesc toate mulțimile de puncte descrise prin module:

• $|z-z_0|=r$ este cercul de centru $M_0(z_0)$ și rază $r$ ($|z-z_0|\le r$ dă discul închis);
• $|z-a|=|z-b|$ este mediatoarea segmentului determinat de imaginile lui $a$ și $b$.

Rămâne valabilă inegalitatea triunghiului, $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$, cu egalitate exact atunci când $z_1$ și $z_2$ au aceeași direcție și același sens (unul e multiplu real nenegativ al celuilalt).

Această interpretare rezolvă rapid și problemele de tip „între ce limite variază”: dacă $M$ e pe un cerc de centru $C$ și rază $r$, iar $P$ e un punct fix la distanța $d$ de $C$, atunci distanța de la $M$ la $P$ variază între $|d-r|$ și $d+r$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați distanța dintre imaginile numerelor $4+i$ și $-2+9i$.

   • a) $10$
   • b) $6$
   • c) $8$
   • d) $14$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $10$

   Distanța este $|z_1-z_2|=|(4+i)-(-2+9i)|=|6-8i|=\sqrt{36+64}=10$.

2. Ce mulțime descrie condiția $|z-(2-3i)|=6$?

   • a) cercul de centru $(-2,3)$ și rază $6$
   • b) cercul de centru $(2,-3)$ și rază $6$
   • c) cercul de centru $(2,3)$ și rază $6$
   • d) o dreaptă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) cercul de centru $(2,-3)$ și rază $6$

   Condiția are direct forma $|z-z_0|=r$, cu $z_0=2-3i$: cercul de centru $(2,-3)$ și rază $6$.

3. Ce mulțime descrie punctele $M(z)$ cu $|z-4|=|z+2|$?

   • a) cercul de rază $1$
   • b) dreapta $x=-1$
   • c) dreapta $x=1$
   • d) dreapta $y=1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) dreapta $x=1$

   Este mediatoarea segmentului cu capetele $A(4,0)$ și $B(-2,0)$. Mijlocul este $(1,0)$, iar segmentul fiind orizontal, mediatoarea este verticala $x=1$.