Cum sunt dreptele $$5x+2y=9$$ și $$10x+4y=18$$?

Coincidente, având ca intersecție dreapta comună.

Două modele, $$y=2x+3$$ și $$y=x+9$$, sunt valabile numai pentru abscise nenegative de cel mult $$4$$. Ce concluzie este justificată?

Intersecția prelungirilor este în afara intervalului admis.

Modelele au aceeași valoare la orice abscisă admisă.

Dreptele complete sunt paralele.

Intersecția prelungirilor dovedește egalitatea în intervalul admis.

Când dau două modele liniare aceeași valoare?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Soluții comune și interpretare

În punctul de intersecție al dreptelor lor, pe care îl afli egalând expresiile. Un lichid rece se încălzește după $T_{1} = 20 + 3 t$ , iar unul fierbinte se răcește după $T_{2} = 80 - 2 t$ , cu $t$ în minute. Din $20 + 3 t = 80 - 2 t$ rezultă $t = 12$ , iar temperatura comună este $56$ °C. Rezultatul are sens doar dacă ambele modele sunt valabile la $t = 12$ ; dacă unul este dat doar pentru primele $10$ minute, egalitatea rămâne o prelungire neverificată.

Un punct de intersecție trebuie să respecte două ecuații în același timp. Prin egalarea expresiilor ordonatei, substituție sau reducere găsim coordonatele candidate. Controlul lor se face în relațiile inițiale, iar rezultatul se formulează geometric.

Dreptele secante admit o singură poziție comună. Paralelele distincte nu au niciuna. Pentru drepte coincidente, toate punctele dreptei comune sunt soluții; identitatea apărută la eliminare nu anulează ecuația care încă descrie acea dreaptă. Nu confundăm lipsa soluțiilor cu originea reperului.

Forma generală definește o dreaptă numai dacă cel puțin unul dintre coeficienții coordonatelor este nenul. Verticalele se folosesc direct prin abscisa fixată, fără a le atribui o pantă. Pentru două drepte neverticale, perpendicularitatea înseamnă un produs al pantelor egal cu minus unu; o verticală se sprijină în unghi drept doar pe orizontale. Perpendiculara coborâtă dintr-un punct întâlnește dreapta în punctul ei cel mai apropiat.

În aplicații, compară candidatul cu intervalele în care ambele modele sunt valabile. O intersecție a prelungirilor poate rămâne în afara acestor intervale. Când liniile reprezintă trasee fizice, locul comun nu arată singur o întâlnire simultană. Citește mărimile de pe axe și încheie prin concluzia pe care condițiile oferite o susțin efectiv, fără să deduci comportamentul procesului în perioade neprecizate.

De reținut

punctul comun verifică simultan ambele ecuații
pante egale și termeni liberi diferiți: drepte paralele distincte
în aplicații, intersecția trebuie să fie în domeniul ambelor modele

Greșeala tipică

Se acceptă intersecția ca rezultat al experimentului deși ea cade în afara intervalului măsurat; o prelungire a graficelor nu este o observație.

Exerciții din această mini-lecție

Care este punctul comun al dreptelor $y = 3 x + 1$ și $y = - 4 x + 8$ ?
- a) $P (1; 4)$
- b) $P (4; 1)$
- c) $P (- 1; - 2)$
- d) $P (2; 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $P (1; 4)$

Egalarea dă $7 x = 7$ , iar ordonata este $3 \cdot 1 + 1 = 4$ . Cealaltă ecuație confirmă $- 4 \cdot 1 + 8 = 4$ .
Cum sunt dreptele $5 x + 2 y = 9$ și $10 x + 4 y = 18$ ?
- a) Secante într-un singur punct.
- b) Coincidente, având ca intersecție dreapta comună.
- c) Paralele distincte.
- d) Perpendiculare.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Coincidente, având ca intersecție dreapta comună.

A doua ecuație este de două ori prima. Multiplicarea cu doi păstrează mulțimea punctelor care satisfac ecuația.
Două modele, $y = 2 x + 3$ și $y = x + 9$ , sunt valabile numai pentru abscise nenegative de cel mult $4$ . Ce concluzie este justificată?
- a) Modelele au aceeași valoare la orice abscisă admisă.
- b) Dreptele complete sunt paralele.
- c) Intersecția prelungirilor dovedește egalitatea în intervalul admis.
- d) Intersecția prelungirilor este în afara intervalului admis.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Intersecția prelungirilor este în afara intervalului admis.

Egalarea dă abscisa șase și ordonata cincisprezece. Abscisa depășește limita patru, deci nu există o egalitate în domeniul comun oferit.

Întrebări conexe

Cum aflu intersecția unei drepte oblice cu o verticală?

Verticala fixează abscisa, deci o înlocuiești direct în ecuația celeilalte drepte. Pentru $x = 3$ și $y = 2 x - 5$ obții $y = 1$ , iar punctul comun este $(3, 1)$ . Nu ai nevoie de pantă pentru verticală.

Care punct al dreptei $y = x - 1$ este cel mai apropiat de $(0, 5)$ ?

Este piciorul perpendicularei din $(0, 5)$ . Perpendiculara are panta $- 1$ și ecuația $y = - x + 5$ . Egalând, $x - 1 = - x + 5$ , deci $x = 3$ și punctul este $(3, 2)$ . Distanța până la el este $9 + 9 = 32$ .

Pentru ce $m$ nu se intersectează dreptele $y = m x + 1$ și $y = 3 x - 2$ ?

Două drepte neverticale nu se intersectează când au aceeași pantă și termeni liberi diferiți. Condiția este $m = 3$ ; termenii liberi $1$ și $- 2$ diferă, deci dreptele sunt paralele distincte. Pentru orice alt $m$ , ele se taie într-un singur punct.

Sunt concurente dreptele $x + y = 4$ , $x - y = 2$ și $2 x + y = 7$ ?

Afli intersecția primelor două: adunându-le, $2 x = 6$ , deci $x = 3$ și $y = 1$ . Verifici punctul $(3, 1)$ în a treia: $6 + 1 = 7$ , adevărat. Toate trei trec prin $(3, 1)$ , deci sunt concurente.

Ce arie are triunghiul format de $y = x + 2$ , $y = - x + 6$ și axa $O x$ ?

Dreptele se intersectează în $(2, 4)$ , iar axa $O x$ o taie în $(- 2, 0)$ și în $(6, 0)$ . Baza are $8$ , înălțimea este ordonata vârfului, $4$ , deci aria este $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$ .

Oamenii mai întreabă și: când devin egale două modele liniare · punctul comun a două modele · intersecția graficelor a două legi liniare · momentul în care două mărimi sunt egale

Când dau două modele liniare aceeași valoare?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aflu intersecția unei drepte oblice cu o verticală?

Care punct al dreptei y=x−1 este cel mai apropiat de (0,5)?

Pentru ce m nu se intersectează dreptele y=mx+1 și y=3x−2?

Sunt concurente dreptele x+y=4, x−y=2 și 2x+y=7?

Ce arie are triunghiul format de y=x+2, y=−x+6 și axa Ox?

Continuă cu

Care punct al dreptei $y = x - 1$ este cel mai apropiat de $(0, 5)$ ?

Pentru ce $m$ nu se intersectează dreptele $y = m x + 1$ și $y = 3 x - 2$ ?

Sunt concurente dreptele $x + y = 4$ , $x - y = 2$ și $2 x + y = 7$ ?

Ce arie are triunghiul format de $y = x + 2$ , $y = - x + 6$ și axa $O x$ ?