Intersecția a două drepte (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Două condiții despre aceeași poziție trebuie îndeplinite simultan. Dacă fiecare condiție descrie o dreaptă, căutăm punctele lor comune. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), legăm rezolvarea unui sistem de ecuații de interpretarea geometrică. Tema se află în geometria analitică pentru Bacalaureatul M2 2027–2029 și în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” al MAT_P2 din 2030, pentru generația care începe liceul în 2026.

Folosim ecuația dreptei prin două puncte la M2 și pozițiile verticală, orizontală și oblică la M2. La coliniaritate în M2, ai verificat apartenența la o dreaptă. Aici verifici simultan două apartenențe. Pentru citirea coordonatelor, ai la îndemână sistemul de axe din clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

Vei ști să traduci un punct comun printr-o soluție comună a două ecuații.
Vei ști să găsești ambele coordonate prin substituție sau reducere.
Vei ști să interpretezi cazurile de drepte secante, paralele distincte și coincidente.
Vei ști să recunoști o ecuație care nu reprezintă o dreaptă.
Vei ști să verifici dacă o intersecție calculată este admisibilă în contextul problemei.
Vei ști să recunoști două drepte perpendiculare după produsul pantelor și să afli piciorul unei perpendiculare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă un punct comun?

Intersecția a două drepte este mulțimea tuturor punctelor care aparțin simultan ambelor drepte. Cuvântul „simultan” leagă cele două condiții: coordonatele aceluiași punct trebuie să satisfacă fiecare ecuație. Nu alegem abscisa de pe o dreaptă și ordonata unui alt punct de pe cealaltă.

De exemplu, pentru explorare, luăm dreptele $y = 5 x + 1$ și $y = - 4 x + 10$ . La un punct comun, aceeași ordonată este exprimată în două moduri. De aceea putem scrie $5 x + 1 = - 4 x + 10$ . Această egalitate este începutul calculului, nu încă răspunsul geometric: după aflarea abscisei trebuie determinată și ordonata.

Un punct propus poate fi verificat chiar înainte de a rezolva sistemul. Îi înlocuim coordonatele în prima ecuație și apoi în a doua. Dacă una dintre egalități nu se verifică, punctul nu este comun. Dacă ambele se verifică, am găsit un punct al intersecției; natura dreptelor ne spune dacă este singurul.

În plan, două drepte distincte nu pot avea două puncte comune distincte. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă, deci două asemenea puncte comune ar obliga dreptele să coincidă. Această proprietate justifică de ce un punct comun este unic atunci când dreptele sunt distincte.

2. Cum alegem metoda de calcul?

Când ambele ecuații sunt scrise sub forma ordonatei în funcție de abscisă, egalăm cele două expresii ale ordonatei. Rezolvăm ecuația în abscisă, apoi o înlocuim într-una dintre ecuațiile inițiale. La final, coordonatele sunt controlate și în cealaltă ecuație.

Dacă una dintre ecuații exprimă direct abscisa, aceeași idee funcționează prin înlocuirea ei în cealaltă relație. Verticala nu trebuie transformată într-o ecuație cu pantă. Abscisa ei constantă poate fi folosită imediat, iar ecuația celeilalte drepte determină ordonata, dacă situația admite un punct comun.

Pentru ecuații în forma generală, reducerea poate evita fracțiile intermediare. Înmulțim o ecuație cu un număr nenul, astfel încât coeficienții unei necunoscute să devină opuși, apoi adunăm. Păstrăm și una dintre ecuațiile inițiale: noua relație obținută nu descrie singură întregul sistem.

Prin substituție, reducere sau o combinație a lor, scopul este același: găsirea perechilor care verifică ambele relații. O metodă mai scurtă nu schimbă mulțimea soluțiilor dacă transformările sunt echivalente. Nu împărțim la o expresie care ar putea fi zero fără să analizăm condiția respectivă.

Coordonatele pot fi negative, fracționare sau nule. Niciuna dintre aceste forme nu face un punct invalid în planul real. Respingerea unui rezultat trebuie să provină dintr-o ecuație neverificată sau dintr-o restricție explicită a problemei, nu din faptul că punctul nu cade într-un nod al caroiajului.

În redactare, deosebește operația efectuată de concluzia pe care o obții. Poți scrie că aduni prima ecuație cu un multiplu al celei de-a doua, apoi arăți relația rezultată. Nu este necesar să rescrii fiecare rând al sistemului, dar cititorul trebuie să poată urmări transformarea. Dacă ai aflat o coordonată printr-o relație obținută, revino la o ecuație inițială pentru cealaltă. Acest pas păstrează toate condițiile problemei și împiedică acceptarea unor perechi arbitrare.

De ce trebuie păstrată o ecuație atunci când adunăm? Orice soluție a celor două ecuații verifică și suma lor. Reciproc, dacă o pereche verifică suma și una dintre ecuațiile inițiale, prin scădere o recuperezi și pe cealaltă. Așadar cele două condiții rămân echivalente cu sistemul inițial. Suma luată singură poate admite puncte suplimentare, deoarece este numai o condiție asupra a două coordonate. Această justificare explică mecanismul reducerii fără o formulă nouă de memorat. Ea arată și de ce o relație numerică obținută la eliminare trebuie interpretată împreună cu informația păstrată, mai ales în cazul dreptelor coincidente.

3. Cum interpretăm cele trei situații geometrice?

Pentru două drepte secante, sistemul are exact o soluție, iar aceasta oferă coordonatele punctului comun. Cuvântul „secante” descrie drepte distincte care se întâlnesc. Un desen poate sugera punctul, dar ecuațiile îi stabilesc coordonatele exacte și justifică unicitatea.

Pentru două drepte paralele distincte, sistemul nu are soluții. Într-un calcul prin reducere poate apărea o egalitate imposibilă între numere. Aceasta înseamnă că nicio pereche de coordonate nu poate satisface simultan condițiile inițiale. Nu este nevoie să continuăm cu o împărțire imposibilă.

Pentru două drepte coincidente, ecuațiile descriu aceeași mulțime de puncte. Există infinit de multe soluții, toate pe dreapta comună. Prin reducere poate apărea identitatea $0 = 0$ , dar păstrăm ecuația care descrie dreapta: identitatea nu transformă intersecția în întregul plan.

Aceste trei cazuri se aplică numai după ce știm că fiecare ecuație definește o dreaptă. În forma $a x + b y = c$ , coeficienții $a$ și $b$ nu pot fi simultan nuli. Dacă amândoi sunt zero, relația este fie imposibilă, fie adevărată pentru toate punctele, fără să descrie o dreaptă.

O ecuație poate fi înmulțită cu orice constantă nenulă fără să schimbe dreapta. Astfel, ecuații cu coeficienți diferiți la prima vedere pot reprezenta același obiect geometric. În schimb, înmulțirea cu zero distruge informația; ea nu este o transformare echivalentă a unei ecuații de dreaptă.

Este util să distingi și mulțimea vidă de punctul origine. Lipsa unei soluții nu se notează prin coordonate nule: originea este un punct precis, care poate satisface sau nu ecuațiile. Dacă sistemul o admite, intersecția conține acel punct. Dacă sistemul este incompatibil, intersecția nu conține niciun punct. Aceste răspunsuri au sensuri geometrice diferite, chiar dacă în limbajul grăbit al elevului ambele ar putea fi descrise incorect prin cuvântul „zero”.

4. Ce rol au pantele și verticalele?

Pentru două drepte neverticale, pantele diferite garantează o intersecție unică. Pantele egale cer încă o comparație: ordonatele la origine diferite dau paralele distincte, iar ordonatele la origine egale dau aceeași dreaptă. Egalitatea pantelor singură nu decide între ultimele două situații.

O verticală și o dreaptă neverticală au exact un punct comun. Prima fixează abscisa; a doua stabilește ordonata la acea abscisă. Două verticale cu abscise constante diferite sunt paralele distincte. Două verticale cu aceeași abscisă constantă coincid, indiferent cum sunt scrise ecuațiile lor echivalente.

Nu este obligatoriu să citești pantele pentru a rezolva fiecare problemă. Sistemul păstrează un limbaj comun pentru formele generale, verticale și orizontale. Folosește pantele când simplifică interpretarea, fără să introduci împărțiri inutile într-o configurație deja ușor de citit.

Dacă primești două desene realizate în repere diferite, nu compara direct coordonatele punctelor marcate. Pentru un sistem comun, ecuațiile trebuie să descrie pozițiile în același reper. În problemele acestei pagini, această convenție este implicită: axele și originea sunt comune. O schimbare de reper aplicată numai uneia dintre ecuații, fără transformarea celeilalte, ar amesteca două descrieri diferite. Într-o aplicație, verificarea convenției poate preceda orice calcul al intersecției.

La această lecție nu reluăm construcția ecuației prin două puncte și nici inventarul intersecțiilor unei singure drepte cu axele. Folosim aceste rezultate ca instrumente. Întrebarea centrală este ce poziții satisfac două condiții de dreaptă și ce concluzie geometrică rezultă din calcul.

5. De ce verificăm domeniul unui model?

Într-un grafic al unui experiment, abscisa poate reprezenta timpul, iar ordonata o temperatură sau o altă mărime măsurată. Două legi liniare pot fi oferite numai pentru un interval precizat. Intersecția dreptelor complete este atunci un candidat, care trebuie comparat cu domeniul de valabilitate.

Dacă abscisa calculată cade în afara intervalului comun admis, nu avem un moment de egalitate justificat de model. Putem spune unde s-ar intersecta prelungirile matematice, dar nu putem afirma că experimentul va atinge sigur acea valoare. Enunțul nu oferă o lege în afara intervalului.

Dacă domeniile celor două modele diferă, căutăm mai întâi intervalul în care ambele sunt valabile. Un moment admis de primul model și exclus de al doilea nu poate susține o comparație simultană. Capetele intervalelor se includ numai atunci când enunțul le include.

Unitățile se păstrează în concluzie: abscisa poate fi un număr de minute, iar ordonata un număr de grade Celsius. Un asemenea punct de grafic nu este o poziție exprimată în metri. Intersecția are aici sensul egalității a două valori la același moment, nu al întâlnirii a două obiecte în spațiu.

O restricție practică poate privi și ordonata. De exemplu, dacă ea exprimă o cantitate disponibilă, trebuie să respecte limita impusă de enunț. Chiar dacă abscisa calculată este admisă, o cantitate negativă nu devine fizic acceptabilă. Nu adăugăm însă restricții inexistente unui exercițiu abstract: în planul cartezian, ordonatele negative sunt firești. Contextul stabilește dacă o coordonată reprezintă o poziție semnată, o temperatură sau o cantitate care trebuie să fie nenegativă.

6. Ce poate și ce nu poate arăta desenul?

Un desen corect sprijină interpretarea și controlul semnelor. Totuși, o fereastră de afișare cuprinde numai o parte a planului. Dacă două linii nu se întâlnesc în dreptunghiul vizibil, nu rezultă că dreptele complete sunt paralele. Punctul comun poate fi dincolo de marginile imaginii.

Pe un desen mic, drepte cu pante apropiate pot părea paralele. Coordonatele calculate rezolvă ambiguitatea. Similar, două linii suprapuse vizual nu sunt neapărat coincidente; grosimea trasării poate ascunde diferențe. Pentru date exacte, verdictul se bazează pe relațiile algebrice echivalente.

Dacă liniile reprezintă trasee spațiale, un punct comun arată un loc care aparține ambelor trasee. El nu arată automat că două corpuri se află acolo în același moment. Pentru o întâlnire fizică sunt necesare și informații despre mișcare sau despre momentele de trecere.

Precizarea întrebării previne astfel două confuzii diferite: loc comun versus timp comun și dreaptă completă versus porțiune admisă. Calculul sistemului este o parte a rezolvării. Interpretarea rezultatelor în limbajul enunțului închide argumentul și stabilește exact ce ai demonstrat.

Pentru controlul final, citește răspunsul fără calculele intermediare și întreabă-te dacă el spune suficient. O pereche de numere trebuie asociată punctului comun; o lipsă de soluții trebuie explicată prin poziția dreptelor sau prin restricția care o produce. Dacă dreptele coincid, precizează ecuația mulțimii comune. Această formulare face diferența dintre o operație corectă izolată și rezolvarea completă a întrebării. Ea ajută și la găsirea unei neconcordanțe între rezultatul numeric și desenul orientativ.

7. Când sunt două drepte perpendiculare?

Perpendicularitatea privește numai direcțiile. Dacă deplasăm o dreaptă paralel cu ea însăși, unghiul pe care îl face cu altă dreaptă nu se schimbă, așa că putem compara direcțiile prin origine. Pentru o dreaptă neverticală de pantă $m$ , paralela ei prin origine conține punctul $A (1, m)$ , iar triunghiul cu vârfurile $O$ , $(1, 0)$ și $A$ are catetele $1$ și $∣ m ∣$ .

Rotim acest triunghi cu un unghi drept în jurul originii. Cateta orizontală devine verticală și invers, iar punctul $A (1, m)$ ajunge în $B (- m, 1)$ . Dreapta $O B$ este perpendiculară pe $O A$ , iar pentru $m \neq = 0$ panta ei este $1/ (- m) = - 1/ m$ . Prin origine trece o singură perpendiculară pe o direcție dată, deci o dreaptă neverticală este perpendiculară pe cea de pantă $m$ exact când are panta $- 1/ m$ . Pentru două drepte neverticale, de pante $m_{1}$ și $m_{2}$ :

$d_{1} ⊥ d_{2} ⟺ m_{1} m_{2} = - 1.$

De exemplu, $y = 5 x + 3$ și $y = - x /5 + 1$ sunt perpendiculare, fiindcă $5 \cdot (- 1/5) = - 1$ . Egalitatea funcționează în ambele sensuri: dacă produsul pantelor nu este $- 1$ , dreptele nu sunt perpendiculare.

Condiția nu acoperă verticalele, care nu au pantă. Rotind o orizontală, pentru care $m = 0$ , obținem o verticală: orice orizontală este perpendiculară pe orice verticală, iar o verticală nu este perpendiculară pe nicio oblică. Pentru paralelism criteriul rămâne cel din subsecțiunea a patra, pante egale și ordonate la origine diferite. Demonstrația vectorială a aceleiași condiții apare în lecția de supliment despre perpendicularitatea cu produsul scalar.

Într-o problemă de intersecție, perpendicularitatea se folosește în doi pași: din panta dreptei date afli panta perpendicularei, apoi scrii perpendiculara printr-un punct și rezolvi sistemul. Punctul comun obținut astfel este piciorul perpendicularei, iar lungimea segmentului până la el este distanța de la punct la dreaptă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verifică un punct propus

Se propune $P (3; 4)$ ca punct comun al dreptelor $y = 2 x - 2$ și $y = - 3 x + 13$ . Verifică propunerea și explică de ce punctul este unic.

Rezolvare. În prima ecuație, ordonata cerută este $2 \cdot 3 - 2 = 4$ . În a doua, obținem $- 3 \cdot 3 + 13 = 4$ . Ambele coincid cu ordonata punctului propus, deci el aparține ambelor drepte.

Pantele sunt diferite, astfel încât dreptele sunt distincte și secante. Prin urmare, punctul verificat este singurul punct comun. Am putut rezolva cerința fără să repetăm calculul complet al sistemului, deoarece enunțul oferea deja un candidat exact.

Exemplul 2 — Găsește greșeala din reducere

Un elev rezolvă sistemul $5 x + 2 y = 6$ , $3 x - 2 y = 10$ scăzând a doua ecuație din prima și obține $2 x = - 4$ . Găsește greșeala și determină punctul comun.

Rezolvare. Prin scădere, termenii cu ordonata nu se reduc: $2 y - (- 2 y) = 4 y$ . Diferența corectă este $2 x + 4 y = - 4$ , deci elevul a pierdut termenul $4 y$ . Coeficienții ordonatei sunt opuși, așa că metoda potrivită este adunarea: $8 x = 16$ , de unde $x = 2$ .

Din prima ecuație, $10 + 2 y = 6$ , deci $y = - 2$ . Punctul comun este $P (2; - 2)$ . Verificăm în a doua ecuație: $3 \cdot 2 - 2 \cdot (- 2) = 10$ . Înainte să aduni sau să scazi, compară semnele coeficienților pe care vrei să îi elimini.

Exemplul 3 — Două drepte care par paralele într-o fereastră

Un program desenează dreptele $d_{1} : y = - 2 x /5 + 4$ și $d_{2} : y = - x /2 + 5$ numai pentru $0 \leq x \leq 6$ . În fereastră ele nu se întâlnesc și par paralele. Sunt paralele?

Rezolvare. Pantele sunt $- 2/5$ și $- 1/2$ , diferite, deci dreptele sunt secante. Egalăm ordonatele: $- 2 x /5 + 4 = - x /2 + 5$ , adică $x /10 = 1$ , deci $x = 10$ . Ordonata este $- 4 + 4 = 0$ , iar punctul comun este $P (10; 0)$ , pe axa $O x$ .

Controlul în a doua ecuație: $- 10/2 + 5 = 0$ . Punctul se află la dreapta ferestrei, unde $x \leq 6$ . Distanța verticală dintre linii scade de la $1$ (la $x = 0$ ) la $0, 4$ (la $x = 6$ ): dreptele se apropie, iar calculul arată unde se întâlnesc.

Exemplul 4 — O familie de drepte printr-un punct fix

Discută, după numărul real $k$ , intersecția dreptelor $x - 4 y = 8$ și $3 x + k y = 24$ .

Rezolvare. Din prima ecuație, $x = 4 y + 8$ . Înlocuim în a doua: $12 y + 24 + k y = 24$ , adică $(k + 12) y = 0$ . Dacă $k \neq = - 12$ , rezultă $y = 0$ și $x = 8$ : dreptele sunt secante, cu punctul comun $P (8; 0)$ , același pentru toate aceste valori.

Dacă $k = - 12$ , relația devine $0 = 0$ . A doua ecuație, $3 x - 12 y = 24$ , este de trei ori prima, deci dreptele coincid, iar intersecția este dreapta $x - 4 y = 8$ , nu întregul plan: punctul $Q (4; - 1)$ îi aparține, originea nu. Nicio valoare a lui $k$ nu produce paralele distincte, fiindcă toate dreptele familiei trec prin punctul $(8; 0)$ .

Exemplul 5 — Cel mai scurt drum până la un canal

Pe harta unei zone umede, un canal rectiliniu urmează dreapta $d : 3 x - y - 13 = 0$ , iar o stație de prelevare a apei se află în $S (- 1; 4)$ . O unitate a hărții reprezintă $100$ m. Cea mai scurtă conductă de la stație la canal este perpendiculară pe canal. Află punctul în care conducta întâlnește canalul și lungimea ei.

Rezolvare. Canalul are panta $3$ , deci conducta are panta $- 1/3$ . Dreapta ei prin $S$ este $y - 4 = - (x + 1) /3$ , adică $x + 3 y - 11 = 0$ . Din $y = 3 x - 13$ , a doua ecuație devine $x + 9 x - 39 - 11 = 0$ , deci $x = 5$ și $y = 2$ : punctul comun este $F (5; 2)$ .

Verificăm: $15 - 2 - 13 = 0$ și $5 + 6 - 11 = 0$ . Lungimea conductei este $S F = 6^{2} + 2^{2} = 40 = 210$ unități, adică aproximativ $632$ m. Intersecția a două drepte perpendiculare dă aici piciorul perpendicularei, punctul canalului cel mai apropiat de stație.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră dreptele $d_{1} : 3 x + y - 7 = 0$ și $d_{2} : x - 3 y + 1 = 0$ . Determină coordonatele punctului lor de intersecție și arată că dreptele sunt perpendiculare.

Rezolvare. Din $d_{2}$ , $x = 3 y - 1$ . Înlocuim în $d_{1}$ : $9 y - 3 + y - 7 = 0$ , deci $y = 1$ și $x = 2$ . Punctul comun este $P (2; 1)$ ; controlul dă $6 + 1 - 7 = 0$ și $2 - 3 + 1 = 0$ .

Pantele sunt $- 3$ pentru $d_{1}$ și $1/3$ pentru $d_{2}$ , iar produsul lor este $- 3 \cdot 1/3 = - 1$ , deci $d_{1} ⊥ d_{2}$ . Cerința leagă două condiții din programa de geometrie analitică, punctul comun și perpendicularitatea; enunțul este un antrenament propriu, nu un subiect oficial.

Să exersăm

1. Determină punctul comun al dreptelor $y = x + 5$ și $y = - 2 x + 2$ .

2. Află intersecția dreptelor $y = 4 x - 7$ și $y = x + 2$ .

3. Rezolvă geometric perechea de ecuații $3 x + y = 17$ și $x - y = 3$ : precizează punctul comun.

4. Folosește reducerea pentru dreptele $3 x - 2 y = 4$ și $2 x + 2 y = 6$ .

5. Precizează poziția relativă a dreptelor $y = 4 x - 3$ și $y = 4 x + 6$ .

6. Câte puncte comune au dreptele $2 x - 3 y = 7$ și $4 x - 6 y = 14$ ? Descrie mulțimea lor.

7. Determină intersecția dreptelor $x = - 4$ și $y = 3$ .

8. Află punctul comun al dreptelor $x = 2$ și $3 x + y = 1$ .

9. Calculează intersecția dreptelor $y = - 2$ și $x - 3 y = 11$ .

10. Analizează dreptele $x = 5$ și $x = 8$ , fără să le atribui pante reale.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dreptele $y = 3 x /5 - 2$ și $5 x + 3 y = 6$ sunt perpendiculare.

12. Cineva numește $0 x + 0 y = 3$ și $2 x + y = 5$ „două drepte”. Explică de ce clasificarea în trei poziții relative ale dreptelor nu poate fi aplicată acestei descrieri.

13. Două modele liniare sunt date pe domenii diferite: $y = - x + 10$ pentru $0 \leq x \leq 5$ și $y = x + 2$ pentru $3 \leq x \leq 8$ . Află intervalul comun de valabilitate și decide dacă modelele au o valoare comună în el.

14. (Problemă aplicată.) Două trasee spațiale sunt pe dreptele $y = x$ și $y = - x + 8$ . Primul corp trece prin locul comun la $2$ secunde, iar al doilea la $3$ secunde, fiecare o singură dată. Află locul comun și decide dacă există o întâlnire acolo.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează intersecția dreptelor $y = 3 x + 4$ și $y = - x + 1$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Află punctul comun al dreptelor $x + 2 y = 3$ și $3 x - 2 y = 9$ și precizează dacă se află pe o axă.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină intersecția dreptelor $4 x - y = 5$ și $x + y = 5$ , verificând rezultatul în ambele ecuații.

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $m$ pentru care dreapta $y = m x + 4$ este perpendiculară pe dreapta $x + 4 y + 18 = 0$ și află punctul lor comun.

Răspunsuri și explicații

1. Punctul comun este $P (- 1; 4)$ . Egalarea expresiilor ordonatei dă $3 x = - 3$ , iar controlul oferă $- 1 + 5 = 4$ și $- 2 \cdot (- 1) + 2 = 4$ .

2. Intersecția este $P (3; 5)$ . Din egalare rezultă $3 x = 9$ ; verificăm $4 \cdot 3 - 7 = 5$ și $3 + 2 = 5$ .

3. Punctul este $P (5; 2)$ . Adunarea ecuațiilor dă $4 x = 20$ , apoi ordonata este doi. Controlul: $3 \cdot 5 + 2 = 17$ și $5 - 2 = 3$ .

4. Obținem $P (2; 1)$ . Reducerea produce $5 x = 10$ , iar a doua ecuație determină ordonata. Avem $3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4$ și $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 6$ .

5. Sunt paralele distincte: pantele coincid, iar ordonatele la origine diferă. Egalarea ar impune egalitatea a două constante diferite, deci nu există punct comun.

6. Sunt coincidente, cu infinit de multe puncte comune. A doua ecuație este dublul primei; mulțimea intersecției este dreapta $2 x - 3 y = 7$ .

7. Punctul este $P (- 4; 3)$ . Verticala fixează abscisa, iar orizontala fixează ordonata, fără niciun calcul cu panta verticalei.

8. Intersecția este $P (2; - 5)$ . După înlocuirea abscisei, controlul este $3 \cdot 2 - 5 = 1$ .

9. Punctul comun este $P (5; - 2)$ . Ordonata este fixată de prima dreaptă; verificăm $5 - 3 \cdot (- 2) = 11$ în cealaltă.

10. Sunt paralele distincte. Nicio abscisă nu poate avea simultan cele două valori diferite; fiecare ecuație descrie o verticală.

11. Adevărat. A doua ecuație se scrie $y = - 5 x /3 + 2$ , deci pantele sunt $3/5$ și $- 5/3$ , iar produsul lor este $3/5 \cdot (- 5/3) = - 1$ .

12. Prima relație nu definește o dreaptă: ambii coeficienți ai coordonatelor sunt nuli, iar egalitatea numerică rămasă este imposibilă. Nu avem două drepte de clasificat.

13. Intervalul comun este $[3, 5]$ . Dreptele complete se întâlnesc în $P (4; 6)$ , deoarece $- 4 + 10 = 6$ și $4 + 2 = 6$ . Abscisa patru aparține intervalului comun, deci modelele au aceeași valoare, șase, la $x = 4$ .

14. Locul comun este $P (4; 4)$ , deoarece $- 4 + 8 = 4$ . Nu există o întâlnire acolo: momentele de trecere sunt diferite și enunțul exclude revenirea corpurilor în acel loc.

15. Rezultatul este $P (- \frac{3}{4}; \frac{7}{4})$ . Prin egalare aflăm $4 x = - 3$ ; verificăm $3 \cdot (- \frac{3}{4}) + 4 = \frac{7}{4}$ și $- (- \frac{3}{4}) + 1 = \frac{7}{4}$ . Coordonatele fracționare se păstrează exact.

16. Punctul comun este $P (3; 0)$ , pe axa absciselor. Controlul dă $3 + 2 \cdot 0 = 3$ și $3 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 9$ .

17. Intersecția este $P (2; 3)$ . Adunând ecuațiile obținem $5 x = 10$ , iar controlul dă $4 \cdot 2 - 3 = 5$ și $2 + 3 = 5$ .

18. Dreapta dată are panta $- 1/4$ , deci condiția $m \cdot (- 1/4) = - 1$ dă $m = 4$ . Sistemul format din $y = 4 x + 4$ și $x + 4 y + 18 = 0$ conduce la $17 x + 34 = 0$ , adică $x = - 2$ , și $y = - 4$ : punctul comun este $P (- 2; - 4)$ . Controlul: $- 2 - 16 + 18 = 0$ .

De reținut

Punctul comun satisface simultan ambele ecuații; intersecția poate fi un punct, mulțimea vidă sau întreaga dreaptă comună.
Identitatea obținută prin eliminare nu șterge ecuația rămasă.
O ecuație liniară reprezintă o dreaptă numai dacă cel puțin un coeficient al coordonatelor este nenul.
Două drepte neverticale sunt paralele când au aceeași pantă și ordonate la origine diferite și perpendiculare când produsul pantelor este $- 1$ ; orice orizontală este perpendiculară pe orice verticală.
Interpretarea unui model cere controlul domeniului și al unităților.

Greșeli frecvente

Consideri tot planul soluție după o identitate. Păstrează ecuația inițială care descrie dreapta comună; numai punctele ei sunt soluții.
Extinzi modelul dincolo de intervalul oferit. O intersecție a prelungirilor nu garantează egalitatea în experimentul descris.
Confuzi locul comun al traseelor cu întâlnirea corpurilor. Pentru întâlnire trebuie ca trecerile prin acel loc să fie simultane.
Declari paralele două drepte care nu se întâlnesc în imagine. Fereastra desenului este limitată; verifică ecuațiile dreptelor complete.
Aplici produsul pantelor unei verticale. O verticală nu are pantă; o recunoști după abscisa fixă și știi că este perpendiculară numai pe orizontale.

Aplică acasă

Desenează două drepte secante, apoi acoperă regiunea care conține punctul comun. Explică de ce imaginea rămasă nu este suficientă pentru a afirma paralelismul și arată ce informație păstrează ecuațiile.
Pe o foaie cu pătrățele, desenează o dreaptă care urcă $2$ pătrățele la fiecare $3$ spre dreapta. Rotește această „treaptă” cu un sfert de tură, $2$ pătrățele spre stânga și $3$ în sus, apoi trasează a doua dreaptă. Verifică unghiul drept cu echerul și calculează produsul pantelor.
Marchează două trasee care se intersectează pe o foaie și deplasează două jetoane prin locul comun la momente diferite. Scrie separat concluzia despre geometrie și concluzia despre simultaneitatea trecerii.

Pentru părinți și profesori

Evaluarea trebuie să urmărească legătura dintre soluția sistemului și concluzia geometrică. Solicitați perechea completă de coordonate și interpretarea cazului, apoi adăugați o restricție de domeniu pentru a vedea dacă elevul o verifică. Exemplele cu identitate și cu momente distincte de trecere urmăresc sensul răspunsului, fără calcule avansate sau sisteme cu mai multe necunoscute. La perpendicularitate, cereți produsul pantelor scris explicit și tratarea separată a perechii orizontală–verticală.

Programa și examenul. Programa OMEC 6930/2025, anexa 28, aplicată clasei a IX-a de științe ale naturii din 2026–2027, cere la competența IX.CS.5.5 analizarea pozițiilor relative a două drepte și „utilizarea condițiilor de perpendicularitate și paralelism a două drepte”; de aceea condiția $m_{1} m_{2} = - 1$ face parte din această lecție. Pentru MAT_P2 din 2030, tema intră în domeniul „Geometrie. Trigonometrie”. La Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, programa de examen din 2014 cere, la geometria de clasa a X-a, „condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan”; pe acest rând se sprijină marcajele exercițiilor. Modelul oficial M_șt-nat 2026 cere la Subiectul I mijlocul unui segment; exercițiile marcate de aici sunt antrenamente proprii, fără atribuire oficială.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: intersecția a două drepte are altă organizare. Lecția M2 pune accent pe sensul mulțimii soluțiilor și pe limitele interpretării practice. Mai departe, ecuația cercului la M2 introduce un alt tip de loc geometric, care nu este o dreaptă.

Întrebări frecvente

Ce urmărește această lecție M2 în plus față de simpla rezolvare a sistemului din M1?

Urmărește să explici ce reprezintă soluțiile și ce condiții le fac admisibile. Lucrăm cu ecuații care definesc efectiv drepte, păstrăm relația rămasă după o identitate și verificăm intervalele modelelor. Datele și aplicațiile sunt construite pentru parcursul M2. Lecția este completă și nu cere consultarea versiunii M1 pentru rezolvarea exercițiilor.

Cum folosesc această metodă la Subiectul I, Bacalaureatul M2?

Scrie condițiile simultane, rezolvă sistemul și precizează punctul comun sau poziția relativă cerută. Geometria analitică este inclusă în programa M_șt-nat 2027–2029 și în domeniul „Geometrie. Trigonometrie” pentru MAT_P2 din 2030. O redactare exactă este utilă în antrenament, dar această lecție nu stabilește ce cerință va apărea într-o variantă viitoare.

O intersecție în afara intervalului modelului prezice ce se va întâmpla mai târziu?

Nu fără o ipoteză suplimentară despre continuarea modelului. Ea descrie intersecția prelungirilor matematice ale dreptelor, pe când enunțul garantează formulele numai în intervalul precizat. Răspunsul trebuie să distingă rezultatul algebric de concluzia justificată despre experiment. Dacă intervalul comun nu conține momentul calculat, egalitatea nu este demonstrată pentru perioada studiată.

De ce o identitate nu face orice punct al planului soluție?

Identitatea rezultă din combinarea a două condiții dependente. În sistem rămâne o ecuație care descrie dreapta comună și restrânge coordonatele admise. Punctele de pe ea verifică ambele ecuații inițiale, iar cele din afara ei nu le verifică. De aceea există infinit de multe soluții, dar ele nu umplu întregul plan.

Două trasee cu un punct comun implică o ciocnire?

Nu. Intersecția traseelor oferă un loc comun posibil, fără să precizeze când ajunge fiecare corp acolo. O ciocnire în acel loc cere prezență simultană și condiții fizice compatibile. Dacă enunțul indică momente diferite și exclude revenirile, putem respinge întâlnirea acolo, chiar dacă dreptele traseelor se intersectează geometric.

Cum recunosc perpendicularitatea când una dintre drepte este verticală?

O verticală nu are pantă, deci produsul $m_{1} m_{2}$ nu se poate forma. Ea este perpendiculară pe orice orizontală și pe nicio altă dreaptă, fiindcă rotirea unei direcții verticale cu un unghi drept dă o direcție orizontală. Așadar, dacă o dreaptă are ecuația $x = a$ , verifică dacă cealaltă are forma $y = b$ ; nu inventa o pantă „infinită” pentru calcul.