Pentru ce m nu intersectează axa Ox parabola y=x²-2x+m?

Condiția este discriminant negativ: 4-4m 1. De exemplu, pentru m=2 funcția este (x-1)²+1≥1 și nu se anulează. Pentru m=1 parabola atinge axa în (1,0), iar pentru m<1 o taie în două puncte.

Când este parabola tangentă la axa Ox?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Intersecțiile parabolei cu axele

Parabola atinge axa $O x$ într-un singur punct când vârful stă chiar pe axă, adică discriminantul este zero și funcția se scrie $a (x - h)^{2}$ . Exemplu: $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ atinge axa doar în $(3, 0)$ și nu o traversează. Cu parametru: $x^{2} + 4 x + m$ este tangentă la $O x$ când $16 - 4 m = 0$ , deci $m = 4$ , iar atunci funcția devine $(x + 2)^{2}$ .

Un punct de pe axa verticală are abscisa zero, deci graficul o întâlnește în $(0, f (0))$ , dacă zero aparține domeniului. Pentru $a x^{2} + b x + c$ , acea ordonată este chiar $c$ . Pe axa orizontală ordonata este zero: căutăm intrările admise în care funcția se anulează, numite zerouri, și le transformăm apoi în puncte $(x, 0)$ .

Forma de produs arată zerourile imediat, fiindcă un produs se anulează când unul dintre factori este nul. Forma cu un pătrat, $a (x - h)^{2} + k$ , reduce totul la întrebarea dacă un pătrat poate fi egal cu un anumit număr: pentru un număr negativ nu există zerouri, pentru zero parabola atinge axa în vârf, iar pentru unul pozitiv apar două zerouri simetrice față de $h$ .

Când numeri punctele comune cu axele, originea se socotește o singură dată, chiar dacă aparține ambelor liste. Pe un domeniu restrâns, o rădăcină poate cădea în afara intervalului sau pe un capăt exclus, iar atunci punctul lipsește din răspuns. Radicalii se păstrează în forma exactă; zecimala rotunjită servește doar la confruntarea cu desenul.

De reținut

intersecția cu $O y$ este $(0, f (0)) = (0, c)$ , dacă $0$ e în domeniu
$Δ > 0$ : două puncte pe $O x$ ; $Δ = 0$ : un punct, vârful; $Δ < 0$ : niciunul
originea se numără o singură dată

Greșeala tipică

Se crede că o parabolă tangentă la $O x$ schimbă semnul în punctul de contact; de fapt ea rămâne de aceeași parte a axei, iar semnul se păstrează.

Exerciții din această mini-lecție

Intersecția graficului funcției $f (x) = 3 x^{2} - 5 x - 7$ cu axa $O y$ este punctul:
- a) $(- 7, 0)$
- b) $(0, 3)$
- c) $(0, - 5)$
- d) $(0, - 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(0, - 7)$

Pe axa $O y$ abscisa este zero, iar $f (0) = - 7$ . Punctul este $(0, - 7)$ .
Zerourile funcției $f (x) = - 2 (x - 3) (x + 6)$ sunt:
- a) $3$ și $- 6$
- b) $- 3$ și $6$
- c) $- 2$ , $3$ și $- 6$
- d) $2$ și $- 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$ și $- 6$

Produsul se anulează când $x - 3 = 0$ sau $x + 6 = 0$ . Factorul $- 2$ nu se anulează și nu produce un zero.
Câte puncte distincte are graficul funcției $f (x) = \frac{1}{2} (x - 7)^{2}$ în comun cu cele două axe de coordonate?
- a) unul
- b) două
- c) trei
- d) niciunul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) două

Parabola atinge axa $O x$ numai în $(7, 0)$ , iar pe axa $O y$ avem $(0, \frac{49}{2})$ . Punctele sunt diferite, deci sunt două.

Întrebări conexe

Câte puncte comune cu axele are parabola $y = x^{2} - 4 x$ ?

Zerourile sunt $0$ și $4$ , iar intersecția cu axa $O y$ este $(0, 0)$ . Originea apare în ambele liste, dar se numără o singură dată. Rămân două puncte distincte: $(0, 0)$ și $(4, 0)$ .

După cât timp atinge solul o minge cu $h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 15$ ?

Rezolvi $h (t) = 0$ : $- 5 (t^{2} - 2 t - 3) = - 5 (t - 3) (t + 1) = 0$ , cu soluțiile $t = 3$ și $t = - 1$ . Timpul negativ nu aparține modelului, deci mingea atinge solul după $3$ s. Punctul $(0, 15)$ de pe axa verticală arată înălțimea de lansare, $15$ m.

Pentru ce $m$ nu intersectează axa $O x$ parabola $y = x^{2} - 2 x + m$ ?

Condiția este discriminant negativ: $4 - 4 m < 0$ , adică $m > 1$ . De exemplu, pentru $m = 2$ funcția este $(x - 1)^{2} + 1 \geq 1$ și nu se anulează. Pentru $m = 1$ parabola atinge axa în $(1, 0)$ , iar pentru $m < 1$ o taie în două puncte.

Ce intersecții cu axele are $f : [0, 5] \to R$ , $f (x) = x^{2} - x - 12$ ?

Pe $R$ , zerourile ar fi $4$ și $- 3$ , fiindcă $x^{2} - x - 12 = (x - 4) (x + 3)$ . Pe $[0, 5]$ rămâne doar $(4, 0)$ . Pentru că $0$ aparține domeniului, graficul atinge axa verticală în $(0, - 12)$ . Domeniul decide care puncte intră în răspuns.

Cum citesc intersecția cu $O y$ din forma $(x - 2) (x + 5)$ ?

Pui $x = 0$ direct în produs: $(0 - 2) (0 + 5) = - 10$ , deci punctul este $(0, - 10)$ . Nu e nevoie să desfaci parantezele; dacă o faci, obții $x^{2} + 3 x - 10$ , cu termenul liber tot $- 10$ . Termenul liber este produsul celor două numere din paranteze, cu semnele lor.

Oamenii mai întreabă și: parabola tangentă la axa Ox · parabola atinge axa într-un punct · discriminant zero parabolă · când are parabola un singur punct pe Ox · rădăcină dublă și graficul

Când este parabola tangentă la axa Ox?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Câte puncte comune cu axele are parabola y=x2−4x?

După cât timp atinge solul o minge cu h(t)=−5t2+10t+15?

Pentru ce m nu intersectează axa Ox parabola y=x2−2x+m?

Ce intersecții cu axele are f:[0,5]→R, f(x)=x2−x−12?

Cum citesc intersecția cu Oy din forma (x−2)(x+5)?

Continuă cu

Câte puncte comune cu axele are parabola $y = x^{2} - 4 x$ ?

După cât timp atinge solul o minge cu $h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 15$ ?

Pentru ce $m$ nu intersectează axa $O x$ parabola $y = x^{2} - 2 x + m$ ?

Ce intersecții cu axele are $f : [0, 5] \to R$ , $f (x) = x^{2} - x - 12$ ?

Cum citesc intersecția cu $O y$ din forma $(x - 2) (x + 5)$ ?