Intersecțiile parabolei cu axele (M2, științe ale naturii)

Unde are funcția valoarea zero și ce valoare corespunde intrării zero? Cele două întrebări folosesc același număr, dar urmăresc puncte diferite ale graficului. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), citim intersecțiile parabolei cu axele, scriem coordonatele lor și verificăm dacă punctele observate sunt admise de domeniul funcției. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține intersecția graficului funcției de gradul al doilea cu axele și ecuația $f(x)=0$. Lectura grafică este centrală în programa nouă a clasei a IX-a. Calculul rădăcinilor oferă un control exact și explică de ce o imagine prea mică nu poate înlocui toate informațiile matematice.

Ce vei învăța

• Vei localiza punctele comune dintre o parabolă și fiecare axă de coordonate.
• Vei deosebi zerourile funcției de punctele corespunzătoare de pe grafic.
• Vei recunoaște pe desen traversarea axei, atingerea ei și lipsa intersecțiilor.
• Vei verifica prin substituție sau printr-o ecuație citirile făcute pe grafic.
• Vei număra punctele distincte fără să dublezi originea ori o rădăcină dublă.
• Vei păstra numai punctele compatibile cu domeniul declarat al funcției.

Hai să descoperim împreună

1. Cum citim cele două tipuri de intersecție?

Figura A reprezintă o funcție pătratică $f$ pe $\mathbb{R}$. Urmărește întâi axa orizontală și observă unde o întâlnește curba. Apoi urmărește axa verticală și citește nivelul punctului comun cu parabola. Punctele sunt pe gradații exacte.

Pe axa orizontală citim abscisele minus patru și doi. Punctele sunt $A(-4,0)$ și $B(2,0)$. Pe axa verticală citim ordonata minus patru, deci punctul este $C(0,-4)$. Fiecare răspuns precizează două coordonate, chiar dacă una dintre ele este zero.

Un zero al funcției este o intrare la care imaginea este nulă. În figura A, zerourile sunt numerele minus patru și doi; punctele de intersecție cu axa orizontală sunt perechile scrise mai sus. Nu folosim același tip de răspuns pentru o cerință despre numere și pentru una despre puncte.

Graficul ne permite să facem observația înaintea calculului. Dacă apoi primim formula $f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-2)$, ea confirmă că în cele două intrări unul dintre factori este zero. În zero, produsul dă minus patru, concordant cu intersecția verticală.

2. De ce intersecția cu axa verticală este simplă?

Un punct al axei verticale are abscisa zero. Prin urmare, dacă zero este admis în domeniu, punctul comun cu graficul este $(0,f(0))$. Pentru o funcție pătratică scrisă în forma $a{x}^2+bx+c$, valoarea respectivă este $c$.

Pe domeniul complet, există exact un astfel de punct. Unicitatea vine din faptul că unei intrări îi corespunde o singură imagine. Nu pot apărea două intersecții diferite cu axa verticală pentru graficul aceleiași funcții, indiferent cum sunt orientate ramurile.

Dacă domeniul nu conține zero, graficul restricției nu întâlnește axa verticală. Formula poate avea un termen constant și poate fi calculată formal în zero, dar acel număr nu este o intrare a funcției studiate. Condiția domeniului precedă afirmația despre intersecție.

Nu este obligatoriu ca punctul să se vadă în fereastra desenată. Un termen constant foarte mare sau foarte mic poate plasa intersecția în afara cadrului. În acel caz, mărim fereastra ori folosim formula; nu declarăm absența punctului numai fiindcă nu apare pe ecran.

3. Ce înseamnă intersecția cu axa orizontală?

Pe axa orizontală, ordonata este zero. Căutarea intersecțiilor se traduce prin ecuația $f(x)=0$, cu intrările limitate la domeniul dat. Fiecărei soluții admise îi corespunde punctul $(x,0)$.

Pentru o parabolă completă pot exista două puncte distincte, un singur punct sau niciun punct comun cu axa orizontală. Două puncte apar când curba traversează axa pe ambele ramuri. Un singur punct apare când vârful este pe axă: parabola o atinge acolo, fără să treacă dintr-o parte în cealaltă.

Lipsa intersecțiilor nu înseamnă lipsa graficului. O parabolă poate rămâne în întregime deasupra axei orizontale sau în întregime dedesubtul ei. Funcția are în continuare valori pentru toate intrările domeniului, doar că niciuna dintre acele valori nu este zero.

Când desenul este dat ca reprezentare a unei parabole complete, orientarea ramurilor și poziția vârfului permit această clasificare globală. O captură a unei porțiuni oarecare, fără vârf și fără alte date, poate ascunde intersecțiile. Separăm ceea ce arată cadrul de ceea ce știm despre curba completă.

Când citim pe grafic, traversarea și atingerea se deosebesc prin poziția curbei înainte și după punctul comun. La traversare, curba trece dintr-o parte a axei în cealaltă. La atingere, rămâne de aceeași parte în jurul vârfului. Nu este nevoie să desenăm o dreaptă suplimentară pentru a observa acest lucru. În schimb, dacă fereastra arată numai o parte a vecinătății punctului, interpretarea poate rămâne incompletă și trebuie sprijinită de formula sau de descrierea parabolei.

4. Cum controlăm prin algebră observația de pe desen?

Pentru o funcție de gradul al doilea, intersecțiile cu axa orizontală corespund soluțiilor ecuației $f(x)=0$ din domeniul dat. În această lecție folosim două scrieri care fac ecuația ușor de rezolvat și care se potrivesc cu ce vedem pe grafic: forma produs și forma cu un pătrat.

Dacă funcția este scrisă ca produs, $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$, produsul este zero exact atunci când unul dintre factori este zero. Zerourile se citesc direct: $r_1$ și $r_2$. Când cei doi factori coincid, ca în scrierea $a(x-r{)}^2$, există un singur zero, iar parabola atinge axa în vârf, fără să o traverseze.

Dacă funcția este scrisă ca $a(x-h{)}^2+k$, ecuația $f(x)=0$ cere ca pătratul $(x-h{)}^2$ să fie egal cu numărul $-k/a$. Un pătrat nu poate fi negativ, deci pentru un număr negativ nu există zerouri: vârful și ramurile rămân de aceeași parte a axei. Pentru zero, vârful este chiar pe axă. Pentru un număr pozitiv obținem două zerouri, la distanțe egale de $h$, de o parte și de alta a axei parabolei.

Metoda generală, care funcționează pentru orice coeficienți, se studiază separat și nu este necesară aici: graficele și scrierile date conduc direct la zerouri. Când o expresie apare dezvoltată, încercăm întâi un factor comun sau o descompunere cunoscută din clasa a VIII-a.

După găsirea unei rădăcini, înlocuirea ei în funcție trebuie să producă zero. Controlul este deosebit de util la fracții sau radicali. Dacă pe desen punctul pare apropiat de o gradație întreagă, calculul decide dacă apropierea este o egalitate exactă sau doar o impresie vizuală.

Ecuația pătratică nenulă nu poate avea trei rădăcini reale distincte. Dacă un desen sau un tabel pretinde trei intersecții diferite cu axa orizontală pentru aceeași parabolă, există o incompatibilitate în date. Verificăm că obiectul este într-adevăr o funcție de gradul al doilea și că punctele au fost citite corect. Nu alegem arbitrar două dintre cele trei pentru a ascunde problema. În același timp, trei puncte comune cu cele două axe împreună sunt posibile, fiindcă unul dintre ele poate fi intersecția verticală cu ordonată nenulă.

5. Cum numărăm corect punctele comune?

Un punct poate aparține ambelor axe numai dacă este originea. Dacă funcția se anulează în zero, originea este atât intersecție cu axa verticală, cât și una dintre intersecțiile cu axa orizontală. La enumerarea separată pe axe o putem menționa în ambele liste; la numărarea punctelor distincte o numărăm o singură dată.

De aceea, o parabolă completă poate avea trei puncte distincte comune cu reuniunea axelor, dar nu are întotdeauna trei. Numărul depinde de existența zerourilor și de eventuala lor coincidență cu intrarea zero. O parabolă tangentă axei orizontale în origine are un singur punct comun cu cele două axe luate împreună.

Termenul „rădăcină dublă” descrie o proprietate a ecuației, nu două locuri diferite în plan. Grafic, punctul de atingere este unul singur. Pentru cerințele de numărare, obiectul numărat trebuie precizat: rădăcini distincte, puncte distincte sau intersecții enumerate separat pe fiecare axă.

Simetria oferă un control suplimentar când există două zerouri distincte. Abscisa vârfului se află la mijlocul lor. Controlul folosește axa de simetrie a parabolei, dar nu înlocuiește verificarea fiecărei rădăcini în ecuație.

6. Ce schimbă domeniul și capetele lui?

Mai întâi identificăm intersecțiile parabolei complete sau rezolvăm ecuația asociată. Apoi păstrăm numai rădăcinile care sunt intrări admise. Dacă rădăcina coincide cu un capăt deschis al domeniului, punctul nu aparține graficului restrâns.

O restricție poate păstra doar una dintre două intersecții ale parabolei complete. În acest caz, existența unui singur punct comun pe domeniul restrâns nu dovedește tangența. Celălalt punct poate fi exclus, în timp ce curba traversează axa în punctul păstrat.

Pe un desen de restricție, cercul gol indică un punct exclus. Dacă el este așezat pe axa orizontală, apropierea curbei de acel punct nu îl transformă în intersecție. Punctele comune trebuie să aparțină efectiv ambelor mulțimi, nu doar să fie la marginea lor.

În aplicații, precizăm și semnificația nivelului zero. El poate reprezenta un nivel de referință, o diferență nulă sau o valoare fizică nulă. Nu deducem automat dintr-un zero al formulei că un fenomen începe sau se încheie acolo; interpretarea depinde de mărimile și intervalul declarate.

O intersecție este o apartenență simultană: punctul trebuie să fie pe axă și pe graficul admis. Cele două condiții se verifică separat când există restricții. Această formulare explică de ce un cerc gol aflat exact pe axă nu intră în răspuns și de ce o rădăcină corect calculată poate lipsi din lista finală. Nu este o excepție de la regulile ecuației; ecuația descrie zerourile expresiei, iar domeniul stabilește care dintre ele aparțin funcției din enunț.

7. Cum alegem o fereastră care nu ascunde răspunsul?

Dacă formula sau vârful sunt cunoscute, alegem cadrul astfel încât să se vadă axele și zona relevantă a parabolei. Pentru două intersecții, includem ambele ramuri până la întâlnirea lor cu axa orizontală. Pentru atingere, mărim zona vârfului dacă desenul inițial nu separă suficient curba de axă.

O linie groasă poate acoperi o distanță mică dintre curbă și axă. În această situație, desenul oferă o bănuială, iar datele exacte decid. Nici afirmația „pare să atingă”, nici afirmația „pare să nu atingă” nu se transformă într-un număr exact de soluții fără precizia necesară.

Într-o redactare completă, notează ce ai citit, ce ai verificat și pe ce domeniu ai păstrat soluțiile. Aceste trei informații pot încăpea în câteva rânduri. Ele fac răspunsul verificabil și evită confuzia dintre o imagine sugestivă și un rezultat matematic exact.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei puncte citite din aceeași curbă

Figura B reprezintă funcția pătratică $g$ pe $\mathbb{R}$. Identifică toate punctele comune cu axele și numără punctele distincte.

Rezolvare. Curba întâlnește axa orizontală la abscisele minus unu și șase, deci punctele sunt $(-1,0)$ și $(6,0)$. Pe axa verticală întâlnim nivelul trei, deci punctul este $(0,3)$. Cele trei perechi sunt diferite și avem trei puncte distincte.

Nu am numărat vârful, deoarece nu este pe niciuna dintre axe. Nici punctele auxiliare ale grilei nu fac parte din răspuns. Cerința privește exact punctele care aparțin simultan curbei și cel puțin uneia dintre axele indicate.

Exemplul 2 — Un punct de atingere

Figura C arată o parabolă pe $\mathbb{R}$. Citește intersecția cu axa orizontală și controleaz-o folosind $p(x)=\frac{1}{2}(x+1{)}^2$.

Rezolvare. Curba atinge axa la abscisa minus unu, fără să treacă sub ea. Punctul comun este $(-1,0)$. Pătratul din formulă se anulează exact când $x=-1$, iar factorul pozitiv din față nu schimbă rădăcina.

Vârful este chiar punctul de contact. Pe axa verticală avem separat $(0,1/2)$, astfel încât cele două axe luate împreună au două puncte distincte în comun cu parabola. Atingerea nu înseamnă că graficul coincide cu o bucată din axă.

Exemplul 3 — Curba există, dar nu are zerouri

Figura D reprezintă $q(x)=-\frac{1}{2}(x-2{)}^2-1$ pe $\mathbb{R}$. Decide dacă există intersecții cu axa orizontală și precizează intersecția verticală.

Rezolvare. Ramurile sunt în jos, iar vârful se află sub axa orizontală, la nivelul minus unu. Întreaga parabolă rămâne sub axă, deci nu există zerouri. Formula confirmă că termenul pătratic cu semn negativ nu poate ridica valoarea peste minus unu.

În zero obținem $q(0)=-2-1=-3$, deci intersecția verticală este $(0,-3)$. Absența zerourilor nu elimină această intersecție și nu restrânge domeniul funcției.

Exemplul 4 — O singură intersecție, fără tangență

Se dă $r:[0,7]\to \mathbb{R}$, $r(x)=2(x+3)(x-5)$. Determină intersecțiile graficului restrâns cu axele și explică de ce răspunsul nu descrie o tangență.

Rezolvare. Ecuația produsului nul dă intrările minus trei și cinci. Prima este exclusă de domeniu; a doua este admisă. Rămâne punctul $(5,0)$ pe axa orizontală. Deoarece zero este admis, avem și $(0,-30)$ pe axa verticală.

Parabola completă are două zerouri distincte. Unul singur a rămas fiindcă am restrâns domeniul, nu fiindcă rădăcinile ar coincide. Prin urmare, numărul punctelor de pe porțiunea admisă trebuie interpretat împreună cu domeniul.

Exemplul 5 — Originea nu se numără de două ori

Determină punctele distincte comune cu axele pentru $s(x)=x(2x-5)$, definită pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Zerourile sunt zero și $5/2$, deci intersecțiile orizontale sunt $(0,0)$ și $(5/2,0)$. Intersecția verticală este tot originea, deoarece $s(0)=0$. Mulțimea punctelor distincte conține numai cele două puncte deja enumerate.

O listă pe fiecare axă poate repeta originea pentru a arăta ambele apartenențe. Numărul final nu poate însă crește din cauza acestei repetări. Verificăm identitatea perechilor de coordonate, nu numărul de rânduri pe care le-am scris.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Determină punctele de intersecție cu axele ale graficului funcției $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=\frac{1}{3}(x-2{)}^2-2$. Pe o schiță mică, zerourile par apropiate de $-\frac{1}{2}$ și de $\frac{9}{2}$; compară citirea cu valorile exacte.

Rezolvare. Pe axa verticală, $u(0)=\frac{4}{3}-2=-\frac{2}{3}$, deci punctul este $(0,-\frac{2}{3})$. Pentru axa orizontală rezolvăm $\frac{1}{3}(x-2{)}^2=2$, adică $(x-2{)}^2=6$. Obținem $x=2-\sqrt{6}$ și $x=2+\sqrt{6}$, deci punctele $(2-\sqrt{6},0)$ și $(2+\sqrt{6},0)$.

Aproximativ, zerourile sunt $-0,45$ și $4,45$. Citirea de pe schiță indica zonele corecte, dar nu coordonatele exacte. Media celor două zerouri este doi, abscisa vârfului, iar acesta este un control geometric al rezultatului.

Păstrăm radicalul când cerința este exactă și folosim aproximațiile numai pentru confruntarea cu desenul. Faptul că un zero este aproape de o gradație nu justifică înlocuirea lui cu acea gradație.

Să exersăm

Exercițiile 1–4 folosesc figura E, graficul unei funcții pătratice $h$ pe $\mathbb{R}$. Gradațiile permit citiri exacte. În rest, funcțiile sunt definite pe $\mathbb{R}$, dacă nu este precizat un alt domeniu.

1. Citește zerourile lui $h$ și scrie punctele corespunzătoare de pe axa orizontală.

2. Citește intersecția graficului din figura E cu axa verticală și precizează valoarea lui $h(0)$.

3. Câte puncte distincte are curba din figura E în comun cu cele două axe? Explică dacă originea este inclusă în această numărare.

4. Folosește zerourile din figura E pentru a afla abscisa axei de simetrie. Controlează vizual poziția ei față de vârf.

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină intersecțiile cu axele pentru $f(x)=2x^2-6x-8$. Verifică rădăcinile prin substituție sau factorizare.

6. Pentru $g:(-5,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{5}(x+5{)}^2$, precizează toate punctele graficului aflate pe axele de coordonate.

7. Pentru $p:[-2,0)\to \mathbb{R}$, $p(x)=-3(x-1{)}^2-2$, determină punctele graficului aflate pe axele de coordonate.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină punctele de intersecție cu axele de coordonate ale graficului funcției $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $q(x)=\frac{1}{3}{x}^2-12$.

9. Se dă $u:[3,10]\to \mathbb{R}$, $u(x)=\frac{1}{3}(x-1)(x-9)$. Determină intersecțiile graficului său cu fiecare axă.

10. Se dă $v:(-4,0]\to \mathbb{R}$, $v(x)=-(x+4)(x-6)$. Explică de ce niciuna dintre rădăcinile expresiei nu produce o intersecție orizontală a graficului restrâns. Determină intersecția verticală.

11. O parabolă completă are ramurile în sus și vârful cu ordonata patru. Poate avea zerouri? Poți afla numai din aceste date intersecția verticală exactă?

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Graficul funcției $k(x)=2(3x-1{)}^2$ are exact două puncte comune cu reuniunea axelor de coordonate.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Verifică dacă $A(-3/2,0)$ și $B(1/2,0)$ sunt intersecțiile orizontale ale lui $r(x)=4x^2+4x-3$. Precizează și intersecția verticală.

14. Pentru $s:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $s(x)=x(4x+9)$, un elev enumeră două puncte pe axe: originea și $(-\frac{9}{4},0)$. Corectează lista.

15. (Problemă aplicată.) Într-un tub cu raza de $3$ mm, un lichid curge lent. Viteza lichidului depinde de poziția $x$ a punctului față de axa tubului, măsurată în milimetri de-a lungul unui diametru: $v(x)=\frac{1}{5}(9-x^2)$ cm/s, cu $-3\le x\le 3$. Determină punctele graficului aflate pe axele de coordonate și interpretează-le.

16. Pentru $w(x)=16(x-1{)}^2-9$, zerourile par pe o schiță mică să fie $0,25$ și $1,75$. Sunt acestea valorile exacte?

17. Pentru $z(x)=\frac{1}{4}(x-6{)}^2-4$, o captură arată numai intrările din $[-1,1]$. Poate acea captură să justifice singură afirmația că funcția nu are zerouri pe $\mathbb{R}$? Verifică prin formulă.

18. O funcție pătratică definită pe $\mathbb{R}$ are axa de simetrie $x=3$, un zero egal cu $-2$ și $f(0)=-4$. Scrie toate punctele comune ale graficului cu axele.

Răspunsuri și explicații

1. Zerourile sunt $-5$ și $1$, iar punctele sunt $(-5,0)$ și $(1,0)$. Numerele răspund primei cerințe, perechile de coordonate celei de-a doua.

2. Intersecția este $(0,-2)$, deci $h(0)=-2$. Punctul se află sub origine, dar aparține în continuare axei verticale.

3. Sunt trei puncte distincte. Originea nu se află pe curbă, deoarece valoarea în zero este minus doi, nu zero.

4. Axa este $x=-2$, media zerourilor $-5$ și $1$. Vârful din figură se află pe această verticală, la mijloc între cele două intersecții orizontale.

5. Factorizarea $2(x+1)(x-4)$ dă $(-1,0)$ și $(4,0)$. Intersecția verticală este $(0,-8)$. Fiecare factor se anulează în rădăcina corespunzătoare.

6. Parabola completă atinge axa orizontală în $(-5,0)$, dar minus cinci este capăt exclus, deci graficul restrâns nu are niciun punct pe această axă. Zero este admis și $g(0)=5$, așa că singurul punct aflat pe axe este $(0,5)$.

7. Nu există niciunul. Pe $[-2,0)$ funcția crește și rămâne sub minus cinci, deci nu are zerouri. Intrarea zero este capăt exclus: punctul $(0,-5)$ al parabolei complete apare pe desen ca un cerc gol și nu aparține graficului.

8. Pe axa verticală, $q(0)=-12$, deci punctul este $(0,-12)$. Pe axa orizontală, $\frac{1}{3}{x}^2=12$ dă $x^2=36$, deci $x=-6$ sau $x=6$, cu punctele $(-6,0)$ și $(6,0)$. Zerourile sunt opuse, fiindcă axa parabolei este chiar axa verticală.

9. Cu axa orizontală: numai $(9,0)$, deoarece unu este exclus. Cu axa verticală: nicio intersecție, deoarece zero nu aparține domeniului.

10. Minus patru este capăt exclus, iar șase este în afara intervalului. Nu există intersecții orizontale. Zero este admis și $v(0)=24$, deci intersecția verticală este $(0,24)$.

11. Nu are zerouri: punctul cel mai jos este deasupra axei. Intersecția verticală exactă nu rezultă numai din orientare și ordonata vârfului; poziția axei și forma curbei pot varia.

12. Adevărat. $k(x)=0$ numai când $3x-1=0$, adică pentru $x=\frac{1}{3}$, deci parabola atinge axa orizontală în $(\frac{1}{3},0)$. Pe axa verticală, $k(0)=2$ dă punctul $(0,2)$. Cele două puncte sunt diferite, deci sunt exact două.

13. Da: în primul punct obținem $9-6-3=0$, iar în al doilea $1+2-3=0$. Intersecția verticală este $(0,-3)$. Fiind două rădăcini distincte ale unei ecuații de gradul al doilea, lista orizontală este completă.

14. Zerourile expresiei sunt $0$ și $-\frac{9}{4}$, dar $-\frac{9}{4}<-2$, deci al doilea nu este intrare admisă. Rămâne un singur punct pe axe, originea, care aparține ambelor axe și se numără o singură dată.

15. Din $9-x^2=0$ rezultă $x=-3$ sau $x=3$: la pereții tubului viteza este zero, iar punctele sunt $(-3,0)$ și $(3,0)$. Intersecția verticală este $(0,\frac{9}{5})$: pe axa tubului viteza este $1,8$ cm/s. Pe tot intervalul $9-x^2\ge 0$, deci modelul nu dă viteze negative.

16. Da. Din $16(x-1{)}^2=9$ rezultă $(x-1{)}^2=\frac{9}{16}$, deci $x-1=-\frac{3}{4}$ sau $x-1=\frac{3}{4}$, adică $x=\frac{1}{4}$ sau $x=\frac{7}{4}$. Aici citirea coincide cu valoarea exactă, dar abia calculul a arătat acest lucru.

17. Nu. Formula se anulează când $(x-6{)}^2=16$, deci la doi și zece. Ambele zerouri sunt în afara ferestrei, dar în domeniul funcției.

18. Zeroul $-2$ are partenerul simetric $2\cdot 3-(-2)=8$, deci și $8$ este zero. Punctele sunt $(-2,0)$, $(8,0)$ și $(0,-4)$: trei puncte distincte, fiindcă zero nu este rădăcină.

De reținut

• Zerourile sunt intrări; punctele orizontale corespunzătoare au ordonata zero.
• Intersecția verticală există pentru graficul studiat numai dacă intrarea zero este admisă.
• O parabolă completă poate traversa axa orizontală de două ori, o poate atinge o dată sau o poate evita.
• Originea și un punct de atingere se numără o singură dată în lista punctelor distincte.
• Domeniul și precizia desenului trebuie controlate înaintea unei concluzii despre toate intersecțiile.

Greșeli frecvente

• Răspunsul dat numai prin numere când se cer puncte. Atașează ordonata zero fiecărei rădăcini și scrie perechile de coordonate; astfel răspunsul corespunde obiectului cerut.
• Numărarea originii de două ori. Compară listele pe axe înainte de total. Același punct poate avea două apartenențe fără să devină două puncte distincte.
• Interpretarea unei singure intersecții pe o restricție drept tangență. Verifică parabola completă și domeniul: o a doua rădăcină poate fi exclusă, fără ca prima să fie dublă.
• Negarea unei intersecții care nu încape în fereastră. Limitele desenului nu sunt automat limitele domeniului. Folosește datele exacte sau mărește cadrul pentru control.
• Transformarea unei citiri rotunjite într-o coordonată exactă. Păstrează semnul de aproximație când scara nu separă valoarea; calculul exact poate produce o fracție sau un radical.

Aplică acasă

1. Liste care se reunesc. Alege o funcție pătratică ce trece prin origine și una care nu trece. Scrie separat punctele de pe fiecare axă, apoi reunește listele fără repetiții. Explică diferența dintre numărul mențiunilor și numărul punctelor.
2. Intersecția ascunsă. Reprezintă digital o parabolă cu două zerouri și alege o fereastră care ascunde unul dintre ele. Salvează apoi o a doua vedere care le include pe amândouă. Notează ce afirmație ar fi nejustificată dacă ai păstra doar prima imagine.
3. Același punct, două domenii. Alege o regulă pătratică cu un zero cunoscut. Construiește două domenii care diferă numai prin includerea acelui capăt și marchează punctul plin, respectiv gol. Explică de ce numai unul dintre grafice păstrează intersecția.

Pentru părinți și profesori

Propuneți mai întâi grafice cu intersecții citibile și cereți răspunsuri în limbaj complet: intrări nule, puncte și număr de puncte distincte. Calculul algebric poate veni ca verificare, fără să înlocuiască sarcina de lectură. Includeți un exemplu în care originea aparține ambelor axe și unul în care domeniul exclude o rădăcină.

Dacă elevul spune că nu există intersecție fiindcă nu o vede, cereți să precizeze domeniul și fereastra. Dacă vede doar o atingere aproximativă, cereți să spună ce date ar permite o decizie exactă. Aceste întrebări dezvoltă controlul afirmațiilor, nu doar aplicarea unui calcul.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; nota unității IX.6 cere explicit ca intersecțiile cu axele de coordonate să fie evidențiate grafic pentru fiecare funcție studiată. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2 (anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), tema apare în domeniul „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde intersecția graficului cu axele și ecuația $f(x)=0$; metoda generală de rezolvare a acestei ecuații este tratată în suplimentul de bacalaureat, nu în nucleul clasei a IX-a. Modelul oficial 2026 nu conține o cerință despre parabolă.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: intersecțiile parabolei cu axele folosește și formula rădăcinilor. Continuați cu monotonia și valoarea extremă și verificați prin testul de funcții și lecturi grafice. Pentru rezolvarea ecuațiilor prin produs nul se poate relua ecuația de gradul al doilea din clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre un zero și un punct de intersecție? Zeroul este o intrare a funcției, adică un număr de pe axa orizontală. Punctul corespunzător de pe grafic are acea intrare ca abscisă și zero ca ordonată. Cerința despre rădăcini primește numere, iar cea despre puncte primește perechi de coordonate; confuzia dintre ele schimbă obiectul răspunsului, chiar dacă cifrele sunt corecte.

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre intersecțiile cu axele? Întrebarea este aceeași, dar aici intersecțiile se citesc întâi pe grafic, apoi se controlează prin produs nul sau printr-un pătrat egal cu un număr. Nu folosim formula generală a rădăcinilor și nu discutăm parametri. Accentul cade pe domeniul declarat, pe fereastra desenului și pe sensul fizic al unui zero într-un model.

O singură intersecție orizontală dovedește întotdeauna tangența? Pentru parabola completă, da: un singur punct comun cu axa orizontală înseamnă că vârful se află pe axă. Pentru un grafic restrâns, nu: domeniul poate elimina cealaltă rădăcină, iar curba traversează axa în punctul păstrat. Trebuie precizat obiectul studiat înainte de a interpreta numărul punctelor comune.

Poate lipsi intersecția cu axa verticală? Da, pentru o restricție al cărei domeniu nu conține zero, de exemplu un interval de intrări pozitive. Pentru funcția pătratică pe toate numerele reale, intersecția există și este unică, chiar dacă se află în afara ferestrei afișate; atunci mărim fereastra sau calculăm valoarea în zero.

Cum pot apărea intersecțiile parabolei cu axele la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 cuprinde intersecția graficului funcției de gradul al doilea cu axele și ecuația $f(x)=0$. Modelul oficial 2026 nu conține o parabolă, deci nu putem spune ce formă va avea cerința. Exersează scrierea punctelor ca perechi, verificarea rădăcinilor prin substituție și numărarea punctelor distincte.

De ce trebuie păstrat un radical în răspuns dacă pe grafic văd o zecimală? Graficul poate permite numai o aproximare, limitată de scară și de grosimea liniei. Radicalul obținut corect din ecuație descrie valoarea exactă și poate fi folosit la verificare. Zecimala rotunjită este utilă pentru localizare pe desen, dar trebuie prezentată ca aproximație, cu semnul corespunzător.