Cât face log₂ ∛4?

Scrii argumentul ca putere a bazei: ∛4=4^(1/3)=2^(2/3). Logaritmul în baza 2 al unei puteri a lui 2 este exponentul, deci log₂ ∛4= 2/3. Verificare: 2^(2/3)= ∛2²= ∛4. Radicalul trebuie transformat în putere înainte de orice altceva.

Cât face log₀,516?

Scrii baza și argumentul în baza 2: 0,5=2⁻¹ și 16=2⁴. Logaritmul este raportul exponenților: 4/(-1)=-4. Verificare: 0,5⁻⁴=2⁴=16. O bază subunitară și un argument supraunitar dau întotdeauna un logaritm negativ, deci semnul rezultatului se putea prevedea.

Când are sens un logaritm cu x în bază?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Logaritmul: valori exacte și condiții

Logaritmul $lo g_{g (x)} f (x)$ are sens când sunt îndeplinite simultan trei condiții: argumentul $f (x) > 0$ , baza $g (x) > 0$ și baza $g (x) \neq = 1$ . Exemplu: $lo g_{x - 2} (10 - x)$ . Argumentul cere $x < 10$ , baza pozitivă cere $x > 2$ , iar baza diferită de $1$ scoate $x = 3$ . Intersectând, obții $x \in (2, 3) \cup (3, 10)$ . Condițiile se scriu înainte de orice calcul.

Pentru o bază $a > 0$ , $a \neq = 1$ , și un număr $b > 0$ , logaritmul $lo g_{a} b$ este exponentul unic care transformă baza în $b$ . El există pentru orice număr pozitiv, pentru că exponențiala cu baza $a$ ia fiecare valoare pozitivă exact o dată: este o funcție bijectivă de la $R$ la $(0; + \infty)$ , iar logaritmul este inversa ei.

Valorile exacte nu mai sunt doar întregi. Dacă baza și argumentul se scriu ca puteri cu același număr la bază, valoarea se obține împărțind exponentul argumentului la exponentul bazei, iar radicalii se citesc ca exponenți fracționari: rădăcina pătrată înseamnă exponentul o doime, cea cubică exponentul o treime. Un rezultat se verifică ridicând baza la valoarea găsită. Când nu există un număr comun, valoarea rămâne scrisă cu logaritm și se încadrează între doi întregi.

Când necunoscuta apare sub logaritm, expresia are sens numai dacă argumentul este strict pozitiv. Dacă apare și în bază, se adaugă două condiții: baza strict pozitivă și diferită de unu. Toate condițiile se scriu înaintea calculului și se intersectează, iar punctele în care baza ar fi unu se scot separat. O formulă din științe are adesea sens pentru mai multe valori decât cele pentru care modelul rămâne credibil, iar cele două mulțimi trebuie deosebite.

De reținut

$lo g_{a} b$ există pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $b > 0$
la $lo g_{g (x)} f (x)$ se intersectează $f (x) > 0$ , $g (x) > 0$ , $g (x) \neq = 1$
$lo g_{a} b$ este exponentul $c$ cu $a^{c} = b$

Greșeala tipică

Se scrie doar condiția de bază pozitivă și se uită $g (x) \neq = 1$ ; la $lo g_{x - 2} (10 - x)$ valoarea $x = 3$ dă baza $1$ și trebuie scoasă din domeniu.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea lui $lo g_{9} 3$ este:
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $\frac{1}{4}$
- c) $2$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{4}$

$9 = 3^{2}$ și $3 = 3^{1/2}$ , deci $3^{2 c} = 3^{1/2}$ și $c = \frac{1}{4}$ . Verificare: $9^{1/4} = (3^{2})^{1/4} = 3$ .
Pentru ce valori ale lui $x$ are sens expresia $lo g_{4} (6 - 2 x)$ ?
- a) $x > 3$
- b) $x < 3$
- c) $x \neq = 3$
- d) $x \leq 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x < 3$

Argumentul trebuie să fie strict pozitiv: $6 - 2 x > 0$ , adică $x < 3$ . Pentru $x = 3$ argumentul este zero, deci valoarea este exclusă.
Mulțimea pe care are sens expresia $lo g_{x - 1} 8$ este:
- a) $(1; + \infty)$
- b) $(1; 2) \cup (2; + \infty)$
- c) $(2; + \infty)$
- d) $(0; 1) \cup (1; + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(1; 2) \cup (2; + \infty)$

Argumentul $8$ este pozitiv. Baza cere $x - 1 > 0$ , adică $x > 1$ , și $x - 1 \neq = 1$ , adică $x \neq = 2$ . Intersecția este $(1; 2) \cup (2; + \infty)$ .

Întrebări conexe

Cât face $lo g_{2} 34$ ?

Scrii argumentul ca putere a bazei: $34 = 4^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ . Logaritmul în baza $2$ al unei puteri a lui $2$ este exponentul, deci $lo g_{2} 34 = \frac{2}{3}$ . Verificare: $2^{\frac{2}{3}} = 3 2^{2} = 34$ . Radicalul trebuie transformat în putere înainte de orice altceva.

Între ce numere întregi se află $lo g_{3} 50$ ?

Cauți puterile lui $3$ care încadrează argumentul: $3^{3} = 27 < 50 < 81 = 3^{4}$ . Funcția $3^{x}$ crește, deci exponentul căutat este între $3$ și $4$ . Valoarea exactă rămâne scrisă $lo g_{3} 50$ , iar cu calculatorul ea este aproximativ $3, 56$ .

Ce pH are o soluție cu concentrația ionilor de hidrogen de $0, 0001$ mol/L?

Definiția este $pH = - l g [H^{+}]$ , unde $l g$ este logaritmul în baza $10$ . Cum $0, 0001 = 1 0^{- 4}$ , avem $l g 1 0^{- 4} = - 4$ , deci pH-ul este $4$ , o soluție acidă. O concentrație de zece ori mai mică ar da pH-ul $5$ .

De ce logaritmul unui număr subunitar, în bază mai mare decât 1, este negativ?

Pentru o bază $a > 1$ , puterile cu exponent pozitiv depășesc $1$ , deci un argument între $0$ și $1$ cere un exponent negativ. De exemplu, $lo g_{2} 0, 25 = - 2$ , pentru că $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ . În bază subunitară situația se inversează.

Cât face $lo g_{0, 5} 16$ ?

Scrii baza și argumentul în baza $2$ : $0, 5 = 2^{- 1}$ și $16 = 2^{4}$ . Logaritmul este raportul exponenților: $\frac{4}{- 1} = - 4$ . Verificare: $0, 5^{- 4} = 2^{4} = 16$ . O bază subunitară și un argument supraunitar dau întotdeauna un logaritm negativ, deci semnul rezultatului se putea prevedea.

Oamenii mai întreabă și: condițiile de existență ale logaritmului cu bază variabilă · domeniul unui logaritm cu x în bază · când există log în baza x · condiții pentru bază și argument la logaritm

Când are sens un logaritm cu x în bază?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât face log2​34​?

Între ce numere întregi se află log3​50?

Ce pH are o soluție cu concentrația ionilor de hidrogen de 0,0001 mol/L?

De ce logaritmul unui număr subunitar, în bază mai mare decât 1, este negativ?

Cât face log0,5​16?

Continuă cu

Cât face $lo g_{2} 34$ ?

Între ce numere întregi se află $lo g_{3} 50$ ?

Ce pH are o soluție cu concentrația ionilor de hidrogen de $0, 0001$ mol/L?

Cât face $lo g_{0, 5} 16$ ?