Logaritmul: definiție și primele calcule: pe scurt

Ecuația $2^x=5$ are, cu siguranță, o soluție (funcția exponențială fiind bijectivă spre $(0,\infty )$), dar acea soluție nu se scrie cu niciun simbol de până acum. Matematica îi dă un nume: logaritm.

Definiția: pentru $a>0$, $a\ne 1$ și $b>0$, ${\log }_{a}b$ este unicul număr $c$ astfel încât $a^c=b$; echivalent, ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$. Logaritmul este, deci, un exponent — ca să-l calculezi, scrii argumentul ca putere a bazei și citești exponentul.

Condițiile de existență se scriu întâi: argumentul strict pozitiv, baza strict pozitivă și diferită de $1$ — fără ele, o rezolvare e incompletă la barem.

Identitățile-cheie, care leagă exponențiala de logaritm: $a^{{\log }_{a}b}=b$, ${\log }_a{a}^x=x$, ${\log }_{a}1=0$, ${\log }_{a}a=1$. Notațiile consacrate: $\lg x={\log }_{10}x$ (logaritm zecimal) și $\ln x={\log }_{e}x$ (logaritm natural); „log” fără bază nu se folosește niciodată în rezolvări.

Greșeli frecvente: acceptarea unui argument negativ sau nul (${\log }_2(-8)$ nu există), uitarea condiției $a\ne 1$ la exerciții cu bază variabilă, și confuzia dintre bază și argument — ${\log }_{4}8=\frac{3}{2}$, dar ${\log }_{8}4=\frac{2}{3}$, valori diferite, chiar dacă numerele implicate sunt aceleași.

Exerciții din această mini-lecție

1. Definiția logaritmului: ${\log }_{a}b=c$ este echivalent cu:

   • a) $a^c=b$
   • b) $a^b=c$
   • c) $b^a=c$
   • d) $c^a=b$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a^c=b$

   Logaritmul ${\log }_{a}b$ este exact exponentul $c$ la care trebuie ridicată baza $a$ pentru a obține $b$.

2. Condițiile de existență ale lui ${\log }_{a}b$ sunt:

   • a) doar $b>0$
   • b) $a>0,a\ne 1,b>0$
   • c) $a>0$, fără altă condiție
   • d) doar $a\ne 0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $a>0,a\ne 1,b>0$

   Toate trei condițiile sunt obligatorii: baza strict pozitivă și diferită de $1$, argumentul strict pozitiv.

3. Identitatea $a^{{\log }_{a}b}$ este egală cu:

   • a) $1$
   • b) $a$
   • c) $b$
   • d) ${\log }_{a}b$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $b$

   Exponențiala și logaritmul se anulează reciproc: $a^{{\log }_{a}b}=b$, prin chiar definiția logaritmului.