Logaritmul unui număr: definiție și condiții de existență (M2, științe ale naturii)

În lecția despre ecuațiile exponențiale ai întâlnit o ecuație ca $2^x=11$: soluția există, e una singură, dar nu e o putere „frumoasă” a bazei, așa că ai scris-o direct cu logaritm. Logaritmul îl știi de anul trecut ca exponent citit pe grafic, cu valori întregi. Acum, în clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), logaritmul primește o definiție completă: se justifică de ce există pentru orice număr pozitiv, capătă valori fracționare exacte și apare în expresii cu necunoscută, unde trebuie scrise condițiile de existență. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, după o programă care trece logaritmii, cu proprietățile și calculele lor, printre temele de clasa a X-a; varianta-model a Ministerului pentru 2026 are la Subiectul I, la cerința a 3-a, o ecuație logaritmică, iar rezolvarea ei începe cu condițiile de existență.

Lecția pornește de la definiția logaritmului din clasa a IX-a, la M2, unde valorile exacte erau numere întregi și restul se încadra, și de la logaritmul natural și logaritmul zecimal la M2. Folosește exponenții reali din proprietățile funcției exponențiale și ideea de funcție inversabilă din lecția despre funcția inversă. Condițiile de existență se scriu la fel de disciplinat ca la domeniul funcției cu radical.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce, pentru o bază permisă, orice număr strict pozitiv are exact un logaritm.
• Vei ști să calculezi exact logaritmi cu valori fracționare, scriind baza și argumentul ca puteri ale aceluiași număr.
• Vei ști să folosești egalitatea ${\log }_a{a}^k=k$ pentru orice exponent real, inclusiv când puterea e scrisă cu radical.
• Vei ști să rescrii o putere cu exponent fracționar sau negativ ca logaritm și invers.
• Vei ști să scrii condițiile de existență pentru expresii cu logaritmi în care necunoscuta apare în argument sau în bază și să le intersectezi corect.
• Vei ști să deosebești, într-un model din științe, mulțimea pe care formula are sens de intervalul pe care modelul descrie realitatea.

Hai să descoperim împreună

1. Câte soluții are ecuația 6 la x egal cu 11?

Puterile lui $6$ cu exponent întreg sar de la $6$ la $36$, deci niciuna nu este $11$. Totuși, exponențiala $x\mapsto 6^x$ este definită pe toată mulțimea numerelor reale, este strict crescătoare, deci ia fiecare valoare cel mult o dată, și trece prin toate numerele strict pozitive, fără goluri. Altfel spus, ca funcție de la $\mathbb{R}$ la $(0,+\infty )$ ea este bijectivă, adică inversabilă. Pentru ecuația $6^x=11$ asta înseamnă două lucruri: există o soluție și nu există două. Din $6^1=6<11<36=6^2$ știm și unde se află: între $1$ și $2$.

Același argument funcționează pentru orice bază $a>0$, $a\ne 1$, și orice număr $b>0$. Logaritmul în baza $a$ al numărului $b$ este unicul număr real $c$ pentru care $a^c=b$; se notează $c={\log }_{a}b$. Condițiile sunt aceleași ca în clasa a IX-a, dar acum ele au o justificare completă: $b>0$, pentru că exponențiala nu ia valori negative sau zero, și $a>0$, $a\ne 1$, pentru că numai atunci exponențiala este bijectivă.

Soluția ecuației de mai sus are deci un nume exact, ${\log }_{6}11$, chiar dacă nu o putem scrie cu o fracție. La fel, soluția ecuației $2^x=11$, notată așa în lecția despre ecuațiile exponențiale elementare, este ${\log }_{2}11$. Funcția $x\mapsto {\log }_{a}x$ este chiar inversa exponențialei cu aceeași bază: ea răspunde la întrebarea „la ce exponent am ridicat baza?”. Calculul zecimalelor unui asemenea logaritm cu tastele calculatorului se face în lecția despre schimbarea bazei.

2. Cum obținem o valoare exactă care nu este număr întreg?

În clasa a IX-a te opreai atunci când argumentul nu era o putere întreagă a bazei. În clasa a X-a exponenții pot fi fracții, iar regula ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$ este valabilă pentru orice exponenți reali. De aici vine metoda: scrii baza și argumentul ca puteri ale aceluiași număr, cât mai mic, și compari exponenții.

Să vedem drumul pe ${\log }_{36}216$. Ambele numere sunt puteri ale lui $6$: $36=6^2$ și $216=6^3$. Căutăm $c$ cu $36^c=216$, adică $6^{2c}=6^3$. Exponențiala este injectivă, deci $2c=3$ și $c=\frac{3}{2}$. Controlul se face prin ridicare la putere: $36^{3/2}={\left(\sqrt{36}\right)}^3=6^3=216$.

Observă ce s-a întâmplat: logaritmul este raportul dintre exponentul argumentului și exponentul bazei, ambii calculați față de același număr de pornire. Dacă nu există un asemenea număr comun, valoarea nu este o fracție și rămâne scrisă cu logaritm. Încadrarea ei între doi întregi o știi din definiția logaritmului, la M2, iar zecimalele vin din formula de schimbare a bazei.

3. Ce valoare are logaritmul unei puteri a bazei?

Din definiție, exponentul care produce $a^k$ este chiar $k$, oricare ar fi numărul real $k$. Prin urmare ${\log }_a{a}^k=k$. Cazurile particulare ${\log }_{a}1=0$ și ${\log }_{a}a=1$ le cunoști din clasa a IX-a; noutatea este că exponentul poate fi acum orice număr real. De exemplu, ${\log }_{13}13^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, ${\log }_6\sqrt[3]{6}=\frac{1}{3}$, iar ${\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-5}=-5$.

Puterile nu apar întotdeauna scrise ca puteri. Un radical de ordinul doi înseamnă exponentul $\frac{1}{2}$, unul de ordinul trei exponentul $\frac{1}{3}$, iar un radical dintr-o putere se scrie ca putere cu exponent fracționar: $\sqrt{a^3}=a^{3/2}$, $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$. Un produs ca $a\sqrt{a}$ devine $a^1\cdot a^{1/2}=a^{3/2}$, iar un cât ca $\frac{1}{\sqrt{a}}$ devine $a^{-1/2}$. Odată rescrisă puterea, logaritmul se citește fără niciun calcul.

Cele două baze cu nume proprii din clasa a IX-a urmează exact aceeași regulă. Logaritmul zecimal al unei puteri a lui zece este exponentul ei, oricare ar fi el: $\lg \sqrt[3]{100}=\lg 10^{2/3}=\frac{2}{3}$. Logaritmul natural al unei puteri a lui $e$ este tot exponentul: $\ln \frac{1}{\sqrt{e}}=\ln e^{-1/2}=-\frac{1}{2}$. Nu ai nevoie de calculator pentru asemenea valori, ci doar de rescrierea argumentului ca putere a bazei.

4. Cum citești o putere cu exponent fracționar ca logaritm?

Echivalența $a^c=b⟺{\log }_{a}b=c$ rămâne aceeași, doar că acum $c$ poate fi o fracție sau un număr negativ. Ce se schimbă este felul în care citești puterea înainte de a o rescrie. Numitorul fracției este ordinul unui radical, numărătorul este o putere. Egalitatea $1000^{2/3}=100$ spune că rădăcina cubică a lui $1000$, adică $10$, ridicată la pătrat dă $100$; scrisă cu logaritm, ea devine ${\log }_{1000}100=\frac{2}{3}$.

Un exponent negativ adaugă o inversare. Din ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{-3/2}=9^{3/2}=3^3=27$ rezultă ${\log }_{\frac{1}{9}}27=-\frac{3}{2}$, un logaritm negativ, cum se potrivește unei baze subunitare și unui argument supraunitar. La fel, $4^{5/2}=2^5=32$ înseamnă ${\log }_{4}32=\frac{5}{2}$, iar $0,01^{1/2}=0,1$ înseamnă ${\log }_{0,01}0,1=\frac{1}{2}$.

În sens invers, un logaritm cu valoare fracționară se verifică tot prin ridicare la putere, dar calculul se face în doi timpi: întâi radicalul dat de numitor, apoi puterea dată de numărător. Așa rămâi cu numere mici pe tot parcursul și nu ai nevoie de calculator.

5. Ce condiții are o expresie cu necunoscuta în argument?

Când sub logaritm apare o expresie $f(x)$, logaritmul are sens numai pentru valorile lui $x$ care fac argumentul strict pozitiv. Condiția se scrie înaintea oricărui calcul, se rezolvă ca inecuație și rezultatul se notează cu $D$, mulțimea pe care expresia are sens.

La ${\log }_{\frac{1}{2}}(15-3x)$ baza este un număr fix, permis, deci singura condiție este $15-3x>0$, adică $x<5$: $D=(-\infty ;5)$. La ${\log }_7\left(x^2-6x\right)$ condiția este o inecuație de gradul al doilea: $x^2-6x=x(x-6)>0$. Trinomul are rădăcinile $0$ și $6$ și este pozitiv în afara lor, cum ai citit pe grafic în lecția despre inecuațiile de gradul al doilea; așadar $D=(-\infty ;0)\cup (6;+\infty )$.

Capetele intervalelor sunt excluse, pentru că în ele argumentul este zero, iar logaritmul lui zero nu există. Un control rapid: alegi un număr din $D$ și unul din afara lui și verifici semnul argumentului în fiecare. Mulțimea se scrie cu paranteze rotunde la capetele excluse, iar la infinit paranteza este întotdeauna rotundă, pentru că infinitul nu este un număr care să poată aparține mulțimii. Între intervale se pune semnul reuniunii, pentru că un număr din oricare dintre ele face expresia să aibă sens.

6. Ce se schimbă când necunoscuta apare și în bază?

Acum sunt trei condiții, care trebuie îndeplinite simultan: argumentul trebuie să fie mai mare decât zero, iar baza, mai mare decât zero și totodată alta decât unu. Mulțimea $D$ este intersecția celor trei mulțimi, nu reuniunea lor.

Pentru ${\log }_{2x+1}\left(4-x^2\right)$ condițiile sunt: $2x+1>0$, adică $x>-\frac{1}{2}$; $2x+1\ne 1$, adică $x\ne 0$; $4-x^2>0$, adică $-2<x<2$. Intersecția este intervalul $\left(-\frac{1}{2};2\right)$ din care lipsește punctul $0$:

$$D=\left(-\frac{1}{2};0\right)\cup (0;2).$$

Figura A arată cele trei condiții pe aceeași axă și rezultatul lor. Punctul $x=0$ este scos, deși acolo argumentul este pozitiv și baza este pozitivă: baza ar fi exact $1$. Aceasta este condiția care se uită cel mai ușor, pentru că nu se vede într-o inecuație, ci într-o condiție de tipul „diferit de”.

Ce urmează în unitate: proprietățile logaritmilor transformă logaritmul unui produs, al unui cât și al unei puteri, formula de schimbare a bazei dă zecimalele cu ajutorul tastelor „log” și „ln”, iar ecuațiile logaritmice folosesc condițiile de existență de aici ca prim pas obligatoriu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei valori fracționare exacte

Calculați ${\log }_{125}25$, ${\log }_{\frac{1}{16}}8$ și ${\log }_{27}\sqrt{3}$.

Rezolvare. Pentru primul, numărul comun este $5$: $125=5^3$ și $25=5^2$, deci $5^{3c}=5^2$, $3c=2$ și ${\log }_{125}25=\frac{2}{3}$. Pentru al doilea, numărul comun este $2$: $\frac{1}{16}=2^{-4}$ și $8=2^3$, deci $-4c=3$ și ${\log }_{\frac{1}{16}}8=-\frac{3}{4}$. Pentru al treilea, $27=3^3$ și $\sqrt{3}=3^{1/2}$, deci $3c=\frac{1}{2}$ și ${\log }_{27}\sqrt{3}=\frac{1}{6}$.

Verificăm prin ridicare la putere: $125^{2/3}={\left(\sqrt[3]{125}\right)}^2=5^2=25$; ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{-3/4}={\left(2^{-4}\right)}^{-3/4}=2^3=8$; $27^{1/6}={\left(3^3\right)}^{1/6}=3^{1/2}=\sqrt{3}$. Semnul negativ al celui de-al doilea logaritm era de așteptat după poziția bazei și a argumentului față de $1$.

Exemplul 2 — Verifică prin ridicare la putere

Un coleg a obținut trei valori: ${\log }_{0,04}125=-\frac{3}{2}$, ${\log }_8\sqrt{2}=\frac{1}{6}$ și „${\log }_{\sqrt[3]{4}}2=\frac{2}{3}$”. Verificați fiecare valoare fără să refaceți calculul de la capăt.

Rezolvare. Un logaritm se verifică ridicând baza la valoarea găsită: trebuie să obții argumentul. Primul: $0,04=\frac{1}{25}=5^{-2}$, deci $0,04^{-3/2}=5^3=125$, corect. Al doilea: $8^{1/6}={\left(2^3\right)}^{1/6}=2^{1/2}=\sqrt{2}$, corect.

Al treilea: $\sqrt[3]{4}=2^{2/3}$, iar ${\left(2^{2/3}\right)}^{2/3}=2^{4/9}$, care nu este $2$. Valoarea corectă se obține cerând ${\left(2^{2/3}\right)}^c=2^1$, adică $\frac{2}{3}c=1$: ${\log }_{\sqrt[3]{4}}2=\frac{3}{2}$. Colegul a scris exponentul bazei în loc de inversul lui. Controlul prin ridicare la putere a prins greșeala într-un singur rând.

Exemplul 3 — Doi logaritmi în aceeași expresie

Pentru ce valori reale ale lui $x$ are sens expresia $E(x)={\log }_5(x+4)+\lg (18-3x)$?

Rezolvare. Fiecare logaritm are propria condiție, iar expresia are sens doar unde au sens amândoi. Pentru primul: $x+4>0$, adică $x>-4$. Pentru al doilea, cu baza zece: $18-3x>0$, adică $x<6$. Bazele sunt numere fixe, permise, deci nu adaugă nimic.

Intersectăm: $D=(-4;6)$. Control: pentru $x=1$ expresia devine ${\log }_{5}5+\lg 15=1+\lg 15$, ambii termeni au sens; pentru $x=6$ al doilea argument este zero, deci expresia nu are sens, iar $6$ este corect exclus.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Doi elevi au determinat mulțimea pe care are sens expresia ${\log }_{3-x}(x+2)$. Primul a scris „$D=(-2;3)$”, al doilea a scris „$x<3$ sau $x>-2$, deci $D=\mathbb{R}$”. Găsiți greșelile și scrieți mulțimea corectă.

Rezolvare. Condițiile sunt trei: $3-x>0$, adică $x<3$; $3-x\ne 1$, adică $x\ne 2$; $x+2>0$, adică $x>-2$. Primul elev a intersectat corect condițiile pentru argument și pentru semnul bazei, dar a uitat că baza nu poate fi $1$: pentru $x=2$ expresia devine ${\log }_{1}4$, care nu are sens.

Al doilea elev a folosit „sau” în loc de „și”, adică a reunit condițiile. Reuniunea ar accepta, de exemplu, $x=10$, unde baza este $-7$. Mulțimea corectă este $D=(-2;2)\cup (2;3)$.

Exemplul 5 — Vântul deasupra unei pajiști

În stratul de aer de lângă sol, viteza vântului crește cu înălțimea. Pentru o pajiște cu iarbă scurtă, într-o zi cu vânt puternic și constant, un model folosit în meteorologie dă viteza $v(z)=4\lg (50z)$ metri pe secundă, la înălțimea de $z$ metri deasupra solului, pentru $z$ între $0,02$ m și $30$ m (figura B). a) Pentru ce valori ale lui $z$ are sens formula și de ce modelul începe abia de la $0,02$ m? b) Calculați viteza la $2$ m și la $20$ m. c) Calculați viteza la înălțimea $2\sqrt{10}$ m.

Rezolvare. a) Logaritmul cere argumentul pozitiv: $50z>0$, adică $z>0$, deci $D=(0;+\infty )$. Formula dă însă valori negative pentru $50z<1$, adică sub $0,02$ m, iar o viteză negativă a vântului în acest model nu are sens. Înălțimea $0,02$ m, la care formula dă zero, este cea a asperităților solului, adică a ierbii: sub ea aerul nu mai curge ca în model. Mulțimea pe care formula are sens este deci mai largă decât intervalul pe care modelul descrie realitatea.

b) $v(2)=4\lg 100=4\cdot 2=8$ metri pe secundă și $v(20)=4\lg 1000=4\cdot 3=12$ metri pe secundă. O înălțime de zece ori mai mare adaugă patru metri pe secundă, oriunde în interval.

c) $50\cdot 2\sqrt{10}=100\sqrt{10}=10^2\cdot 10^{1/2}=10^{5/2}$, deci $\lg \left(100\sqrt{10}\right)=\frac{5}{2}$ și $v\left(2\sqrt{10}\right)=4\cdot \frac{5}{2}=10$ metri pe secundă. Înălțimea $2\sqrt{10}\approx 6,32$ m este la mijloc între $2$ și $20$ m pe scara „de câte ori”, nu pe scara „cu cât”, iar viteza este la mijloc între $8$ și $12$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că produsul ${\log }_{9}243\cdot {\log }_8\frac{1}{4}$ este egal cu $-\frac{5}{3}$.

Rezolvare. Pentru primul termen, $9=3^2$ și $243=3^5$, deci $3^{2c}=3^5$ și ${\log }_{9}243=\frac{5}{2}$. Pentru al doilea, $8=2^3$ și $\frac{1}{4}=2^{-2}$, deci $3c=-2$ și ${\log }_8\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}$.

Produsul este $\frac{5}{2}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3}$, ceea ce trebuia arătat. Semnul minus vine doar din al doilea factor, în care baza este peste unu, iar argumentul sub unu. Cerința a fost construită pentru exercițiu, după tiparul întrebărilor scurte de la începutul lucrării, și nu provine dintr-o variantă oficială.

Să exersăm

Lângă orice rezultat notează puterea din care l-ai obținut. Pentru mulțimile $D$, enumeră mai întâi condițiile și abia apoi intersectează-le.

1. Află valorile exacte ale numerelor ${\log }_{49}343$, ${\log }_{1000}10$ și ${\log }_{\frac{1}{8}}16$.

2. Potrivește fiecare egalitate din stânga cu forma ei cu logaritm din dreapta. Stânga: a) $125^{-2/3}=\frac{1}{25}$; b) $0,36^{1/2}=0,6$; c) $343^{1/3}=7$; d) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-5/2}=32$. Dreapta: 1) ${\log }_{343}7=\frac{1}{3}$; 2) ${\log }_{\frac{1}{4}}32=-\frac{5}{2}$; 3) ${\log }_{125}\frac{1}{25}=-\frac{2}{3}$; 4) ${\log }_{0,36}0,6=\frac{1}{2}$.

3. Calculează ${\log }_3\left(9\sqrt{3}\right)$, ${\log }_5\frac{1}{\sqrt{5}}$, ${\log }_7{7}^{\sqrt{5}}$ și ${\log }_2\sqrt[3]{16}$.

4. Pentru ce valori reale ale lui $m$ are sens expresia ${\log }_{2m-1}10$?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul ${\log }_{16}64$ este un număr întreg.”

6. Determină mulțimea pe care are sens expresia ${\log }_6\left(x^2-7x+10\right)$.

7. Determină mulțimea pe care are sens expresia ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(9-x^2\right)$.

8. Determină mulțimea pe care are sens expresia ${\log }_{x^2-3}4$.

9. Determină mulțimea pe care are sens expresia $\lg \frac{x-2}{x+6}$.

10. (Problemă aplicată.) În aer liniștit, o picătură de ceață foarte mică atinge aproape imediat o viteză constantă de cădere, care depinde de diametrul $d$ printr-o lege de forma $v=c\cdot d^k$. Două măsurători, rotunjite, au dat: pentru $d=10$ micrometri, $v=0,3$ centimetri pe secundă; pentru $d=30$ micrometri, $v=2,7$ centimetri pe secundă. a) Scrie exponentul $k$ ca logaritm și calculează-l. b) Ce viteză prevede legea pentru $d=20$ micrometri? c) De câte ori trebuie mărit diametrul pentru ca viteza să se dubleze?

11. Calculează ${\log }_{\sqrt{3}}81$, ${\log }_{\sqrt[3]{2}}16$ și ${\log }_{\sqrt{2}}\frac{1}{4}$.

12. Pentru ce valori reale ale lui $x$ are sens expresia ${\log }_x{x}^3$? Cât este valoarea ei acolo unde are sens?

13. Ordonează crescător numerele ${\log }_{32}2$, ${\log }_{49}\frac{1}{7}$ și ${\log }_{8}16$.

14. Determină mulțimea pe care are sens expresia ${\log }_3\left(x^2-1\right)-\ln (x+3)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\log }_{25}\frac{1}{5}+{\log }_{\frac{1}{32}}16=-\frac{13}{10}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care expresia ${\log }_3(8-2x)$ are sens.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Verificați egalitatea ${\log }_{\sqrt{5}}25-{\log }_{125}5=\frac{11}{3}$.

18. (Provocare.) Găsește numerele reale $a$ pentru care expresia ${\log }_a\left(x^2+2x+a\right)$ este definită oricare ar fi numărul real $x$.

Răspunsuri și explicații

1. ${\log }_{49}343=\frac{3}{2}$, pentru că $49=7^2$ și $343=7^3$. ${\log }_{1000}10=\frac{1}{3}$, pentru că $1000=10^3$. ${\log }_{\frac{1}{8}}16=-\frac{4}{3}$, pentru că $\frac{1}{8}=2^{-3}$ și $16=2^4$, iar $-3c=4$.

2. a) cu 3): ${\log }_{125}\frac{1}{25}=-\frac{2}{3}$; b) cu 4): ${\log }_{0,36}0,6=\frac{1}{2}$; c) cu 1): ${\log }_{343}7=\frac{1}{3}$; d) cu 2): ${\log }_{\frac{1}{4}}32=-\frac{5}{2}$. Controlul pe ultima pereche: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-5/2}={\left(2^{-2}\right)}^{-5/2}=2^5=32$. Semnele minus apar exact acolo unde una dintre bază și argument este subunitară, iar cealaltă supraunitară.

3. $9\sqrt{3}=3^2\cdot 3^{1/2}=3^{5/2}$, deci ${\log }_3\left(9\sqrt{3}\right)=\frac{5}{2}$. $\frac{1}{\sqrt{5}}=5^{-1/2}$, deci ${\log }_5\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$. ${\log }_7{7}^{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, direct din ${\log }_a{a}^k=k$. $\sqrt[3]{16}=2^{4/3}$, deci ${\log }_2\sqrt[3]{16}=\frac{4}{3}$.

4. Argumentul $10$ este pozitiv, deci condițiile privesc doar baza: $2m-1>0$, adică $m>\frac{1}{2}$, și $2m-1\ne 1$, adică $m\ne 1$. Răspuns: $m\in \left(\frac{1}{2};1\right)\cup (1;+\infty )$.

5. Fals. $16=2^4$ și $64=2^6$, deci $4c=6$ și ${\log }_{16}64=\frac{3}{2}$, care nu este întreg. Verificare: $16^{3/2}={\left(\sqrt{16}\right)}^3=4^3=64$.

6. Baza $6$ este fixă și permisă, deci condiția este $x^2-7x+10>0$. Trinomul se scrie $(x-2)(x-5)$ și este pozitiv în afara rădăcinilor: $D=(-\infty ;2)\cup (5;+\infty )$.

7. Condiția este $9-x^2>0$, adică $x^2<9$. Trinomul este pozitiv între rădăcini: $D=(-3;3)$. Baza $\frac{1}{2}$ este fixă și permisă.

8. Argumentul $4$ este pozitiv. Pentru bază: $x^2-3>0$, adică $x<-\sqrt{3}$ sau $x>\sqrt{3}$, și $x^2-3\ne 1$, adică $x\ne -2$ și $x\ne 2$. Răspuns: $D=(-\infty ;-2)\cup \left(-2;-\sqrt{3}\right)\cup \left(\sqrt{3};2\right)\cup (2;+\infty )$.

9. Baza $10$ este fixă, deci condițiile privesc argumentul: fracția trebuie să existe, $x\ne -6$, și să fie strict pozitivă. Un cât este pozitiv când numărătorul și numitorul au același semn: ambele pozitive pentru $x>2$, ambele negative pentru $x<-6$. Răspuns: $D=(-\infty ;-6)\cup (2;+\infty )$. Control: pentru $x=0$ fracția este $-\frac{1}{3}$, deci $0$ este corect exclus.

10. a) Diametrul s-a înmulțit cu $\frac{30}{10}=3$, iar viteza cu $\frac{2,7}{0,3}=9$. Din $v=c\cdot d^k$ rezultă că raportul vitezelor este $3^k$, deci $3^k=9$ și $k={\log }_{3}9=2$. b) Față de prima măsurătoare, diametrul de $20$ micrometri este dublu, deci viteza se înmulțește cu $2^2=4$: $v=1,2$ centimetri pe secundă. c) Cerem $r^2=2$, deci $r=\sqrt{2}\approx 1,41$: un diametru de circa $14,1$ micrometri cade de două ori mai repede decât unul de $10$ micrometri. Verificare: ${\log }_{\sqrt{2}}2=2$, același exponent. Legea este cea a lui Stokes și descrie bine picăturile mai mici de aproximativ o zecime de milimetru; picăturile mari de ploaie cad după altă lege. Ideea de fond este generală: când două mărimi sunt legate printr-o putere, exponentul se află ca logaritm al raportului efectelor, în baza raportului cauzelor.

11. $\sqrt{3}=3^{1/2}$ și $81=3^4$, deci $\frac{1}{2}c=4$ și ${\log }_{\sqrt{3}}81=8$. $\sqrt[3]{2}=2^{1/3}$ și $16=2^4$, deci ${\log }_{\sqrt[3]{2}}16=12$. $\sqrt{2}=2^{1/2}$ și $\frac{1}{4}=2^{-2}$, deci ${\log }_{\sqrt{2}}\frac{1}{4}=-4$.

12. Argumentul $x^3$ trebuie să fie pozitiv, iar baza $x$ pozitivă și diferită de $1$. Din $x>0$ rezultă și $x^3>0$, deci $D=(0;1)\cup (1;+\infty )$. Pe această mulțime valoarea este mereu $3$, din ${\log }_a{a}^k=k$.

13. ${\log }_{32}2=\frac{1}{5}$, ${\log }_{49}\frac{1}{7}=-\frac{1}{2}$ și ${\log }_{8}16=\frac{4}{3}$. Ordinea crescătoare: ${\log }_{49}\frac{1}{7}<{\log }_{32}2<{\log }_{8}16$.

14. Pentru ${\log }_3\left(x^2-1\right)$: $x^2-1>0$, adică $x<-1$ sau $x>1$. Pentru $\ln (x+3)$: $x+3>0$, adică $x>-3$. Bazele $3$ și $e$ sunt fixe. Intersecția: $D=(-3;-1)\cup (1;+\infty )$.

15. ${\log }_{25}\frac{1}{5}=-\frac{1}{2}$, pentru că $25=5^2$ și $\frac{1}{5}=5^{-1}$, deci $2c=-1$. ${\log }_{\frac{1}{32}}16=-\frac{4}{5}$, pentru că $\frac{1}{32}=2^{-5}$ și $16=2^4$, deci $-5c=4$. Suma este $-\frac{1}{2}-\frac{4}{5}=-\frac{13}{10}$.

16. Baza $3$ este permisă, iar condiția de existență este $8-2x>0$, adică $x<4$. Răspuns: $D=(-\infty ;4)$.

17. ${\log }_{\sqrt{5}}25=4$, pentru că ${\left(\sqrt{5}\right)}^4=25$. ${\log }_{125}5=\frac{1}{3}$, pentru că $125=5^3$. Diferența este $4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}$.

18. Baza cere $a>0$ și $a\ne 1$. Argumentul trebuie să fie pozitiv pentru orice $x$: trinomul $x^2+2x+a$, cu coeficientul lui $x^2$ pozitiv, este pozitiv peste tot exact când nu are rădăcini reale, adică atunci când discriminantul $4-4a$ este negativ, deci $a>1$. Intersectând cu condițiile bazei, obținem $a\in (1;+\infty )$. Pentru $a=1$ baza ar fi interzisă, iar argumentul s-ar anula în $x=-1$; ambele motive exclud valoarea.

De reținut

• Pentru $a>0$, $a\ne 1$ și $b>0$, ${\log }_{a}b$ este unicul număr real $c$ cu $a^c=b$; existența și unicitatea vin din faptul că exponențiala este bijectivă de la $\mathbb{R}$ la $(0;+\infty )$.
• O valoare exactă se află scriind baza și argumentul ca puteri ale aceluiași număr: logaritmul este raportul exponenților.
• ${\log }_a{a}^k=k$ pentru orice număr real $k$; radicalii se rescriu întâi ca exponenți fracționari.
• La ${\log }_{g(x)}f(x)$ se cer simultan $f(x)>0$, $g(x)>0$ și $g(x)\ne 1$, iar mulțimea $D$ este intersecția condițiilor.
• Într-un model, mulțimea pe care formula are sens poate fi mai largă decât intervalul pe care modelul descrie realitatea.

Greșeli frecvente

• Reunești condițiile în loc să le intersectezi. Condițiile de existență trebuie îndeplinite toate deodată. Leagă-le cu „și”, nu cu „sau”, și verifică un punct din răspuns în fiecare dintre ele.
• Scrii pentru bază condiția „mai mare decât unu”. Baza poate fi și subunitară. Condițiile corecte sunt două: baza strict pozitivă și baza diferită de unu.
• Transformi greșit radicalul în putere. $\sqrt{a^3}$ este $a^{3/2}$, nu $a^{2/3}$. Exponentul de sub radical trece la numărător, ordinul radicalului la numitor.
• Împarți numerele în loc să compari exponenții. Din $8^c=128$ nu rezultă $c=\frac{128}{8}$. Scrii $2^{3c}=2^7$ și obții $c=\frac{7}{3}$.
• Confunzi mulțimea pe care formula are sens cu cea pe care modelul e valabil. O formulă cu logaritm poate avea sens pentru orice număr pozitiv, dar dă valori fără înțeles fizic în afara intervalului declarat de model.

Aplică acasă

1. Într-o aplicație gratuită de grafice, scrie expresiile din Exemplul 4 și din exercițiile 8 și 12 ca funcții, folosind sintaxa pentru logaritm cu bază dată a aplicației. Notează pe ce porțiuni ale axei orizontale apare desenul și compară-le cu mulțimile $D$ calculate. Caută în mod special punctele izolate lipsă, acolo unde baza ar fi $1$: desenul le ascunde adesea, iar calculul nu.
2. Caută în manualul de fizică sau de chimie o formulă care conține $\ln$ sau $\lg$. Scrie condiția pe care o cere logaritmul, explică în cuvinte ce înseamnă ea pentru mărimea fizică și precizează dacă formula mai descrie realitatea când mărimea se apropie de zero.
3. Fă un joc de domino cu zece cartonașe. Pe o jumătate a fiecăruia scrie un logaritm cu valoare fracționară, de tipul celor din exercițiul 1, iar pe cealaltă jumătate o valoare care aparține altui cartonaș. Amestecă cartonașele, apoi cere unui prieten să refacă lanțul, controlând fiecare potrivire prin ridicare la putere.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează în clasa a X-a definiția logaritmului începută în clasa a IX-a. Noutățile sunt trei: justificarea existenței și unicității prin faptul că exponențiala este bijectivă, valorile fracționare exacte, obținute cu exponenți raționali, și condițiile de existență pentru expresii în care necunoscuta apare în argument sau în bază. Două obiceiuri fac diferența: controlul prin ridicare la putere, care prinde într-un rând aproape orice greșeală de calcul, și intersectarea condițiilor, scrisă explicit.

Întrebări bune de control: „Cum verifici, fără să refaci calculul, valorile din Exemplul 1?”; „De ce lipsește $2$ din mulțimea pe care are sens ${\log }_{3-x}(x+2)$?”; „Unde are sens formula vântului și unde este valabil modelul?”. Semnul că elevul a înțeles: scrie toate condițiile înainte de calcul, inclusiv pe cea de tipul „baza diferită de unu”, și nu confundă exponentul bazei cu valoarea logaritmului.

Lecția nu folosește proprietățile de calcul ale logaritmilor și nu rezolvă ecuații logaritmice; acestea urmează în unitate, iar condițiile de existență de aici sunt primul lor pas. Contextele alese, vântul din stratul de lângă sol și căderea picăturilor de ceață, arată două roluri ale logaritmului în științe: ca mărime într-o formulă și ca exponent aflat din măsurători. O confuzie frecventă este cea dintre exponentul bazei și valoarea logaritmului, pe care Exemplul 2 o arată pe un calcul greșit, iar verificarea prin ridicare la putere îi dă elevului un mijloc de control independent de profesor. La fel de util este ca elevul să spună cu voce tare, pentru o expresie cu necunoscută, ce condiție vine de la argument și ce condiții vin de la bază, înainte de a rezolva vreo inecuație.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, care numește la funcții „noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, funcția logaritmică” și ecuațiile logaritmice, iar competența X.CS.4.3 cere exprimarea în limbaj matematic a condițiilor ca un element să aparțină domeniului de definiție. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, al cărei capitol de numere reale pentru clasa a X-a numește logaritmul, proprietățile lui, calculele cu logaritmi și operația de logaritmare; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. Varianta-model publicată de Minister pentru 2026 are la prima parte o ecuație logaritmică, a cărei rezolvare începe cu condițiile de existență și continuă cu proprietăți din lecția următoare; exercițiile marcate aici sunt create pentru antrenament.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: definiția logaritmului și primele calcule, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este proprietățile logaritmilor la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre rata creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta mate-info (M1) despre logaritm?

Varianta M2 pornește de la logaritmul din clasa a IX-a, citit pe grafic, și adaugă ce lipsea acolo: justificarea existenței, valorile fracționare și condițiile pentru expresii cu necunoscută. Contextele sunt din științe, iar ecuațiile logaritmice rămân pentru o lecție separată. Varianta M1 reia definiția de la început și rezolvă deja ecuații simple în această lecție.

În ce subiect al bacalaureatului M2 contează condițiile de existență?

Varianta-model pentru 2026 are în Subiectul I o ecuație logaritmică. Rezolvarea ei pornește de la condițiile de existență, scrise exact ca în această lecție, și continuă cu proprietățile logaritmilor. Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 păstrează logaritmii între temele de clasa a X-a, cu tot cu calculele cu logaritmi.

Ce aduce clasa a X-a în plus față de lecția de logaritm din clasa a IX-a?

În clasa a IX-a valorile exacte erau numere întregi, iar restul se încadrau între doi întregi citiți pe grafic. În clasa a X-a exponenții pot fi fracții sau numere iraționale, deci logaritmi ca ${\log }_{16}8=\frac{3}{4}$ se calculează exact. Apar și expresiile cu necunoscută, pentru care scrii mulțimea pe care au sens.

Cum recunosc repede dacă un logaritm are o valoare fracționară exactă?

Descompune baza și argumentul în factori primi. Dacă amândouă sunt puteri ale aceluiași număr, de exemplu $16$ și $128$, puteri ale lui $2$, logaritmul este raportul exponenților, aici $\frac{7}{4}$. Dacă apar factori primi diferiți, cum ar fi la baza $10$ și argumentul $3$, valoarea nu este o fracție și se păstrează scrisă cu logaritm.

Ce legătură are logaritmul cu funcția inversă?

Exponențiala cu baza $a$ duce fiecare număr real într-un număr pozitiv, iar funcția $x\mapsto {\log }_{a}x$ face drumul înapoi: pornește de la numărul pozitiv și găsește exponentul. Compuse, cele două funcții se anulează. De aceea cele două curbe se oglindesc una pe alta față de dreapta $y=x$, lucru pe care l-ai văzut desenat anul trecut.

Există logaritm pentru orice număr pozitiv, oricât de mic ar fi?

Da. Exponențiala ia toate valorile strict pozitive, deci și numere foarte apropiate de zero, cum ar fi o miliardime. Logaritmul lor, pentru o bază mai mare decât unu, este un număr negativ mare în valoare absolută. Doar zero și numerele negative nu au logaritm, pentru că nicio putere a unei baze pozitive nu le poate produce.