Graficul cărei funcții are formă de cupă (este convex) pe tot domeniul ei?

$$f(x) = \left(\tfrac{1}{4}\right)^x$$, pe $$\mathbb{R}$$

$$f(x) = \sqrt{x}$$, pe $$[0, +\infty)$$

$$f(x) = \log_3 x$$, pe $$(0, +\infty)$$

$$f(x) = -x^2$$, pe $$\mathbb{R}$$

Fie $$f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}$$. Care afirmație este adevărată?

$$f$$ este mărginită și are maximul $$1$$

$$f$$ nu este mărginită superior

$$f$$ are maximul $$\dfrac{1}{2}$$

Este mărginită funcția f(x)= 2x/(x²+1)?

Da. Din (x-1)²≥ 0 rezultă 2x≤ x²+1, iar din (x+1)²≥ 0 rezultă -2x≤ x²+1. Împărțind la x²+1>0, obții -1≤ f(x)≤ 1, cu f(1)=1 și f(-1)=-1. Valorile 1 și -1 sunt atinse, deci marginile găsite nu pot fi strânse mai mult.

Cum recunosc pe grafic o funcție mărginită?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Margini și forma graficului

O funcție e mărginită dacă tot graficul ei încape între două drepte orizontale, $y = m$ dedesubt și $y = M$ deasupra. Exemplu: $f (x) = \frac{4}{x ^{2} + 1}$ , pe $R$ . Numitorul este cel puțin $1$ , deci $0 < f (x) \leq 4$ . Valoarea $4$ este atinsă în $x = 0$ , deci e maximul. Marginea de jos, $0$ , nu e atinsă: graficul coboară spre axa $O x$ fără s-o întâlnească, de exemplu $f (9) = \frac{4}{82}$ .

Spunem că $f$ are un majorant $M$ când nicio valoare a ei nu trece de $M$ și un minorant $m$ când nicio valoare nu coboară sub $m$ ; cu amândouă, funcția e mărginită, iar desenul ei încape într-o fâșie orizontală. Interesant este cel mai mic majorant, numit margine superioară. Dacă funcția chiar ia această valoare, ea este maximul; dacă doar se apropie de ea, cum se apropie o curbă de o asimptotă orizontală, maximul lipsește.

Marginile văzute pe desen se justifică repede: pătratele sunt nenegative, puterile unei baze pozitive sunt pozitive, iar o funcție care doar urcă sau doar coboară pe un segment al axei își atinge valorile extreme în capetele lui. Apoi verifici cazul de egalitate și dacă punctul lui aparține domeniului. Ca să arăți lipsa unui majorant, pentru fiecare prag găsești un argument la care funcția îl întrece.

A doua proprietate e forma: pe un interval, graficul e convex când se îndoaie ca o cupă și concav când se îndoaie ca o cupolă. Exponențialele și parabolele cu $a > 0$ au formă de cupă, radicalul și logaritmul în bază mai mare decât $1$ au formă de cupolă, oricum ar urca sau ar coborî. Într-un experiment, cupa descrie o creștere care prinde viteză, iar cupola una care încetinește.

De reținut

mărginită: $m \leq f (x) \leq M$ pentru orice $x$ din domeniu
o margine atinsă este maxim sau minim; una neatinsă nu e valoare a funcției
convexă = cupă, concavă = cupolă, citite pe intervale ale axei $O x$

Greșeala tipică

Se declară $0$ minimul funcției $\frac{4}{x ^{2} + 1}$ , deși nicio valoare nu este $0$ ; corect, $0$ este doar marginea inferioară, iar funcția nu are minim.

Exerciții din această mini-lecție

Graficul cărei funcții are formă de cupă (este convex) pe tot domeniul ei?
- a) $f (x) = x$ , pe $[0, + \infty)$
- b) $f (x) = lo g_{3} x$ , pe $(0, + \infty)$
- c) $f (x) = (\frac{1}{4})^{x}$ , pe $R$
- d) $f (x) = - x^{2}$ , pe $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $f (x) = (\frac{1}{4})^{x}$ , pe $R$

Orice exponențială are graficul în formă de cupă, chiar dacă baza $\frac{1}{4}$ o face descrescătoare. Radicalul și $lo g_{3} x$ sunt concave, iar $- x^{2}$ are ramurile în jos.
Care este cel mai mare minorant al funcției $f : [- 2, + \infty) \to R$ , $f (x) = (\frac{1}{3})^{x}$ ?
- a) $9$
- b) $0$
- c) $\frac{1}{9}$
- d) funcția nu are minoranți
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$

Orice putere a lui $\frac{1}{3}$ este pozitivă, deci $0$ este minorant. Valorile coboară oricât de aproape de $0$ când $x$ crește, de exemplu $f (6) = \frac{1}{729}$ , deci niciun număr pozitiv nu mai este minorant. Marginea $0$ nu este atinsă; cea mai mare valoare, $9$ , este atinsă în $x = - 2$ .
Fie $f : [0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ . Care afirmație este adevărată?
- a) $f$ este mărginită și are maximul $1$
- b) $f$ are minimul $0$
- c) $f$ nu este mărginită superior
- d) $f$ are maximul $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f$ este mărginită și are maximul $1$

Cum $x \geq 0$ , numitorul este cel puțin $1$ , deci $0 < f (x) \leq 1$ , iar $f (0) = 1$ : maximul $1$ este atins. Marginea de jos, $0$ , nu este atinsă, deși valorile se apropie de ea: $f (9801) = \frac{1}{100}$ .

Întrebări conexe

Ce margine are concentrația dintr-un vas care se umple cu soluție?

Dacă o concentrație crește după legea $c (t) = \frac{5 t}{t + 1}$ , în grame pe litru, atunci $c (t) < 5$ pentru orice $t \geq 0$ , fiindcă $5 t < 5 (t + 1)$ . După $9$ minute, $c (9) = 4, 5$ . Valoarea $5$ este o margine superioară neatinsă, iar pe grafic apare ca o asimptotă orizontală spre care curba urcă.

Cum arăt că o funcție nu are niciun majorant?

Arăți că orice prag propus este depășit. Pentru $f (x) = x^{2}$ , luăm un număr oarecare $M > 0$ și alegem $x = M + 1$ . Atunci $f (M + 1) = (M + 1)^{2} > M$ , deci $M$ nu poate fi majorant. Cum $M$ a fost arbitrar, funcția nu este mărginită superior.

Care e diferența dintre marginea superioară a unei funcții și maximul ei?

Marginea superioară este cel mai mic majorant; devine maxim doar dacă funcția chiar o ia. Pentru $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ , pe $[0, + \infty)$ , avem $f (x) < 1$ și valorile se apropie oricât de $1$ , dar nu-l ating. Marginea superioară este $1$ , iar maximul nu există. Minimul este $f (0) = 0$ .

Pe ce intervale e convexă și concavă funcția $f (x) = (x - 2)^{3}$ ?

Graficul lui $x^{3}$ are formă de cupolă la stânga originii și de cupă la dreapta ei. Funcția $(x - 2)^{3}$ are același grafic, mutat cu $2$ unități la dreapta. Rezultă că este concavă pe $(- \infty, 2]$ și convexă pe $[2, + \infty)$ , iar schimbarea formei are loc în punctul $(2, 0)$ .

Cum aflu valorile extreme ale unei funcții monotone pe un interval închis?

O funcție monotonă își atinge valorile extreme în capetele intervalului. De exemplu, $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ pe $[- 3, 1]$ este descrescătoare, deci maximul este $f (- 3) = 8$ , iar minimul $f (1) = \frac{1}{2}$ . Funcția este mărginită, cu graficul cuprins între $y = \frac{1}{2}$ și $y = 8$ .

Este mărginită funcția $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ ?

Da. Din $(x - 1)^{2} \geq 0$ rezultă $2 x \leq x^{2} + 1$ , iar din $(x + 1)^{2} \geq 0$ rezultă $- 2 x \leq x^{2} + 1$ . Împărțind la $x^{2} + 1 > 0$ , obții $- 1 \leq f (x) \leq 1$ , cu $f (1) = 1$ și $f (- 1) = - 1$ . Valorile $1$ și $- 1$ sunt atinse, deci marginile găsite nu pot fi strânse mai mult.

Oamenii mai întreabă și: funcție mărginită citită pe grafic · cum arăt că o funcție este mărginită · graficul între două drepte orizontale · majorant și minorant pe grafic