Mărginire, convexitate și concavitate (M2, științe ale naturii)

Un pulsoximetru prins pe deget afișează saturația sângelui în oxigen, un procent care nu trece de $100$ și nu coboară sub $0$. Curba care leagă acest procent de presiunea oxigenului urcă întâi tot mai abrupt, apoi se domolește lângă pragul de sus. Lecția aceasta, din clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), îți dă cuvintele pentru cele două observații: valorile stau într-o bandă (mărginire), iar arcul se îndoaie într-un anumit fel (convexitate și concavitate). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 mărginirea aparține domeniului „Algebră”, iar convexitatea apare în domeniul „Analiză matematică”, la clasa a XI-a, unde se studiază cu derivate. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține mărginirea printre proprietățile citite pe grafic și numește convexitatea în nota despre lectura grafică a funcțiilor.

În clasa a IX-a ai citit pe grafic mulțimea valorilor funcției de gradul doi și ai văzut cum se apropie o curbă de un nivel fără să-l atingă, la comportamentul asimptotic citit pe grafic. Acum întrebi între ce valori rămâne funcția și încotro se curbează graficul ei. Convexitatea o citești pe desen; calculul ei vine în clasa a XI-a.

Ce vei învăța

• Vei ști ce sunt majorantul și minorantul unei funcții și când spunem că funcția este mărginită, mărginită superior sau mărginită inferior.
• Vei ști să găsești cel mai mic majorant și cel mai mare minorant și să spui dacă sunt atinși, adică dacă devin maxim sau minim.
• Vei ști să confirmi o margine prin calcule scurte, cu pătrate, puteri și radicali, și să arăți că nicio bandă nu ajunge pentru o funcție nemărginită.
• Vei ști să recunoști pe grafic un arc convex (cupă) și unul concav (cupolă) și să citești intervalele pe care se păstrează fiecare formă.
• Vei ști forma graficelor pe care le cunoști deja: parabolele, exponențialele, radicalii, logaritmii, puterile.
• Vei ști să traduci forma curbei în limbajul unui fenomen: o creștere care se accelerează sau una care se domolește.

Hai să descoperim împreună

1. Între ce valori rămâne o mărime?

Figura A arată graficul funcției $u:[0,4]\to \mathbb{R}$, $u(x)=x^3-6x^2+9x+3$. Oricât te-ai uita, curba nu iese din fâșia orizontală dintre dreptele $y=3$ și $y=7$. Această observație are un nume.

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$. Un număr real $M$ este majorant al lui $f$ dacă $f(x)\le M$ pentru orice $x\in D$, iar un număr real $m$ este minorant al lui $f$ dacă $f(x)\ge m$ pentru orice $x\in D$. Funcția este mărginită superior dacă are cel puțin un majorant, mărginită inferior dacă are cel puțin un minorant și mărginită dacă le are pe amândouă, adică dacă graficul ei stă între două drepte orizontale.

Majoranții nu sunt unici: pentru $u$, numărul $7$ este majorant, dar la fel sunt $7,5$ sau $100$. La fel, sub minorantul $3$ sunt o infinitate de minoranți. Întrebarea „este mărginită?” cere doar existența unei benzi, nu banda cea mai îngustă.

Pe desen cauți cel mai înalt și cel mai jos punct al graficului, verifici capetele domeniului (plin sau gol) și scrii două numere. Mărginirea privește valorile, citite pe axa $Oy$.

2. Care majorant spune cel mai mult?

Dintre toți majoranții, unul e interesant: cel mai mic, numit marginea superioară a funcției. Pentru $u$, marginea superioară este $7$, iar marginea inferioară (cel mai mare minorant) este $3$; ambele sunt valori ale funcției, fiindcă graficul atinge ambele drepte.

Nu se întâmplă mereu așa. Figura B arată funcția $w:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $w(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+36}}$. Pentru orice $x\ge 0$ avem $x^2<x^2+36$, deci $x<\sqrt{x^2+36}$ și $w(x)<1$: numărul $1$ este majorant. Valorile se apropie totuși oricât de mult de $1$: $w(8)=\frac{8}{10}=0,8$, iar $w(80)=\frac{80}{\sqrt{6436}}>0,99$. Graficul urcă spre dreapta $y=1$ fără s-o atingă, deci orice număr mai mic decât $1$ este depășit de o valoare a lui $w$. Prin urmare $1$ este cel mai mic majorant, dar funcția nu are maxim.

O margine poate fi deci atinsă (atunci este maximul sau minimul) sau neatinsă. În figura B, marginea de jos, $0$, este atinsă în $x=0$, iar cea de sus este nivelul unei asimptote orizontale.

3. Ce înseamnă că orice prag e depășit?

Ca să spui „nu este mărginită superior”, nu ajunge că graficul iese din ecran: trebuie arătat că orice prag propus este depășit. Luăm $r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $r(x)=x^3+11x$. Oricare ar fi pragul $M\ge 1$, în punctul $x=M$ avem $r(M)=M^3+11M>M$. Deci niciun număr nu poate fi majorant.

La fel, pentru pragul $-M$, valoarea în $x=-M$ este $-M^3-11M<-M$, deci nici inferior nu e mărginită. Regula: alegi un $x$ care depinde de prag și arăți că valoarea funcției îl depășește.

4. Margini confirmate printr-un calcul scurt

Când funcția vine cu formulă, o margine citită pe grafic se confirmă prin câteva unelte pe care le ai deja:

• un pătrat nu e negativ: $(\dots {)}^2\ge 0$, cu egalitate numai unde paranteza se anulează;
• o putere cu bază pozitivă e pozitivă: $a^x>0$ pentru orice $x$ real, cum ai văzut la funcția exponențială;
• un radical de ordinul al doilea nu e negativ, iar o fracție cu numărător și numitor pozitivi e pozitivă;
• pe un interval închis, o funcție monotonă își ia cea mai mică și cea mai mare valoare la capete.

Inegalitatea îți dă un majorant sau un minorant. Separat întrebi: este atinsă marginea? Dacă egalitatea are loc pentru un $x$ din domeniu, marginea e valoare a funcției; altfel rămâne neatinsă.

5. Cupă sau cupolă: forma arcului

A doua proprietate nu mai privește înălțimea, ci forma. O funcție este convexă pe un interval dacă, pe acel interval, graficul ei se curbează în sus, ca o cupă, și concavă dacă se curbează în jos, ca o cupolă. Un control vizual simplu: alegi pe arc două puncte și le unești cu o riglă. La un arc convex, porțiunea de grafic dintre ele rămâne sub segment; la unul concav, rămâne deasupra lui. În figura C vezi ambele situații: în stânga, arcul lui $2^x$ stă sub segmentul dintre $\left(-1,\frac{1}{2}\right)$ și $(2,4)$; în dreapta, arcul lui $\sqrt{x}$ stă deasupra segmentului dintre $(1,1)$ și $(9,3)$.

Segmentul e doar un ajutor pentru ochi, nu un calcul; criteriul de calcul vine în clasa a XI-a. O dreaptă nu se curbează deloc și, prin convenție, se socotește în același timp convexă și concavă.

6. Ce forme cunoști deja?

Multe dintre graficele studiate în clasa a IX-a își au forma stabilită din desen:

• parabola $y=a{x}^2+bx+c$ este convexă pe tot $\mathbb{R}$ dacă $a>0$ și concavă dacă $a<0$ (funcția de gradul al doilea);
• exponențiala $a^x$ este convexă pe $\mathbb{R}$, oricare ar fi baza admisă, și când urcă, și când coboară;
• $\sqrt{x}$ este concavă pe $[0,+\infty )$, iar ${\log }_{a}x$ este concavă pe $(0,+\infty )$ pentru $a>1$ și convexă pentru $0<a<1$ (funcția logaritmică);
• $\frac{1}{x}$ este convexă pe $(0,+\infty )$ și concavă pe $(-\infty ,0)$.

Monotonia nu decide forma: exponențiala cu bază subunitară coboară pe o cupă, radicalul urcă pe o cupolă. Trei transformări schimbă forma în mod previzibil: o translație, în sus, în jos sau lateral, nu o schimbă; nici înmulțirea cu un număr pozitiv; semnul minus pus în fața funcției, adică oglindirea față de axa $Ox$, întoarce cupa în cupolă și cupola în cupă.

7. Unde își schimbă arcul forma?

Multe grafice nu păstrează aceeași formă pe tot domeniul. Graficul lui $\sqrt[3]{x}$, pe care l-ai desenat la funcția radical de ordin 3, este convex pe $(-\infty ,0]$ și concav pe $[0,+\infty )$: în origine, cupa se transformă în cupolă. Graficul lui $x^3$ face invers, concav la stânga originii și convex la dreapta ei.

Răspunsul la o citire de convexitate este deci o listă de intervale pe axa $Ox$, fiecare cu forma lui, plus punctul de trecere, pe care îl citești pe desen.

8. Ce spune forma despre fenomen?

În științe, o mărime care crește pe un arc convex crește tot mai repede, iar una care crește pe un arc concav crește tot mai încet, cum se dizolvă sarea într-un volum fix de apă, spre saturație. Pe un arc convex, scăderea se domolește; pe unul concav, se accelerează. Măsurarea acestor ritmuri este tema lecției despre rata creșterii și a descreșterii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Curba de saturație a hemoglobinei

Figura D arată cum depinde saturația hemoglobinei cu oxigen, $S$ (în procente), de presiunea parțială a oxigenului, $p$ (în milimetri coloană de mercur), pentru $p\in [0,120]$. Pe curbă sunt marcate punctele $(26,50)$, $(40,76)$ și $(100,97)$, cu ordonatele rotunjite la unități. a) Este funcția mărginită? Care sunt marginile ei pe acest interval și sunt ele atinse? b) Pe ce intervale este graficul convex și pe ce intervale este concav? c) Ce înseamnă forma concavă pentru sângele care pleacă din plămâni, unde $p$ este în jur de $100$?

Rezolvare. a) Graficul pornește din origine și urcă pe tot intervalul, sub pragul de $100$. Minimul este $S(0)=0$, iar maximul este valoarea de la capătul din dreapta, puțin peste $98$: funcția e mărginită și ambele margini sunt atinse. Pragul de $100$ e un majorant neatins: hemoglobina nu poate lega mai mult oxigen decât are locuri.

b) Arcul e convex aproximativ pe $[0,20]$ și concav aproximativ pe $[20,120]$; citirea e aproximativă, fiindcă punctul de trecere nu e marcat.

c) Pe porțiunea concavă din dreapta curba e aproape orizontală: o scădere a presiunii de la $100$ la $80$ de milimetri coloană de mercur schimbă saturația cu doar câteva procente, deci sângele rămâne bine încărcat cu oxigen. $■$

Exemplul 2 — O fracție cu numitor mereu pozitiv

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{12}{x^2+4}$, este mărginită și decideți dacă își atinge marginile.

Rezolvare. Numitorul verifică $x^2+4\ge 4>0$, deci $f(x)>0$: $0$ este minorant. Din $x^2+4\ge 4$ rezultă $f(x)\le \frac{12}{4}=3$, cu egalitate numai în $x=0$: $f(0)=3$, deci maximul funcției este $3$.

Minorantul $0$ nu este atins, fiindcă numărătorul nu se anulează, dar valorile coboară oricât de aproape de el: $f(10)=\frac{12}{104}<0,12$. Așadar $0$ este cel mai mare minorant și funcția nu are minim; ea este mărginită, cu $0<f(x)\le 3$. $■$

Exemplul 3 — Un radical care depășește orice prag

Fie $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4\sqrt{x}+5$. Arătați că $f$ este mărginită inferior și are minim, dar nu este mărginită superior.

Rezolvare. Pentru $x\ge 0$ avem $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$, deci $f(x)={\left(\sqrt{x}\right)}^2-4\sqrt{x}+4+1={\left(\sqrt{x}-2\right)}^2+1\ge 1$, cu egalitate numai când $\sqrt{x}=2$, adică în $x=4$: minimul este $f(4)=4-8+5=1$.

Pentru un prag oarecare $M\ge 1$, alegem $x=(M+2{)}^2$, care este în domeniu. Atunci $\sqrt{x}=M+2$ și $f(x)=M^2+1>M$. Un prag mai mic decât $1$ este depășit de orice valoare a funcției. Deci niciun număr nu este majorant, deși pe $[0,4]$ graficul coboară. $■$

Exemplul 4 — Citește graficul: margini și forme pe același desen

Figura E arată graficul funcției $f:[-4,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{4}-3x$. a) Citiți mulțimea valorilor și punctele în care se ating marginile. b) Citiți intervalele de convexitate și de concavitate. c) Verificați prin calcul valorile citite la punctul a).

Rezolvare. a) Cel mai jos punct al graficului se află la înălțimea $-4$, atinsă de două ori, în $x=-4$ și în $x=2$; cel mai înalt se află la $4$, atinsă în $x=-2$ și în $x=4$. Mulțimea valorilor este $[-4,4]$, deci funcția e mărginită, cu minimul $-4$ și maximul $4$.

b) La stânga originii arcul se curbează în jos, iar la dreapta ei în sus: $f$ este concavă pe $[-4,0]$ și convexă pe $[0,4]$, cu trecerea în origine.

c) $f(-4)=-16+12=-4$, $f(2)=2-6=-4$, $f(-2)=-2+6=4$ și $f(4)=16-12=4$. Calculul confirmă citirea; că nu există valori în afara lui $[-4,4]$ se vede aici pe desen. $■$

Exemplul 5 — Termometrul care „nu mai urcă”

Un termometru digital, aflat la $25^{\circ }\mathrm{C}$, este pus la subraț. Temperatura afișată după $t$ secunde este, într-un model simplificat, $T(t)=37-12\cdot 2^{-t/10}$ grade Celsius, pentru $t\ge 0$, cât timp termometrul rămâne pe loc. a) Arătați că $25\le T(t)<37$. b) Este $37$ o valoare afișată? Care este cea mai mică margine superioară? c) Graficul lui $T$ este convex sau concav și ce înseamnă asta pentru afișaj?

Rezolvare. a) Puterea $2^{-t/10}$ este pozitivă și, pentru $t\ge 0$, cel mult $2^0=1$. Deci $0<12\cdot 2^{-t/10}\le 12$, de unde $25\le T(t)<37$. Valoarea $T(0)=25$ este atinsă la pornire.

b) Termenul scăzut nu devine niciodată zero, deci $37^{\circ }\mathrm{C}$ nu este afișat niciodată. Totuși $T(20)=37-3=34$ și $T(60)=37-\frac{12}{64}=36,8125$: valorile se apropie oricât de mult de $37$. Cea mai mică margine superioară este $37$, neatinsă, deci modelul nu are maxim.

c) Graficul lui $T$ se obține din cel al exponențialei descrescătoare $12\cdot 2^{-t/10}$, care are formă de cupă, prin oglindire față de o dreaptă orizontală și mutare în sus; oglindirea întoarce cupa în cupolă, deci graficul lui $T$ este concav. Afișajul urcă tot mai încet: în primele $10$ secunde câștigă $6$ grade, între $30$ și $40$ de secunde doar $0,75$ grade. De aceea aparatul sună când creșterea devine foarte mică, nu la $37^{\circ }\mathrm{C}$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6x}{x^2+9}$. a) Arătați că $-1\le f(x)\le 1$, oricare ar fi numărul real $x$. b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)=1$, respectiv $f(x)=-1$. c) Determinați numerele reale $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are exact o soluție reală.

Rezolvare. a) Numitorul este pozitiv, deci putem compara numărătorii. Inegalitatea $f(x)\le 1$ este echivalentă cu $6x\le x^2+9$, adică $x^2-6x+9\ge 0$, adică $(x-3{)}^2\ge 0$, adevărat. Inegalitatea $f(x)\ge -1$ este echivalentă cu $-x^2-9\le 6x$, adică $(x+3{)}^2\ge 0$, adevărat.

b) Egalitatea $f(x)=1$ are loc exact când $(x-3{)}^2=0$, adică pentru $x=3$; egalitatea $f(x)=-1$ are loc exact pentru $x=-3$. Deci $1$ este maximul funcției, iar $-1$ este minimul ei.

c) Pentru $m=0$, ecuația $6x=0$ are soluția unică $x=0$. Pentru $m\ne 0$, ecuația devine $m{x}^2-6x+9m=0$, de gradul al doilea, cu $\Delta =36-36m^2$. Ea are exact o soluție când $\Delta =0$, adică $m=1$ sau $m=-1$, iar atunci soluția dublă este $3$, respectiv $-3$. Pentru $0<|m|<1$ există două soluții, iar pentru $|m|>1$ niciuna. Deci $m\in \{-1,0,1\}$. $■$

Să exersăm

La mărginire scrie separat inegalitatea și cazul de egalitate; la convexitate, intervalele pe axa $Ox$.

1. Studiază mărginirea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5+2^x$. Are minim? Are maxim?

2. Determină marginile funcției $f:[-27,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, și spune dacă sunt atinse.

3. Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x}+1$. Este $f$ mărginită inferior? Care este cel mai mare minorant și este el atins? Este $f$ mărginită superior?

4. Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3-x^4$. Arată că $g$ are maxim și că nu este mărginită inferior, indicând, pentru pragul $-M$ cu $M>0$, un punct în care valoarea funcției este mai mică decât pragul.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2}{x^2+2}$, este mărginită și își atinge ambele margini.”

6. Folosind formele cunoscute și efectul translațiilor și al oglindirii față de axa $Ox$, spune ce formă are fiecare funcție pe domeniul indicat (convexă, concavă sau pe intervale): a) $2-3\sqrt{x}$ pe $[0,+\infty )$; b) ${\log }_6(x+3)$ pe $(-3,+\infty )$; c) $-\frac{3}{x}$ pe $(0,+\infty )$; d) ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x+1$ pe $\mathbb{R}$; e) $\sqrt[3]{x}-2$ pe $\mathbb{R}$; f) $-{\log }_{5}x$ pe $(0,+\infty )$.

7. Figura F arată graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{1+2^{-x}}$, desenat pe $[-4,4]$. a) Arată că $0<f(x)<4$ pentru orice $x$ real. b) Sunt atinse marginile $0$ și $4$? c) Citește intervalele de convexitate și de concavitate și punctul de trecere.

8. Viteza unui parașutist în cădere liberă, până la deschiderea parașutei, este dată de modelul $v(t)=55(1-2^{-t/4})$ metri pe secundă, pentru $t\in [0,40]$ secunde. a) Arată că $55$ este un majorant al vitezei. b) Este $55$ maximul vitezei pe acest interval? c) Graficul lui $v$ este convex sau concav? Ce înseamnă asta pentru creșterea vitezei?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\sqrt{x}+\sqrt{8-x}\le 4$, oricare ar fi numărul real $x\in [0,8]$, și determinați numărul $x$ pentru care are loc egalitatea.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+31$. a) Calculați $f(5)$. b) Arătați că $f(x)\ge f(5)$, oricare ar fi numărul real $x$. c) Arătați că $f$ nu este mărginită superior, indicând, pentru un prag $M\ge 6$, un număr real $x$ cu $f(x)>M$.

11. (Problemă aplicată.) Figura G arată cu cât crește concentrația glucozei în sânge față de valoarea de dinaintea mesei: $c$, în miligrame pe decilitru, la $t$ minute după masă, pentru $t\in [0,240]$. Pe grafic este marcat punctul $(45,50)$. a) Care sunt marginile funcției pe acest interval și unde sunt atinse? b) Pe ce interval este graficul concav și pe ce interval este convex? c) Ce se întâmplă cu scăderea glicemiei după minutul $90$?

12. Ecologii folosesc relația dintre numărul de specii și aria cercetată: pe o pajiște, numărul de specii de plante găsite într-un pătrat de probă cu aria $A$ metri pătrați este, aproximativ, $S(A)=12\sqrt[3]{A}$, pentru $A\in [1,125]$. a) Între ce valori se află $S$ pe acest interval și unde sunt atinse marginile? b) Este graficul convex sau concav? c) Compară $S(8)$ cu $S(1)$ și $S(64)$ cu $S(8)$. Ce se întâmplă cu numărul de specii când aria crește de $8$ ori?

13. Dă câte un exemplu, dintre funcțiile studiate, de funcție: a) definită pe $\mathbb{R}$, concavă, mărginită superior, fără maxim; b) definită pe $\mathbb{R}$, concavă, cu maxim; c) definită numai pentru numere pozitive, convexă, mărginită inferior, fără minim.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $g:[-9,16]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\sqrt{x+9}-2$, cu graficul în figura H. a) Calculați $g(0)$. b) Determinați mulțimea valorilor funcției. c) Precizați dacă graficul este convex sau concav.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2+64}$. a) Calculați $f(6)$. b) Arătați că $f(x)\ge 8$, oricare ar fi numărul real $x$. c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x)=10$.

16. Fie $f:[-2,2]\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. Este $f$ mărginită? Are maxim sau minim? Este $0$ o valoare a funcției?

17. Compară funcțiile $f(x)=2^x$ și $g(x)={\log }_{2}x$, ambele restrânse la intervalul $(0,4]$: care este convexă și care concavă, care este mărginită pe acest interval și ce margini au?

18. (Provocare.) Arată că $2^{x^2-2x}\ge \frac{1}{2}$ pentru orice număr real $x$ și determină cel mai mic majorant al funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^{x^2-2x}$.

Răspunsuri și explicații

1. $2^x>0$ dă $f(x)>5$: $5$ este minorant neatins, dar cel mai mare, fiindcă $f(-10)=5+\frac{1}{1024}$; funcția nu are minim. Pentru orice prag $M\ge 6$, $f(M)>2^M>M$: nu e mărginită superior și nu are maxim.

2. Funcția $\sqrt[3]{x}$ este crescătoare, deci pe $[-27,1]$ valorile sunt între $\sqrt[3]{-27}=-3$ și $\sqrt[3]{1}=1$. Ambele capete sunt în domeniu, deci minimul $-3$ și maximul $1$ sunt atinse, iar mulțimea valorilor este $[-3,1]$.

3. $\frac{3}{x}>0$, deci $f(x)>1$: $1$ este cel mai mare minorant, neatins, fiindcă $f(300)=1,01$. Superior nu e mărginită: pentru pragul $M\ge 1$, $f\left(\frac{3}{M}\right)=M+1>M$.

4. $x^4\ge 0$ dă $g(x)\le 3$, cu egalitate în $x=0$: maximul este $g(0)=3$. Pentru pragul $-M$ alegem $x=M+2$; cum $M+2>2$, avem $(M+2{)}^4>8(M+2)>M+3$, deci $g(M+2)=3-(M+2{)}^4<3-(M+3)=-M$. Așadar $g$ nu e mărginită inferior.

5. Fals. $3x^2<3(x^2+2)$, deci $0\le f(x)<3$. Marginea $0$ e atinsă în $x=0$, dar $3$ nu e atins, deși $f(10)=\frac{300}{102}>2,9$: funcția are doar minim.

6. a) convexă: $\sqrt{x}$ e concavă, iar $-3\sqrt{x}$ o întoarce în cupă; adunarea lui $2$ nu schimbă forma. b) concavă: graficul lui ${\log }_{6}x$, cu bază supraunitară, mutat cu $3$ unități spre stânga. c) concavă: $\frac{3}{x}$ are formă de cupă pe $(0,+\infty )$, iar semnul minus o întoarce. d) convexă: exponențiala are formă de cupă pentru orice bază admisă, iar adunarea lui $1$ doar o ridică. e) convexă pe $(-\infty ,0]$ și concavă pe $[0,+\infty )$, cu trecerea în $(0,-2)$: graficul lui $\sqrt[3]{x}$, coborât cu $2$. f) convexă: ${\log }_{5}x$ e concavă, iar semnul minus o întoarce.

7. a) $2^{-x}>0$, deci numitorul e mai mare decât $1$: $0<f(x)<4$. b) Niciuna: $f(x)=4$ ar cere $2^{-x}=0$, iar $f(x)=0$ e imposibil; graficul se apropie de $y=0$ spre stânga și de $y=4$ spre dreapta. c) Convexă pe $(-\infty ,0]$, concavă pe $[0,+\infty )$, cu trecerea în $(0,2)$, fiindcă $f(0)=\frac{4}{2}=2$.

8. a) $2^{-t/4}>0$, deci $1-2^{-t/4}<1$ și $v(t)<55$. b) Nu: $55$ nu este atins pe $[0,40]$. Funcția crește, deci maximul este la capăt, $v(40)=55\left(1-2^{-10}\right)=\frac{56265}{1024}\approx 54,946$ metri pe secundă, iar acesta e și cel mai mic majorant pe interval; $55$ e doar un majorant. c) Concav: viteza crește tot mai încet, fiindcă rezistența aerului crește odată cu ea.

9. Ambii termeni sunt nenegativi, deci putem compara pătratele: ${\left(\sqrt{x}+\sqrt{8-x}\right)}^2=8+2\sqrt{x(8-x)}$. Cum $x(8-x)=16-(x-4{)}^2\le 16$, avem $\sqrt{x(8-x)}\le 4$, deci pătratul sumei este cel mult $8+8=16$, iar suma este cel mult $4$. Egalitatea cere $(x-4{)}^2=0$, adică $x=4$: $\sqrt{4}+\sqrt{4}=4$.

10. a) $f(5)=25-50+31=6$. b) $f(x)-6=x^2-10x+25=(x-5{)}^2\ge 0$, deci $f(x)\ge f(5)$. c) Pentru pragul $M\ge 6$ alegem $x=M+5$: $f(M+5)=(M+5{)}^2-10(M+5)+31=M^2+6>M$. Deci niciun număr nu este majorant: $f$ are minimul $6$, dar nu este mărginită superior.

11. a) Pe $[0,240]$ creșterea pornește de la $0$, urcă până la maximul $50$, atins în minutul $45$, apoi coboară fără să revină la $0$; minimul este $0$, atins la $t=0$. Funcția e mărginită, cu valori între $0$ și $50$ de miligrame pe decilitru; dacă înainte de masă glicemia era $90$, ea a stat între $90$ și $140$ de miligrame pe decilitru. b) Citit pe grafic, arcul este concav aproximativ pe $[0,90]$ și convex aproximativ pe $[90,240]$; trecerea se face în jurul minutului $90$, la o creștere de circa $37$ de miligrame pe decilitru. c) După minutul $90$ glicemia scade tot mai încet și se apropie de nivelul de pornire.

12. a) Radicalul de ordin 3 este crescător, deci pe $[1,125]$ valorile sunt între $S(1)=12$ și $S(125)=12\cdot 5=60$ de specii; ambele margini sunt atinse, la capetele intervalului. b) Concav: graficul lui $\sqrt[3]{A}$ are formă de cupolă pentru $A\ge 0$, iar înmulțirea cu $12$ nu schimbă forma. c) $S(1)=12$, $S(8)=24$ și $S(64)=48$: de fiecare dată când aria crește de $8$ ori, numărul de specii se dublează; ca să găsești de două ori mai multe specii, cercetezi o arie de opt ori mai mare.

13. Exemple posibile: a) $5-3^x$: semnul minus întoarce cupa exponențialei în cupolă, iar din $3^x>0$ rezultă $5-3^x<5$, cu valori oricât de aproape de $5$ pentru $x$ foarte negativ, deci fără maxim; b) $-x^2+1$, cu maximul $1$ în $0$; c) $\frac{1}{x}$ pentru $x>0$: are formă de cupă, $\frac{1}{x}>0$, iar valorile coboară oricât de aproape de $0$, de exemplu $\frac{1}{1000}=0,001$, deci nu există minim.

14. a) $g(0)=\sqrt{9}-2=1$. b) Funcția crește, iar $g(-9)=0-2=-2$ și $g(16)=\sqrt{25}-2=3$, deci mulțimea valorilor este $[-2,3]$. c) Concav: este graficul radicalului, mutat, iar mutarea nu schimbă forma.

15. a) $f(6)=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. b) $x^2+64\ge 64$, deci $\sqrt{x^2+64}\ge \sqrt{64}=8$; minimul $8$ este atins în $x=0$. c) $\sqrt{x^2+64}=10$ înseamnă $x^2+64=100$, adică $x^2=36$, deci $x=6$ sau $x=-6$.

16. Pentru $x\in [-2,2]$ avem $-8\le x^3\le 8$, deci $f$ e mărginită; capetele $-2$ și $2$ aparțin domeniului, deci minimul $f(-2)=-8$ și maximul $f(2)=8$ sunt atinse. Numărul $0$ nu este valoare a funcției: $x^3=0$ numai pentru $x=0$, care lipsește din domeniu. Mulțimea valorilor este $[-8,0)\cup (0,8]$: punctul scos din interiorul domeniului a scos o valoare, dar nu și marginile.

17. $2^x$ e convexă, ${\log }_{2}x$ concavă. Pe $(0,4]$, $f$ ia valori în $(1,16]$: mărginită, cu maximul $16$ și marginea $1$ neatinsă. $g$ are maximul ${\log }_{2}4=2$, dar nu e mărginită inferior: ${\log }_2\frac{1}{1024}=-10$, și coboară oricât spre $0$.

18. $x^2-2x=(x-1{)}^2-1\ge -1$, iar $2^x$ este crescătoare, deci $2^{x^2-2x}\ge 2^{-1}=\frac{1}{2}$, cu egalitate în $x=1$. Pe $[0,3]$ exponentul $x^2-2x$ ia cea mai mare valoare în $x=3$, unde $9-6=3$; deci cel mai mic majorant este $2^3=8$, atins în $x=3$.

De reținut

• $f$ este mărginită dacă există două numere $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x$ din domeniu, adică graficul stă între două drepte orizontale.
• Cel mai mic majorant și cel mai mare minorant sunt marginile funcției; o margine atinsă este maximul sau minimul, una neatinsă nu este valoare a funcției.
• O margine se confirmă prin inegalitate (pătrat, putere pozitivă, radical, monotonie pe interval închis), iar atingerea ei se decide separat, din cazul de egalitate în domeniu.
• Convexă pe un interval = graficul se curbează în sus (cupă); concavă = se curbează în jos (cupolă); răspunsul se dă pe intervale ale axei $Ox$.
• Forma nu depinde de monotonie: o curbă poate urca sau coborî și pe o cupă, și pe o cupolă; în context, cupa arată un ritm care se accelerează la creștere, cupola unul care se domolește.

Greșeli frecvente

• Scrii un majorant care depinde de $x$. „$f(x)\le x+3$” nu arată mărginirea: un majorant este un singur număr, același pentru toate valorile lui $x$ din domeniu.
• Dai domeniul în loc de mulțimea valorilor. Pentru funcția din Exemplul 4, intervalul $[-4,4]$ vine de pe axa $Oy$; faptul că și domeniul este $[-4,4]$ e o coincidență. Marginile se citesc întotdeauna pe verticală.
• Declari atinsă o margine a cărei egalitate cade în afara domeniului. Pentru o funcție ca $(x-5{)}^2+1$ restrânsă la $[0,3]$, numărul $1$ este minorant, dar nu minim: pătratul se anulează în $5$, care nu aparține domeniului.
• Confunzi punctul în care se schimbă forma cu un punct de extrem. La funcția din Exemplul 4, cupola devine cupă în origine, pe când cea mai mare și cea mai mică valoare sunt atinse în $\pm 2$ și la capete. Punctul de trecere se citește din felul în care se curbează graficul, nu din locul în care urcarea se schimbă în coborâre.
• Spui „nemărginită” despre o funcție restrânsă la un interval închis. Parabola $x^2$ nu e mărginită superior pe $\mathbb{R}$, dar pe $[-2,3]$ are valori între $0$ și $9$: restrângerea domeniului schimbă răspunsul.

Aplică acasă

1. Termometrul, secundă cu secundă. Cu un termometru digital de uz casnic, notează afișajul din $5$ în $5$ secunde după ce l-ai pus la subraț, până la semnalul sonor. Reprezintă punctele pe hârtie milimetrică și spune dacă ele stau pe o curbă convexă sau concavă, apoi care număr crezi că este cel mai mic majorant al valorilor.
2. Paharul conic. Umple un pahar în formă de con (mai larg sus) dintr-o sticlă cu dop găurit, care curge constant, și marchează pe pahar nivelul apei la fiecare $5$ secunde. Explică de ce nivelul urcă tot mai încet și desenează forma graficului „nivel în funcție de timp”.
3. Colecția de curbe. Caută în manualul de fizică, chimie sau biologie trei grafice diferite. Pentru fiecare, scrie marginile valorilor (cu unități), spune dacă sunt atinse și împarte axa orizontală în intervale pe care curba este convexă sau concavă.

Pentru părinți și profesori

Lecția adună două proprietăți cerute prin lectură grafică: mărginirea, cu distincția dintre marginea atinsă (maxim, minim) și cea neatinsă, și convexitatea sau concavitatea citite pe desen, pe intervale. Funcțiile sunt cele din clasa a IX-a, iar confirmările prin calcul folosesc doar pătrate, puteri pozitive și monotonia pe intervale închise. Convexitatea nu se demonstrează: criteriile de calcul aparțin clasei a XI-a.

De urmărit în caiet: dacă elevul scrie separat inegalitatea și cazul de egalitate, dacă verifică apartenența punctului de egalitate la domeniu și dacă dă intervalele de convexitate pe axa $Ox$. Întrebări bune de control: „Cine este cel mai mic majorant și de ce nu e unul mai mic?”; „Ai arătat că orice prag e depășit sau doar că graficul iese din ecran?”; „Pe ce interval se schimbă forma curbei?”. Lecția următoare a traseului, despre funcțiile pare și impare, păstrează aceeași lectură grafică și adaugă simetriile, iar ambele teme sunt verificate în testul unității despre monotonie, simetrie și periodicitate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. Mărginirea este numită explicit la clasa a X-a, printre „proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică”; convexitatea nu apare în conținuturile clasei a X-a, ci doar ca activitate de învățare la clasa a IX-a („extragerea, dintr-o reprezentare grafică dată, a unor informații legate de intervalele de convexitate sau concavitate”). La proba MAT_P2 din 2030, mărginirea aparține domeniului „Algebră”, iar convexitatea domeniului „Analiză matematică”, la clasa a XI-a, cu derivate. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde mărginirea printre proprietățile citite pe grafic și numește convexitatea în nota despre lectura grafică a proprietăților funcțiilor. Modelul oficial 2026 nu are o cerință despre mărginire sau convexitate; exercițiile marcate „tip Bacalaureat M2” sunt antrenament propriu, în limitele programei. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: mărginire, convexitate și concavitate tratează convexitatea cu demonstrații, pe care profilul de științe nu le cere.

Întrebări frecvente

Ce este diferit în această lecție față de varianta de mate-info (M1)? Varianta M1 definește convexitatea printr-o inegalitate generală și o demonstrează pentru funcții cu module și pe ramuri. Aici convexitatea se citește pe grafic, pe funcțiile din clasa a IX-a, iar mărginirea se confirmă cu pătrate, puteri și radicali, în contexte din biologie și fizică, cu accent pe marginile atinse și neatinse.

La ce parte a bacalaureatului M2 îmi folosește lecția? Programa bacalaureatului M2 din 2027–2029 cuprinde mărginirea printre proprietățile citite pe grafic și numește convexitatea în nota despre lectura grafică. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are însă o cerință pe această temă. Lecția te pregătește pentru inegalitățile de tipul „arătați că $f(x)\ge k$” și pentru citirea unui grafic dat. La proba MAT_P2 din 2030, convexitatea revine în clasa a XI-a, cu derivate.

De ce are sens „cel mai mic majorant”, dacă majoranții sunt o infinitate? Pentru că majoranții umplu o semidreaptă, de la un anumit număr în sus, iar capătul ei este marginea superioară. O găsești din grafic, din cazul de egalitate sau, la o asimptotă orizontală, din nivelul spre care urcă graficul. Simetric, minoranții umplu o semidreaptă îndreptată în jos, iar capătul ei de sus este cel mai mare minorant: în Exemplul 2, acesta este $0$, neatins.

Pot decide convexitatea doar din formulă, fără grafic, în clasa a X-a? Pentru familiile cunoscute, da: parabola după semnul lui $a$, exponențiala, radicalul, logaritmul după bază. Pentru o funcție nouă, ca un polinom de gradul al treilea, te sprijini pe graficul dat sau trasat cu o aplicație; criteriul de calcul general vine în clasa a XI-a, cu derivata a doua.

Poate o funcție convexă pe tot $\mathbb{R}$ să fie mărginită? Mărginită inferior, da: $2^x$ stă mereu deasupra axei $Ox$. Mărginită și superior, numai dacă este constantă. O curbă neconstantă care se îndoaie mereu în sus urcă, spre stânga sau spre dreapta, peste orice prag. De aceea, o funcție mărginită și neconstantă, definită pe tot $\mathbb{R}$, nu poate avea aceeași formă de cupă peste tot.

Ce înseamnă concavitatea unei curbe de creștere într-un experiment? Că mărimea crește tot mai încet: graficul se aplatizează pe măsură ce timpul trece, ca la termometrul care se apropie de temperatura corpului. O asemenea curbă se apropie adesea de o margine superioară cu sens fizic: o capacitate, o temperatură de echilibru, un prag de saturație.