Ce presupui pentru a demonstra prin absurd că nu există întreg $$n$$ cu $$2n=5$$?

Există un întreg $$n$$ pentru care $$2n=5$$.

Ecuația este adevărată pentru fiecare întreg.

Nu există niciun număr real care verifică ecuația.

Trei probe au împreună o masă mai mare de $$12$$ g. Pentru a demonstra prin absurd că cel puțin o probă are peste $$4$$ g, ce presupui?

Fiecare probă are cel mult $$4$$ g.

Fiecare probă are peste $$4$$ g.

Cum arăt prin absurd că, dacă n² este par, atunci n este par?

Păstrezi ipoteza și presupui contrariul concluziei: n este impar, n=2k+1. Atunci n²=4k²+4k+1=2(2k²+2k)+1 este impar, ceea ce contrazice ipoteza. Presupunerea este falsă, deci n este par.

Ce este principiul cutiei în demonstrații?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Reducerea la absurd

Principiul spune că, dacă împarți $n + 1$ obiecte în $n$ cutii, cel puțin o cutie primește două obiecte. Se demonstrează prin reducere la absurd: dacă fiecare cutie ar avea cel mult un obiect, ar exista cel mult $n$ obiecte, contradicție. Exemplu: dintre $13$ elevi, doi sunt născuți în aceeași lună, pentru că lunile sunt $12$ . La fel, dintre $367$ de persoane, două au aceeași zi de naștere.

O demonstrație prin contradicție păstrează datele problemei și adaugă temporar negarea rezultatului urmărit. Din aceste informații trebuie dedus ceva incompatibil cu o ipoteză sau cu un fapt matematic sigur. Atunci presupunerea adăugată este respinsă, iar concluzia inițială este stabilită.

Negarea trebuie să acopere toate posibilitățile în care ținta ar fi falsă. Pentru a nega o inegalitate strictă, incluzi egalitatea în alternativa opusă. Negarea unei afirmații universale cere existența unui contraexemplu; negarea unei existențe exclude toate elementele domeniului. O conjuncție este negată prin disjuncția negațiilor componentelor, nu prin impunerea ambelor negații simultan.

Domeniul contează pe parcursul întregii dovezi. Paritatea se referă la întregi, iar negația trebuie să păstreze această condiție. La numere reale, nenegativitatea pătratelor poate exclude o sumă negativă. Când se cunoaște un total, presupunerea că fiecare termen rămâne sub un prag limitează suma posibilă.

Separă existența de unicitate. Presupunerea a două soluții distincte, urmată de demonstrarea egalității lor, arată că există cel mult o soluție. Pentru a spune că există exact una, mai trebuie prezentată o valoare admisă care verifică cerința. O egalitate adevărată și obișnuită nu constituie contradicție: precizează care două afirmații nu pot fi simultan valabile.

De reținut

se păstrează ipotezele și se presupune negația concluziei
negația trebuie să cuprindă toate cazurile contrare
contradicția trebuie să fie cu o ipoteză sau cu un fapt sigur
$n + 1$ obiecte în $n$ cutii: o cutie are cel puțin două obiecte

Greșeala tipică

Se aplică principiul cu tot atâtea obiecte câte cutii, de exemplu $12$ elevi și $12$ luni; concluzia cere cel puțin un obiect în plus față de numărul cutiilor.

Exerciții din această mini-lecție

Care este negarea exactă a condiției $x \geq - 2$ , pentru $x$ real?
- a) $x \leq - 2$
- b) $x < - 2$
- c) $x > - 2$
- d) $x \neq = - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x < - 2$

Condiția inițială cuprinde egalitatea. Alternativa opusă este strictă: $x < - 2$ . Cele două mulțimi de valori sunt disjuncte și acoperă dreapta reală.
Ce presupui pentru a demonstra prin absurd că nu există întreg $n$ cu $2 n = 5$ ?
- a) Ecuația este adevărată pentru fiecare întreg.
- b) Numărul 5 este par.
- c) Nu există niciun număr real care verifică ecuația.
- d) Există un întreg $n$ pentru care $2 n = 5$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Există un întreg $n$ pentru care $2 n = 5$ .

Negarea inexistenței este existența unui element din același domeniu. Nu se schimbă domeniul întregilor și nu se presupune că orice întreg ar fi soluție.
Trei probe au împreună o masă mai mare de $12$ g. Pentru a demonstra prin absurd că cel puțin o probă are peste $4$ g, ce presupui?
- a) Fiecare probă are cel mult $4$ g.
- b) O probă are exact $4$ g.
- c) Fiecare probă are peste $4$ g.
- d) Nicio probă nu are masa zero.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Fiecare probă are cel mult $4$ g.

Concluzia vorbește despre cel puțin o probă, deci negarea ei impune limita tuturor: fiecare are cel mult $4$ g. Adunând cele trei limite, masa totală ar fi cel mult $12$ g, în contradicție cu datele.

Întrebări conexe

Cum arăt prin absurd că nu există un număr natural maxim?

Presupui că există un număr natural $N$ mai mare sau egal cu toate celelalte. Dar $N + 1$ este tot natural și este strict mai mare decât $N$ , ceea ce contrazice presupunerea. Deci șirul numerelor naturale nu se oprește.

Cum arăt prin absurd că ecuația $x^{2} + 4 = 0$ nu are soluții reale?

Presupui că există un număr real $a$ cu $a^{2} + 4 = 0$ , adică $a^{2} = - 4$ . Pătratul oricărui număr real este însă nenegativ, deci nu poate fi $- 4$ . Contradicția arată că ecuația nu are soluții reale.

Cum arăt prin absurd că, dacă $n^{2}$ este par, atunci $n$ este par?

Păstrezi ipoteza și presupui contrariul concluziei: $n$ este impar, $n = 2 k + 1$ . Atunci $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 2 (2 k^{2} + 2 k) + 1$ este impar, ceea ce contrazice ipoteza. Presupunerea este falsă, deci $n$ este par.

De ce suma dintre un număr rațional și unul irațional este irațională?

Presupui că $r + i = q$ , cu $r$ și $q$ raționale, iar $i$ irațional. Atunci $i = q - r$ , o diferență de numere raționale, deci rațională. Aceasta contrazice ipoteza că $i$ este irațional, așa că suma nu poate fi rațională.

Ce diferență este între reducerea la absurd și contrapoziție?

La contrapoziție demonstrezi direct $\neg q \Rightarrow \neg p$ în locul lui $p \Rightarrow q$ . La reducerea la absurd presupui $p$ și $\neg q$ împreună și ajungi la orice contradicție, nu neapărat la $\neg p$ . Contrapoziția este un caz particular al metodei.

Oamenii mai întreabă și: principiul cutiei · principiul lui Dirichlet · n plus 1 obiecte în n cutii · doi elevi născuți în aceeași lună