Metoda reducerii la absurd (M2, științe ale naturii)

Alegem un număr pozitiv și îi adunăm câtul dintre patruzeci și nouă și el. Pentru cinci obținem $14,8$, pentru șapte exact $14$, pentru zece $14,9$. Poate vreun număr pozitiv să dea un rezultat mai mic decât paisprezece? Cum am justifica răspunsul fără să încercăm toate numerele pozitive, care sunt infinit de multe? Vom reveni la această întrebare într-un exemplu rezolvat. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), reducerea la absurd ne oferă o metodă precisă de demonstrație. Pentru Bacalaureatul M2, ea te ajută să justifici imposibilitatea unei situații sau necesitatea unei concluzii, pornind de la informațiile date și de la consecințele lor logice.

Punctul de pornire este validarea logică a unui raționament. Vom folosi și negarea propozițiilor cu cuantificatori, deoarece presupunerea inițială trebuie să fie exact negația concluziei. Calculele cer numai proprietăți elementare ale numerelor: ordinea, paritatea, pătratele și operațiile permise. Pentru acestea poți revedea ordonarea numerelor reale în traseul M2.

Ce vei învăța

• Vei ști să păstrezi ipotezele problemei și să adaugi temporar negația concluziei de demonstrat.
• Vei ști să formulezi corect negația unei inegalități și a unei afirmații de existență.
• Vei ști să identifici două afirmații incompatibile și să explici precis contradicția obținută.
• Vei ști să construiești argumente simple de imposibilitate sau unicitate, cu domeniul precizat.
• Vei ști să verifici dacă o demonstrație prin absurd conține operații permise și dacă răspunde exact cerinței.

Hai să descoperim împreună

1. Ce presupunem într-o demonstrație prin reducere la absurd?

Reducerea la absurd este metoda prin care demonstrăm o concluzie arătând că negarea ei este incompatibilă cu ipotezele și cu proprietăți matematice deja stabilite. Presupunerea contrară este temporară: nu o prezentăm drept un fapt și nu schimbăm datele problemei pentru a o face comodă.

Dacă trebuie să arătăm că din ipoteza $p$ rezultă concluzia $q$, păstrăm $p$ și presupunem $\neg q$. Din aceste informații deducem o contradicție. Atunci combinația $p$ adevărată și $q$ falsă nu este posibilă, deci implicația cerută este adevărată.

Nu presupunem că toate datele problemei sunt false. De exemplu, dacă suma unor numere este precizată, acea sumă rămâne disponibilă în demonstrație. Negăm numai concluzia pe care trebuie să o obținem. Fără păstrarea ipotezelor, o contradicție despre alte date nu ar rezolva problema inițială.

Metoda are un traseu clar: scrii presupunerea, deduci consecințe valide, identifici incompatibilitatea și respingi presupunerea. Ultimul pas trebuie spus în cuvinte. Cititorul trebuie să vadă ce afirmație a fost negată și de ce rezultă tocmai concluzia cerută, nu o afirmație mai puternică sau despre alt domeniu.

2. Cum negăm exact concluzia?

Negarea trebuie să acopere toate cazurile în care concluzia nu este adevărată. Pentru a demonstra $x>0$, presupunerea contrară este $x\le 0$, nu doar $x<0$. Numărul zero face parte din alternativa pe care trebuie să o respingi. Pentru a demonstra $x\ge 0$, presupui $x<0$.

Când negi „există”, nu alegi arbitrar un obiect care nu merge. Trebuie să presupui că niciun obiect admis nu are proprietatea. Când negi „nu există”, primești un obiect ipotetic care ar avea proprietatea și lucrezi cu el până la contradicție.

La afirmațiile despre cel puțin un număr dintr-o listă, negația vorbește despre toate numerele listei. Acesta este motivul pentru care o presupunere contrară poate furniza mai multe inegalități pe care le aduni. Păstrează și cuvintele „strict”, „cel puțin”, „cel mult”: ele decid dacă un capăt al intervalului este inclus.

3. Ce este o contradicție matematică?

O contradicție apare când obținem afirmații care nu pot fi adevărate simultan, în același context. De exemplu, același număr nu poate fi și strict pozitiv, și cel mult zero. Relațiile $u>8$ și $u\le 6$ sunt de asemenea incompatibile: prima impune $u>6$, prin ordinea numerelor, iar a doua respinge tocmai această posibilitate.

O egalitate precum $0=5$ exprimă direct o imposibilitate. Dar nu toate contradicțiile trebuie reduse la o asemenea egalitate. Este suficient să ai, de exemplu, $u=v$ și presupunerea $u\ne v$, sau o expresie care ar trebui să fie și pară, și impară.

Un rezultat neobișnuit pentru tine nu este automat absurd. Un număr negativ este perfect posibil într-o problemă pe numere reale; devine incompatibil numai dacă datele impun nenegativitatea. O fracție nu este o contradicție într-un domeniu rațional, dar poate arăta imposibilitatea unui rezultat declarat întreg.

Spune exact ce se contrazice. Formularea „rezultatul nu este bun” ascunde informația decisivă. Dacă o ipoteză păstrată impune $u>8$, iar presupunerea contrară conduce la $u\le 6$, încheierea numește ambele relații și explică de ce nu pot coexista. Nu alegem între ele după preferință: respingem presupunerea adăugată temporar, deoarece ipoteza inițială rămâne valabilă.

4. De ce domeniul nu poate fi omis?

Aceeași ecuație poate fi imposibilă într-o mulțime și rezolvabilă în alta. Ecuația $2x=7$ nu are soluții întregi, dar are soluția rațională $x=\frac{7}{2}$. Dacă vrei să demonstrezi imposibilitatea, trebuie să păstrezi ipoteza că $x$ este întreg.

Pentru orice întreg $x$, numărul $2x$ este par. El nu poate fi egal cu numărul impar șapte. Aceasta este contradicția pe domeniul întreg. Pe domeniul rațional, însă, nu mai poți afirma că dublul oricărui număr admis este un întreg par; argumentul nu se aplică.

La numere reale putem folosi nenegativitatea pătratului. Ecuația $x^2+5=0$ ar cere un pătrat negativ, ceea ce este imposibil în $\mathbb{R}$. Enunțul se referă la domeniul real al lecției; nu adăugăm afirmații despre alte sisteme de numere pe care nu le studiem aici.

În aplicații, domeniul poate fi dat de natura obiectelor. Numărul de fișe dintr-o cutie este un întreg nenegativ. O lungime este nenegativă și, pentru un segment cu capete distincte, pozitivă. Folosește numai restricțiile pe care contextul le justifică; nu transforma o temperatură, de exemplu, într-un număr obligatoriu pozitiv.

5. Cum demonstrăm existența sau unicitatea prin absurd?

Pentru a demonstra că există măcar un obiect cu o proprietate, poți presupune că toate obiectele vizate o ratează. Dacă această presupunere intră în conflict cu datele, existența cerută este dovedită. Nu ai identificat neapărat obiectul, dar ai arătat că absența tuturor candidaților este imposibilă.

Pentru unicitate, presupui că există două obiecte distincte cu proprietatea cerută. Dacă din acea proprietate obții că obiectele sunt egale, contrazici distincția presupusă. Ai demonstrat astfel că poate exista cel mult unul. Ca să afirmi „există exact unul”, trebuie să dovedești separat că există un asemenea obiect.

Diferența dintre „cel mult unul” și „exact unul” contează. O ecuație fără soluții are și ea cel mult o soluție, dar nu are soluție unică. Dacă ai dovedit că două soluții nu pot fi distincte, verificarea unei valori care chiar satisface ecuația completează afirmația de existență și unicitate.

Nu toate problemele de existență cer această metodă. Uneori poți construi direct obiectul. De exemplu, ca să arăți că există un număr real mai mare decât un număr dat $a$, este suficient să alegi $a+1$. Reducerea la absurd este o alegere de demonstrație, nu o obligație de a complica o construcție evidentă.

6. Cum verificăm o demonstrație prin absurd?

Prima întrebare este dacă presupunerea formulată neagă exact concluzia. A doua este dacă fiecare deducție folosește o operație permisă sau un rezultat cunoscut. A treia este dacă afirmația finală este într-adevăr incompatibilă cu o informație păstrată. Toate aceste cerințe sunt necesare.

O împărțire la zero nu devine acceptabilă deoarece lucrăm „prin absurd”. Presupunerea temporară este singura afirmație pe care ne propunem să o respingem; calculele efectuate din ea trebuie să rămână corecte. Dacă ai introdus și o operație nepermisă, contradicția poate proveni din acea eroare, iar demonstrația nu este valabilă.

De asemenea, nu este suficient să ajungi la un rezultat adevărat, precum $0=0$. O astfel de egalitate este compatibilă cu presupunerea, nu o respinge. Metoda cere o imposibilitate precisă, nu numai o simplificare spectaculoasă a expresiilor.

Poți întâlni un argument apropiat: pentru o implicație, pornești de la negația concluziei și demonstrezi negația ipotezei. Acesta este argumentul prin contrapoziție. În reducerea la absurd a aceleiași implicații păstrezi și ipoteza inițială, astfel încât negația ei obținută produce contradicția. Nu trebuie să alegi eticheta înainte să înțelegi pașii; important este să spui ce presupui și ce ai dedus.

Într-o problemă cu mai multe date, numește și ipoteza exactă pe care o contrazici. Dacă suma, domeniul și semnele sunt toate precizate, contradicția poate implica numai două dintre aceste informații. Faptul că o anumită dată nu a fost folosită nu invalidează automat demonstrația. Dar nicio proprietate suplimentară nu poate fi introdusă fără justificare doar pentru a obține mai repede un rezultat imposibil.

Poți controla finalul prin întoarcerea la enunț: ai respins toate cazurile contrare concluziei? Ai păstrat domeniul? Ai folosit toate ipotezele de care argumentul depinde? Dacă răspunsurile sunt clare, scrii concluzia în forma cerută. Pentru afirmații succesive despre numere naturale vei avea și metoda inducției matematice, care răspunde unui alt tip de organizare a demonstrației.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. O sumă care nu coboară sub paisprezece

Fie $x$ un număr real pozitiv. Arată prin reducere la absurd că $x+\frac{49}{x}\ge 14$.

Presupunem contrariul: pentru un anumit $x>0$ avem $x+\frac{49}{x}<14$. Înmulțim cu $x$, care este pozitiv, fără să schimbăm sensul: $x^2+49<14x$, adică $(x-7{)}^2<0$. Pătratul unui număr real nu poate fi negativ, deci am obținut o contradicție.

Presupunerea este falsă: pentru orice $x>0$, suma este cel puțin $14$. Valoarea paisprezece este atinsă pentru $x=7$, cum arătau și încercările din deschidere; ele însă nu dovedeau nimic despre celelalte numere. Ipoteza $x>0$ a fost folosită exact la înmulțire; pentru $x$ negativ, sensul inegalității s-ar fi inversat, iar concluzia nici nu mai este adevărată.

Exemplul 2. O ecuație imposibilă pe numere întregi

Arată că ecuația $6x+4y=17$ nu are soluții cu $x,y\in \mathbb{Z}$.

Presupunem că există întregi $x$ și $y$ care verifică egalitatea. Membrul stâng se scrie $2(3x+2y)$. Expresia din paranteză este întreagă, deci membrul stâng este par. Membrul drept, șaptesprezece, este impar. Egalitatea ar identifica un întreg par cu unul impar, imposibil.

Prin urmare, nu există soluții întregi. Domeniul este esențial: pentru numere reale, de exemplu, $x=\frac{17}{6}$ și $y=0$ verifică ecuația. Nu afirmăm că ecuația este imposibilă în orice mulțime, ci exact că perechea de întregi presupusă nu poate exista.

Exemplul 3. Cel mult o soluție și existența ei

Demonstrează că ecuația $5x-3=12$ are cel mult o soluție reală, apoi verifică existența unei soluții.

Presupunem că ar exista două soluții reale distincte $u$ și $v$. Atunci $5u-3=12$ și $5v-3=12$. Scăzând egalitățile, obținem $5(u-v)=0$, deci $u=v$, deoarece cinci este nenul. Aceasta contrazice presupunerea că soluțiile erau distincte.

Am demonstrat că există cel mult o soluție. În plus, $x=3$ verifică $5\cdot 3-3=12$. Așadar, există exact o soluție, trei. Cele două părți au roluri diferite: contradicția dă unicitatea posibilă, iar înlocuirea arată că problema nu a rămas fără soluții.

Exemplul 4. O negare prea puternică nu dovedește cerința

Trebuie demonstrat că nu există $x$ real cu $x^2+10=0$. Un elev presupune că egalitatea este adevărată pentru orice număr real, pune $x=0$ și scrie $10=0$. Este suficient?

Nu. Negația lui „nu există” este „există cel puțin un număr real”, nu „pentru orice număr real”. Elevul a respins o afirmație mai puternică decât cea care trebuia exclusă. Faptul că zero nu este soluție nu spune încă dacă alt număr ar putea fi.

Corect presupunem existența unui $x$ real cu egalitatea dată. Pentru acel $x$, avem $x^2\ge 0$, deci $x^2+10\ge 10>0$, în contradicție cu $x^2+10=0$. Acum argumentul acoperă orice candidat real și demonstrează absența soluțiilor reale.

Exemplul 5. Nu există cel mai mic număr real pozitiv

Presupunem, pentru a obține o contradicție, că există un cel mai mic număr real pozitiv $m$. Numărul $\frac{m}{2}$ este și el real și pozitiv, deoarece $m>0$. În plus, $\frac{m}{2}<m$, deoarece împărțim un număr pozitiv la doi.

Am construit un număr din aceeași mulțime care este mai mic decât presupusul minim. Aceasta contrazice proprietatea atribuită lui $m$. Prin urmare, mulțimea numerelor reale strict pozitive nu are un element minim.

Nu înlocuim domeniul cu numere naturale pozitive: acolo jumătatea lui unu nu mai aparține domeniului, iar argumentul nu funcționează. De asemenea, zero nu este un candidat la minimul cerut, fiindcă nu este strict pozitiv. Precizarea domeniului și a semnului face demonstrația completă.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie $a,b\in \mathbb{R}$ cu $a^2+b^2=0$. Demonstrează că $a=0$ și $b=0$.

Presupunem că această concluzie este falsă. Atunci cel puțin unul dintre numere este nenul. Pătratul numărului nenul este strict pozitiv, iar pătratul celuilalt număr este nenegativ. Suma pătratelor ar fi deci strict pozitivă, în contradicție cu egalitatea din ipoteză.

Presupunerea este falsă, astfel că ambele numere sunt zero. Am negat o conjuncție printr-o disjuncție: nu am presupus că amândouă ar fi nenule, deoarece trebuia acoperit și cazul în care numai unul este nenul.

Este un exercițiu propriu de antrenament pentru Bacalaureatul M2, destinat redactării unei demonstrații scurte. Nu este prezentat ca reproducere a unui subiect oficial și nu atribuie punctaje speciale metodei alese.

Să exersăm

1. Ce presupui prin absurd pentru a demonstra $x<7$?

2. Ce presupui prin absurd pentru a demonstra că „cel mult două dintre numerele $a$, $b$, $c$ sunt negative”?

3. Neagă concluzia „$a>3$ sau $b>3$”.

4. Neagă concluzia „exact unul dintre numerele $u$, $v$ este zero”. Câte situații distincte cuprinde negația?

5. Adevărat sau fals? „Pentru a demonstra prin absurd că $x\ne 3$, presupunem $x<3$.” Motivează.

6. Arată că ecuația $x^2=3x+1$ nu are soluții întregi. Folosește paritatea numerelor $x$ și $x-3$.

7. Arată prin reducere la absurd că $\sqrt{2}+\sqrt{7}\ne 3$.

8. Patru recipiente conțin în total $18$ obiecte. Cineva susține că ele conțin, în ordine, cel mult $2$, $3$, $5$, respectiv $7$ obiecte. Pot fi respectate simultan toate cele patru limite? Justifică prin contradicție.

9. Numerele reale $a$ și $b$ verifică $a>1$ și $b>1$. Arată prin reducere la absurd că $ab+1>a+b$.

10. Pentru $a,b\in \mathbb{R}$ și $a\ne 0$, demonstrează că ecuația $ax+b=0$ nu poate avea două soluții distincte. De ce condiția $a\ne 0$ este necesară? Analizează separat cazul $a=b=0$.

11. Un elev vrea să demonstreze prin absurd că $a\le b$ și presupune $a>b+1$. Ce cazuri a omis? Dă o pereche de numere din cazurile omise.

12. Un sirop are $200$ g, dintre care $20\%$ reprezintă zahărul (procent de masă). Se adaugă numai apă. Arată prin reducere la absurd că procentul de zahăr nu poate ajunge la $25\%$. (Problemă aplicată.)

13. Arată că nu există două numere întregi impare $a,b$ pentru care $a^2+b^2=3$. Folosește paritatea pătratului unui întreg impar. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

14. Arătați că nu există numere întregi $a$ și $b$ pentru care $a^2-b^2=2$. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

15. Dacă $a,b\in \mathbb{R}$ și $a+b>13$, arată că $a>6$ sau $b>7$. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.)

16. Arată prin reducere la absurd că $\sqrt{7}$ nu poate fi scris sub forma $\frac{m}{2}$, cu $m$ număr natural.

17. Fie $x\ge 0$ un număr real cu $x^2<16$. Demonstrează prin reducere la absurd că $x<4$.

18. Arată prin reducere la absurd că nu există niciun număr real $x$ cu $|x-2|+|x+3|<5$. Folosește inegalitatea triunghiului pentru module și precizează exact ce două relații se contrazic. (Provocare.)

Răspunsuri și explicații

1. Presupui $x\ge 7$. Egalitatea cu șapte face și ea falsă concluzia strictă, deci trebuie inclusă în presupunerea contrară.

2. Presupui că toate trei sunt negative. „Cel mult două” exclude numai cazul în care sunt negative toate trei, deci negația lui este exact acest caz. Situațiile cu zero, unu sau două numere negative verifică deja concluzia.

3. Presupui simultan $a\le 3$ și $b\le 3$. Pentru ca disjuncția să fie falsă, fiecare dintre cele două alternative trebuie să fie falsă.

4. Negația spune: fie ambele numere sunt zero, fie niciunul nu este zero. Sunt două situații distincte, iar o demonstrație prin absurd trebuie să le respingă pe amândouă, nu doar pe cea mai comodă.

5. Fals. Negația lui $x\ne 3$ este $x=3$. Presupunerea $x<3$ nu contrazice concluzia; ea descrie doar o parte dintre valorile care o verifică, deci o contradicție obținută din ea nu ar demonstra nimic despre $x\ne 3$.

6. Dacă ar exista un întreg $x$ cu această proprietate, am avea $x(x-3)=1$. Numerele $x$ și $x-3$ diferă prin trei, deci au parități diferite: unul dintre ele este par, iar produsul lor este par. Un număr par nu poate fi egal cu unu, care este impar. Contradicția arată că nu există soluții întregi.

7. Presupunem că suma este trei. Ambii membri sunt pozitivi, deci îi putem ridica la pătrat: $9+2\sqrt{14}=9$, adică $\sqrt{14}=0$. Dar $14>0$ impune $\sqrt{14}>0$, contradicție. Prin urmare, suma nu este egală cu trei.

8. Presupunând că toate limitele sunt respectate, totalul ar fi cel mult $2+3+5+7=17$. Dar totalul dat este optsprezece. Contradicția arată că măcar una dintre limite este depășită; nu determină care recipient o depășește.

9. Presupunem $ab+1\le a+b$. Atunci $ab-a-b+1\le 0$, adică $(a-1)(b-1)\le 0$. Dar $a-1>0$ și $b-1>0$, deci produsul lor este strict pozitiv, contradicție. Rezultă $ab+1>a+b$.

10. Presupunem soluții distincte $u,v$. Scăderea egalităților dă $a(u-v)=0$. Împărțirea la coeficientul nenul $a$ conduce la $u=v$, contradicție. Dacă $a=b=0$, ecuația devine $0=0$ și fiecare număr real este soluție, deci condiția nenulității nu poate fi eliminată din afirmația generală.

11. Negația corectă a lui $a\le b$ este $a>b$. Elevul a omis valorile cu $b<a\le b+1$, de exemplu $a=2,5$ și $b=2$. O contradicție obținută numai din $a>b+1$ nu respinge aceste cazuri, deci demonstrația ar rămâne incompletă.

12. Siropul conține $40$ g de zahăr, iar adăugarea apei nu schimbă această masă. Presupunem că, după adăugarea a $w\ge 0$ grame de apă, procentul ar fi $25\%$. Atunci masa totală ar fi $160$ g, adică mai mică decât cele $200$ g de la început, deci $w=-40$. O masă de apă adăugată nu poate fi negativă: contradicție. Procentul rămâne $20\%$ sau scade.

13. Presupusele numere sunt impare, deci și pătratele lor sunt impare: $(2r+1{)}^2=2(2r^2+2r)+1$. Suma a două numere impare este pară și nu poate fi egală cu trei, care este impar. Contradicția exclude perechea presupusă.

14. Presupunem că există. Atunci $(a-b)(a+b)=2$. Numerele $a-b$ și $a+b$ diferă prin $2b$, deci au aceeași paritate. Dacă ambele sunt impare, produsul este impar; dacă ambele sunt pare, produsul este multiplu de patru. În niciun caz nu poate fi egal cu doi: contradicție.

15. Negarea concluziei dă $a\le 6$ și $b\le 7$. Adunând, obținem $a+b\le 13$, în contradicție cu ipoteza. Prin urmare, cel puțin una dintre inegalitățile stricte cerute este adevărată.

16. Presupunem $\sqrt{7}=\frac{m}{2}$, cu $m$ natural. Atunci $m^2=28$. Dar $5^2=25<28<36=6^2$, deci niciun număr natural nu are pătratul egal cu $28$, contradicție.

17. Presupunem $x\ge 4$. Ambii membri ai acestei inegalități sunt nenegativi, deci o putem înmulți cu ea însăși: $x^2\ge 16$, în contradicție cu $x^2<16$. Rezultă $x<4$, adică $x$ se află în intervalul $[0,4)$.

18. Presupunem că există un real $x$ cu $|x-2|+|x+3|<5$. Diferența $(x+3)-(x-2)$ este $5$ pentru orice $x$, iar inegalitatea triunghiului dă $5=|(x+3)-(x-2)|\le |x+3|+|x-2|$. Presupunerea spune că aceeași sumă este strict mai mică decât $5$: contradicție. Pe axă, suma distanțelor de la $x$ la $2$ și la $-3$ nu poate coborî sub distanța dintre aceste două puncte; egalitatea are loc exact pentru $x\in [-3,2]$.

De reținut

• Păstrezi ipotezele problemei și presupui temporar numai negația concluziei.
• Negarea trebuie să includă toate cazurile contrare, inclusiv egalitatea când concluzia este strictă.
• Contradicția este o incompatibilitate demonstrată, nu un rezultat care pare doar neobișnuit.
• Domeniul decide ce proprietăți poți folosi; imposibilitatea pe întregi nu înseamnă imposibilitate pe reale.
• Unicitatea și existența au justificări distincte: „cel mult unul” devine „exact unul” numai după verificarea existenței.

Greșeli frecvente

• Negarea tuturor datelor. Ipotezele rămân adevărate în demonstrație; numai concluzia este presupusă falsă.
• Negarea greșită a existenței. Pentru a respinge existența, presupui un candidat, nu că fiecare element ar fi candidat.
• Contradicție cu o afirmație nedemonstrată. Informația cu care se ciocnește presupunerea trebuie să fie o ipoteză sau un rezultat cunoscut, nu o bănuială despre valorile numerelor.
• Împărțirea fără controlul numitorului. O operație nepermisă invalidează și o demonstrație prin absurd, indiferent de concluzie.
• Afirmația de unicitate fără existență. După excluderea a două soluții distincte, verifică dacă există măcar una.

Aplică acasă

1. Alege o afirmație cu „cel puțin unul” despre o listă de numere și scrie negarea ei. Construiește un exemplu cu total fix în care adunarea condițiilor negate contrazice totalul.
2. Găsește două ecuații simple: una imposibilă pe numere întregi, dar posibilă pe reale, și una imposibilă pe reale. Explică pentru fiecare proprietatea domeniului care produce contradicția.
3. Scrie o demonstrație de unicitate pentru o ecuație liniară cu coeficient nenul. Separă în două paragrafe excluderea soluțiilor distincte și verificarea unei soluții concrete.

Pentru părinți și profesori

Insistați asupra negării concluziei înaintea oricărui calcul. Elevul poate avea o idee bună, dar poate respinge numai o parte dintre cazurile contrare. Cereți la final formularea explicită a contradicției: ce relație a fost dedusă și cu ce informație se opune? Exemplele cu liste și ecuații elementare fac aceste puncte vizibile fără calcule lungi.

Programa și examenul. Reducerea la absurd este numită explicit între metodele de raționament din Anexa 28 la OMEC nr. 6930/2025, aplicată progresiv din 2026–2027 la clasa a IX-a, și intră în domeniul Algebră al programei MAT_P2 pentru 2030. Metoda este prevăzută și în programa de Bacalaureat M2 pentru 2027–2029, stabilită prin OMEN nr. 4430/2014. Modelul oficial pentru 2026 nu impune separat o demonstrație prin absurd, astfel că nu atribuim metodei o poziție ori o frecvență fixă.

Continuați cu metoda inducției matematice M2 și verificați unitatea prin testul de logică M2. Pentru sprijin numeric există compararea numerelor raționale din clasa a VI-a. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: metoda reducerii la absurd este o lectură de comparație între trasee; lecția M2 este autonomă.

Întrebări frecvente

De ce am voie să presupun ceva ce vreau să resping?

Presupunerea este temporară și face parte din analiza unui caz posibil. Nu o accepți drept adevăr final. Dacă ea, împreună cu datele păstrate și prin deducții corecte, produce o contradicție, acel caz nu poate exista. Tocmai eliminarea completă a cazului contrar justifică afirmația inițială. Condiția esențială este corectitudinea fiecărei treceri folosite.

Pot folosi reducerea la absurd într-o problemă cu mărimi măsurate?

Da, dacă datele sunt tratate ca exacte și concluzia este o imposibilitate sau o limită. Presupunerea contrară se combină cu relațiile dintre mărimi, iar proprietățile lor fizice, de exemplu faptul că o durată nu poate fi negativă, pot furniza informația care se ciocnește cu ea. Contradicția privește modelul enunțat; erorile de măsurare ar cere o discuție separată, pe care lecția nu o face.

Cum verific dacă am negat corect o concluzie cu „sau”?

O disjuncție este falsă când niciuna dintre alternative nu este adevărată. De aceea, negarea unei concluzii „p sau q” cere simultan negația lui p și negația lui q. Dacă alternativele sunt inegalități stricte, verifică atent includerea egalității în negații. Un singur caz contrar omis poate lăsa demonstrația incompletă, chiar dacă toate calculele următoare sunt corecte.

Dacă am demonstrat unicitatea, mai trebuie să caut soluția?

Depinde de cerință. Pentru „cel mult o soluție” este suficient să excluzi două soluții distincte. Pentru „o soluție unică” ai nevoie și de existență. O ecuație fără soluții nu are două soluții distincte, dar nu are nici soluție unică. Găsirea unei valori și verificarea ei completează argumentul atunci când enunțul cere exact una.

Ce păstrează varianta M2 și ce diferă față de M1?

Varianta M2 păstrează integral mecanismul logic al metodei și negarea corectă a concluziei. Îl aplică la ordine, paritate, liste finite și ecuații elementare, cu demonstrații scurte și domenii explicite. Nu este necesar un catalog suplimentar de teoreme clasice dificile pentru a înțelege metoda. Toate proprietățile folosite în exemple sunt explicate în text sau cunoscute din calculul elementar.

În ce subiect de Bacalaureat M2 trebuie folosită reducerea la absurd?

Nu există o poziție fixă pe care lecția să o poată promite. Metoda figurează în programă, dar modelul oficial pentru 2026 nu conține o cerință separată care să o impună. Ea este utilă când negarea concluziei oferă condiții ușor de folosit. Dacă problema permite o demonstrație directă mai simplă, aceasta poate fi alegerea firească, dacă metoda nu este precizată.