Cât este modulul lui (1+i)¹⁰?

Nu calculezi puterea. Cum |1+i|= √2 și modulul unei puteri este puterea modulului, |(1+i)¹⁰|=(√2)¹⁰=2⁵=32. Calculul direct ar da (1+i)¹⁰=(2i)⁵=32i, cu același modul 32. Scurtătura economisește zece înmulțiri.

Cum aflu modulul unui cât fără să împart?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Modulul și proprietățile lui

Modulul unui cât este câtul modulelor: $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$ , pentru $z_{2} \neq = 0$ . Nu mai e nevoie de amplificarea cu conjugatul, pentru că se calculează separat modulul numărătorului și al numitorului. Exemplu: $\frac{3 + 4 i}{1 - i} = \frac{9 + 16}{1 + 1} = \frac{5}{2} = \frac{5 2}{2}$ . Verificare prin împărțire: câtul este $- \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i$ , cu modulul $\frac{1}{4} + \frac{49}{4} = \frac{50}{4} = \frac{5 2}{2}$ . La fel, modulul unui produs este produsul modulelor.

Modulul numărului $a + bi$ este $a^{2} + b^{2}$ , un număr real care nu poate fi negativ și care este zero doar pentru numărul $0$ . În formulă intră coeficientul lui $i$ , nu termenul cu $i$ , de aceea sub radical stă mereu o sumă de pătrate. Rezultatul se scrie exact: radicalul se simplifică scoțând factorii pătrați perfecți, iar o valoare zecimală apare doar la cerere.

Modulele, fiind numere reale, se pot așeza în ordine. Două numere distincte se pot potrivi ca mărime, așa că din egalitatea modulelor nu rezultă egalitatea numerelor. Schimbarea semnelor părților nu schimbă modulul, iar pătratul modulului este produsul numărului cu conjugatul lui.

La înmulțire și la împărțire modulele se comportă ca numerele obișnuite: se înmulțesc, respectiv se împart; de aici se obține și modulul unei puteri, fără să calculezi puterea. La adunare regula nu mai funcționează: modulul sumei se calculează după ce ai efectuat suma.

O condiție de forma $∣ z ∣ = r$ se transformă, prin ridicare la pătrat, în $a^{2} + b^{2} = r^{2}$ ; împreună cu o informație despre partea reală sau imaginară, ea dă de obicei două numere.

De reținut

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ pentru $z = a + bi$
$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$ , $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$ , $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$
la sumă nu există o regulă similară: modulul se calculează după adunare

Greșeala tipică

Se aplică regula și la sumă, scriind $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ ; pentru $3 + 4 i$ și $- 3 - 4 i$ suma are modulul $0$ , nu $10$ .

Exerciții din această mini-lecție

Modulul numărului $- 4 + 12 i$ este:
- a) $16$
- b) $410$
- c) $128$
- d) $810$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $410$

$∣ - 4 + 12 i ∣ = 16 + 144 = 160 = 410$ .
Dacă $∣ z ∣ = 4$ , atunci $∣ \overset{z}{ˉ} ∣$ este egal cu:
- a) $4$
- b) $- 4$
- c) $16$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$

Conjugatul are aceleași pătrate ale părților ca $z$ , deci același modul: $∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ z ∣ = 4$ .
Dacă $∣ z ∣ = 2$ , atunci $∣ z^{3} ∣$ este egal cu:
- a) $6$
- b) $32$
- c) $8$
- d) $22$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $22$

Modulul unui produs este produsul modulelor, deci $∣ z^{3} ∣ = ∣ z ∣^{3} = (2)^{3} = 22$ .

Întrebări conexe

Pot două numere complexe diferite să aibă același modul?

Da. Numerele $3 + 4 i$ , $4 - 3 i$ , $- 5$ și $5 i$ au toate modulul $5$ , deși sunt diferite. Imaginile lor stau pe cercul cu centrul în origine și raza $5$ . De aceea, din $∣ z ∣ = ∣ w ∣$ nu se poate trage concluzia că $z = w$ .

Cât este modulul lui $(1 + i)^{10}$ ?

Nu calculezi puterea. Cum $∣1 + i ∣ = 2$ și modulul unei puteri este puterea modulului, $∣ (1 + i)^{10} ∣ = (2)^{10} = 2^{5} = 32$ . Calculul direct ar da $(1 + i)^{10} = (2 i)^{5} = 32 i$ , cu același modul $32$ . Scurtătura economisește zece înmulțiri.

Cum aflu numărul complex cu modulul $13$ și partea imaginară $- 5$ ?

Scrii $z = a - 5 i$ și ridici la pătrat condiția de modul: $a^{2} + 25 = 169$ , deci $a^{2} = 144$ și $a = 12$ sau $a = - 12$ . Există două numere: $12 - 5 i$ și $- 12 - 5 i$ . Pe desen, ele sunt punctele în care dreapta orizontală $y = - 5$ taie cercul de rază $13$ .

Cum compar ca mărime două numere complexe?

Numerele complexe nereale nu se ordonează, dar modulele lor, fiind reale, se pot compara. $∣2 + 5 i ∣ = 29$ , iar $∣4 - 3 i ∣ = 5 = 25$ , deci primul este mai departe de origine. Afirmația „ $2 + 5 i > 4 - 3 i$ ” nu are însă sens.

Cât face $∣3 - 4 i ∣ + ∣ - 6 i ∣$ ?

Calculezi fiecare modul: $∣3 - 4 i ∣ = 9 + 16 = 5$ , iar $∣ - 6 i ∣ = 0 + 36 = 6$ . Suma este $11$ . Modulul unui număr pur imaginar este valoarea absolută a coeficientului lui $i$ . Modulul sumei nu este suma modulelor: $∣ (3 - 4 i) + (- 6 i) ∣ = ∣3 - 10 i ∣ = 109$ , diferit de $11$ .

Oamenii mai întreabă și: modulul unui cât de numere complexe · modulul unei fracții cu numere complexe · modul z · modulul unui nr complex