Modulul unui număr complex: pe scurt

Modulul lui $z=a+bi$ este numărul real nenegativ $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, egal cu distanța de la origine la punctul care reprezintă $z$ în plan. Relația-cheie este $|z{|}^2=z\bar{z}$, care transformă demonstrațiile despre module în calcule algebrice, fără radicali.

Proprietăți de simetrie: $|z|=|\bar{z}|=|-z|$, iar $|\mathrm{Re}z|\le |z|$ și $|\mathrm{Im}z|\le |z|$.

Modulul se comportă frumos la înmulțire, împărțire și putere:

$$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|,\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|},|z^n|=|z{|}^n,$$

ceea ce permite calcularea rapidă a unor module fără a efectua produsul sau puterea. La adunare însă modulul NU e aditiv: $|z_1+z_2|\ne |z_1|+|z_2|$ în general (contraexemplu: $1$ și $i$), ci are loc doar inegalitatea triunghiului $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$.

La exercițiile de tipul „determină $z$ știind $|z|=r$ și încă o condiție”, ridici la pătrat direct din $|z|=r$ (obții $a^2+b^2=r^2$, fără radical) și nu uiți niciodată ambele soluții ale ecuației de gradul al doilea rezultate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $|8-15i|$.

   • a) $17$
   • b) $7$
   • c) $23$
   • d) $289$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $17$

   $|8-15i|=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$. Varianta d) uită să extragă radicalul.

2. Fie $z_1=6+8i$ și $z_2=3-4i$. Calculați $|z_1{z}_2|$ fără a efectua produsul.

   • a) $10$
   • b) $50$
   • c) $25$
   • d) $500$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $50$

   $|z_1|=\sqrt{36+64}=10$, $|z_2|=\sqrt{9+16}=5$, deci $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|=10\cdot 5=50$.

3. Calculați $|(2+2i{)}^6|$ folosind proprietatea puterii.

   • a) $256$
   • b) $64$
   • c) $512$
   • d) $128$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $512$

   $|2+2i|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, deci $|(2+2i{)}^6|=(2\sqrt{2}{)}^6=2^6\cdot 2^3=64\cdot 8=512$.