Modulul unui număr complex (M2, științe ale naturii)

Un aparat de rezonanță magnetică dintr-un spital nu înregistrează pentru fiecare punct al imaginii un singur număr, ci două, pe care le scrie ca partea reală și partea imaginară ale unui singur număr complex, semnalul pixelului. Imaginea pe care o privește medicul arată însă o singură mărime pe pixel, luminozitatea, iar aceasta este modulul numărului complex: un număr real, nenegativ, atașat fiecărui număr complex. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), modulul este a treia caracteristică a unui număr complex, după partea reală și partea imaginară: îl calculezi exact, cu radicali, și îl folosești la produse și câturi fără să le efectuezi. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține numerele complexe în formă algebrică și operațiile cu ele; modulul nu este numit separat în acea listă, iar varianta-model pentru 2026 nu cere un modul.

Pentru lecție ai nevoie de produsul $z\cdot \bar{z}$, din lecția despre conjugatul unui număr complex la M2, și de împărțirea din lecția M2 despre împărțirea numerelor complexe. Din clasa a IX-a vine noțiunea de modul al unui număr real, pe care modulul complex o extinde fără să o contrazică. Acolo modulul lui $-7$ era $7$, „mărimea fără semn”; acum vom avea o mărime fără semn pentru numere care au două părți, iar cele două părți vor contribui împreună, printr-o sumă de pătrate. Lecția se oprește la calcul și la proprietățile algebrice; sensul geometric complet vine în lecția următoare.

Ce vei învăța

• Vei calcula modulul oricărui număr complex și îl vei scrie exact, cu radicalul simplificat, fără aproximări inutile.
• Vei ști că numere diferite pot avea același modul și vei ordona mai multe numere după modulele lor, fără radicali.
• Vei ști să folosești relația $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$ și faptul că un număr și conjugatul lui au același modul.
• Vei ști să calculezi modulul unui produs, al unei puteri, al unui cât și al inversului fără să efectuezi operațiile.
• Vei ști să afli numerele complexe cu un modul dat, când mai cunoști partea lor reală sau pe cea imaginară.
• Vei ști să calculezi modulul unui semnal complex, ca în imagistica prin rezonanță magnetică, și să prevezi cum îl schimbă înmulțirea cu un factor complex.

Hai să descoperim împreună

1. Cum atașăm unui număr complex o singură mărime reală?

Modulul numărului complex $z=a+bi$ ($a$ și $b$ reale) este numărul real nenegativ $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Radicalul are sens pentru orice număr complex, pentru că $a^2+b^2\ge 0$, iar rezultatul este rădăcina pătrată aritmetică, deci niciodată negativ.

Pe un obiect pe care nu îl vom mai folosi: $|-6+5i|=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$. Răspunsul rămâne $\sqrt{61}$: modulul se scrie exact, iar o valoare zecimală apare doar când enunțul o cere. Când sub radical apare un factor pătrat perfect, îl scoți, ca la radicalii din clasa a IX-a. Iar când suma pătratelor este ea însăși un pătrat perfect, modulul iese număr întreg; asta se întâmplă mai rar decât s-ar crede, de aceea un rezultat irațional nu este un semn că ai greșit.

Definiția nu schimbă nimic la numerele reale. Pentru $b=0$ obținem $|a|=\sqrt{a^2}$, adică modulul obișnuit: $|-8|=8$. Pentru un număr pur imaginar rămâne doar coeficientul lui $i$, fără semn: $|4i|=4$. Modulul complex este deci o extindere a modulului real, nu o noțiune cu alt nume. Tot de aici vine și notația cu bare verticale, păstrată intenționat: ea amintește că e vorba de aceeași idee de mărime, aplicată acum unor numere cu două părți.

De unde vine forma formulei? Figura A arată un triunghi dreptunghic cu o catetă de lungime $|a|$ și cealaltă de lungime $|b|$. Ipotenuza lui are, după teorema lui Pitagora, exact lungimea $\sqrt{a^2+b^2}$. Ce înseamnă triunghiul acesta pentru numărul $z$ vei vedea în lecția despre planul complex; aici reține doar că modulul combină cele două părți ca două catete, nu le adună.

2. Pot avea două numere diferite același modul?

Da, și încă foarte ușor. Numerele $6+4i$ și $4-6i$ sunt diferite, dar au același modul: $\sqrt{36+16}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Modulul spune „cât de mare” este un număr, nu „care” este numărul. Din $|z|=|w|$ nu poți deduce nimic despre egalitatea lui $z$ cu $w$: modulele sunt numere reale și se pot așeza în ordine, dar egalitatea lor pierde informația despre părți.

3. Cum scapi de radical cu ajutorul conjugatului?

Știi din lecția despre conjugat că $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$. Comparând cu definiția, obținem relația care susține toată lecția:

$$|z{|}^2=z\cdot \bar{z}.$$

Pentru $z=10+7i$ avem $z\cdot \bar{z}=100+49=149$, deci $|z|=\sqrt{149}$. Relația are un avantaj practic: îți permite să lucrezi cu pătratele modulelor, fără niciun radical. Când vrei să arăți că două module sunt egale, e mai comod să arăți că pătratele lor sunt egale, lucru permis pentru că modulele sunt numere nenegative.

Din aceeași relație rezultă că un număr, conjugatul lui și opusul lui au același modul, $|z|=|\bar{z}|=|-z|$: toate trei au aceleași pătrate ale părților, pentru că schimbarea semnului nu schimbă pătratul. Relația $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$ o vei folosi mai departe ca pe o unealtă: ori de câte ori un exercițiu îți cere să arăți ceva despre module, scrie pătratele modulelor ca produse cu conjugatul și lucrează cu ele ca într-un calcul algebric obișnuit.

4. Trebuie să efectuezi un produs ca să-i afli modulul?

Proprietate. Pentru orice numere complexe $z$ și $w$, $|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$.

Justificarea folosește relația de la secțiunea 3 și faptul, cunoscut din lecția despre conjugat, că $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$. Atunci $|zw{|}^2=(zw)\left(\bar{z}\bar{w}\right)=(z\bar{z})(w\bar{w})=|z{|}^2|w{|}^2$. Cele două module sunt numere nenegative cu pătrate egale, deci sunt egale.

Să verificăm pe numere. Pentru $3-5i$ și $1+4i$, modulele sunt $\sqrt{34}$ și $\sqrt{17}$, iar produsul lor este $\sqrt{578}=17\sqrt{2}$. Direct: $(3-5i)(1+4i)=3+12i-5i-20i^2=23+7i$, cu $|23+7i|=\sqrt{529+49}=\sqrt{578}=17\sqrt{2}$. Proprietatea îți spune rezultatul fără înmulțire. Economia se simte mai ales la numere mari sau la produse de mai mulți factori: modulul unui produs de trei numere este produsul celor trei module, oricât de lung ar fi produsul efectuat.

Aplicând proprietatea de două ori, obții modulul unei puteri, fără să mai demonstrezi o regulă nouă: o putere este un produs de factori egali. Pentru $z=10-i$, cu $|z|=\sqrt{101}$: $|z^2|=|z|\cdot |z|=101$ și $|z^3|=|z^2|\cdot |z|=101\sqrt{101}$. Calculul direct confirmă: $z^2=99-20i$, iar $99^2+20^2=10201=101^2$; $z^3=970-299i$, iar $970^2+299^2=1030301=101^3$.

5. Și la împărțire?

Dacă $w\ne 0$ și $q=\frac{z}{w}$, atunci $q\cdot w=z$, iar proprietatea produsului dă $|q|\cdot |w|=|z|$. Cum $|w|\ne 0$, rezultă

$$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}.$$

De exemplu, $\left|\frac{15+3i}{1+5i}\right|=\frac{\sqrt{234}}{\sqrt{26}}=\sqrt{9}=3$, fără nicio amplificare. Câtul a doi radicali se scrie ca radical din cât, ceea ce simplifică adesea calculul, ca aici, unde $234=9\cdot 26$. Cazul $z=1$ dă modulul inversului: $\left|\frac{1}{9+i}\right|=\frac{1}{\sqrt{82}}=\frac{\sqrt{82}}{82}$. Modulul inversului este inversul modulului. Rezultatul are o consecință practică: dacă ai calculat un cât prin amplificare și vrei să-l controlezi repede, compară modulul câtului obținut cu raportul modulelor. Dacă nu coincid, calculul are o greșeală, chiar înainte să înmulțești înapoi.

6. Se poate afla modulul unei sume din module?

Nu. Proprietățile de mai sus privesc înmulțirea și împărțirea; la adunare, modulul sumei nu este, în general, suma modulelor. Pentru $z=5$ și $w=2i$: $|z+w|=|5+2i|=\sqrt{29}$, în timp ce $|z|+|w|=7$, iar $\sqrt{29}<7$.

Când trebuie să calculezi modulul unei sume, efectuezi întâi suma și abia apoi aplici formula. Rămâne adevărat doar că modulul sumei nu depășește suma modulelor, o inegalitate pe care o folosim aici ca observație, fără demonstrație. Diferența nu e o curiozitate: adunarea combină părțile pe rând, pe când modulul le combină prin pătrate, iar pătratul unei sume nu este suma pătratelor. Explicația geometrică a acestei diferențe ține de interpretarea operațiilor în plan, tratată în suplimentul pentru bacalaureatul M2 despre interpretarea geometrică a operațiilor cu numere complexe.

7. Ce numere au un modul dat și o parte fixată?

Un tip frecvent de sarcină dă modulul și încă o informație despre $z$. Metoda: scrii $z=a+bi$, transformi condiția de modul într-o egalitate fără radical, ridicând la pătrat, și folosești cealaltă condiție.

Dacă $|z|=\sqrt{130}$ și $\mathrm{Re}z=-11$, atunci $a=-11$, iar din $a^2+b^2=130$ rezultă $b^2=9$, adică $b=3$ sau $b=-3$. Numerele căutate sunt $-11+3i$ și $-11-3i$. Ridicarea la pătrat este permisă pentru că ambii membri sunt nenegativi, iar ecuația de gradul al doilea care apare explică de ce găsești, de obicei, două soluții.

După ce ai găsit numerele, verifică-le pe amândouă în ambele condiții. O condiție cu modul nu privește semnul părților, de aceea soluțiile apar în perechi care diferă printr-un semn; condiția suplimentară fixează partea care nu are voie să-și schimbe semnul. Dacă enunțul mai adaugă o restricție, de exemplu ca partea imaginară să fie pozitivă, din pereche rămâne un singur număr.

8. Unde folosesc științele modulul?

În imagistica prin rezonanță magnetică, bobina aparatului captează un semnal care, după prelucrare, dă pentru fiecare pixel un număr complex $S$, ale cărui două părți sunt măsurate separat de receptor. Imaginea obișnuită, numită imagine de magnitudine, afișează în fiecare pixel valoarea $|S|$. Pentru un pixel cu $S=3-2i$, în unități arbitrare, luminozitatea este $|S|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$.

Etapele de prelucrare înmulțesc adesea semnalul cu un factor complex $g$, de exemplu o amplificare însoțită de o corecție. Din proprietatea produsului, luminozitatea pixelului se înmulțește cu $|g|$, oricare ar fi părțile lui $g$ luate separat. De aceea doi factori diferiți, cu același modul, lasă imaginea de magnitudine neschimbată, deși schimbă cele două canale. Relația este valabilă cât timp aparatul lucrează liniar, adică semnalul nu depășește domeniul în care receptorul îl reproduce fidel. „Unitățile arbitrare” înseamnă că ne interesează rapoartele dintre luminozități, nu valorile absolute ale semnalului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Patru module scrise exact

Calculați: a) $|-2+11i|$; b) $|10-10i|$; c) $\left|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right|$; d) $|-11|$.

Rezolvare. a) $|-2+11i|=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$, fiindcă $125=25\cdot 5$.

b) $|10-10i|=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$, fiindcă $200=100\cdot 2$.

c) $\left|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1$. Un număr cu părți iraționale poate avea modul întreg.

d) Numărul este real, deci $|-11|=11$, ca în clasa a IX-a. Cele patru rezultate arată situații diferite: radicali care se simplifică, un modul întreg obținut din părți iraționale și modulul unui număr real.

Exemplul 2 — Găsește greșeala

Un elev a scris: „pentru $z=7-3i$, $|z{|}^2=z^2=40-42i$”. Unde a greșit?

Rezolvare. Calculul pătratului este corect: $z^2=49-42i+9i^2=40-42i$. Greșeala este egalitatea $|z{|}^2=z^2$. Pătratul modulului se obține înmulțind numărul cu conjugatul lui, nu cu el însuși: $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}=(7-3i)(7+3i)=49+9=58$.

Semnul de alarmă era chiar rezultatul elevului: pătratul modulului este un număr real nenegativ, iar $40-42i$ are parte imaginară. Cele două numere coincid doar pentru $z$ real; pentru orice număr cu partea imaginară nenulă, $z^2$ și $|z{|}^2$ sunt diferite.

Exemplul 3 — Ordonează după modul

Ordonați crescător modulele numerelor $u=12-i$, $v=-9-8i$ și $w=2-13i$.

Rezolvare. Calculăm pătratele modulelor, ca să evităm radicalii: $|u{|}^2=144+1=145$, $|v{|}^2=81+64=145$, $|w{|}^2=4+169=173$. Radicalul păstrează ordinea numerelor nenegative, deci $|u|=|v|=\sqrt{145}$ și $|w|=\sqrt{173}$.

Ordinea este $|u|=|v|<|w|$. Primele două numere sunt diferite, dar au același modul. Compararea pătratelor în locul modulelor este procedeul recomandat: evită radicalii și nu schimbă ordinea.

Exemplul 4 — Parametrul din ambele părți

Determinați numerele reale $m$ pentru care $|m+(m+2)i|=\sqrt{34}$ și scrieți numerele complexe obținute.

Rezolvare. Ridicăm la pătrat: $m^2+(m+2{)}^2=34$, adică $2m^2+4m+4=34$, deci $m^2+2m-15=0$. Rădăcinile sunt $m=3$ și $m=-5$.

Pentru $m=3$ numărul este $3+5i$, iar pentru $m=-5$ este $-5-3i$. Verificare: $9+25=34$ și $25+9=34$. Parametrul apare în ambele părți, de aceea soluțiile nu mai sunt simetrice ca la o condiție cu partea reală fixată. Merită observat că cele două numere găsite au părțile „schimbate” între ele, ca valoare absolută: de aceea au același modul.

Exemplul 5 — Luminozitatea unui pixel după o corecție

Un pixel al unei imagini de rezonanță magnetică are semnalul complex $S=2+5i$, în unități arbitrare. O etapă de prelucrare înmulțește semnalul cu factorul $t=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}i$. Calculați luminozitatea pixelului înainte și după prelucrare, adică $|S|$ și $|t\cdot S|$.

Rezolvare. Înainte de prelucrare, $|S|=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$. Factorul are modulul $|t|=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{9}{25}}=\frac{3\sqrt{2}}{5}$, deci, din proprietatea produsului, $|t\cdot S|=\frac{3\sqrt{2}}{5}\cdot \sqrt{29}=\frac{3\sqrt{58}}{5}$.

Control prin calcul direct: $t\cdot S=\left(\frac{3}{5}-\frac{3}{5}i\right)(2+5i)=\frac{21}{5}+\frac{9}{5}i$, iar $\left|\frac{21}{5}+\frac{9}{5}i\right|=\sqrt{\frac{441}{25}+\frac{81}{25}}=\frac{\sqrt{522}}{5}=\frac{3\sqrt{58}}{5}$. Luminozitatea se înmulțește cu $\frac{3\sqrt{2}}{5}\approx 0,85$, deci scade cu aproximativ $15\%$. Observă avantajul proprietății produsului: nu a fost nevoie să calculăm semnalul nou ca să aflăm luminozitatea. Calculul direct a servit doar drept control, iar pentru mai multe etape succesive modulele factorilor se înmulțesc pur și simplu.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2 (MAT_P2 2030)

Fie numerele complexe $z_1=6+13i$ și $z_2=13-6i$.

a) Arătați că $|z_1|=|z_2|$.

b) Arătați că $z_1\cdot \overline{z_2}=205i$.

c) Arătați că $|z_1\cdot z_2|=205$.

Rezolvare. a) $|z_1|=\sqrt{36+169}=\sqrt{205}$ și $|z_2|=\sqrt{169+36}=\sqrt{205}$, deci modulele sunt egale.

b) $\overline{z_2}=13+6i$, iar $z_1\cdot \overline{z_2}=(6+13i)(13+6i)=78+36i+169i+78i^2=205i$.

c) Din proprietatea produsului, $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|=\sqrt{205}\cdot \sqrt{205}=205$. Punctul c) se poate rezolva și efectuând produsul, dar calculul e mai lung și mai expus greșelilor; proprietatea dă răspunsul pe un singur rând, cu justificarea inclusă.

Să exersăm

Scrie modulele exact, cu radicalul simplificat; folosește proprietățile produsului și ale câtului ori de câte ori scurtează calculul.

1. Calculează: a) $|9-5i|$; b) $|-3+11i|$; c) $|-14|$; d) $\left|\frac{5}{2}i\right|$.

2. Scrie modulele cu radicalul simplificat: a) $|8-12i|$; b) $|-15+5i|$.

3. Fie $z$ un număr complex cu $|z|=\sqrt{157}$. Fără să-l cunoști pe $z$, calculează $|\bar{z}|$, $|-2z|$ și $|i\cdot \bar{z}|$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr complex $z$ are loc $|z+\bar{z}|=2|z|$.”

5. Pentru $z=10+9i$, calculează $z\cdot \bar{z}$ și $|z|$.

6. Fără să efectuezi înmulțirile, calculează $\left|(3+6i{)}^2(2-4i)\right|$.

7. Un aparat de curent alternativ are impedanța $Z=5+12i$, în ohmi, și este alimentat cu tensiunea $U=130$, în volți, luată ca referință reală. Folosind legea lui Ohm din lecția despre împărțire, $I=\frac{U}{Z}$, calculează mărimea curentului, $|I|$, fără să efectuezi împărțirea.

8. Pentru $z=-3+10i$, calculează $|z^2|$ și $|z^3|$.

9. Calculează $\left|\frac{1}{3-6i}\right|$ și scrie rezultatul cu numitorul rațional.

10. Determină numerele complexe $z$ pentru care $|z|=5$ și $\mathrm{Re}z=2\mathrm{Im}z$.

11. Pentru ce număr real $m$ modulul numărului $(m-2)+4i$ este cel mai mic? Care este această valoare minimă?

12. Un coleg a scris „$\left|(3+8i{)}^2\right|=2|3+8i|=2\sqrt{73}$”. Găsește greșeala și calculează corect.

13. (Problemă aplicată.) În lanțul de prelucrare al unui aparat de rezonanță magnetică, un amplificator înmulțește semnalul complex cu factorul $g=1+\sqrt{3}i$. Pentru un pixel cu semnalul $S=5-2i$, în unități arbitrare, calculează luminozitatea $|S|$ înainte și după amplificare. De câte ori crește ea?

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Fie numerele complexe $z_1=5+3i$ și $z_2=-1+2i$. Arătați că $|z_1\cdot \overline{z_2}|=|z_1\cdot z_2|$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Fie numărul complex $w=\frac{9+2i}{2-9i}$. Arătați că $|w|=1$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determinați numărul real $a$ pentru care $|(a+2)+3i|=|a+5i|$.

17. Știind că $|z|=3$, calculează $z\cdot \bar{z}$ și $|z^2\cdot \bar{z}|$.

18. (Provocare.) Arată că pentru orice numere complexe $z$ și $w$ are loc $|z+w{|}^2+|z-w{|}^2=2\left(|z{|}^2+|w{|}^2\right)$. Verifică pe $z=7+5i$ și $w=3-7i$.

Răspunsuri și explicații

1. Pe rând: $|9-5i|=\sqrt{81+25}=\sqrt{106}$, apoi $|-3+11i|=\sqrt{9+121}=\sqrt{130}$; numărul real dă $|-14|=14$, iar cel pur imaginar $\left|\frac{5}{2}i\right|=\frac{5}{2}$. Radicalii de la a) și b) nu se simplifică: $106=2\cdot 53$ și $130=2\cdot 5\cdot 13$.

2. a) $|8-12i|=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}$, fiindcă $208=16\cdot 13$. b) $|-15+5i|=\sqrt{225+25}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}$, fiindcă $250=25\cdot 10$.

3. Conjugatul are același modul ca $z$, deci $|\bar{z}|=\sqrt{157}$. Din proprietatea produsului, $|-2z|=|-2|\cdot |z|=2\sqrt{157}$ și $|i\cdot \bar{z}|=|i|\cdot |\bar{z}|=1\cdot \sqrt{157}=\sqrt{157}$. Nu a fost nevoie să știm cine este $z$: toate numerele cu același modul dau aceleași rezultate.

4. Fals. Pentru $z=a+bi$, $z+\bar{z}=2a$, deci $|z+\bar{z}|=2|a|$, iar $|a|<|z|$ ori de câte ori $b\ne 0$. Contraexemplu: pentru $z=i$, $z+\bar{z}=0$, în timp ce $2|z|=2$. Egalitatea are loc numai pentru numerele reale.

5. $z\cdot \bar{z}=100+81=181$, deci $|z|=\sqrt{181}$.

6. Scoatem factorii pătrați de sub radicali: $|3+6i|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ și $|2-4i|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Din proprietatea produsului, $\left|(3+6i{)}^2(2-4i)\right|=|3+6i{|}^2\cdot |2-4i|=45\cdot 2\sqrt{5}=90\sqrt{5}$. Calculul direct ar fi cerut două înmulțiri de numere complexe și un radical dintr-un număr de cinci cifre.

7. Din proprietatea câtului, $|I|=\frac{|U|}{|Z|}$. Tensiunea este reală, $|U|=130$, iar $|Z|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$, deci $|I|=\frac{130}{13}=10$ amperi. Control prin împărțire: $I=\frac{130(5-12i)}{169}=\frac{50}{13}-\frac{120}{13}i$, iar $\frac{2500+14400}{169}=100=10^2$.

8. $|z|=\sqrt{9+100}=\sqrt{109}$, deci $|z^2|=109$ și $|z^3|=109\sqrt{109}$. Control pentru pătrat: $z^2=9-60i-100=-91-60i$, iar $91^2+60^2=11881=109^2$.

9. $|3-6i|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, deci $\left|\frac{1}{3-6i}\right|=\frac{1}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{15}$.

10. Scriem $z=a+bi$. A doua condiție dă $a=2b$, iar prima, după ridicarea la pătrat, $4b^2+b^2=25$, deci $b^2=5$, adică $b=\sqrt{5}$ sau $b=-\sqrt{5}$. Numerele sunt $z=2\sqrt{5}+\sqrt{5}i$ și $z=-2\sqrt{5}-\sqrt{5}i$. Modulele exacte pot ieși întregi chiar când părțile sunt iraționale.

11. $|(m-2)+4i|=\sqrt{(m-2{)}^2+16}$. Pătratul $(m-2{)}^2$ este cel puțin $0$ și se anulează numai pentru $m=2$, deci modulul e cel mai mic pentru $m=2$, iar valoarea minimă este $|4i|=4$.

12. Colegul a înmulțit modulul cu $2$ în loc să-l ridice la pătrat: pătratul unui număr este un produs, deci $\left|(3+8i{)}^2\right|=|3+8i|\cdot |3+8i|={\left(\sqrt{73}\right)}^2=73$. Control: $(3+8i{)}^2=9+48i-64=-55+48i$, iar $55^2+48^2=5329=73^2$.

13. Înainte de amplificare, $|S|=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$. Factorul are $|g|=\sqrt{1+3}=2$, deci după amplificare luminozitatea este $|g\cdot S|=2\sqrt{29}$: crește de $2$ ori. Controlul direct e mai lung: $g\cdot S=(5+2\sqrt{3})+(5\sqrt{3}-2)i$, iar suma pătratelor părților este $37+20\sqrt{3}+79-20\sqrt{3}=116=4\cdot 29$.

14. Ambele module se calculează cu proprietatea produsului: $|z_1\cdot \overline{z_2}|=|z_1|\cdot |\overline{z_2}|=\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{170}$ și $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|=\sqrt{170}$, pentru că $|\overline{z_2}|=|z_2|$. Control: $z_1\cdot z_2=-5+10i-3i+6i^2=-11+7i$ și $z_1\cdot \overline{z_2}=(5+3i)(-1-2i)=-5-10i-3i-6i^2=1-13i$, iar $121+49=1+169=170$.

15. Cu proprietatea câtului nu mai e nevoie de amplificare: $|9+2i|=\sqrt{85}$ și $|2-9i|=\sqrt{85}$, deci $|w|=\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}=1$. Se poate arăta și că $w=i$, pentru că $i(2-9i)=2i-9i^2=9+2i$.

16. Ridicăm la pătrat: $(a+2{)}^2+9=a^2+25$, adică $4a+13=25$, deci $a=3$. Pentru $a=3$ ambele numere, $5+3i$ și $3+5i$, au modulul $\sqrt{34}$.

17. $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=9$, chiar dacă nu știm cine este $z$: există o infinitate de numere cu modulul $3$, dar toate dau același produs cu conjugatul. Apoi $|z^2\cdot \bar{z}|=|z{|}^2\cdot |\bar{z}|=9\cdot 3=27$.

18. Folosim $|u{|}^2=u\cdot \bar{u}$: $|z+w{|}^2=(z+w)(\bar{z}+\bar{w})=z\bar{z}+z\bar{w}+w\bar{z}+w\bar{w}$ și $|z-w{|}^2=z\bar{z}-z\bar{w}-w\bar{z}+w\bar{w}$. Adunând, termenii din mijloc se reduc și rămâne $2\left(|z{|}^2+|w{|}^2\right)$. Pentru numerele date: $z+w=10-2i$ și $z-w=4+12i$, iar $104+160=264=2(74+58)$.

De reținut

• Modulul lui $z=a+bi$ este $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, un număr real nenegativ, scris exact, cu radicalul simplificat.
• Numere diferite pot avea același modul: din $|z|=|w|$ nu rezultă $z=w$.
• $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$, iar un număr, conjugatul și opusul lui au același modul.
• Modulul unui produs este produsul modulelor, iar modulul unui cât este câtul modulelor; la adunare regula nu mai funcționează.
• La o condiție de tipul $|z|=r$ ridici la pătrat și obții $a^2+b^2=r^2$, de obicei cu două soluții.

Greșeli frecvente

• Compari numerele după partea reală. Numărul $9+i$ are partea reală mai mare decât $3-9i$, dar modulul mai mic: $|9+i{|}^2=82$, iar $|3-9i{|}^2=90$. Mărimea unui număr complex depinde de ambele părți, prin suma pătratelor lor.
• Aplici regula de la numerele reale $|a|=|b|\Rightarrow a=\pm b$. La numere complexe ea nu mai funcționează: $12+11i$ și $11-12i$ au același modul, $\sqrt{265}$, dar niciunul nu este opusul celuilalt. Numerele cu un modul dat sunt mult mai multe decât două.
• Uiți numitorul la modulul unui cât amplificat. După amplificare, $\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{|w{|}^2}$, deci modulul câtului este $\frac{|z\bar{w}|}{|w{|}^2}$, nu $|z\bar{w}|$. Pe exemplul din secțiunea 5, $|z\bar{w}|=\sqrt{234}\cdot \sqrt{26}=78$, iar modulul câtului este $\frac{78}{26}=3$.
• Lași radicalul nesimplificat. $\sqrt{72}$ se scrie $6\sqrt{2}$, iar $\sqrt{45}$ se scrie $3\sqrt{5}$. Forma simplificată ușurează produsele de module, iar un rezultat nesimplificat poate ascunde faptul că produsul de radicali este, de fapt, un număr întreg.
• Uiți să ridici la pătrat și membrul drept. Din $|z|=\sqrt{130}$ rezultă $a^2+b^2=130$, nu $a^2+b^2=\sqrt{130}$. Pătratul unui radical este numărul de sub radical, iar pătratul unui număr întreg $r$ este $r^2$: la $|z|=6$ scrii $a^2+b^2=36$. O verificare rapidă a soluțiilor găsite prinde imediat această greșeală.

Aplică acasă

1. Scrie pe zece bilețele zece numere complexe cu părți întregi între $-9$ și $9$, alese astfel încât cel puțin două perechi de numere diferite să aibă același modul. Amestecă bilețelele și cere unui coleg să găsească perechile doar prin sume de pătrate, fără radicali. Apoi schimbați rolurile.
2. Alege două numere complexe cu părți întregi mici și explică unui membru al familiei sau unui coleg, pe hârtie, de ce modulul produsului lor este produsul modulelor. Calculează ambele variante, direct și prin proprietate, și cere-i să verifice fiecare pas.
3. Inventează o „imagine” de rezonanță magnetică de patru pixeli: pentru fiecare pixel scrie semnalul complex, cu părți întregi între $-6$ și $6$, și calculează luminozitatea exactă și aproximativă. Încearcă să alegi doi pixeli cu semnale diferite, dar cu aceeași luminozitate, apoi înmulțește toate semnalele cu $2i$ și verifică de câte ori s-a schimbat fiecare luminozitate.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce singura mărime reală care descrie „cât de mare” este un număr complex. Miza are două părți. Prima este calculul corect al formulei, cu radicalul simplificat și fără aproximări inutile. A doua este relația $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$, care leagă modulul de conjugat și permite justificarea proprietăților produsului și câtului fără calcule lungi. Lecția nu demonstrează inegalitatea triunghiului și nu tratează forma trigonometrică: ele nu sunt cerute la științe ale naturii, iar sugestiile metodologice ale programei recomandă forma trigonometrică doar când profesorul are timp la dispoziție.

Pentru lucrul în clasă, o activitate scurtă și eficientă este „modulul înainte de calcul”: elevii estimează modulul unui produs sau al unui cât din modulele factorilor și abia apoi efectuează operația, comparând rezultatele. Activitatea fixează proprietățile și, în același timp, obișnuiește elevii să-și controleze calculele.

Întrebări bune de control: „Ce număr real are același modul ca $-5$?”; „De ce $|z|=|w|$ nu înseamnă $z=w$?”; „Cum calculezi modulul unui cât fără să împarți?”. Semne că elevul a înțeles: preferă proprietățile calculului direct, scrie ambele soluții la condițiile cu modul și nu mai obține sub radical diferențe de pătrate. Un elev care își controlează singur un cât comparând modulele a transformat proprietatea într-un instrument, nu doar într-o formulă de memorat. Exemplul cu imaginile de rezonanță magnetică poate fi discutat cu profesorul de fizică sau de biologie: ideea unui număr complex pentru fiecare pixel, cu luminozitatea dată de modul, stă la baza unui aparat pe care mulți elevi l-au văzut într-un spital.

O observație despre ritm: elevii care au lucrat cu radicali în clasa a IX-a trec repede prin calculul modulelor, iar timpul câștigat se poate folosi pentru condițiile cu modul și pentru proprietatea produsului. Pentru cei care se încurcă la radicali, merită reluată simplificarea $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ înainte de lecție; fără ea, produsele de module devin greu de citit.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește explicit modulul unui număr complex, iar competențele clasei cer calculul modulului pe baza unor formule date. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care cuprinde numerele complexe sub formă algebrică, conjugatul și operațiile cu numere complexe. Modulul nu este numit separat în lista din 2014, de aceea exercițiile de aici poartă marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.)”: forma cerințelor este cea a examenului, iar conținutul este numit explicit abia în lista pentru 2030. Varianta-model din 2026 nu conține un modul.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: modulul unui număr complex, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este planul complex, imaginea geometrică și afixul la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre numerele complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre modulul unui număr complex?

Varianta M2 calculează modulul exact și folosește proprietățile produsului și câtului, justificate scurt prin relația cu conjugatul, fără demonstrații lungi. Nu demonstrează prin inducție modulul puterii, nu tratează inegalitatea triunghiului și nu pregătește forma trigonometrică. În schimb, leagă modulul de luminozitatea imaginilor de rezonanță magnetică, un context din științe.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea modulul unui număr complex?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cuprinde numerele complexe în formă algebrică și operațiile cu ele, fără să numească modulul separat. În varianta-model pentru 2026, numerele complexe apar în prima cerință a Subiectului I, ca o sumă și un produs de verificat, fără modul. Pentru MAT_P2 din 2030, lista de conținuturi numește explicit modulul, în domeniul „Algebră”, alături de conjugat și de operațiile în formă algebrică.

De ce modulul are un radical și când dispare radicalul?

Radicalul vine din teorema lui Pitagora: modulul combină partea reală și partea imaginară ca pe două catete, iar lungimea ipotenuzei se află prin radical. Dispare când lucrezi cu pătratul modulului, $|z{|}^2=a^2+b^2$, sau când suma pătratelor este un pătrat perfect. De aceea, în demonstrații și în comparații se lucrează de obicei cu pătratele modulelor.

Ce legătură are modulul cu imaginile de rezonanță magnetică?

Aparatul obține pentru fiecare pixel un număr complex, din două canale de măsură, iar imaginea obișnuită afișează modulul lui ca luminozitate. Cele două părți luate separat depind de detalii ale aparatului, dar modulul descrie țesutul. Proprietatea produsului explică de ce o amplificare cu factorul $g$ înmulțește toate luminozitățile cu $|g|$.

Cum scriu corect un modul care nu este număr întreg?

Lași rezultatul sub radical și scoți factorii pătrați perfecți, ca în clasa a IX-a: $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, $\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. La un cât cu radical la numitor, raționalizezi numitorul. O valoare zecimală, rotunjită corect, se scrie numai când enunțul o cere sau când interpretezi un rezultat din științe.

Ce se întâmplă cu modulul dacă înmulțesc $z$ cu un număr real?

Modulul se înmulțește cu modulul acelui număr real: $|k\cdot z|=|k|\cdot |z|$. Pentru $k=-3$, modulul lui $-3z$ este $3|z|$. Este un caz particular al proprietății produsului, pentru că un număr real este și număr complex, cu partea imaginară zero. Înmulțirea cu un număr real pozitiv „mărește” sau „micșorează” numărul fără să-i schimbe forma.