Pentru ce m are x²-4x+m valoarea minimă egală cu 3?

Minimul se atinge în vârf, la x=2, și este f(2)=4-8+m=m-4. Condiția m-4=3 dă m=7. Verificare: x²-4x+7=(x-2)²+3≥3, cu egalitate numai pentru x=2. Parametrul mută parabola pe verticală, fără să schimbe abscisa vârfului.

Pe ce interval crește o funcție de gradul doi?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Monotonie și extrem

Răspunsul depinde de semnul lui $a$ și de abscisa vârfului $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ . Pentru $a > 0$ funcția scade până la vârf și crește după el, deci crește pe $[x_{V}, + \infty)$ ; pentru $a < 0$ crește pe $(- \infty, x_{V}]$ . Exemplu: $f (x) = x^{2} - 8 x + 3$ are $x_{V} = 4$ și $a = 1 > 0$ , deci descrește pe $(- \infty, 4]$ și crește pe $[4, + \infty)$ , cu minimul $f (4) = - 13$ .

Monotonia se citește mergând pe axa orizontală de la stânga la dreapta și urmărind cum se schimbă ordonatele. Abscisa vârfului separă două ramuri cu sensuri opuse: pentru ramuri în sus funcția întâi descrește, apoi crește, iar pentru ramuri în jos ordinea se inversează. Vârful poate fi capăt comun al celor două intervale fără să strice caracterul strict.

Pe toată axa reală, când ramurile sunt orientate în sus există o cea mai mică valoare, dar nicio cea mai mare; pentru ramuri în jos situația se inversează. Valoarea extremă este o imagine efectiv atinsă, iar răspunsul complet spune și intrarea în care se atinge. Forma $a (x - h)^{2} + k$ arată de ce: pătratul nu este negativ și se anulează doar în $h$ .

Pe un interval închis se compară valoarea din vârf, dacă vârful este admis, cu valorile din capete. Un capăt exclus, desenat cu cerc gol, nu poate furniza un extrem atins. Pentru a compara două valori aflate pe ramuri diferite, se măsoară distanța fiecărei intrări până la axa de simetrie: la ramuri în sus, intrarea mai depărtată are imaginea mai mare.

De reținut

$a > 0$ : descrește pe $(- \infty, x_{V}]$ , crește pe $[x_{V}, + \infty)$
$a < 0$ : crește pe $(- \infty, x_{V}]$ , descrește pe $[x_{V}, + \infty)$
pe un interval fără vârf, extremele sunt în capete

Greșeala tipică

Se consideră că o parabolă cu ramurile în sus este crescătoare peste tot; ea descrește la stânga vârfului și crește doar la dreapta lui.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f (x) = - (x - 3)^{2} + 5$ , definită pe $R$ , este strict crescătoare pe:
- a) $[3, + \infty)$
- b) $(- \infty, 3]$
- c) $(- \infty, 5]$
- d) $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(- \infty, 3]$

Ramurile sunt în jos și vârful are abscisa $3$ . La stânga vârfului valorile urcă, deci funcția crește pe $(- \infty, 3]$ .
Valoarea minimă a funcției $f (x) = 4 (x + 2)^{2} - 7$ pe $R$ este:
- a) $- 2$
- b) $4$
- c) $- 7$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 7$

Pătratul este cel puțin zero și se anulează în $- 2$ , deci cea mai mică valoare este $- 7$ , atinsă în $x = - 2$ .
Pe intervalul $[0, 3]$ , funcția $f (x) = 2 (x - 4)^{2} + 1$ are maximul:
- a) $33$
- b) $3$
- c) $1$
- d) $19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $33$

Intervalul este în stânga vârfului, unde funcția descrește. Maximul este în capătul stâng: $f (0) = 32 + 1 = 33$ .

Întrebări conexe

Cum aflu minimul unei parabole pe un interval care nu conține vârful?

Pe un astfel de interval funcția este monotonă, deci extremele stau în capete. Pentru $f (x) = x^{2} - 8 x + 3$ pe $[5, 7]$ , vârful $4$ e în afară și funcția crește acolo: minimul este $f (5) = - 12$ , iar maximul $f (7) = - 4$ .

Cum compar $f (0)$ și $f (7)$ la o parabolă cu axa $x = 3$ și ramurile în sus?

Compari distanțele până la axă: $0$ este la $3$ unități, $7$ la $4$ unități. Cu ramurile în sus, intrarea mai depărtată are valoarea mai mare, deci $f (7) > f (0)$ . Verificare cu $f (x) = (x - 3)^{2}$ : $f (0) = 9$ și $f (7) = 16$ .

Cum arăt că $f (x) = x^{2} + 2 x$ este strict crescătoare pe $[- 1, + \infty)$ ?

Iei $- 1 \leq u < v$ și calculezi $f (v) - f (u) = v^{2} - u^{2} + 2 (v - u) = (v - u) (v + u + 2)$ . Primul factor este pozitiv, iar $v + u + 2 > 0$ , fiindcă $u \geq - 1$ și $v > - 1$ . Deci $f (u) < f (v)$ pentru orice asemenea pereche, exact ce cere definiția creșterii stricte. Punctul $- 1$ este chiar abscisa vârfului.

Poate o funcție de gradul doi să fie monotonă pe toată axa reală?

Nu. Pe $R$ ea își schimbă sensul în vârf: la $a > 0$ trece de la descreștere la creștere, la $a < 0$ invers. Monotonia pe un singur sens apare numai pe restricții, de exemplu $x^{2}$ pe $[0, + \infty)$ crește strict, dar pe $R$ nu este monotonă.

Pentru ce $m$ are $x^{2} - 4 x + m$ valoarea minimă egală cu $3$ ?

Minimul se atinge în vârf, la $x = 2$ , și este $f (2) = 4 - 8 + m = m - 4$ . Condiția $m - 4 = 3$ dă $m = 7$ . Verificare: $x^{2} - 4 x + 7 = (x - 2)^{2} + 3 \geq 3$ , cu egalitate numai pentru $x = 2$ . Parametrul mută parabola pe verticală, fără să schimbe abscisa vârfului.

Pe ce interval urcă o minge cu înălțimea $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ ?

Ramurile parabolei sunt în jos, iar vârful este la $t = \frac{20}{10} = 2$ s. Funcția crește pe $[0, 2]$ , deci mingea urcă în primele două secunde, până la $h (2) = - 20 + 40 + 1 = 21$ m. După vârf funcția descrește și mingea coboară până la sol.

Oamenii mai întreabă și: intervalele de monotonie ale funcției de gradul doi · unde crește parabola · monotonia funcției pătratice · funcția de gradul doi crescătoare descrescătoare

Pe ce interval crește o funcție de gradul doi?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aflu minimul unei parabole pe un interval care nu conține vârful?

Cum compar f(0) și f(7) la o parabolă cu axa x=3 și ramurile în sus?

Cum arăt că f(x)=x2+2x este strict crescătoare pe [−1,+∞)?

Poate o funcție de gradul doi să fie monotonă pe toată axa reală?

Pentru ce m are x2−4x+m valoarea minimă egală cu 3?

Pe ce interval urcă o minge cu înălțimea h(t)=−5t2+20t+1?

Continuă cu

Cum compar $f (0)$ și $f (7)$ la o parabolă cu axa $x = 3$ și ramurile în sus?

Cum arăt că $f (x) = x^{2} + 2 x$ este strict crescătoare pe $[- 1, + \infty)$ ?

Pentru ce $m$ are $x^{2} - 4 x + m$ valoarea minimă egală cu $3$ ?

Pe ce interval urcă o minge cu înălțimea $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ ?