Monotonia și extremul parabolei (M2, științe ale naturii)

Când urmărim o parabolă de la stânga la dreapta, valorile nu se schimbă mereu în același sens. Vârful separă două comportamente și indică o valoare extremă pentru funcția pe domeniul complet. În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), citim aceste informații din grafice și verificăm ce se păstrează când domeniul este un interval mai mic. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține monotonia funcției de gradul al doilea și vârful parabolei. Abordarea prin lecturi grafice respectă programa nouă a clasei a IX-a. Aici studiem funcția matematică și domeniul dat; alegerea unui optim pentru un fenomen, cu unități și condiții practice, se dezvoltă în problemele de maxim și minim în context.

Ce vei învăța

• Vei citi sensul variației unei parabole urmărind intrările în ordine crescătoare.
• Vei scrie intervalele pe care funcția crește sau descrește strict.
• Vei distinge valoarea extremă de intrarea la care este atinsă.
• Vei compara imagini folosind ramura și distanța până la axa de simetrie.
• Vei determina extremele unei restricții cu ajutorul graficului și al capetelor admise.
• Vei recunoaște situații în care o valoare sugerată de marginea desenului nu este atinsă.

Hai să descoperim împreună

1. În ce direcție citim variația?

Figura A reprezintă o funcție pătratică pe $\mathbb{R}$. Alege două abscise din partea stângă a vârfului, în ordinea lor de pe axă. Punctul corespunzător celei de-a doua abscise este mai jos. Pe partea dreaptă, aceeași deplasare spre dreapta conduce la puncte mai sus.

Spunem că funcția este strict descrescătoare pe prima ramură și strict crescătoare pe a doua. Sensul de citire este întotdeauna cel al creșterii abscisei. Dacă parcurgem desenul invers, mișcarea mâinii se schimbă, dar proprietatea matematică a funcției rămâne aceeași.

Funcția strict crescătoare pe un interval $I$ este o funcție pentru care, oricare ar fi intrările $x_1<x_2$ din $I$, avem $f(x_1)<f(x_2)$. Pentru o funcție strict descrescătoare pe $I$, din $x_1<x_2$ rezultă $f(x_1)>f(x_2)$. Definiția compară valori pentru intrări diferite, luate în ordinea lor pe axă.

Proprietatea privește perechi de intrări din același interval, nu puncte izolate. Pe desen o recunoaștem urmărind curba de la capătul stâng la cel drept al intervalului: dacă fiecare deplasare spre dreapta o ridică, funcția este strict crescătoare acolo; dacă o coboară, este strict descrescătoare.

2. De ce vârful separă intervalele?

În figura A, vârful are abscisa minus trei și ordonata minus doi. Citim descreștere pe $(-\infty ,-3]$ și creștere pe $[-3,+\infty )$. Capătul comun poate apărea în ambele intervale: comparațiile din fiecare ramură rămân stricte pentru intrări distincte.

Strict nu înseamnă că trebuie să eliminăm vârful din intervale. Când comparăm o intrare de pe o ramură cu abscisa vârfului, valorile sunt diferite și păstrează sensul corespunzător. Nu comparăm vârful cu el însuși, fiindcă definiția pornește de la două intrări distincte.

Pe tot domeniul real, funcția pătratică nu are un singur sens de monotonie. Existența a două intrări distincte, simetrice față de axă, cu valori egale exclude monotonia strictă globală. În plus, cele două ramuri au sensuri opuse, ceea ce exclude și o singură variație monotonă nestrictă pe întregul domeniu.

Pentru ramuri orientate în jos, ordinea comportamentelor se inversează: întâi creștere, apoi descreștere. Nu este necesar să memorăm două desene fără explicație. Pornim din partea stângă și urmărim dacă ordonatele urcă sau coboară până la vârf, apoi după el.

Când se cer intervalele maxime de monotonie, alegem fiecare ramură întreagă în interiorul domeniului dat. Un interval mai mic, aflat pe aceeași ramură, are și el proprietatea, dar nu epuizează răspunsul. Cuvântul „maxim” se referă aici la întinderea intervalului pe care păstrăm sensul de variație, nu la cea mai mare valoare a funcției. Pentru a controla răspunsul, întreabă-te dacă intervalul poate fi prelungit în domeniu fără să treacă pe o porțiune cu sens opus. Dacă poate, nu ai notat încă întreaga ramură cerută. Pe grafic, urmărește prelungirea până la vârf sau până la capătul domeniului.

3. Ce numim valoare minimă sau maximă?

O valoare minimă este o imagine a funcției care nu depășește nicio altă imagine de pe domeniul studiat. O valoare maximă este o imagine care nu este mai mică decât celelalte. Cuvântul „imagine” înseamnă că valoarea trebuie să fie efectiv atinsă într-o intrare admisă.

Pentru figura A, cea mai mică ordonată este minus doi, atinsă la intrarea minus trei. Vârful este punctul $V(-3,-2)$; valoarea minimă este $-2$, iar intrarea de minim este $-3$. Într-un răspuns complet, spunem atât cât este extremul, cât și unde este atins.

Pe domeniul real, o parabolă cu ramuri în sus are minim, dar nu are maxim. Ramurile produc valori tot mai mari când ne depărtăm suficient de axă. Pentru o parabolă cu ramuri în jos, avem maxim și nu avem minim. Marginea de sus sau de jos a unei imagini nu este o limită impusă funcției.

Aceste afirmații se referă la domeniul complet. Pe un interval închis și mărginit, aceeași formulă poate avea atât minim, cât și maxim. Când schimbăm domeniul, schimbăm mulțimea intrărilor comparate, deci trebuie refăcută concluzia despre extremele admise.

4. Cum ajută forma canonică la control?

Dacă $f(x)=a(x-h{)}^2+k$, atunci vârful este $V(h,k)$. Pentru $a>0$, termenul adăugat la $k$ este nenegativ, iar egalitatea cu $k$ apare exact în $x=h$. Pentru $a<0$, termenul adăugat este nepozitiv, astfel încât $k$ este valoarea maximă pe $\mathbb{R}$.

Acest control explică extremul fără derivate. El folosește faptul că un pătrat nu este negativ și se anulează numai când baza lui este zero. Dacă abscisa $h$ este exclusă din domeniu, egalitatea poate să nu mai fie atinsă, chiar dacă aceeași comparație cu $k$ rămâne valabilă.

Pentru formula dezvoltată, abscisa vârfului este $h=-b/(2a)$, iar ordonata se calculează prin $f(h)$. Relațiile pot confirma citirea din grafic. Nu trebuie să calculăm numeroase valori pentru a localiza un vârf a cărui poziție este deja dată exact în desen.

Monotonia se înțelege și prin distanța până la axă. Pe o ramură, deplasarea spre vârf micșorează pătratul distanței, iar depărtarea îl mărește. Semnul coeficientului dominant spune dacă această schimbare ridică sau coboară ordonata.

5. Cum comparăm valori fără evaluări complete?

Dacă două intrări se află pe aceeași ramură, folosim sensul de variație al acelei ramuri. Pentru o funcție descrescătoare, intrarea mai mică are imaginea mai mare; pentru una crescătoare, păstrează ordinea imaginilor. Trebuie verificat că ambele intrări aparțin intervalului invocat.

Dacă intrările se află pe ramuri diferite, simpla lor ordine nu ajunge. Comparăm distanțele până la abscisa vârfului. La ramuri în sus, intrarea mai depărtată produce valoarea mai mare; la ramuri în jos, ea produce valoarea mai mică.

Distanțe egale înseamnă valori egale, prin simetrie. Egalitatea poate fi citită exact chiar dacă ordonata comună nu se află pe o gradație ușor de estimat. Astfel, o proprietate geometrică poate oferi o comparație mai sigură decât două citiri numerice aproximative.

Nu deducem că funcția este constantă pe interval doar fiindcă valorile din capete coincid. Între două puncte simetrice, curba trece prin vârf și ia alte valori. Egalitatea a două imagini este o informație despre două intrări, nu despre toate intrările dintre ele.

6. Ce se întâmplă pe un interval închis?

Localizăm intervalul față de abscisa vârfului. Când tot intervalul stă pe o singură ramură, funcția păstrează același tip de monotonie de la un capăt la altul. Valorile extreme se află atunci în capete, iar monotonia arată care capăt dă minimul și care dă maximul.

Dacă vârful se află în interiorul intervalului, separăm cele două părți la abscisa lui. Valoarea din vârf este un extrem, iar pentru celălalt comparăm imaginile capetelor. Un capăt mai depărtat de axă produce abaterea verticală mai mare față de vârf.

La un interval simetric față de axă, cele două capete au aceeași imagine. Extremul opus celui din vârf poate fi atins în ambele capete. O valoare extremă poate deci avea mai multe intrări de atingere pe o restricție, chiar dacă vârful parabolei complete este unic.

Acest studiu privește intervalele și extremele. Enumerarea tuturor valorilor posibile ale funcției este o întrebare înrudită, tratată separat în mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea. Nu confundăm intrările admise cu ieșirile obținute.

Când cele două capete simetrice ating aceeași valoare extremă, eliminarea unuia singur nu elimină automat extremul. Celălalt capăt poate rămâne admis și poate realiza aceeași valoare. De aceea controlul nu se oprește la constatarea că un anumit punct lipsește: căutăm toate intrările de atingere relevante. Această verificare de existență explică de ce două restricții cu un capăt deschis pot avea comportamente diferite, chiar dacă desenele lor par apropiate.

7. Ce trebuie verificat la un capăt deschis?

Un cerc gol pe grafic înseamnă că punctul nu aparține funcției reprezentate. Valoarea lui poate orienta lectura, dar nu poate fi declarată extrem atins în acel punct. Căutăm dacă aceeași valoare apare într-o altă intrare admisă, de exemplu în punctul simetric de pe cealaltă ramură.

Dacă toată porțiunea urcă spre un capăt exclus și niciun alt punct nu atinge nivelul lui, nu există cea mai mare valoare pe acea porțiune. Pentru fiecare intrare admisă suficient de aproape de capăt putem alege alta, tot admisă, cu imagine mai mare. Nu este nevoie să introducem o intrare care lipsește din domeniu.

La fel, o porțiune care coboară spre un capăt exclus poate să nu aibă minim. Trebuie formulată concluzia despre existența unui extrem, nu doar copiat numărul aflat lângă un cerc gol. Faptul că o valoare este un prag pentru toate imaginile nu garantează că este și una dintre ele.

Pe un grafic cu domeniu declarat, capetele sunt date matematice. Le citim înaintea răspunsului și le păstrăm în notația intervalelor. Dacă este doar o fereastră dintr-o funcție pe $\mathbb{R}$, marginile cadrului nu sunt capete ale domeniului și nu se tratează ca atare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Variația și maximul dintr-un grafic

Figura B reprezintă o funcție pătratică $g$ pe $\mathbb{R}$. Citește intervalele maxime de monotonie și valoarea extremă.

Rezolvare. Curba urcă până la abscisa doi, apoi coboară. Funcția crește strict pe $(-\infty ,2]$ și descrește strict pe $[2,+\infty )$. Vârful are ordonata șase, deci maximul este șase, atins în doi.

Funcția nu are minim pe domeniul real: ramurile continuă în jos în afara ferestrei. Ultima linie a grilei nu reprezintă cea mai mică valoare posibilă. Informația despre domeniul complet este necesară pentru această concluzie.

Exemplul 2 — Un interval aflat pe o singură ramură

Se consideră $p(x)=3(x+2{)}^2-1$, numai pentru $x\in [-6,-3]$. Stabilește monotonia și extremele pe acest domeniu.

Rezolvare. Axa parabolei complete este $x=-2$, iar intervalul se află integral în stânga ei. Ramurile sunt în sus, deci funcția descrește pe intervalul dat. Maximul este în capătul stâng, cu valoarea $p(-6)=48-1=47$, iar minimul în capătul drept, $p(-3)=3-1=2$.

Ordonata vârfului complet, minus unu, nu este minimul restricției, fiindcă abscisa minus doi nu este admisă. Răspunsul păstrează domeniul din enunț, chiar dacă formula poate fi evaluată și în vârf.

Exemplul 3 — Două ramuri și două capete incluse

Figura C reprezintă $q(x)=\frac{1}{2}(x-1{)}^2-3$ pe $[-2,3]$. Citește sensurile de variație și determină ambele valori extreme.

Rezolvare. Funcția descrește pe $[-2,1]$ și crește pe $[1,3]$. Minimul este $q(1)=-3$. Pentru maxim, comparăm capetele: $q(-2)=9/2-3=3/2$, iar $q(3)=2-3=-1$. Maximul este $3/2$, atins la minus doi.

Graficul confirmă că punctul din stânga este mai sus decât cel din dreapta. Acest interval nu este centrat în axă, deci egalitatea imaginilor din capete nu era de așteptat. Punctele pline arată că ambele valori de capăt sunt admise.

Exemplul 4 — Un cerc gol nu este un minim atins

Figura D reprezintă $r(x)=(x+4{)}^2+2$ pe $(-4,-1]$. Precizează monotonia și spune ce extreme există.

Rezolvare. Porțiunea este strict crescătoare. Maximul există în capătul inclus minus unu și este $r(-1)=9+2=11$. Nu există minim: nivelul doi corespunde abscisei minus patru, exclusă, iar toate valorile admise sunt mai mari decât doi.

Orice intrare admisă poate fi înlocuită cu una mai apropiată de minus patru, încă din interiorul intervalului, obținând o valoare mai mică. De aceea nu există o imagine admisă care să fie cea mai mică. Cercul gol face vizibilă exact această lipsă.

Exemplul 5 — Compararea pe ramuri diferite

Pentru $s(x)=2(x-4{)}^2-7$, compară $s(1)$ și $s(6)$ folosind distanța față de axă, apoi verifică numeric.

Rezolvare. Axa este $x=4$. Prima intrare se află la trei unități de axă, a doua la două. Ramurile fiind în sus, depărtarea mai mare dă o imagine mai mare: $s(1)>s(6)$.

Controlul produce $s(1)=18-7=11$ și $s(6)=8-7=1$. Nu am folosit o presupusă creștere pe tot intervalul dintre intrări; acesta trece prin vârf. Comparația a fost justificată prin forma curbei și distanțe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Determină maximul funcției $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=-3x^2-6x+5$, și intrarea în care se atinge; controlează rezultatul printr-un pătrat.

Rezolvare. Rescriem $u(x)=-3(x+1{)}^2+8$. Termenul cu pătrat este nepozitiv, deci orice imagine este cel mult opt. Egalitatea se obține exact când $x=-1$, astfel încât maximul este opt, atins în minus unu.

Afirmația include și existența: nu am arătat doar că toate valorile sunt sub un prag, ci am găsit intrarea admisă care atinge pragul. Grafic, vârful este $V(-1,8)$ și ramurile sunt în jos.

Să exersăm

Figura E, folosită la exercițiile 1–4, reprezintă o funcție pătratică $f$ pe $\mathbb{R}$. Citește proprietățile cerute din grafic, fără să reconstruiești formula.

1. Scrie cele două intervale maxime de monotonie pentru funcția din figura E și sensul pe fiecare.

2. Precizează valoarea minimă, intrarea în care este atinsă și dacă există o valoare maximă pe domeniul real.

3. Compară $f(-2)$ și $f(3)$ folosind distanțele până la axa de simetrie, fără citirea aproximativă a ordonatelor.

4. Scrie un interval de lungime $2$ pe care funcția din figura E este strict descrescătoare și un interval de lungime $2$ pe care nu este monotonă. Justifică fiecare alegere prin poziția lui față de abscisa vârfului.

Figura F reprezintă funcția $h(x)=-(x+1{)}^2+4$ pe $[-3,2]$. Folosește-o pentru exercițiile 5–7.

5. Citește intervalele pe care funcția din figura F crește și descrește.

6. Determină minimul și maximul pe domeniul din figura F, cu intrările de atingere. Controlează valorile de capăt prin formulă.

7. Dacă eliminăm numai capătul stâng, obținând domeniul $(-3,2]$, se schimbă valorile extreme din exercițiul anterior? Justifică prin punctele care le ating.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $p(x)=3(x-2{)}^2-8$, scrie intervalele de monotonie pe $\mathbb{R}$ și precizează minimul.

9. Funcția $q(x)=2(x-2{)}^2-9$ este studiată pe $[0,1]$. Calculează valorile în capete și spune care dintre ele este maximul pe acest interval. Justifică prin poziția intervalului față de axă.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se dă $r(x)=-2(x+4{)}^2+3$ pe $[-6,-5]$. Precizează monotonia și ambele extreme pe acest interval.

11. Pentru $s(x)=3(x-3{)}^2+1$, compară $s(0)$ și $s(6)$, apoi explică de ce egalitatea nu înseamnă că funcția este constantă pe $[0,6]$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) Funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-\frac{3}{2}{x}^2+9x-4$, este strict descrescătoare pe intervalul $[2,5]$.

13. Funcția $u(x)=-(x-5{)}^2+12$ are domeniul $[1,5)$. Precizează monotonia, minimul și dacă există maxim. Nu include punctul exclus din dreapta.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru $v:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $v(x)=-4x^2+6x+1$, determină intervalele de monotonie, apoi compară $v(0)$ cu $v(1)$.

15. Funcția $w(x)=2(x-1{)}^2+3$ crește strict pe $[3,5]$. Este acesta întregul interval maxim de creștere al funcției pe $\mathbb{R}$? Scrie intervalul maxim.

16. (Problemă aplicată.) Un model empiric simplificat dă puterea mecanică necesară zborului orizontal al unui porumbel, în wați, în funcție de viteza $v$, în metri pe secundă: $P(v)=\frac{1}{8}(v-10{)}^2+5$, pentru $6\le v\le 16$. Precizează pe ce porțiune a intervalului puterea scade și pe ce porțiune crește, apoi găsește puterea minimă și puterea maximă pe acest interval.

17. Pentru $g(x)=\frac{1}{2}(x+6{)}^2+4$ pe $\mathbb{R}$, există minim, maxim sau ambele? Precizează valoarea extremă care există și intrarea corespunzătoare.

18. Funcția $w(x)=\frac{4}{3}(x-2{)}^2+1$ este studiată pe $[\frac{1}{2},\frac{7}{2}]$. Determină valoarea maximă și toate intrările în care este atinsă.

Răspunsuri și explicații

1. Descrește strict pe $(-\infty ,1]$ și crește strict pe $[1,+\infty )$. Abscisa vârfului separă ramurile, iar orientarea lor se citește de la stânga la dreapta.

2. Minimul este $-4$, atins în $x=1$. Nu există maxim pe $\mathbb{R}$; valorile pot depăși marginea superioară a desenului.

3. $f(-2)>f(3)$, deoarece distanțele până la unu sunt trei și doi, iar ramurile sunt în sus. Nu este necesară ordonata exactă pentru această comparație.

4. De exemplu, pe $[-2,0]$ funcția descrește strict, fiindcă intervalul se află în întregime la stânga abscisei vârfului, unu. Pe $[0,2]$ nu este monotonă: intervalul conține abscisa vârfului, iar curba întâi coboară până la $x=1$, apoi urcă. Orice interval de lungime doi care conține unu în interior are această proprietate.

5. Crește strict pe $[-3,-1]$ și descrește strict pe $[-1,2]$. Domeniul este finit și nu se prelungește dincolo de punctele pline.

6. Maximul este patru, atins în minus unu. Capetele dau $h(-3)=0$ și $h(2)=-5$, deci minimul este minus cinci, atins în doi.

7. Nu. Ambele intrări care ating extremele rămân admise. Eliminarea unui punct care nu realizează niciun extrem nu schimbă aceste două valori.

8. Descreștere pe $(-\infty ,2]$, creștere pe $[2,+\infty )$. Minimul este minus opt, atins în doi. Coeficientul pozitiv confirmă orientarea.

9. Valorile sunt $q(0)=8-9=-1$ și $q(1)=2-9=-7$. Intervalul se află la stânga axei $x=2$, pe ramura descrescătoare, deci maximul este $-1$, atins în zero, iar minimul este $-7$, atins în unu.

10. Funcția crește pe interval, aflat în stânga vârfului unei parabole cu ramuri în jos. Minimul este $r(-6)=-5$, iar maximul este $r(-5)=1$.

11. Ambele valori sunt $28$. În trei, funcția are valoarea unu, deci nu este constantă între capete; egalitatea este explicată de simetrie.

12. Fals. Abscisa vârfului este $-\frac{9}{2\cdot (-3/2)}=3$, în interiorul intervalului: pe $[2,3]$ funcția crește, iar pe $[3,5]$ descrește. Valorile $g(2)=8$, $g(3)=\frac{19}{2}$ și $g(5)=\frac{7}{2}$ o confirmă: de la doi la trei imaginea urcă.

13. Crește strict. Minimul este $u(1)=-4$, atins în capătul inclus. Maxim nu există, deoarece nivelul doisprezece ar fi atins numai în cinci, intrare exclusă.

14. Abscisa vârfului este $-\frac{6}{2\cdot (-4)}=\frac{3}{4}$. Ramurile sunt în jos, deci $v$ crește strict pe $(-\infty ,\frac{3}{4}]$ și descrește strict pe $[\frac{3}{4},+\infty )$. Intrările zero și unu sunt pe ramuri diferite, la distanțele $\frac{3}{4}$ și $\frac{1}{4}$ de axă; la ramuri în jos intrarea mai apropiată dă valoarea mai mare, deci $v(1)>v(0)$. Control: $v(0)=1$ și $v(1)=-4+6+1=3$.

15. Nu. Intervalul maxim de creștere este $[1,+\infty )$. Orice subinterval al lui moștenește proprietatea, dar nu reprezintă neapărat întreaga ramură.

16. Puterea descrește pe $[6,10]$ și crește pe $[10,16]$. Minimul este $5$ W, la viteza de $10$ m/s. Pentru maxim comparăm capetele: $P(6)=2+5=7$ W și $P(16)=\frac{9}{2}+5=\frac{19}{2}$ W, deci maximul este $9,5$ W, la $16$ m/s. Puterea rămâne pozitivă pe tot intervalul, cum trebuie pentru o putere consumată; atât zborul lent, cât și cel rapid cer mai mult decât viteza de mijloc.

17. Există numai minimul patru, atins în minus șase. Pe domeniul real nu există maxim, deoarece termenul pozitiv cu pătrat poate deveni oricât de mare.

18. Vârful $(2,1)$ aparține intervalului și dă minimul. Capetele sunt la câte $\frac{3}{2}$ de axă, deci au aceeași imagine: $w(\frac{1}{2})=w(\frac{7}{2})=\frac{4}{3}\cdot \frac{9}{4}+1=4$. Maximul este $4$, atins în două intrări, $\frac{1}{2}$ și $\frac{7}{2}$.

De reținut

• Monotonia se citește în sensul creșterii abscisei și compară ordinea imaginilor.
• Abscisa vârfului separă cele două ramuri cu sensuri de variație opuse.
• O valoare extremă trebuie atinsă într-o intrare admisă, nu doar sugerată de un nivel al desenului.
• Distanța până la axa de simetrie permite comparații și între intrări de pe ramuri diferite.
• Domeniul, capetele și punctele de atingere controlează extremele unei restricții.

Greșeli frecvente

• Parcurgerea curbei de la dreapta la stânga și păstrarea etichetei observate. Pentru numirea monotoniei, citește întotdeauna în sensul creșterii intrării; orientarea foii nu schimbă definiția.
• Aceeași ordine a sensurilor pentru orice orientare. La ramurile în jos funcția întâi crește, apoi descrește. Verifică semnul coeficientului dominant sau urmărește curba înainte să scrii intervalele, în loc să copiezi ordinea învățată pe o parabolă cu ramurile în sus.
• Constanța dedusă din două valori egale la capete. Verifică interiorul intervalului. La capete simetrice, vârful oferă o valoare diferită și respinge imediat concluzia.
• Excluderea automată a vârfului din intervale fiindcă monotonia este strictă. Definiția compară intrări distincte; vârful poate fi capăt admis al fiecărei ramuri fără pierderea stricteții.
• Monotonia unei ramuri folosită pentru intrări de pe ramuri diferite. Dacă între cele două intrări se află abscisa vârfului, ordinea intrărilor nu decide ordinea imaginilor. Compară atunci distanțele până la axă.

Aplică acasă

1. Citire în două sensuri. Alege un grafic de parabolă și urmărește-l cu degetul în ambele direcții. Scrie apoi descrierea matematică folosind numai creșterea absciselor. Explică de ce mișcarea inversă nu schimbă intervalele de monotonie.
2. Ordinea se păstrează sau se inversează? Alege o parabolă dată în formă canonică și șase intrări, câte trei de fiecare parte a abscisei vârfului. Scrie intrările în ordine crescătoare pe un rând și imaginile lor dedesubt. Pentru fiecare pereche de vecini, notează dacă ordinea imaginilor o repetă pe cea a intrărilor sau o inversează, apoi explică de ce schimbarea apare exact la trecerea peste vârf.
3. Un capăt eliminat. Desenează o ramură pe un interval închis, apoi elimină capătul care atinge una dintre extreme. Spune dacă valoarea eliminată mai apare în alt punct admis. Justifică existența sau absența extremului prin graficul rămas.

Pentru părinți și profesori

Cereți comparații înaintea formulelor: care dintre două puncte este mai sus și de ce? Alternați intrări de pe aceeași ramură cu intrări de pe ramuri diferite. Elevul trebuie să aleagă între folosirea monotoniei pe un interval și folosirea simetriei ori a distanței până la axă.

La extreme, solicitați valoarea și intrarea de atingere, apoi verificați apartenența la domeniu. Includeți un capăt deschis și o pereche de intrări aflate pe ramuri diferite. Aceste cazuri arată dacă elevul înțelege lectura graficului sau doar compară numerele intrărilor.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; nota unității IX.6 cere interpretarea geometrică a monotoniei și a punctelor de extrem, citite pe grafic; studiul algebric al monotoniei revine clasei a X-a. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2 (anexa 4.2 la OMEC 5077/2026), tema apare în domeniul „Algebră”. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde monotonia funcției de gradul al doilea, punctul de extrem și vârful parabolei. Modelul oficial 2026 nu conține o cerință despre parabolă.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: monotonia și valoarea extremă demonstrează algebric monotonia. Pentru continuare folosiți mulțimea valorilor și semnul funcției pe grafic; recapitulați cu testul de funcții și lecturi grafice. Scrierea intervalelor nemărginite se poate relua din intervalele nemărginite, clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

De ce apare abscisa vârfului în ambele intervale de monotonie? Pentru că definiția compară numai intrări distincte. Pe intervalul din stânga, vârful este capătul drept, iar pe cel din dreapta este capătul stâng; în fiecare, comparația lui cu orice altă intrare admisă respectă sensul strict al ramurii. Nicio condiție nu cere compararea vârfului cu el însuși. Scrierea cu vârful inclus este mai completă, fiindcă descrie și comportarea în acest punct.

Ce aduce varianta M2 față de lecția de mate-info (M1) despre monotonie și extrem? Noțiunile sunt aceleași, dar aici monotonia și extremul se citesc pe grafice date, iar forma cu pătrat servește drept control. Nu demonstrăm algebric monotonia și nu lucrăm cu parametri. În schimb, insistăm pe restricții, capete incluse sau excluse și pe compararea valorilor prin distanța până la axă.

Două capete cu aceeași valoare arată că funcția este constantă între ele? Nu. La o parabolă, capetele pot fi simetrice față de axă, iar între ele curba trece prin vârf și ia alte valori. Constanța ar cere aceeași imagine pentru toate intrările intervalului, nu doar pentru capete. O singură valoare diferită, de exemplu cea din vârf, respinge concluzia.

Un cerc gol poate marca locul unui extrem al funcției reprezentate? Punctul gol este exclus, deci valoarea nu este atinsă acolo. Ea ar putea fi atinsă într-un alt punct admis, de exemplu în punctul simetric de pe cealaltă ramură; dacă nu este, acel nivel nu este un extrem atins al funcției. Domeniul și desenul capetelor decid răspunsul.

Cum pot apărea monotonia și extremul la bacalaureatul M2? Programa M2 pentru 2027–2029 numește monotonia funcției de gradul al doilea, punctul de extrem și vârful parabolei. Modelul oficial 2026 nu conține o parabolă, deci nu putem spune ce formă va avea cerința. Exersează scrierea intervalelor, precizarea valorii extreme împreună cu intrarea de atingere și verificarea capetelor unei restricții.

Poate aceeași valoare maximă să fie atinsă în două intrări? Da, de exemplu pe un interval închis simetric în jurul vârfului unei parabole cu ramuri în sus. Cele două capete au aceeași imagine și realizează maximul restricției. Pe domeniul real, aceeași parabolă nu are maxim, fiindcă ramurile urcă oricât de sus. Numărul intrărilor de atingere face parte din răspuns.