Când poate gradul sumei $$f+g$$ să fie strict mai mic decât maximul gradelor?

când gradele sunt egale și coeficienții dominanți se anulează

când unul dintre polinoame este o constantă

Ce grad are suma a două polinoame?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Adunare, înmulțire, grade

Gradul sumei este cel mult cel mai mare dintre cele două grade. Scade strict doar când polinoamele au același grad, iar coeficienții dominanți sunt opuși. Exemplu: $f = 2 X^{3} - X + 4$ și $g = - 2 X^{3} + 5 X^{2}$ au ambele gradul $3$ , dar $f + g = 5 X^{2} - X + 4$ are gradul $2$ , fiindcă $2 + (- 2) = 0$ . În schimb, $f + X^{2} = 2 X^{3} + X^{2} - X + 4$ păstrează gradul $3$ , pentru că gradele erau diferite.

Adunarea și scăderea lucrează rang cu rang, direct pe coeficienți; un rang care lipsește dintr-un polinom participă cu $0$ , iar opusul se obține întorcând semnul fiecărui coeficient.

Când înmulțești cu un scalar $λ$ , factorul ajunge la fiecare coeficient, termenul liber inclus: $2 (X^{2} - 3 X + 4) = 2 X^{2} - 6 X + 8$ . Cât timp $λ \neq = 0$ , gradul nu se clintește — și tocmai aici stă deosebirea față de înmulțirea cu $X$ , care urcă gradul cu o unitate. În științe, scalarul este operația prin care treci un model de la o unitate de măsură la alta.

Produsul a două polinoame cere ca fiecare termen să întâlnească fiecare termen: coeficienții se înmulțesc, exponenții se adună, de vreme ce $X^{i} \cdot X^{j} = X^{i + j}$ .

Gradele urmează două reguli diferite. La sumă, gradul nu depășește maximul celor două grade; el coboară strict numai dacă gradele coincid și coeficienții dominanți se sting reciproc. La produsul a două polinoame nenule, gradul este exact suma gradelor.

Orice înmulțire se controlează la cele două capete: coeficientul dominant vine din produsul coeficienților dominanți, iar numărul fără nedeterminată din produsul termenilor liberi. Răspunsul final se scrie în formă algebrică — termeni asemenea reduși, puteri în ordine descrescătoare.

De reținut

$grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$
gradul sumei scade doar la grade egale și coeficienți dominanți opuși
pentru polinoame nenule, $grad (f g) = grad f + grad g$

Greșeala tipică

Se crede că suma a două polinoame de gradul $3$ are mereu gradul $3$ ; dacă coeficienții dominanți sunt opuși, termenul de gradul $3$ dispare.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f = X^{2} - 3 X + 4$ , cât este $2 f$ ?
- a) $2 X^{2} - 6 X + 8$
- b) $2 X^{2} - 3 X + 4$
- c) $2 X^{2} - 6 X + 4$
- d) $X^{2} - 6 X + 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 X^{2} - 6 X + 8$

Înmulțirea cu un scalar atinge fiecare coeficient, inclusiv termenul liber: $2 \cdot 1 = 2$ , $2 \cdot (- 3) = - 6$ , $2 \cdot 4 = 8$ . Variantele b) și c) uită câte un coeficient pe drum — exact greșeala care strică o conversie de unitate la chimie.
Care este forma algebrică a produsului $(X + 2) (X - 3)$ ?
- a) $X^{2} - X - 6$
- b) $X^{2} + X - 6$
- c) $X^{2} - 6$
- d) $X^{2} - 5 X - 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $X^{2} - X - 6$

Desfaci fiecare cu fiecare: $X \cdot X - 3 X + 2 X - 6 = X^{2} - X - 6$ . Controlul termenului liber: $2 \cdot (- 3) = - 6$ ✓. Varianta c) uită mijlocul, iar d) adună coeficienții în loc să-i reducă.
Când poate gradul sumei $f + g$ să fie strict mai mic decât maximul gradelor?
- a) niciodată
- b) când gradele sunt egale și coeficienții dominanți se anulează
- c) întotdeauna, la orice adunare
- d) când unul dintre polinoame este o constantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) când gradele sunt egale și coeficienții dominanți se anulează

Rangul de sus dispare doar dacă cei doi coeficienți dominanți se anulează unul pe altul, ceea ce cere grade egale: $(X^{3} + X) + (- X^{3} + 1) = X + 1$ , de gradul $1$ . Când gradele sunt diferite, coeficientul dominant al celui mai mare rămâne singur, deci gradul se păstrează.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu gradul când înmulțesc un polinom cu $X$ ?

Gradul crește cu exact o unitate, pentru că fiecare exponent crește cu $1$ . De exemplu, $X (2 X^{2} - 1) = 2 X^{3} - X$ trece de la gradul $2$ la gradul $3$ . Înmulțirea cu un număr nenul nu schimbă gradul, deci cele două operații nu trebuie confundate.

Cât este coeficientul lui $X^{2}$ în produsul $(X - 2) (X^{2} + 3 X - 1)$ ?

Aduni doar produsele care dau $X^{2}$ : $X \cdot 3 X = 3 X^{2}$ și $(- 2) \cdot X^{2} = - 2 X^{2}$ , deci coeficientul este $1$ . Nu e nevoie să desfaci tot produsul pentru un singur coeficient. Produsul complet este totuși $X^{3} + X^{2} - 7 X + 2$ , iar termenul liber se confirmă separat: $(- 2) (- 1) = 2$ .

De ce gradul produsului a două polinoame nenule este exact suma gradelor?

Termenul de grad maxim al produsului vine numai din produsul termenilor dominanți, iar coeficientul lui este un produs de numere reale nenule, deci nenul. Pentru $(3 X^{2} + 1) (- 2 X^{4} + X)$ , termenul de sus este $- 6 X^{6}$ , deci gradul este $2 + 4 = 6$ .

Cum verific o sumă de polinoame cu o singură valoare numerică?

Valoarea sumei într-un punct este suma valorilor. Pentru $f = X^{2} - 3 X + 1$ și $g = 2 X^{2} + X - 4$ obții $f + g = 3 X^{2} - 2 X - 3$ . La $X = 1$ : $f (1) + g (1) = - 1 + (- 1) = - 2$ și $(f + g) (1) = 3 - 2 - 3 = - 2$ . Valorile coincid, deci suma e probabil corectă; dacă ar fi diferit, sigur ar exista o greșeală de semn sau de coeficient.

Care este opusul polinomului $- X^{3} + 2 X - 5$ ?

Opusul se obține schimbând semnul fiecărui coeficient: $X^{3} - 2 X + 5$ . Proba este că suma lor este polinomul nul, adică toți coeficienții se anulează. Scăderea unui polinom înseamnă adunarea opusului său.

Oamenii mai întreabă și: gradul sumei a două polinoame · gradul sumei de polinoame · când scade gradul la adunarea polinoamelor · grad f plus g