Operații cu polinoame și gradul rezultatului (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un vas de laborator se amestecă două soluții, fiecare descrisă printr-un model propriu. Într-un experiment de biologie, două culturi cresc în paralel și te interesează masa lor totală. La fizică, treci o formulă din milijouli în jouli și toate numerele ei se schimbă deodată. În toate cele trei situații nu ai nevoie de o matematică nouă: ai nevoie să aduni, să scazi și să înmulțești polinoame. Lecția aceasta, din programa de clasa a IX-a de la profilul științe ale naturii (M2), îți dă cele trei reguli și, mai important, îți spune ce se întâmplă cu gradul rezultatului. La bacalaureatul M2, în sesiunile 2027–2029, polinoamele apar la Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este despre structuri algebrice și polinoame; calculele de acest fel sunt pașii prin care se rezolvă cerințele ei.

Programa profilului științe ale naturii numește explicit trei operații: adunarea, înmulțirea și înmulțirea cu un scalar. Ultima este cea mai puțin spectaculoasă și cea mai folosită în laborator, pentru că ea este operația care schimbă unitatea de măsură a unui model sau care trece de la o probă la una de două ori mai mare.

Ce vei învăța

Vei ști să aduni și să scazi două polinoame, lucrând pe ranguri, și să nu pierzi niciun coeficient pe drum.
Vei ști ce înseamnă înmulțirea cu un scalar și de ce ea rescalează un model din științe fără să-i schimbe gradul.
Vei ști să calculezi produsul a două polinoame, desfăcând fiecare termen cu fiecare, și să reduci corect termenii asemenea.
Vei ști de ce gradul sumei este cel mult maximul gradelor și în ce singur caz el poate să scadă.
Vei ști de ce gradul produsului este exact suma gradelor și cum se citesc, fără calcul, coeficientul dominant și termenul liber ale unui produs.
Vei ști să calculezi expresii combinate, de tipul $2 f - 3 g$ , care apar în cerințele de examen și în modelele din științe.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se adună două polinoame?

Suma a două polinoame este polinomul obținut adunând coeficienții de același rang ai celor două. Nimic altceva nu se întâmplă: rangurile nu se amestecă între ele, exponenții nu se schimbă, iar rezultatul are tot atâtea ranguri câte are cel mai „lung" dintre termeni.

Regula vine de la reducerea termenilor asemenea, deprindere pe care ai exersat-o încă din clasa a VIII-a: $3 X^{2}$ și $- 5 X^{2}$ se adună pentru că sunt de același rang, iar $3 X^{2}$ și $- 5 X$ nu. Tot ce ai nevoie aici este șirul complet al coeficienților, așa cum a fost fixat în lecția despre forma algebrică și gradul unui polinom.

Pentru $f = 3 X^{3} - X^{2} + 5$ și $g = - X^{3} + 4 X^{2} - 2 X + 1$ , aliniem rangurile și adunăm pe coloană:

rang	$X^{3}$	$X^{2}$	$X$	liber
$f$	$3$	$- 1$	$0$	$5$
$g$	$- 1$	$4$	$- 2$	$1$
$f + g$	$2$	$3$	$- 2$	$6$

Citim rezultatul din ultimul rând: $f + g = 2 X^{3} + 3 X^{2} - 2 X + 6$ . Observă coloana lui $X$ : în $f$ acel rang lipsește din scriere, dar coeficientul lui există și este $0$ — fără el, coloana s-ar fi deplasat și tot calculul ar fi ieșit greșit.

2. Ce se întâmplă cu gradul la adunare?

Aici apare prima surpriză a capitolului. Dacă suma nu este polinomul nul, gradul ei este cel mult cel mai mare dintre gradele celor două polinoame, dar nu neapărat egal cu el:

$grad (f + g) \leq max (grad f, grad g) .$

Condiția din față nu e o formalitate: la $u = X^{3} + X$ și $v = - X^{3} - X$ suma este polinomul nul, căruia nu i se atribuie grad, deci inegalitatea nici nu se poate scrie. Când gradele sunt diferite, egalitatea e sigură: rangul cel mai mare apare doar la unul dintre polinoame, deci nu are cu ce să se anuleze. Când gradele sunt egale, coeficienții dominanți se adună, iar suma lor poate fi zero — și atunci rangul de sus dispare din rezultat.

Un contraexemplu de ținut minte: pentru $u = X^{4} - 2 X + 3$ și $v = - X^{4} + X^{2} + 1$ , amândouă de gradul al patrulea, suma este $u + v = X^{2} - 2 X + 4$ , deci $grad (u + v) = 2$ . Au dispărut două ranguri deodată, fiindcă și coeficienții lui $X^{3}$ erau nuli în amândouă.

3. Ce este opusul unui polinom și cum se scade?

Opusul unui polinom $f$ , notat $- f$ , este polinomul obținut schimbând semnul fiecărui coeficient. Scăderea nu este o operație nouă: $f - g$ înseamnă $f + (- g)$ , adică se adună opusul.

Pentru $f = 2 X^{3} + X - 4$ și $g = 2 X^{3} - 3 X^{2} + X + 6$ avem $- g = - 2 X^{3} + 3 X^{2} - X - 6$ , iar

$f - g = 3 X^{2} - 10.$

Verifică pe ranguri: $2 - 2 = 0$ la $X^{3}$ , $0 - (- 3) = 3$ la $X^{2}$ , $1 - 1 = 0$ la $X$ și $- 4 - 6 = - 10$ la termenul liber. Două ranguri s-au stins, iar gradul a coborât de la $3$ la $2$ — exact fenomenul din subsecțiunea precedentă, de data aceasta la scădere.

4. Ce înseamnă înmulțirea unui polinom cu un scalar?

Un scalar este pur și simplu un număr real, iar înmulțirea cu un scalar înseamnă înmulțirea fiecărui coeficient cu acel număr. Se scrie $λ f$ , unde $λ$ este scalarul, iar rangurile rămân neatinse: nici un exponent nu se schimbă.

Pentru $f = 4 X^{3} - 6 X^{2} + 2 X - 10$ și scalarul $\frac{1}{2}$ obținem

$\frac{1}{2} f = 2 X^{3} - 3 X^{2} + X - 5.$

Regula gradului este cea mai simplă din capitol: dacă $λ \neq = 0$ , atunci $grad (λ f) = grad f$ , pentru că un coeficient nenul înmulțit cu un număr nenul rămâne nenul. Dacă $λ = 0$ , rezultatul este polinomul nul, căruia, cum știi, nu i se atribuie grad.

De ce insistă programa de la științe ale naturii pe această operație, deși pare un caz particular al înmulțirii? Pentru că ea este exact ceea ce faci în laborator când schimbi unitatea de măsură sau scara unei probe. Un model exprimat în miligrame se trece în grame înmulțind cu $\frac{1}{1000}$ ; o probă de două ori mai mare dublează toate valorile, deci înmulțește modelul cu $2$ ; o măsurătoare corectată cu un factor de diluție se înmulțește cu acel factor. În toate cazurile, forma modelului nu se schimbă — se schimbă doar numerele din fața puterilor.

5. Cum se înmulțesc două polinoame?

Regula are o singură propoziție: fiecare termen al primului polinom se înmulțește cu fiecare termen al celui de-al doilea, iar rezultatele se adună. La înmulțirea a două monoame, coeficienții se înmulțesc între ei, iar exponenții se adună, pentru că $X^{i} \cdot X^{j} = X^{i + j}$ .

Motivul este distributivitatea înmulțirii față de adunare, aceeași proprietate cu care desfaci parantezele la numere. Pentru $f = 2 X^{2} - 3 X + 1$ și $g = X + 4$ , cele șase produse parțiale sunt

$f \cdot g = 2 X^{3} + 8 X^{2} - 3 X^{2} - 12 X + X + 4 = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 11 X + 4.$

Ordinea de lucru care nu lasă termeni pe dinafară: iei termenii primului polinom de la stânga la dreapta și, pentru fiecare, parcurgi tot al doilea polinom. Astfel știi de la început câte produse parțiale trebuie să obții — aici $3 \cdot 2 = 6$ — și le poți număra înainte de a reduce termenii asemenea.

6. De ce gradul produsului este suma gradelor?

Pentru că termenul de rang maxim al produsului se obține într-un singur fel: înmulțind termenii dominanți ai celor doi factori. Dacă $f$ are gradul $n$ , cu coeficientul dominant $a_{n}$ , iar $g$ are gradul $k$ , cu coeficientul dominant $b_{k}$ , atunci produsul are termenul $a_{n} b_{k} X^{n + k}$ , iar acest coeficient nu se poate anula: $a_{n}$ și $b_{k}$ sunt numere reale nenule, iar produsul a două numere reale nenule este nenul. Deci

$grad (f \cdot g) = grad f + grad g .$

Spre deosebire de sumă, aici nu există excepții cât timp amândouă polinoamele sunt nenule. Din același raționament se citesc, fără niciun calcul, două numere folositoare: coeficientul dominant al produsului este produsul coeficienților dominanți, iar termenul liber al rezultatului se obține înmulțind între ei cei doi termeni liberi. Sunt cele două verificări rapide ale oricărei înmulțiri lungi; o a treia, și mai scurtă, vine din lecția despre valorile unui polinom, unde vei vedea cum se compară două scrieri înlocuind nedeterminata cu un număr.

7. Cum se calculează expresii de tipul $2 f - 3 g$ ?

Se combină primele două operații, în ordinea firească: mai întâi fiecare polinom se înmulțește cu scalarul din fața lui, apoi se adună sau se scad rezultatele, rang cu rang. Astfel de expresii apar des, atât în cerințele de examen, cât și în modelele din științe, unde un rezultat este o combinație cântărită a mai multor măsurători.

Pentru $f = X^{2} - 2 X + 5$ și $g = 2 X^{2} + X - 1$ calculăm întâi $2 f = 2 X^{2} - 4 X + 10$ și $3 g = 6 X^{2} + 3 X - 3$ , apoi scădem:

$2 f - 3 g = - 4 X^{2} - 7 X + 13.$

Sfatul practic: nu desface totul dintr-o dată. Scrie pe rânduri separate cele două polinoame rescalate și abia apoi adună-le pe coloane. Majoritatea greșelilor de semn din acest tip de calcul apar la elevii care încearcă să facă înmulțirea cu scalarul și scăderea în aceeași linie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Suma și diferența acelorași două polinoame

Se consideră polinoamele $f = 5 X^{3} - 2 X^{2} + 7$ și $g = - 5 X^{3} + X^{2} - 4 X + 2$ . Calculați $f + g$ și $f - g$ și precizați gradul fiecărui rezultat.

Rezolvare. Lucrăm pe ranguri, cu coeficienții completați cu $0$ acolo unde termenii lipsesc: $f$ are coeficienții $5, - 2, 0, 7$ , iar $g$ are $- 5, 1, - 4, 2$ .

Pentru sumă: $5 + (- 5) = 0$ , $- 2 + 1 = - 1$ , $0 + (- 4) = - 4$ , $7 + 2 = 9$ , deci

$f + g = - X^{2} - 4 X + 9,$

un polinom de gradul al doilea. Gradul a scăzut, pentru că cei doi coeficienți dominanți erau opuși.

Pentru diferență: $5 - (- 5) = 10$ , $- 2 - 1 = - 3$ , $0 - (- 4) = 4$ , $7 - 2 = 5$ , deci

$f - g = 10 X^{3} - 3 X^{2} + 4 X + 5,$

de gradul al treilea. Aceleași două polinoame dau, la sumă și la diferență, rezultate de grade diferite — semn că regula gradului la adunare chiar cere atenție.

Exemplul 2 — Un model din chimie, trecut în altă unitate de măsură

Masa de substanță dizolvată într-un vas, măsurată în miligrame, este aproximată de $m (t) = 400 t^{2} + 1200 t + 5000$ , unde $t$ este timpul în minute. a) Scrieți modelul care dă aceeași masă în grame. b) Scrieți modelul pentru o probă de două ori mai mare, tot în miligrame.

Rezolvare. a) Un gram are $1000$ de miligrame, deci trecerea în grame înseamnă înmulțirea întregului model cu scalarul $\frac{1}{1000}$ :

$\frac{1}{1000} m (t) = \frac{2}{5} t^{2} + \frac{6}{5} t + 5.$

Fiecare coeficient s-a împărțit la $1000$ : $\frac{400}{1000} = \frac{2}{5}$ , $\frac{1200}{1000} = \frac{6}{5}$ și $\frac{5000}{1000} = 5$ . Rezultatul se citește în grame.

b) O probă de două ori mai mare dă mase de două ori mai mari, la fiecare moment, deci modelul se înmulțește cu scalarul $2$ :

$2 m (t) = 800 t^{2} + 2400 t + 10000.$

În ambele cazuri gradul a rămas $2$ și forma modelului nu s-a schimbat: același fenomen, altă scară. Asta face, în laborator, înmulțirea cu un scalar.

Exemplul 3 — Produsul a două polinoame

Calculați $f \cdot g$ , unde $f = X^{2} - 3 X + 2$ și $g = 2 X + 5$ .

Rezolvare. Înmulțim fiecare dintre cei trei termeni ai lui $f$ cu fiecare dintre cei doi termeni ai lui $g$ — șase produse parțiale, pe care le scriem în ordinea în care apar:

$f \cdot g = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 6 X^{2} - 15 X + 4 X + 10 = 2 X^{3} - X^{2} - 11 X + 10.$

Două verificări rapide, făcute fără a relua calculul. Coeficientul dominant trebuie să fie produsul coeficienților dominanți: $1 \cdot 2 = 2$ , corect. Termenul liber trebuie să fie produsul termenilor liberi: $2 \cdot 5 = 10$ , corect. Gradul rezultatului este $2 + 1 = 3$ , la fel cum arată și scrierea finală.

Exemplul 4 — Trei probe într-un singur vas

Într-un vas se toarnă, în același timp, conținutul a trei eprubete. Masele de substanță, în grame, la $t$ minute de la începutul reacției, sunt aproximate de $m (t) = 2 t^{2} + 5 t + 40$ , $u (t) = - t^{2} + 3 t + 25$ și $v (t) = 4 t + 15$ , pentru $t \in [0, 6]$ . Scrieți polinomul care dă masa totală din vas și precizați gradul lui.

Rezolvare. Masa totală este suma celor trei modele, iar suma se face rang cu rang. Pe rangul al doilea: $2 + (- 1) + 0 = 1$ . Pe rangul întâi: $5 + 3 + 4 = 12$ . La termenul liber: $40 + 25 + 15 = 80$ . Prin urmare

$m (t) + u (t) + v (t) = t^{2} + 12 t + 80.$

Gradul total este $2$ , la fel ca gradul celui mai „mare" dintre modele. Observă că al treilea model, de gradul întâi, nu a putut schimba gradul sumei: el intervine doar pe rangurile mici. Rezultatul se citește tot în grame, pentru că toate cele trei modele erau exprimate în grame — o sumă are sens doar între mărimi de aceeași natură.

Exemplul 5 — Un coeficient al produsului, cu parametru

Se consideră polinoamele $f = X^{2} + m X - 3$ și $g = 2 X - 1$ , unde $m$ este număr real. Determinați $m$ știind că, în polinomul $f \cdot g$ , coeficientul lui $X^{2}$ este egal cu $5$ .

Rezolvare. Desfacem produsul, păstrând parametrul:

$f \cdot g = 2 X^{3} - X^{2} + 2 m X^{2} - m X - 6 X + 3.$

Termenii de rangul al doilea sunt $- X^{2}$ și $2 m X^{2}$ , deci coeficientul lui $X^{2}$ este $2 m - 1$ . Condiția din enunț se scrie $2 m - 1 = 5$ , de unde $2 m = 6$ , adică $m = 3$ .

Pentru această valoare, produsul devine, după reducerea termenilor asemenea,

$f \cdot g = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 9 X + 3.$

Control: coeficientul dominant este $1 \cdot 2 = 2$ , termenul liber este $(- 3) \cdot (- 1) = 3$ , iar coeficientul lui $X^{2}$ este într-adevăr $5$ , cum se cerea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră polinoamele $f = X^{2} - 3 X + 5$ și $g = X + m$ , unde $m$ este număr real. a) Arătați că $grad (f \cdot g) = 3$ , pentru orice număr real $m$ . b) Determinați numărul real $m$ știind că termenul liber al polinomului $f \cdot g$ este egal cu $15$ . c) Pentru valoarea lui $m$ găsită la punctul b), scrieți forma algebrică a polinomului $f + g$ .

Rezolvare. a) Coeficientul dominant al lui $f$ este $1$ , iar al lui $g$ tot $1$ , indiferent de $m$ . Produsul lor, $1 \cdot 1 = 1$ , este nenul, deci gradul produsului este suma gradelor: $2 + 1 = 3$ , pentru orice număr real $m$ . Parametrul stă în termenul liber al lui $g$ și nu poate atinge rangul de sus.

b) Termenul liber al unui produs iese din înmulțirea celor doi termeni liberi: $5 \cdot m = 5 m$ . Condiția $5 m = 15$ dă $m = 3$ .

c) Pentru $m = 3$ avem $g = X + 3$ , iar suma se face rang cu rang: coeficientul lui $X^{2}$ rămâne $1$ , cel al lui $X$ devine $- 3 + 1 = - 2$ , iar termenul liber devine $5 + 3 = 8$ . Așadar

$f + g = X^{2} - 2 X + 8.$

Să exersăm

Două obiceiuri care economisesc timp la fiecare exercițiu de mai jos. La adunare și la scădere, scrie coeficienții pe coloane, cu $0$ pe rangurile lipsă. La înmulțire, numără dinainte câte produse parțiale trebuie să obții și verifică la final coeficientul dominant și termenul liber — se calculează dintr-o privire și prind majoritatea greșelilor.

1. Calculează $f + g$ , unde $f = 4 X^{3} - X^{2} + 6$ și $g = X^{3} + 5 X^{2} - 2 X - 1$ .

2. Calculează $f - g$ pentru aceleași polinoame ca la exercițiul precedent.

3. Calculează $3 f$ , unde $f = 2 X^{3} - \frac{1}{3} X + 4$ , și precizează gradul rezultatului.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Gradul sumei a două polinoame este întotdeauna egal cu cel mai mare dintre gradele lor."

5. Calculează produsul $(3 X - 2) (X^{2} + 4 X - 1)$ .

6. Fără a efectua înmulțirea, precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber ale produsului $(5 X^{4} - X + 3) (2 X^{2} + 7)$ .

7. Calculează $2 f - 3 g$ , unde $f = X^{2} + 4 X - 5$ și $g = 2 X^{2} - X + 1$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinoamele $f = X^{2} + 5 X - 2$ și $g = X - 4$ . a) Calculează $f + g$ . b) Calculează $f \cdot g$ și precizează gradul rezultatului.

9. Determină polinomul $h$ pentru care $f + h = g$ , unde $f = X^{3} - 2 X + 5$ și $g = 3 X^{3} + X^{2} - 1$ .

10. (Problemă aplicată.) Într-un experiment de biologie se urmăresc două culturi. Masele lor, în miligrame, la $t$ ore de la însămânțare, sunt aproximate de $m (t) = 3 t^{2} + 10 t + 50$ și $u (t) = - t^{2} + 6 t + 30$ , pentru $t \in [0, 8]$ . a) Scrie polinomul care dă masa totală a celor două culturi. b) Scrie polinomul care arată cu cât este mai mare masa primei culturi decât a celei de-a doua.

11. Calculează $(X^{2} - 5) (X^{2} + 5)$ și explică, într-un rând, de ce rezultatul are doar doi termeni.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinoamele $f = 2 X^{2} + m X - 3$ și $g = X - 1$ , unde $m$ este număr real. a) Determină $m$ știind că, în polinomul $f \cdot g$ , coeficientul lui $X$ este egal cu $2$ . b) Pentru valoarea găsită, scrie forma algebrică a polinomului $f \cdot g$ .

13. Scrie un polinom $g$ de gradul al treilea pentru care suma $f + g$ să aibă gradul al doilea, unde $f = X^{3} - 4 X^{2} + X$ .

14. Explică, în două-trei fraze, de ce gradul produsului a două polinoame nenule cu coeficienți reali este întotdeauna suma gradelor.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră polinoamele $f = X^{3} - 2 X + 1$ și $g = X^{2} + 3$ . Calculează $f \cdot g$ și precizează gradul rezultatului.

16. Un model din fizică dă energia consumată de un dispozitiv, în milijouli, prin $E (t) = 250 t^{2} + 600 t + 900$ . Scrie polinomul care exprimă aceeași energie în jouli.

17. Calculează $(X + 2) (X - 2) (X + 1)$ , efectuând întâi produsul primelor două paranteze.

18. (Provocare.) Se consideră polinoamele $f = X^{2} + m X + 2$ și $g = X^{2} - 5 X + p$ , unde $m$ și $p$ sunt numere reale. Determină $m$ și $p$ știind că $f + g = 2 X^{2} - X + 7$ , apoi precizează gradul și termenul liber ale polinomului $f \cdot g$ .

Răspunsuri și explicații

1. Pe ranguri: $4 + 1 = 5$ , $- 1 + 5 = 4$ , $0 + (- 2) = - 2$ , $6 + (- 1) = 5$ . Deci $f + g = 5 X^{3} + 4 X^{2} - 2 X + 5$ . Rangul lui $X$ lipsea din $f$ , deci acolo am folosit coeficientul $0$ .

2. Pe ranguri: $4 - 1 = 3$ , $- 1 - 5 = - 6$ , $0 - (- 2) = 2$ , $6 - (- 1) = 7$ . Deci $f - g = 3 X^{3} - 6 X^{2} + 2 X + 7$ . Atenție la ultimele două coloane: scăderea unui număr negativ adună.

3. Fiecare coeficient se înmulțește cu $3$ : $3 f = 6 X^{3} - X + 12$ . Gradul rămâne $3$ , pentru că scalarul este nenul. Coeficientul $- \frac{1}{3}$ a devenit $- 1$ , ceea ce arată că o înmulțire cu un scalar poate curăța fracțiile fără să schimbe nimic altceva.

4. Fals. Afirmația e adevărată doar când gradele celor două polinoame sunt diferite. Contraexemplu: pentru $u = X^{3} + X$ și $v = - X^{3} + 2$ , suma este $u + v = X + 2$ , de gradul întâi, deși amândouă polinoamele au gradul al treilea. Formularea corectă folosește „cel mult".

5. Șase produse parțiale: $(3 X - 2) (X^{2} + 4 X - 1) = 3 X^{3} + 12 X^{2} - 3 X - 2 X^{2} - 8 X + 2 = 3 X^{3} + 10 X^{2} - 11 X + 2$ . Control: coeficientul dominant $3 \cdot 1 = 3$ , termenul liber $(- 2) \cdot (- 1) = 2$ .

6. Gradul este $4 + 2 = 6$ . Coeficientul dominant este $5 \cdot 2 = 10$ . Termenul liber este $3 \cdot 7 = 21$ . Toate trei se obțin fără să desfacem produsul, care ar avea șase termeni parțiali.

7. Întâi rescalăm: $2 f = 2 X^{2} + 8 X - 10$ și $3 g = 6 X^{2} - 3 X + 3$ . Apoi scădem pe coloane: $2 - 6 = - 4$ , $8 - (- 3) = 11$ , $- 10 - 3 = - 13$ . Deci $2 f - 3 g = - 4 X^{2} + 11 X - 13$ .

8. a) $f + g = X^{2} + 6 X - 6$ . b) Șase produse parțiale: $f \cdot g = X^{3} - 4 X^{2} + 5 X^{2} - 20 X - 2 X + 8 = X^{3} + X^{2} - 22 X + 8$ , de gradul $2 + 1 = 3$ . Control: termenul liber este $(- 2) \cdot (- 4) = 8$ .

9. Din $f + h = g$ rezultă $h = g - f$ , deci se scad coeficienții pe ranguri: $3 - 1 = 2$ , $1 - 0 = 1$ , $0 - (- 2) = 2$ , $- 1 - 5 = - 6$ . Așadar $h = 2 X^{3} + X^{2} + 2 X - 6$ . Verificare: adunând $h$ la $f$ se obține într-adevăr $g$ .

10. a) Masa totală este suma: pe ranguri, $3 + (- 1) = 2$ , $10 + 6 = 16$ , $50 + 30 = 80$ , deci $m (t) + u (t) = 2 t^{2} + 16 t + 80$ miligrame. b) Diferența: $3 - (- 1) = 4$ , $10 - 6 = 4$ , $50 - 30 = 20$ , deci $m (t) - u (t) = 4 t^{2} + 4 t + 20$ miligrame. Ambele rezultate se exprimă în miligrame, pentru că modelele de pornire erau în miligrame.

11. $(X^{2} - 5) (X^{2} + 5) = X^{4} + 5 X^{2} - 5 X^{2} - 25 = X^{4} - 25$ . Cei doi termeni de rangul al doilea sunt opuși și se anulează la reducere; este cazul particular al formulei diferenței de pătrate, cu $X^{2}$ în locul primului termen.

12. a) Desfacem: $f \cdot g = 2 X^{3} - 2 X^{2} + m X^{2} - m X - 3 X + 3$ . Termenii de rangul întâi sunt $- m X$ și $- 3 X$ , deci coeficientul lui $X$ este $- m - 3$ . Condiția $- m - 3 = 2$ dă $m = - 5$ . b) Pentru $m = - 5$ : coeficientul lui $X^{2}$ este $- 2 + (- 5) = - 7$ , iar forma algebrică este $f \cdot g = 2 X^{3} - 7 X^{2} + 2 X + 3$ . Control: termenul liber $(- 3) \cdot (- 1) = 3$ .

13. Trebuie ca cei doi coeficienți dominanți să se anuleze, deci coeficientul lui $X^{3}$ din $g$ să fie $- 1$ . Un exemplu: $g = - X^{3} + 2 X^{2} - 5$ , pentru care $f + g = - 2 X^{2} + X - 5$ , într-adevăr de gradul al doilea. Orice polinom de forma $- X^{3} + \dots$ care nu anulează și rangul al doilea este bun.

14. Pentru că termenul de rang maxim al produsului se obține într-un singur mod: înmulțind termenii dominanți ai factorilor. Coeficientul lui este produsul a două numere reale nenule, deci este nenul și nu se poate anula cu nimic altceva. Prin urmare rangul $grad f + grad g$ chiar apare în rezultat.

15. Cele șase produse parțiale dau $f \cdot g = X^{5} + 3 X^{3} - 2 X^{3} - 6 X + X^{2} + 3 = X^{5} + X^{3} + X^{2} - 6 X + 3$ , de gradul $3 + 2 = 5$ . Control: coeficientul dominant $1 \cdot 1 = 1$ , termenul liber $1 \cdot 3 = 3$ .

16. Un joule are $1000$ de milijouli, deci modelul se înmulțește cu scalarul $\frac{1}{1000}$ : rezultatul este $\frac{1}{4} t^{2} + \frac{3}{5} t + \frac{9}{10}$ , exprimat în jouli. Gradul a rămas $2$ : o schimbare de unitate nu schimbă forma modelului.

17. Întâi $(X + 2) (X - 2) = X^{2} - 4$ , apoi $(X^{2} - 4) (X + 1) = X^{3} + X^{2} - 4 X - 4$ . Gradul este $1 + 1 + 1 = 3$ , iar termenul liber este $2 \cdot (- 2) \cdot 1 = - 4$ , în acord cu rezultatul.

18. Suma este $f + g = 2 X^{2} + (m - 5) X + (2 + p)$ . Identificând coeficienții cu cei ai polinomului dat: $m - 5 = - 1$ , deci $m = 4$ ; și $2 + p = 7$ , deci $p = 5$ . Atunci $f = X^{2} + 4 X + 2$ și $g = X^{2} - 5 X + 5$ . Produsul lor are gradul $2 + 2 = 4$ și termenul liber $2 \cdot 5 = 10$ . Pentru cine vrea forma completă: $f \cdot g = X^{4} - X^{3} - 13 X^{2} + 10 X + 10$ .

De reținut

Adunarea și scăderea se fac rang cu rang, pe coeficienți; rangurile care lipsesc dintr-un polinom intră în calcul cu coeficientul $0$ , iar opusul unui polinom se obține schimbând semnul fiecărui coeficient.
Înmulțirea cu un scalar $λ$ înseamnă înmulțirea fiecărui coeficient cu $λ$ ; gradul rămâne neschimbat pentru orice $λ \neq = 0$ , iar pentru $λ = 0$ se obține polinomul nul. Aceasta este operația care rescalează un model din științe la altă unitate de măsură sau la altă mărime a probei.
La înmulțirea a două polinoame, fiecare termen se înmulțește cu fiecare: coeficienții se înmulțesc, iar exponenții se adună, pentru că $X^{i} \cdot X^{j} = X^{i + j}$ .
Când suma nu este polinomul nul, gradul ei este cel mult maximul gradelor; el scade strict doar când gradele sunt egale și coeficienții dominanți se anulează, iar dacă toți coeficienții se anulează se obține polinomul nul, care nu primește grad.
Gradul produsului a două polinoame nenule este exact suma gradelor, iar în rezultat coeficientul dominant iese din înmulțirea coeficienților dominanți, iar numărul fără nedeterminată din înmulțirea celor doi termeni liberi — cele două verificări rapide ale oricărei înmulțiri.

Greșeli frecvente

Înmulțirea cu un scalar confundată cu înmulțirea cu $X$ . La $3 f$ gradul rămâne neschimbat, la $X \cdot f$ el crește cu o unitate. Când rescalezi un model din laborator și observi că gradul s-a schimbat, nu ai înmulțit cu un număr: undeva s-a strecurat o putere a nedeterminatei.
Scalarul aplicat doar primului termen. Pentru $f = X^{2} - 3 X + 4$ , rezultatul lui $2 f$ este $2 X^{2} - 6 X + 8$ , nu $2 X^{2} - 3 X + 4$ . Înmulțirea cu un scalar atinge toți coeficienții, inclusiv termenul liber; e greșeala care strică, la chimie, orice conversie de unitate.
Produsul verificat doar pe rangul cel mare. Coeficientul dominant iese corect chiar și când ai pierdut un produs parțial din mijloc. Verifică întotdeauna și capătul de jos: numărul fără nedeterminată trebuie să iasă din înmulțirea celor doi termeni liberi. Două controale de câte cinci secunde, în capetele opuse ale rezultatului.
Unitatea de măsură uitată la rescalare. Dacă înmulțești un model cu $\frac{1}{1000}$ ca să treci din miligrame în grame, rezultatul se citește în grame. Lăsat cu vechea unitate, modelul devine fals de o mie de ori — o greșeală care, într-un calcul de doză sau de concentrație, nu se vede în cifre, ci abia în laborator.
Rezultatul lăsat cu termeni asemenea nereduși. Scrierea $2 X^{3} + 8 X^{2} - 3 X^{2} - 12 X + X + 4$ este un pas intermediar corect, nu un răspuns. Forma algebrică cere reducerea termenilor de același rang și ordonarea descrescătoare; fără ele, nu poți nici citi gradul, nici continua cu o împărțire.

Aplică acasă

Același model, trei unități de măsură. Alege din manualul de chimie sau de biologie o mărime descrisă printr-un polinom și rescrie-o de două ori, cu alte unități: din miligrame în grame, din minute în ore, din centimetri cubi în litri. Notează, de fiecare dată, cu ce scalar ai înmulțit, ce s-a schimbat (coeficienții) și ce a rămas la fel (gradul, forma). Dacă o conversie cere și schimbarea unității timpului, observă că acolo nu mai e vorba de un scalar — și scrie de ce.
Prezicerea capetelor. Scrie cinci perechi de polinoame cu coeficienți întregi mici, de grade diferite, și, înainte de a desface vreun produs, notează pe hârtie ce crezi că vor fi gradul, coeficientul dominant și numărul fără nedeterminată al fiecărui produs. Abia apoi efectuează înmulțirile și compară. Numără de câte ori predicția a fost corectă și caută, la perechile unde n-a fost, dacă greșeala e în predicție sau în desfacere.
Detectorul de grad. Scrie cinci perechi de polinoame de gradul al treilea și calculează suma fiecărei perechi, notând gradul obținut. Construiește apoi, dinadins, o pereche pentru care gradul sumei coboară cu două unități și scrie, în trei rânduri, ce condiții a trebuit să îndeplinească perechea aceea. Repetă exercițiul la produs și observă că acolo nu reușești.

Pentru părinți și profesori

Capitolul de operații pare o simplă repetiție a calculului algebric din gimnaziu și de aceea trece adesea prea repede. Trei lucruri merită urmărite în caiet. Primul: la adunare, coeficienții se scriu pe coloane, cu zerourile puse — elevii care adună „din ochi" pierd rangurile care lipsesc dintr-un singur polinom. Al doilea: înmulțirea cu un scalar, pe care programa profilului științe ale naturii o cere explicit, se aplică fiecărui coeficient, inclusiv termenului liber; verificarea cea mai bună este o conversie de unitate dintr-un manual de chimie, unde greșeala are consecință vizibilă. Al treilea: la produs, numărul de produse parțiale se poate număra dinainte, iar rezultatul se controlează pe coeficientul dominant și pe termenul liber.

Întrebări de control, formulate în limbajul lecției: „Câte produse parțiale are înmulțirea unui polinom de gradul al treilea cu unul de gradul întâi?"; „Poate suma a două polinoame de gradul al patrulea să aibă gradul întâi?"; „Ce se schimbă în model dacă îl înmulțești cu $\frac{1}{1000}$ și ce rămâne la fel?"; „De ce gradul produsului nu scade niciodată?". Semn că elevul a înțeles: după fiecare înmulțire își verifică singur termenul liber, iar la fiecare sumă se uită întâi dacă gradele sunt egale. Semn că trebuie reluat: dă răspunsuri corecte la exerciții cu numere întregi mici și greșește la coeficienți fracționari sau negativi.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; rândul de conținut este „operații cu polinoame: adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar", iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde polinoamele formează una dintre cele două probleme ale Subiectului al II-lea, la materia clasei a XII-a. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare o cerință dedicată operațiilor cu polinoame: ele sunt pașii de calcul prin care se rezolvă cerințele despre rădăcini, resturi și divizibilitate. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a IX-a în programa de examen din 2014.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă operațiile cu polinoame la M2 față de cele de la M1? Prin anul în care se învață, prin mulțimea coeficienților și prin accentul programei. La științe ale naturii operațiile intră în clasa a IX-a, cu coeficienți reali, iar programa cere explicit și înmulțirea cu un scalar, ca operație de sine stătătoare. La matematică-informatică ele vin în clasa a X-a, cu coeficienți complecși. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: înmulțirea polinoamelor, la clasa a 10-a.

La ce subiect apar operațiile cu polinoame la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, unde una dintre cele două probleme este despre structuri algebrice și polinoame; în sesiunile 2027–2029 tema figurează la materia clasei a XII-a. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu apare o cerință dedicată operațiilor; ele sunt pașii prin care se ajunge la răspuns: se desface un produs, se adună doi termeni, se calculează un coeficient. Din 2030, la proba MAT_P2, polinoamele intră în domeniul Algebră.

Ce înseamnă înmulțirea unui polinom cu un scalar? Înseamnă înmulțirea fiecărui coeficient al polinomului cu un același număr real, fără ca vreun exponent să se schimbe. Dacă numărul este nenul, gradul rămâne același; dacă este zero, rezultatul este polinomul nul. La profilul științe ale naturii operația se folosește la fiecare schimbare de unitate de măsură sau de scară a unei probe.

Cum îmi dau seama, din două calcule scurte, dacă un produs de polinoame este greșit? Compară coeficientul dominant al rezultatului cu ce iese din înmulțirea coeficienților dominanți ai factorilor, apoi numărul fără nedeterminată cu ce iese din înmulțirea celor doi termeni liberi. Dacă vreunul dintre cele două nu se potrivește, calculul e sigur greșit. Dacă amândouă se potrivesc, mai rămâne de verificat mijlocul, dar cele mai multe greșeli se prind deja aici.

Cum calculez o expresie de tipul $2 f - 3 g$ fără să greșesc semnele? Pe două rânduri, nu pe unul. Scrii mai întâi $2 f$ , apoi $3 g$ , fiecare complet, și abia după aceea scazi pe coloane, rang cu rang. Confuzia apare când elevul înmulțește și scade în aceeași linie: minusul din fața lui $3 g$ ajunge doar la primul termen, iar restul coeficienților rămân cu semnul vechi.

În ce ordine se scriu termenii după ce desfac un produs? Mai întâi îi scrii în ordinea în care apar produsele parțiale, ca să nu pierzi niciunul, apoi reduci termenii de același rang și abia la final îi ordonezi descrescător după puteri. Forma cu termeni asemenea nereduși este un pas intermediar corect, dar nu este un răspuns: gradul și coeficienții se citesc doar din forma algebrică ordonată.

De ce exponenții se adună la înmulțire, în loc să se înmulțească? Pentru că $X^{i} \cdot X^{j}$ înseamnă $i$ factori $X$ înmulțiți cu alți $j$ factori $X$ , adică $i + j$ factori în total, deci $X^{i + j}$ . Este aceeași regulă a puterilor cu care lucrezi de la operațiile cu expresii algebrice din clasa a VIII-a. Înmulțirea exponenților apare în alt loc: la ridicarea unei puteri la putere.