Înmulțirea polinoamelor: pe scurt

La înmulțirea monoamelor, coeficienții se înmulțesc, exponenții se adună: $(a{X}^i)(b{X}^j)=ab{X}^{i+j}$. Coeficientul de rang $k$ al produsului este $c_k=a_0{b}_k+a_1{b}_{k-1}+\cdots +a_k{b}_0$ — indicii merg în sens contrar, cu suma mereu $k$; în particular, termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi.

Teorema gradului produsului: pentru $f,g$ nenule, $\mathrm{grad}(fg)=\mathrm{grad}f+\mathrm{grad}g$ — de această dată o egalitate sigură, spre deosebire de adunare, pentru că produsul a doi coeficienți dominanți nenuli nu se poate anula în $\mathbb{C}$.

Consecințe importante: $\mathbb{C}[X]$ nu are divizori ai lui zero (dacă $fg=0$, atunci $f=0$ sau $g=0$); se poate simplifica ($fh=gh$ cu $h\ne 0$ implică $f=g$); iar pentru puteri, $\mathrm{grad}(f^k)=k\cdot \mathrm{grad}f$.

Trei descompuneri de memorat: $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$, $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$, $X^2+1=(X-i)(X+i)$ — ultima specifică lucrului în $\mathbb{C}[X]$. Când se cere un singur coeficient al unui produs, formula $c_k$ îl dă direct, fără să desfaci tot calculul.

Adunarea și înmulțirea împreună fac din $\mathbb{C}[X]$ un inel comutativ: comutativitate, asociativitate, element neutru ($1$) și distributivitate față de adunare — cu polinoamele se calculează exact ca și cu numerele, cu o singură excepție majoră: împărțirea nu dă întotdeauna un rezultat exact, motiv pentru care ea cere o teoremă separată, cu cât și rest.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $(X+4)(X-3)$.

   • a) $X^2+X-12$
   • b) $X^2-X-12$
   • c) $X^2+7X-12$
   • d) $X^2+X+12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $X^2+X-12$

   $(X+4)(X-3)=X^2-3X+4X-12=X^2+X-12$.

2. Dacă $\mathrm{grad}f=6$ și $\mathrm{grad}g=4$, ce grad are $f\cdot g$?

   • a) $24$
   • b) $10$
   • c) $2$
   • d) depinde de coeficienți
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $10$

   Pentru polinoame nenule, gradul produsului este întotdeauna suma gradelor: $6+4=10$, fără excepții.

3. Care este termenul liber al produsului $(X^2-3X+5)(2X^2+X-4)$?

   • a) $-4$
   • b) $20$
   • c) $-20$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-20$

   Termenul liber al produsului este produsul termenilor liberi: $5\cdot (-4)=-20$.