Care dintre funcțiile următoare, definite pe $$\mathbb{R}$$, este pară?

$$f(x) = \sqrt{9 + x^2} - x^4$$

Cum completez graficul unei funcții impare?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Funcții pare și impare

La o funcție impară, fiecărui punct $(a, b)$ de pe grafic îi corespunde punctul $(- a, - b)$ , simetricul lui față de origine. Deci desenezi partea din dreapta axei $O y$ și o rotești cu $18 0^{\circ}$ în jurul originii. Exemplu: dacă $f$ este impară, $f (1) = - 4$ și $f (3) = 2$ , atunci $f (- 1) = 4$ și $f (- 3) = - 2$ . Dacă $0$ este în domeniu, $f (0) = - f (0)$ dă $f (0) = 0$ , așa că graficul trece prin origine.

Înainte de orice calcul se cercetează domeniul: el trebuie să conțină, pentru fiecare număr, și opusul acestuia. La radicali și la fracții afli mai întâi mulțimea pe care formula are sens. Funcția e pară când valorile ei în două numere opuse coincid, $f (- x) = f (x)$ , iar desenul se oglindește în axa $O y$ . E impară când valorile în numere opuse sunt și ele opuse, $f (- x) = - f (x)$ ; atunci, alături de $(a, b)$ , graficul conține și $(- a, - b)$ , adică se potrivește cu el însuși după o întoarcere de o jumătate de tură în jurul originii.

Verdictul pozitiv cere calculul general, cu $- x$ pus între paranteze. Verdictul negativ se dă cu o pereche de numere opuse pentru care egalitatea cade. Puterile cu exponent par, modulul și expresii ca $a^{x} + a^{- x}$ au paritate pară; puterile cu exponent impar, $3 x$ și $a^{x} - a^{- x}$ sunt impare; majoritatea formulelor nu au nicio paritate.

Simetria scutește muncă: valoarea dintr-un număr negativ se obține din cea din opusul lui, iar la un montaj simetric, ca viteza apei pe diametrul unei țevi, măsori numai de o parte a axei. Simetria față de o axă verticală oarecare sau față de un alt punct decât originea este subiectul lecției care urmează.

De reținut

impară: $(a, b)$ pe grafic implică $(- a, - b)$ pe grafic
o funcție impară definită în $0$ are $f (0) = 0$
pară: $(a, b)$ pe grafic implică $(- a, b)$ , oglindire în $O y$

Greșeala tipică

La completarea graficului unei funcții impare se oglindește doar în axa $O y$ , obținând $(- a, b)$ ; corect este simetricul față de origine, $(- a, - b)$ , adică schimbi semnul ambelor coordonate.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile următoare, definite pe $R$ , este pară?
- a) $f (x) = x^{4} + 2 x$
- b) $f (x) = 9 + x^{2} - x^{4}$
- c) $f (x) = x^{3} - 4$
- d) $f (x) = 3^{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (x) = 9 + x^{2} - x^{4}$

Pentru $9 + x^{2} - x^{4}$ : $9 + (- x)^{2} - (- x)^{4} = 9 + x^{2} - x^{4}$ , fiindcă $x$ apare numai la puteri pare. Celelalte au un termen cu putere impară sau, la $3^{x}$ , valori diferite în $1$ și în $- 1$ : $3$ și $\frac{1}{3}$ .
Pentru ce număr $a > - 3$ funcția $f : [- 3, a] \to R$ , $f (x) = x^{4}$ , este pară?
- a) $a = 0$
- b) $a = 3$
- c) $a = - 3$
- d) pentru orice $a > 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a = 3$

Legea $x^{4}$ verifică $(- x)^{4} = x^{4}$ , dar paritatea cere și domeniu simetric: $[- 3, a]$ este simetric față de $0$ numai dacă $a = 3$ .
Graficul unei funcții impare $f : R \to R$ conține punctul $(2, - 5)$ . Care punct se află sigur pe grafic?
- a) $(- 2, 5)$
- b) $(- 2, - 5)$
- c) $(2, 5)$
- d) $(5, - 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 2, 5)$

Imparitatea dă $f (- 2) = - f (2) = - (- 5) = 5$ , deci punctul $(- 2, 5)$ este pe grafic: el este simetricul lui $(2, - 5)$ față de origine.

Întrebări conexe

Este pară funcția $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ?

Da. Domeniul este $R$ , simetric față de $0$ , iar $f (- x) = 2^{- x} + 2^{x} = f (x)$ , fiindcă termenii doar își schimbă locul. Verificare numerică: $f (1) = 2 + \frac{1}{2} = 2, 5$ și $f (- 1) = \frac{1}{2} + 2 = 2, 5$ . Graficul are formă de vale, oglindită în axa $O y$ , cu minimul $2$ în $x = 0$ .

Cum arăt că o funcție nu este nici pară, nici impară?

Ajunge o singură pereche de numere opuse. Pentru $f (x) = x^{2} + x$ , avem $f (1) = 2$ și $f (- 1) = 0$ . Valorile nu sunt egale, deci $f$ nu e pară, și nici opuse, deci nu e impară. Un calcul general nu e necesar pentru un verdict negativ.

Poate o funcție să fie în același timp pară și impară?

Da, dar numai funcția nulă, pe un domeniu simetric. Din $f (- x) = f (x)$ și $f (- x) = - f (x)$ rezultă $f (x) = - f (x)$ , adică $2 f (x) = 0$ pentru orice $x$ . Orice altă funcție are cel mult una dintre cele două proprietăți.

De ce este impară dependența curentului de tensiune la un rezistor?

Legea lui Ohm dă $I (U) = \frac{U}{R}$ , iar $I (- U) = - \frac{U}{R} = - I (U)$ . Dacă se inversează polaritatea tensiunii, curentul are aceeași mărime și sens opus. Pentru $R = 4 Ω$ , $I (8) = 2$ A și $I (- 8) = - 2$ A, iar graficul este o dreaptă prin origine.

Cât face $f (a) + f (- a)$ pentru o funcție impară?

Întotdeauna $0$ , pentru că $f (- a) = - f (a)$ . De exemplu, pentru $f (x) = x^{3} + 5 x$ , $f (2) = 8 + 10 = 18$ și $f (- 2) = - 8 - 10 = - 18$ , cu suma $0$ . Consecința practică: o sumă ca $f (- 3) + f (- 1) + f (1) + f (3)$ se anulează fără niciun calcul, iar graficul e simetric față de origine.

Oamenii mai întreabă și: graficul unei funcții impare simetric față de origine · cum desenez o funcție impară · simetria față de origine a graficului · punctul simetric pe graficul unei funcții impare