Funcții pare și impare: simetria față de Oy și față de origine (M2, științe ale naturii)

Într-o conductă dreaptă, apa curge cel mai repede pe axă și tot mai încet spre pereți, la fel în stânga și în dreapta axei. La un element de circuit simetric, dacă inversezi bornele, curentul își schimbă sensul, dar nu și intensitatea. Prima situație descrie o funcție pară, a doua o funcție impară. Lecția aceasta, din clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), îți arată cum se recunosc cele două proprietăți din formulă și de pe grafic. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, ca simetrie a graficului față de axa $Oy$ și față de origine. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține explicit paritatea și imparitatea funcțiilor.

Vei folosi funcțiile din clasa a IX-a: puterile, radicalii, exponențialele. La funcția putere cu exponent întreg ai observat deja pe desen că $x^2$ se oglindește în axa $Oy$, iar $x^3$ rămâne neschimbat la o rotație în jurul originii. Acum transformi observația în două egalități pe care le verifici prin calcul, pentru orice funcție. Ca în lecția despre mărginire și convexitate, desenul te orientează, iar calculul decide; diferența este că aici calculul e mereu același: înlocuiești $x$ cu $-x$ și compari.

Ce vei învăța

• Vei ști să stabilești întâi domeniul și să decizi dacă, odată cu fiecare număr, conține și opusul lui, inclusiv la funcțiile cu radicali și fracții.
• Vei ști definițiile funcției pare, $f(-x)=f(x)$, și funcției impare, $f(-x)=-f(x)$, și să le verifici prin calcul.
• Vei ști să arăți cu o singură pereche de valori că o funcție nu are nicio paritate.
• Vei ști să citești paritatea pe grafic: oglindire în axa $Oy$ sau rotație de $180^{\circ }$ în jurul originii.
• Vei ști paritatea familiilor studiate: puteri, modul, radicali, sume și diferențe de exponențiale.
• Vei ști să folosești paritatea ca să afli valori fără calcul nou, în probleme din fizică și biologie.

Hai să descoperim împreună

1. Oglinda valorilor: funcția pară

Ia funcția $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $p(x)=3x^4-10x^2$. Înlocuiește $x$ cu $-x$: cum $(-x{)}^4=x^4$ și $(-x{)}^2=x^2$, obții $p(-x)=3x^4-10x^2=p(x)$. Valorile în două numere opuse sunt egale, oricare ar fi numărul.

Definiție. O mulțime $D\subseteq \mathbb{R}$ este simetrică față de $0$ dacă, pentru orice $x\in D$, și $-x\in D$. O funcție $f:D\to \mathbb{R}$, cu $D$ simetrică față de $0$, este pară dacă $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x\in D$.

Condiția pe domeniu nu e un detaliu: ca să compari $f(-x)$ cu $f(x)$, ambele trebuie să existe. Mai reține că egalitatea trebuie să aibă loc pentru orice $x$ din domeniu, nu doar pentru câteva valori alese. De pildă, $p(2)=48-40=8$ și $p(-2)=8$ sunt egale, dar această pereche singură nu spune nimic despre restul valorilor; spune calculul general de mai sus, în care nu am ales niciun număr.

2. Valori opuse în puncte opuse: funcția impară

Acum $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $q(x)=x^5-7x^3$. Puterile impare schimbă semnul: $(-x{)}^5=-x^5$ și $(-x{)}^3=-x^3$, deci $q(-x)=-x^5+7x^3=-(x^5-7x^3)=-q(x)$. Valorile în numere opuse sunt opuse.

O funcție $f:D\to \mathbb{R}$, cu $D$ simetrică față de $0$, este impară dacă $f(-x)=-f(x)$ pentru orice $x\in D$. Atenție la ordinea operațiilor: $f(-x)$ înseamnă „calculez în $-x$”, iar $-f(x)$ înseamnă „calculez în $x$ și schimb semnul rezultatului”. Pentru $q$, de exemplu, $q(1)=1-7=-6$, iar $q(-1)=-1+7=6$: valoarea din $-1$ este opusul valorii din $1$. În practică, compari întâi cele două expresii simplificate complet, termen cu termen, și abia apoi tragi concluzia.

3. Oglinda și rotația, pe grafic

Dacă punctul $(a,b)$ se află pe graficul unei funcții pare, atunci $f(-a)=f(a)=b$, deci și $(-a,b)$ se află pe grafic: cele două puncte sunt simetrice față de axa $Oy$. Graficul unei funcții pare se oglindește în axa $Oy$. La o funcție impară, din $(a,b)$ pe grafic rezultă $(-a,-b)$ pe grafic: punctele sunt simetrice față de origine, iar graficul se suprapune peste el însuși după o întoarcere cu $180^{\circ }$ în jurul lui $O$. Figura A arată ambele cazuri, cu perechile de puncte marcate.

Desenul te ajută să ghicești paritatea și să o verifici după calcul, dar nu o dovedește: o aplicație arată doar o fereastră, iar două grafice aproape simetrice pot arăta la fel pe ecran. Dovada este egalitatea verificată pentru orice $x$ din domeniu.

4. De ce începe totul cu domeniul?

Domeniul se stabilește înaintea oricărui calcul. Funcția $\sqrt{x}$ are domeniul $[0,+\infty )$, care conține $4$, dar nu și $-4$, deci nu e nici pară, nici impară, fără niciun calcul. La fel, ${\log }_{2}x$ are domeniul $(0,+\infty )$.

Când funcția are radicali sau fracții, afli întâi domeniul maxim, ca la domeniul funcției cu radical, apoi verifici simetria lui. Un domeniu ca $[-a,a]$ sau $\mathbb{R}$ fără perechi de puncte opuse, ca $\mathbb{R}\setminus \{-b,b\}$, trece testul. Un domeniu din care lipsește un singur punct diferit de zero nu trece: dacă lipsește $b$, dar $-b$ rămâne, perechea lui $-b$ nu există. Testul se face cu un singur număr bine ales, exact ca un contraexemplu.

5. Cum arăți că o funcție nu are nicio paritate?

Afirmația „este pară” se sprijină pe un calcul general, făcut pentru un $x$ oarecare. Pentru „nu este pară” ajunge un singur număr $a$ cu $f(-a)\ne f(a)$, iar pentru „nu este impară” ajunge un număr cu $f(-a)\ne -f(a)$. Adesea aceeași pereche de valori le rezolvă pe amândouă: calculezi $f(a)$ și $f(-a)$ și le compari întâi între ele, apoi pe una cu opusul celeilalte.

Alege un număr mic, ușor de ridicat la putere, dar care să nu anuleze diferențele dintre termeni. Dacă prima pereche nu decide, nu înseamnă că funcția are paritate: încearcă alt număr sau fă calculul general. Când calculul general arată că $f(-x)$ nu se poate scrie nici ca $f(x)$, nici ca $-f(x)$, contraexemplul îl alegi chiar din termenul care strică simetria.

6. Paritatea funcțiilor pe care le cunoști

• Puterile $x^n$: exponent par, funcție pară; exponent impar, funcție impară.
• Modulul $|x|$ și orice expresie în care $x$ apare doar prin $x^2$ sau prin $|x|$ sunt pare, de exemplu $\sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$.
• Radicalul de ordinul al treilea este impar, fiindcă $\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$, cum ai văzut la funcția radical de ordin 3.
• Pentru o bază $a>0$, $a\ne 1$, suma $a^x+a^{-x}$ e pară, iar diferența $a^x-a^{-x}$ e impară; exponențiala $a^x$ singură nu are paritate, cum ai observat la funcția exponențială.
• Un polinom care are doar puteri pare ale lui $x$ (și, eventual, un termen liber) e par; unul care are doar puteri impare e impar.

Cele mai multe funcții întâlnite nu au nicio paritate: simetria față de $Oy$ sau față de origine apare doar în situații anume, așa că o verifici de fiecare dată, fără s-o presupui. Un indiciu rapid la polinoame: dacă apar și puteri pare, și puteri impare ale lui $x$ (cu termenul liber socotit putere pară), funcția nu are nicio paritate; confirmarea o dă tot o pereche de valori.

7. Cum afli parametrul care face o funcție pară sau impară?

Când formula conține un parametru, scrii condiția de paritate pentru orice $x$ și ceri ca termenii care o strică să dispară. La o funcție pară, termenii cu puteri impare ale lui $x$ ar schimba semnul, deci coeficienții lor trebuie să fie zero. La o funcție impară, dispar coeficienții puterilor pare și termenul liber. Regula se aplică numai după ce ai verificat că domeniul e simetric, iar la final e bine să scrii funcția obținută și să verifici egalitatea pe ea.

8. Simetria unui montaj și alegerea originii

Când un fenomen e simetric față de o poziție, alegi originea chiar în acea poziție și funcția devine pară sau impară. Atunci ajunge să măsori sau să calculezi pe jumătate din domeniu; cealaltă jumătate vine din simetrie. Profilul vitezei într-o conductă, măsurat de la axă, e par; curentul printr-un element simetric, ca funcție de tensiunea aplicată, e impar. Intensitatea luminii pe un ecran, măsurată de la centrul unui montaj simetric, e pară. Paritatea devine și un test pentru date: dacă valorile măsurate la stânga și la dreapta originii diferă mult, fie montajul nu e simetric, fie măsurătorile au o eroare. Dacă originea nu poate fi mutată, simetria rămâne, dar față de o dreaptă $x=m$ sau față de un punct oarecare, cum vei vedea în lecția despre simetria graficului unei funcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un polinom cu puteri pare

Studiați paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2+2$, și calculați $f(-3)$ folosind rezultatul.

Rezolvare. Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric față de $0$. Calculăm, cu parantezele scrise:

$$f(-x)=(-x{)}^4-6(-x{)}^2+2=x^4-6x^2+2=f(x).$$

Calculul nu a folosit nicio valoare anume a lui $x$, deci egalitatea e valabilă pe tot $\mathbb{R}$: $f$ este pară. Atunci $f(-3)=f(3)=81-54+2=29$, fără să mai calculezi în $-3$. Pe grafic, punctele $(3,29)$ și $(-3,29)$ sunt oglindite în axa $Oy$, iar tabelul de valori se completează doar pentru numerele pozitive. $■$

Exemplul 2 — O diferență de exponențiale

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5^x-5^{-x}$, este impară și calculați $f(1)$ și $f(-1)$.

Rezolvare. Domeniul e simetric. Înlocuind $x$ cu $-x$, exponentul $-x$ devine $x$:

$$f(-x)=5^{-x}-5^x=-\left(5^x-5^{-x}\right)=-f(x),$$

deci $f$ este impară. Valorile: $f(1)=5-\frac{1}{5}=\frac{24}{5}$, iar din imparitate $f(-1)=-\frac{24}{5}$. Verificare directă: $5^{-1}-5^1=\frac{1}{5}-5=-\frac{24}{5}$. Figura D arată graficul, cu punctele $\left(1,\frac{24}{5}\right)$ și $\left(-1,-\frac{24}{5}\right)$, simetrice față de origine.

Graficul se citește ușor pe bucăți. Pentru $x$ mare, termenul $5^{-x}$ e foarte mic, deci curba stă aproape de graficul lui $5^x$; pentru $x$ negativ și departe de origine, termenul $5^x$ devine neglijabil, iar curba stă aproape de graficul lui $-5^{-x}$. Cele două ramuri se corespund prin rotația în jurul originii. $■$

Exemplul 3 — Nici pară, nici impară

Stabiliți dacă funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-x^2+5$, are vreo paritate.

Rezolvare. $\mathbb{R}$ conține opusul oricărui număr, așa că merită să comparăm valori în puncte opuse. Calculăm o pereche: $f(1)=2-1+5=6$ și $f(-1)=-2-1+5=2$.

Dacă $f$ ar fi pară, valorile $f(-1)$ și $f(1)$ ar fi egale, dar $2\ne 6$. Dacă ar fi impară, $f(-1)$ ar fi opusul lui $f(1)$, dar $2\ne -6$. Așadar $f$ nu are nicio paritate. Motivul se vede în formulă: termenul $2x^3$ are exponent impar, iar $-x^2$ și $5$ au exponenți pari, deci niciuna dintre simetrii nu se păstrează. Am ales $a=1$ pentru că toate puterile lui $1$ și ale lui $-1$ se calculează imediat. $■$

Exemplul 4 — Găsește greșeala: domeniul decide

Un elev scrie: „Funcția $f(x)=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$ este pară. Funcția $g(x)=\sqrt{x+5}+\sqrt{7-x}$ arată la fel, deci și ea este pară.” Ambele funcții sunt considerate pe domeniul lor maxim. Unde a greșit?

Rezolvare. Prima afirmație e corectă. Domeniul lui $f$ cere $x+5\ge 0$ și $5-x\ge 0$, adică $x\in [-5,5]$, interval simetric față de $0$. Apoi $f(-x)=\sqrt{-x+5}+\sqrt{5+x}=f(x)$, deci $f$ este pară.

La $g$, condițiile sunt $x\ge -5$ și $x\le 7$, deci domeniul este $[-5,7]$. Numărul $6$ se află în domeniu, dar $-6$ nu, deci domeniul nu e simetric față de $0$, iar $g$ nu e nici pară, nici impară. Greșeala: elevul a judecat după forma formulei, fără să stabilească domeniul. Un control numeric pentru $f$: $f(4)=\sqrt{9}+\sqrt{1}=4$ și $f(-4)=\sqrt{1}+\sqrt{9}=4$. Pentru $g$, valoarea $g(6)=\sqrt{11}+1$ există, dar $g(-6)$ nu se poate calcula, fiindcă $-6+5<0$. $■$

Exemplul 5 — Viteza apei pe diametrul unei conducte

Într-o conductă cu raza de $2$ cm, viteza apei la distanța $x$ de axă, măsurată pe un diametru (cu $x$ negativ de o parte a axei și pozitiv de cealaltă), este $v(x)=20-5x^2$ centimetri pe secundă, pentru $x\in [-2,2]$ centimetri. a) Arătați că $v$ este pară și explicați ce înseamnă. b) Calculați viteza la $1$ cm de axă, de o parte și de alta, și viteza lângă pereți. c) Unde curge apa cel mai repede?

Rezolvare. a) Intervalul $[-2,2]$ e simetric, iar $v(-x)=20-5(-x{)}^2=20-5x^2=v(x)$: $v$ este pară. Înseamnă că la aceeași distanță de axă, în stânga sau în dreapta, apa are aceeași viteză.

b) $v(1)=20-5=15$, deci și $v(-1)=15$ centimetri pe secundă. La pereți, $v(2)=v(-2)=20-20=0$: apa care atinge peretele stă pe loc.

c) Cum $5x^2\ge 0$, avem $v(x)\le 20$, cu egalitate în $x=0$: viteza maximă, de $20$ centimetri pe secundă, este pe axa conductei. Paritatea îți spune că ajunge să măsori viteza de o singură parte a axei; valorile din cealaltă parte sunt aceleași, dacă albia conductei e regulată. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3+3x$. a) Arătați că $f(-x)=-f(x)$, pentru orice număr real $x$. b) Calculați $f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)$. c) Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(a-4)=0$.

Rezolvare. a) $f(-x)=2(-x{)}^3+3(-x)=-2x^3-3x=-(2x^3+3x)=-f(x)$.

b) Din a), $f(-2)=-f(2)$ și $f(-1)=-f(1)$, deci termenii se reduc doi câte doi, iar $f(0)=0+0=0$. Suma este $0$, fără să calculezi vreo valoare mare; dacă vrei control, $f(2)=16+6=22$ și $f(-2)=-22$.

c) Egalitatea se scrie $f(a-4)=-f(a)=f(-a)$. Funcția este strict crescătoare, ca sumă a funcțiilor strict crescătoare $2x^3$ și $3x$, deci ia valori egale numai în puncte egale: $a-4=-a$, adică $a=2$. Fără monotonie, pasul nu ar fi justificat: o funcție care ia aceeași valoare în două puncte diferite ar putea avea și alte soluții. Verificare: $f(2)+f(-2)=22-22=0$. $■$

Să exersăm

Începe fiecare exercițiu cu domeniul. Pentru „da” scrii calculul general; pentru „nu” ajunge o pereche de valori.

1. Determină domeniul maxim al fiecărei funcții și spune dacă este simetric față de $0$: a) $\sqrt{20-5x^2}$; b) $\frac{1}{x^2-36}$; c) $\sqrt{3x+5}$; d) $\frac{1}{x^2+2x-8}$.

2. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^4+x^2-7$, este pară.

3. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}+2x$, este impară.

4. Folosind o singură pereche de numere opuse, arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-9x+2$, nu are nicio paritate.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+4}{3x}$, este impară.”

6. Figura C are trei panouri, fiecare cu graficul unei funcții definite pe $\mathbb{R}$, desenat în aceeași fereastră. Pentru fiecare panou, spune dacă funcția pare pară, impară sau niciuna și indică o pereche de puncte de pe grafic care susține răspunsul.

7. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este impară, iar pentru $x\ge 0$ valorile ei sunt date de expresia $x^2-5x$. a) Calculează $f(-2)$. b) Scrie formula lui $f(x)$ pentru $x<0$.

8. Studiază paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|+\sqrt{x^2+13}$, și calculează $f(-6)$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+(m-3)x+1$, unde $m$ este un număr real. Determinați $m$ pentru care funcția $f$ este pară.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3-2x}{x^2+1}$. a) Arătați că $f$ este impară. b) Rezolvați ecuația $f(x)=0$ și observați cum sunt așezate soluțiile.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{289-x^2}$, unde $D$ este domeniul maxim de definiție. a) Determinați $D$. b) Arătați că $f$ este pară. c) Calculați $f(-8)+f(15)$.

12. (Problemă aplicată.) Curentul printr-un rezistor neliniar, în miliamperi, depinde de tensiunea aplicată $U$, în volți, după legea $I(U)=0,01U^3+0,1U$, pentru $U\in [-20,20]$; semnul arată sensul. a) Arată că $I(-U)=-I(U)$. b) Calculează $I(10)$ și deduce $I(-10)$. c) Elementul lucrează numai la tensiuni între $-5$ și $5$ volți. Între ce valori variază atunci curentul?

13. Studiază paritatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt[3]{x^2}$, și calculează $f(8)$ și $f(-8)$.

14. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este pară și strict crescătoare pe mulțimea numerelor nenegative. Compară $f(-3)$ cu $f(2)$ și justifică.

15. (Problemă aplicată.) Lumina unui laser trece printr-o fantă îngustă și cade pe un ecran. Intensitatea luminii, în unități relative, la $x$ milimetri de centrul ecranului este $I(x)$, cu $x$ negativ la stânga centrului. S-au măsurat $I(1)=81$, $I(2)=49$ și $I(3)=16$. Montajul este simetric față de centru, deci $I$ este pară. a) Completează $I(-1)$, $I(-2)$ și $I(-3)$. b) Poate fi $I$ impară? Justifică folosind sensul fizic al intensității.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+(a-2)x^2+bx+b-1$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați $a$ și $b$ pentru care funcția $f$ este impară.

17. Arată că $f(x)=(x+4{)}^2+(x-4{)}^2$ este pară și că $g(x)=(x+4{)}^3+(x-4{)}^3$ este impară, ambele definite pe $\mathbb{R}$, dezvoltând parantezele.

18. (Provocare.) Arată că o funcție impară $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, strict crescătoare pe $[0,+\infty )$, este strict crescătoare și pe $(-\infty ,0]$. Ce se întâmplă, în aceleași condiții, cu o funcție pară?

Răspunsuri și explicații

1. a) $20-5x^2\ge 0⟺x^2\le 4⟺x\in [-2,2]$: simetric. b) $x^2-36\ne 0$, deci $\mathbb{R}\setminus \{-6,6\}$: simetric. c) $3x+5\ge 0$, deci $\left[-\frac{5}{3},+\infty \right)$: nesimetric, fiindcă $2$ e în domeniu, iar $-2$ nu. d) $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\ne 0$, deci $\mathbb{R}\setminus \{-4,2\}$: nesimetric, fiindcă $4$ e în domeniu, iar $-4$ nu.

2. Domeniul $\mathbb{R}$ e simetric, iar $f(-x)=3(-x{)}^4+(-x{)}^2-7=3x^4+x^2-7=f(x)$, deci $f$ este pară. Toate puterile lui $x$ sunt pare, iar termenul liber nu depinde de $x$.

3. Domeniul $\mathbb{R}$ e simetric, iar $f(-x)=\sqrt[3]{-x}+2(-x)=-\sqrt[3]{x}-2x=-\left(\sqrt[3]{x}+2x\right)=-f(x)$, fiindcă radicalul de ordinul al treilea schimbă semnul odată cu numărul. Deci $f$ este impară; de exemplu, $f(8)=2+16=18$ și $f(-8)=-18$.

4. $f(1)=1-9+2=-6$ și $f(-1)=1+9+2=12$. Valorile diferă ($12\ne -6$), deci funcția nu e pară; nici opuse nu sunt ($12\ne 6$), deci nu e nici impară. Termenul $-9x$, cu putere impară, alături de $x^2$ și $2$, cu puteri pare, explică rezultatul.

5. Adevărat. Domeniul $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ e simetric, iar $f(-x)=\frac{(-x{)}^2+4}{3(-x)}=-\frac{x^2+4}{3x}=-f(x)$. De exemplu $f(2)=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ și $f(-2)=-\frac{4}{3}$.

6. Citirea caută perechi de puncte cu abscise opuse. Panoul 1: pară; punctele $(2,0)$ și $(-2,0)$, sau $(3,1)$ și $(-3,1)$, sunt oglindite în axa $Oy$. Panoul 2: impară; punctele $(2,-1)$ și $(-2,1)$ sunt simetrice față de origine. Panoul 3: niciuna; punctul $(1,-1)$ este pe grafic, dar nici $(-1,-1)$, nici $(-1,1)$ nu sunt, fiindcă în $-1$ pe grafic se află punctul $(-1,11)$.

7. a) $f(-2)=-f(2)=-(4-10)=6$. b) Pentru $x<0$, numărul $-x$ este pozitiv, deci expresia dată se aplică în $-x$: $f(x)=-f(-x)=-\left((-x{)}^2-5(-x)\right)=-x^2-5x$. Control: formula găsită dă în $-2$ valoarea $-4+10=6$, ca la punctul a).

8. $|-x|=|x|$ și $(-x{)}^2=x^2$, deci $f(-x)=f(x)$: $f$ este pară. $f(-6)=6+\sqrt{49}=6+7=13$.

9. $f(-x)=x^2-(m-3)x+1$. Condiția $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ înseamnă $2(m-3)x=0$ pentru orice $x$, deci $m-3=0$ și $m=3$; atunci $f(x)=x^2+1$. Pe scurt, coeficientul singurei puteri impare trebuie să fie zero, ca în regula din descoperire.

10. a) $f(-x)=\frac{-x^3+2x}{x^2+1}=-f(x)$, pe $\mathbb{R}$. b) Numitorul nu se anulează, deci $f(x)=0$ cere $x^3-2x=0$, adică $x(x^2-2)=0$: $x=0$, $x=\sqrt{2}$ sau $x=-\sqrt{2}$. Soluțiile nenule sunt opuse, cum trebuie la o funcție impară: dacă $a$ anulează funcția, o anulează și $-a$.

11. a) $289-x^2\ge 0⟺x^2\le 289$, deci $D=[-17,17]$. b) $D$ e simetric și $f(-x)=\sqrt{289-(-x{)}^2}=\sqrt{289-x^2}=f(x)$. c) $f(-8)=f(8)=\sqrt{225}=15$ și $f(15)=\sqrt{64}=8$, deci suma este $23$. Graficul este un semicerc cu centrul în origine și raza $17$, oglindit în axa $Oy$.

12. a) $I(-U)=0,01(-U{)}^3+0,1(-U)=-I(U)$, iar $[-20,20]$ e simetric. b) $I(10)=10+1=11$ miliamperi, deci $I(-10)=-11$ miliamperi. c) Ambii termeni cresc odată cu $U$, deci $I$ este crescătoare; pe $[-5,5]$ valorile merg de la $I(-5)$ la $I(5)=1,25+0,5=1,75$ miliamperi, iar din imparitate $I(-5)=-1,75$ miliamperi. Curentul variază între $-1,75$ și $1,75$ miliamperi: intervalul simetric de tensiuni dă un interval simetric de curenți.

13. $f(-x)=(-x)\sqrt[3]{(-x{)}^2}=-x\sqrt[3]{x^2}=-f(x)$: impară. $f(8)=8\cdot \sqrt[3]{64}=8\cdot 4=32$ și $f(-8)=-32$.

14. Din paritate, $f(-3)=f(3)$. Pentru numere nenegative funcția crește strict, iar $3>2$, deci $f(3)>f(2)$. Prin urmare $f(-3)>f(2)$. Nu poți compara direct $-3$ cu $2$, fiindcă ele se află de părți diferite ale originii, unde monotonia nu e dată; paritatea mută comparația pe partea pozitivă.

15. a) $I(-1)=81$, $I(-2)=49$, $I(-3)=16$, aceleași valori ca la aceeași distanță în dreapta centrului. b) Nu: o funcție impară ar da $I(-1)=-81$, dar o intensitate luminoasă nu poate fi negativă. Argumentul fizic ajunge aici fără niciun calcul.

16. $f(-x)=-x^3+(a-2)x^2-bx+b-1$ și $-f(x)=-x^3-(a-2)x^2-bx-b+1$. Egalitatea pentru orice $x$ cere $2(a-2)x^2+2(b-1)=0$ pentru orice $x$, deci $a=2$ și $b=1$; atunci $f(x)=x^3+x$.

17. $f(x)=2x^2+32$, care conține doar puteri pare, deci e pară. $g(x)=(x^3+12x^2+48x+64)+(x^3-12x^2+48x-64)=2x^3+96x$, doar puteri impare, deci e impară.

18. Ideea este să muți punctele pe partea pozitivă, unde monotonia e cunoscută. Fie $x_1<x_2\le 0$. Atunci $-x_1>-x_2\ge 0$ și, din creștere, $f(-x_1)>f(-x_2)$, adică $-f(x_1)>-f(x_2)$, deci $f(x_1)<f(x_2)$: $f$ crește strict pe $(-\infty ,0]$. Pentru o funcție pară, același drum dă $f(x_1)=f(-x_1)>f(-x_2)=f(x_2)$: ea scade strict pe $(-\infty ,0]$.

De reținut

• Paritatea se discută numai pe un domeniu simetric față de $0$; pe un domeniu fără această proprietate, întrebarea nu are sens.
• $f$ pară: $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu; graficul se oglindește în axa $Oy$.
• $f$ impară: $f(-x)=-f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu; graficul rămâne neschimbat la rotația de $180^{\circ }$ în jurul originii.
• „Da” cere calcul general; „nu” cere o singură pereche de valori care strică egalitatea.
• Puterile pare, $|x|$ și $a^x+a^{-x}$ dau funcții pare; puterile impare, $\sqrt[3]{x}$ și $a^x-a^{-x}$ dau funcții impare; cele mai multe funcții nu sunt niciuna.

Greșeli frecvente

• Pierzi parantezele când înlocuiești $x$ cu $-x$. Scrii $-x^2$ în loc de $(-x{)}^2=x^2$ și obții un semn greșit; pune întâi paranteza, apoi ridică la putere. Cu $x=2$ se vede imediat: $(-2{)}^2=4$, pe când $-2^2=-4$.
• Schimbi semnul doar primului termen. Opusul lui $x-4x^3$ este $-x+4x^3$, nu $-x-4x^3$: $-f(x)$ schimbă semnul fiecărui termen. Scrie $-f(x)$ cu paranteză, $-(x-4x^3)$, și desfă paranteza abia după aceea.
• Crezi că $5^{-x}$ este $-5^x$. Exponentul negativ dă o fracție pozitivă, $5^{-x}=\frac{1}{5^x}$; valoarea nu devine negativă. Confuzia duce la concluzia falsă că $5^x$ ar fi impară.
• Pentru funcția impară oglindești graficul doar în axa $Oy$. Oglinda în $Oy$ corespunde funcțiilor pare; la cele impare urmează și oglindirea în axa $Ox$, adică rotația în jurul originii. Punctul $(2,5)$ trece în $(-2,-5)$, nu în $(-2,5)$.
• Scrii $\sqrt{x^2}=x$. Corect este $\sqrt{x^2}=|x|$, care e o funcție pară; cu $x$ în loc de $|x|$ ai trage concluzia greșită că funcția ar fi impară. Verifică pe un număr negativ: $\sqrt{(-3{)}^2}=3$, nu $-3$.

Aplică acasă

1. Frunza pe pârâu. Pe un pârâu cu albie regulată, lasă o frunză pe apă în trei locuri: la mijloc, la jumătatea distanței până la un mal și la aceeași distanță de celălalt mal. Cronometrează cât îi ia să parcurgă aceeași lungime și spune dacă viteza pare o funcție pară de poziție, cu originea la mijloc.
2. Bornele inversate. Cu o baterie, un bec mic și un multimetru, măsoară curentul, apoi inversează bornele. Notează valorile cu semn. Repetă cu un LED în locul becului și explică de ce la LED relația „curent opus pentru tensiune opusă” nu mai are loc.
3. Parametrul căutat în foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, pune în prima coloană zece valori ale lui $x$ și scrie într-o celulă separată un număr $a$. Calculează $f(x)$ și $f(-x)$ pentru $f(x)=3x^2+ax-2$, cu $a$ luat din acea celulă. Schimbă numărul $a$ până când cele două coloane devin identice, apoi confirmă prin calcul valoarea găsită, ca în subsecțiunea despre parametru.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează paritatea și imparitatea ca simetrii ale graficului față de axa $Oy$ și față de origine, verificate prin calcul și citite pe desen. Registrul de funcții este cel al clasei a IX-a de la științe (puteri, radicali, modul, exponențiale), la care se adaugă funcții cu parametru. Nu se tratează regulile generale de paritate pentru sume și produse și nici descompunerea unei funcții în parte pară și impară; ele nu apar în programele profilului.

De urmărit în caiet: dacă elevul scrie domeniul înainte de calcul, dacă pune parantezele la înlocuirea lui $x$ cu $-x$ și dacă alege o pereche de valori potrivită pentru infirmare. Întrebări bune de control: „Ce ai verificat înainte de $f(-x)$?”; „Ce simetrie are graficul dacă $(a,b)$ și $(-a,-b)$ sunt mereu pe el?”; „De ce $5^x$ nu poate fi impară?”. Lecția precedentă, despre mărginire, convexitate și concavitate, rămâne la lectura grafică; tema se verifică în testul unității despre monotonie, simetrie și periodicitate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. Anexa 28 cere la clasa a X-a „simetria graficului față de drepte de forma $x=m$” și „simetria graficului față de un punct”; paritatea este cazul axei $Oy$ ($m=0$) și al originii. La proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă de examen (OMEN 4430/2014) numește explicit „paritate/imparitate” printre proprietățile funcțiilor, la materia clasei a IX-a. Modelul oficial 2026 nu are o cerință despre paritate; exercițiile marcate „tip Bacalaureat M2” sunt antrenament propriu, în limitele programei. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: funcții pare și impare, simetriile graficului adaugă regulile pentru sume și produse și descompunerea în parte pară și impară.

Întrebări frecvente

Ce este diferit în această lecție față de varianta de mate-info (M1)? Varianta M1 lucrează mai ales cu funcții pe ramuri și cu module și adaugă reguli generale pentru sume, produse și descompunerea în parte pară și impară. Aici registrul este cel de la științe: puteri, radicali cu domeniu de stabilit, exponențiale, funcții cu parametru. Paritatea se aplică în contexte din fizică, cum sunt profilul vitezei într-o conductă sau curentul printr-un rezistor.

La ce parte a bacalaureatului M2 îmi folosește lecția? Programa bacalaureatului M2 din 2027–2029 numește explicit paritatea și imparitatea printre proprietățile funcțiilor. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are însă o cerință pe această temă. Lecția te pregătește pentru cerințe de tipul „arătați că $f(-x)=-f(x)$”, pentru calcule de valori care folosesc simetria și pentru parametrii care fac o funcție pară sau impară.

De ce, la o funcție cu radicali, stabilesc domeniul înainte de $f(-x)$? Pentru că formula poate arăta simetric, iar domeniul să nu fie. La $\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x}$ condițiile de sub radicali dau $[-2,6]$: numărul $5$ e în domeniu, $-5$ nu, deci paritatea cade înainte de orice calcul. Scrii condițiile, afli intervalul, verifici dacă e simetric și abia apoi înlocuiești $x$ cu $-x$.

Cum mă ajută paritatea să calculez mai puțin? La o funcție pară calculezi valorile doar pentru numerele pozitive, iar pe cele din numerele opuse le copiezi; la una impară le copiezi cu semnul schimbat. Sumele de forma $f(-a)+f(a)$ se anulează la o funcție impară, iar diferențele $f(-a)-f(a)$ se anulează la una pară. Într-un experiment cu montaj simetric, aceeași idee înjumătățește numărul de măsurători.

Pot decide paritatea doar privind graficul de pe ecran? Poți s-o anticipezi, nu s-o dovedești. Ecranul arată o fereastră, iar două curbe foarte apropiate de o simetrie pot părea simetrice. Graficul e bun pentru a alege ce vrei să verifici și pentru a controla rezultatul; dovada rămâne calculul lui $f(-x)$, pentru orice $x$ din domeniu.

Cum recunosc, într-o situație din științe, dacă funcția e pară sau impară? Te întrebi ce se întâmplă dacă treci de cealaltă parte a originii. Pe un deal simetric, cu originea în dreptul vârfului, înălțimea drumului este aceeași la aceeași distanță de ambele părți, deci înălțimea e o funcție pară de poziție. Panta are aceeași mărime, dar de o parte drumul urcă, iar de cealaltă coboară, deci panta este impară. Apoi confirmi prin calculul lui $f(-x)$.