Ce reprezintă, față de repere, planul $$2x-22=0$$?

Planul paralel cu $$yOz$$ care taie axa $$Ox$$ în $$(11,0,0)$$.

Planul paralel cu $$xOy$$ care taie axa $$Oz$$ în $$(0,0,11)$$.

Planul $$\pi:\ 5y+4z-20=0$$ taie axele de coordonate astfel:

Taie $$Oy$$ în $$(0,4,0)$$ și $$Oz$$ în $$(0,0,5)$$, iar cu $$Ox$$ nu se întâlnește.

Taie $$Oy$$ în $$(0,5,0)$$ și $$Oz$$ în $$(0,0,4)$$, iar cu $$Ox$$ nu se întâlnește.

Taie $$Ox$$ în $$(4,0,0)$$ și $$Oz$$ în $$(0,0,5)$$, iar cu $$Oy$$ nu se întâlnește.

Ce reprezintă ecuația x = 5 în spațiu?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Plane particulare, citite din ecuație

În spațiu, $x = 5$ descrie un plan: toate punctele cu abscisa $5$ , oricare le-ar fi ordonata și cota. Planul este paralel cu planul de coordonate $y O z$ și taie axa $O x$ în $(5, 0, 0)$ . De exemplu, $(5, 0, 0)$ , $(5, 2, - 7)$ și $(5, - 1, 3)$ îi aparțin. În planul $x O y$ aceeași egalitate ar însemna o dreaptă verticală; a treia coordonată liberă transformă dreapta într-un plan.

Despre un plan spunem că e așezat special atunci când din ecuația lui a dispărut măcar o necunoscută. Citirea se sprijină pe două semne, amândouă vizibile fără niciun calcul: care literă lipsește și cât face numărul liber.

Când lipsește o singură literă, poziția suprafeței nu ține de coordonata aceea. Odată cu orice punct al ei, suprafața înghite toată paralela la axa respectivă dusă prin acel punct. Rămâne de aflat dacă înghite și axa: punctele unei axe au două coordonate zero, deci înlocuirea lasă exact numărul liber. Nenul — suprafața trece pe lângă axă; zero — o cuprinde în întregime.

Când lipsesc două litere, rămâne un singur termen cu necunoscută, iar egalitatea spune că o coordonată nu se schimbă. Denumirea se ia după literele absente, nu după cea rămasă: $x = 0$ e $y O z$ , $y = 0$ e $x O z$ , $z = 0$ e $x O y$ . Aici greșesc cei mai mulți, fiindcă intuiția sugerează pe dos.

Urmarea practică: o astfel de suprafață nu taie într-un punct cel puțin o axă — pe cea a literei absente, niciodată; celelalte se calculează obișnuit, anulând ce trebuie.

De reținut

$x = c$ este un plan paralel cu $y O z$ ; la $c = 0$ este chiar $y O z$
o variabilă lipsă: plan paralel cu axa ei sau care o conține, după cum $d \neq = 0$ ori $d = 0$
planele care conțin axa $O x$ au forma $b y + cz = 0$

Greșeala tipică

Se crede că $x = 5$ este o dreaptă, ca în geometria plană; în spațiu ecuația are soluții pentru orice $y$ și $z$ , deci descrie un plan paralel cu $y O z$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce reprezintă, față de repere, planul $2 x - 22 = 0$ ?
- a) Planul paralel cu $y O z$ care taie axa $O x$ în $(11, 0, 0)$ .
- b) Planul paralel cu $x O y$ care taie axa $O z$ în $(0, 0, 11)$ .
- c) Chiar planul $y O z$ .
- d) Un plan paralel cu axa $O x$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Planul paralel cu $y O z$ care taie axa $O x$ în $(11, 0, 0)$ .

Ecuația se scrie $x = 11$ . Lipsesc $y$ și $z$ , deci planul este paralel cu planul de coordonate al celor două variabile absente, adică $y O z$ , și taie axa $O x$ în $(11, 0, 0)$ . Nu este $y O z$ , fiindcă termenul liber nu e nul, și nu este paralel cu axa $O x$ , ci perpendicular pe ea.
Planul $π : 5 y + 4 z - 20 = 0$ taie axele de coordonate astfel:
- a) Taie $O y$ în $(0, 5, 0)$ și $O z$ în $(0, 0, 4)$ , iar cu $O x$ nu se întâlnește.
- b) Taie $O y$ în $(0, 4, 0)$ și $O z$ în $(0, 0, 5)$ , iar cu $O x$ nu se întâlnește.
- c) Taie toate cele trei axe.
- d) Taie $O x$ în $(4, 0, 0)$ și $O z$ în $(0, 0, 5)$ , iar cu $O y$ nu se întâlnește.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Taie $O y$ în $(0, 4, 0)$ și $O z$ în $(0, 0, 5)$ , iar cu $O x$ nu se întâlnește.

Pe $O y$ punem $x = z = 0$ : $5 y - 20 = 0$ , deci $(0, 4, 0)$ . Pe $O z$ punem $x = y = 0$ : $4 z - 20 = 0$ , deci $(0, 0, 5)$ . Din ecuație lipsește $x$ , iar termenul liber este $- 20 \neq = 0$ , deci planul este paralel cu axa $O x$ și n-o întâlnește. Varianta a) încurcă cele două tăieturi între ele.
Ecuația planului care conține axa $O z$ și trece prin $N (4, - 9, 5)$ este:
- a) $4 x + 9 y = 0$
- b) $9 x + 4 y - 5 = 0$
- c) $9 x + 4 y = 0$
- d) $4 x - 9 y = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $9 x + 4 y = 0$

Planele care conțin axa $O z$ au forma $a x + b y = 0$ : le lipsește $z$ și au termenul liber nul. Condiția pentru $N$ dă $4 a - 9 b = 0$ , iar o pereche de numere întregi este $a = 9$ , $b = 4$ , deci $9 x + 4 y = 0$ . A treia coordonată a lui $N$ nu a fost folosită, fiindcă $z$ lipsește. În a) punctul dă $16 - 81 = - 65$ , în b) termenul liber nenul strică apartenența axei, iar în d) punctul dă $16 + 81 = 97$ .

Întrebări conexe

Ce plan conține axa $O x$ și trece printr-un punct dat?

Planele care conțin axa $O x$ au forma $b y + cz = 0$ . Pentru punctul $(1, 3, - 2)$ condiția este $3 b - 2 c = 0$ , deci poți lua $b = 2$ și $c = 3$ : planul $2 y + 3 z = 0$ . Verificare: $6 - 6 = 0$ , iar orice punct $(t, 0, 0)$ al axei verifică ecuația.

Ce plan formează punctele cu $x = y$ ?

Ecuația $x - y = 0$ nu conține $z$ și are termenul liber $0$ , deci planul conține axa $O z$ . El împarte în două unghiul dintre planele $x O z$ și $y O z$ . Punctul $(3, 3, - 1)$ îi aparține, la fel întreaga axă $O z$ .

Cum descriu cu o ecuație nivelul apei dintr-un acvariu?

Cu originea într-un colț al fundului și axa $O z$ în sus, suprafața liberă a apei este planul $z = h$ . Într-un acvariu de $60 \times 30 \times 40$ cm cu apa până la $25$ cm, planul este $z = 25$ , iar volumul apei este $60 \cdot 30 \cdot 25 = 45000$ cm³, adică $45$ L.

Unde taie planul $2 y - z = 4$ axele de coordonate?

Lipsește $x$ , iar termenul liber e nenul, deci planul e paralel cu axa $O x$ și nu o întâlnește. Pe $O y$ , cu $x = z = 0$ , rezultă $y = 2$ ; pe $O z$ , cu $x = y = 0$ , rezultă $z = - 4$ . Tăieturile sunt $(0, 2, 0)$ și $(0, 0, - 4)$ .

Ce se obține intersectând planele $x = 2$ și $y = 3$ ?

O dreaptă paralelă cu axa $O z$ : punctele ei au abscisa $2$ , ordonata $3$ și orice cotă, adică $(2, 3, t)$ cu $t$ real. Ea străpunge planul $x O y$ în $(2, 3, 0)$ .

Oamenii mai întreabă și: ce este planul x egal cu 5 · ecuația x = constant în spațiu · planul paralel cu yOz · ce figură descrie x = 5 în reperul Oxyz

Ce reprezintă ecuația x = 5 în spațiu?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Ce plan conține axa Ox și trece printr-un punct dat?

Ce plan formează punctele cu x=y?

Cum descriu cu o ecuație nivelul apei dintr-un acvariu?

Unde taie planul 2y−z=4 axele de coordonate?

Ce se obține intersectând planele x=2 și y=3?

Continuă cu

Ce plan conține axa $O x$ și trece printr-un punct dat?

Ce plan formează punctele cu $x = y$ ?

Unde taie planul $2 y - z = 4$ axele de coordonate?

Ce se obține intersectând planele $x = 2$ și $y = 3$ ?