Plane particulare: de coordonate și paralele (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Într-o hală, o seră sau un laborator, aproape nimic nu stă strâmb. Pereții sunt verticali, podeaua și rafturile sunt orizontale, geamurile sunt paralele cu pereții. Dacă alegi un colț al încăperii ca origine și muchiile lui ca axe, toate aceste suprafețe capătă ecuații neobișnuit de scurte — atât de scurte încât poziția lor se citește dintr-o privire, fără niciun calcul. Lecția aceasta, din geometria analitică în spațiu de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2), pune ordine în aceste citiri: învață să spui, uitându-te numai la ecuație, dacă un plan este unul dintre planele de coordonate, dacă e paralel cu vreo axă sau o conține și dacă trece prin origine. Tema se dă la bacalaureatul M2 din 2030, proba MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Capitolul este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025, și ajunge la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Forma generală $a x + b y + cz + d = 0$ , condiția asupra coeficienților și tăieturile cu axele sunt tratate la Ecuația generală a planului, de unde le luăm ca știute; acolo citirile de mai jos au fost doar schițate, iar aici le facem sistematic, cu toate cazurile.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști cele trei plane de coordonate după ecuațiile lor și să le deosebești de planele paralele cu ele.
Vei ști să citești din numărul coeficienților nuli câte grade de „particularitate" are planul.
Vei ști să deosebești „paralel cu o axă" de „conține acea axă", după termenul liber.
Vei ști să scrii ecuația unui plan particular pornind de la o descriere în cuvinte.
Vei ști să afli tăieturile unui plan particular și să spui cu ce axă nu se întâlnește.
Vei ști să modelezi cu plane particulare o situație din științe, cu unități de măsură la fiecare rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „plan particular"?

Un plan este particular atunci când cel puțin unul dintre coeficienții $a$ , $b$ , $c$ ai ecuației sale $a x + b y + cz + d = 0$ este nul. O variabilă lipsă înseamnă că poziția planului nu depinde deloc de acea coordonată — de unde vine, în cele din urmă, un paralelism.

Reține de la început cele două chei, pentru că tot restul lecției se construiește din ele:

variabila care lipsește spune cu ce axă are planul de-a face;
termenul liber $d$ spune dacă planul este paralel cu acea axă sau dacă o conține.

Cazul $a = b = c = 0$ rămâne exclus, așa cum s-a arătat în lecția despre ecuația generală: fără el, ecuația ar descrie ori mulțimea vidă, ori tot spațiul, și niciuna nu e plan.

2. Ce se întâmplă când lipsește o singură variabilă?

Lucrăm cu litere, ca răspunsul să fie valabil în toate cazurile deodată. Fie planul $a x + b y + d = 0$ , căruia îi lipsește $z$ , cu $a$ și $b$ nu amândoi nuli. Condiția nu conține pe $z$ , deci: dacă un punct $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ o verifică, atunci o verifică și punctul $(x_{0}, y_{0}, t)$ , oricare ar fi $t$ real. Cu alte cuvinte, odată cu orice punct al său, planul conține toată dreapta verticală care trece prin acel punct — o dreaptă paralelă cu axa $O z$ .

Rămâne de văzut dacă planul atinge axa $O z$ . Punctele ei sunt cele de forma $(0, 0, t)$ , iar înlocuirea lor în ecuație dă $d = 0$ . Deci:

dacă $d \neq = 0$ , niciun punct al axei nu este în plan, iar planul este paralel cu axa $O z$ ;
dacă $d = 0$ , toate punctele axei sunt în plan, iar planul conține axa $O z$ .

Aceeași discuție, cuvânt cu cuvânt, se face pentru $y$ lipsă, cu axa $O y$ , și pentru $x$ lipsă, cu axa $O x$ .

Să ducem până la capăt un caz de margine, ca să vezi cum arată: planul $9 x - 5 z = 0$ . Îi lipsește $y$ , deci are de-a face cu axa $O y$ ; iar termenul liber este nul, deci conține axa $O y$ . Verificarea e imediată: orice punct de forma $(0, t, 0)$ dă $0 - 0 = 0$ . Planul trece, așadar, prin toate punctele axei $O y$ — în particular prin origine.

3. Ce se întâmplă când lipsesc două variabile?

Atunci ecuația are un singur termen cu necunoscută. Fie $cz + d = 0$ , cu $c \neq = 0$ : ea se scrie $z = - \frac{d}{c}$ , adică „cota este constantă". Mulțimea punctelor cu aceeași cotă este un plan orizontal, paralel cu $x O y$ — sau chiar $x O y$ , când constanta este $0$ .

Observă legătura cu secțiunea anterioară: lipsesc $x$ și $y$ , deci planul este paralel și cu $O x$ , și cu $O y$ , adică paralel cu planul pe care ele îl determină. Planul de coordonate se numește după cele două variabile care lipsesc — locul în care greșesc cei mai mulți elevi.

Un exemplu dus până la capăt: $5 y + 35 = 0$ se scrie $y = - 7$ . Îi lipsesc $x$ și $z$ , deci este paralel cu planul $x O z$ și se află la „depărtarea" $- 7$ pe axa $O y$ ; el taie axa $O y$ în punctul $(0, - 7, 0)$ și nu întâlnește deloc celelalte două axe.

4. Tabelul complet al citirilor

Cele două secțiuni de mai sus, plus cazul fără niciun coeficient nul, acoperă toate situațiile. Le punem într-un singur tabel, de învățat ca atare:

Coeficienți nuli printre $a$ , $b$ , $c$	Termenul liber	Ce este planul
niciunul	$d \neq = 0$	plan oblic, care nu trece prin origine
niciunul	$d = 0$	plan oblic, care trece prin origine
unul (lipsește o variabilă)	$d \neq = 0$	paralel cu axa variabilei lipsă
unul	$d = 0$	conține axa variabilei lipsă
doi (lipsesc două variabile)	$d \neq = 0$	paralel cu planul de coordonate al celor două variabile lipsă
doi	$d = 0$	chiar acel plan de coordonate
toți trei	—	nu este plan (cazul exclus)

Din ultimul rând al tabelului ies cele trei ecuații pe care merită să le știi pe de rost: $x = 0$ este planul $y O z$ , $y = 0$ este planul $x O z$ , iar $z = 0$ este planul $x O y$ .

5. Cum scrii ecuația pornind de la descriere?

Drumul invers este și mai scurt, dacă mergi în ordinea: întâi variabilele care lipsesc, apoi termenul liber.

Pentru „planul paralel cu $y O z$ care trece prin punctul $P$ ": planele paralele cu $y O z$ au ecuația $x = k$ , deci ecuația căutată este $x - x_{P} = 0$ . Pentru „planul care conține axa $O x$ și trece prin punctul $P$ ": lipsește $x$ și $d = 0$ , deci forma este $b y + cz = 0$ , iar condiția $b y_{P} + c z_{P} = 0$ îți dă raportul dintre $b$ și $c$ , de unde alegi o pereche de numere întregi. În acest ultim caz răspunsul e determinat doar până la un factor, cum e firesc.

6. Cu ce axe se întâlnește un plan particular?

Tăietura cu o axă se află anulând celelalte două coordonate — procedeul este cel din lecția despre ecuația generală. Noutatea aici este că un plan particular nu taie toate axele.

Regula se citește direct din coeficienți: planul nu taie axa unei variabile care lipsește din ecuație. Dacă $d \neq = 0$ , planul este paralel cu acea axă și n-o întâlnește niciodată; dacă $d = 0$ , o conține, deci nu o taie într-un punct, ci în toate. Pentru celelalte axe, tăietura se calculează normal.

Așa se explică de ce un plan cu un singur coeficient nenul taie o singură axă, iar unul cu doi coeficienți nenuli taie două.

7. La ce folosesc planele particulare într-un model?

Ele sunt limbajul firesc al oricărei mărimi care se schimbă numai cu înălțimea. Într-un lac adânc, temperatura apei rămâne aproape constantă pe orizontală și scade brusc la anumite adâncimi: limitele dintre straturi sunt atunci plane de forma $z = k$ , iar apartenența unei sonde, a unei alge sau a unui pește la un strat sau altul se decide comparând cota ei cu constantele respective.

La fel se descriu nivelurile de apă dintr-un rezervor, rafturile unei camere de creștere sau straturile de aer cu temperatură constantă. Pereții verticali ai unei încăperi sau ai unei cuve sunt și ei plane particulare, dar de alt tip: din ecuația lor lipsește $z$ , fiindcă un perete arată la fel la orice înălțime.

Avantajul practic e că apartenența se decide printr-o singură comparație de numere. Singura grijă rămâne cea de ordin fizic: sensul axelor și unitatea de măsură se declară o dată, la început, iar adâncimile se scriu cu semnul pe care îl impune acea alegere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Plane paralele cu planele de coordonate

Precizează poziția față de repere a planelor $6 z - 42 = 0$ , $8 x + 40 = 0$ și $9 y - 63 = 0$ .

Rezolvare. La primul lipsesc $x$ și $y$ , iar ecuația se scrie $z = 7$ : este un plan paralel cu planul $x O y$ , care taie axa $O z$ în $(0, 0, 7)$ .

La al doilea lipsesc $y$ și $z$ , iar ecuația se scrie $x = - 5$ : este un plan paralel cu planul $y O z$ , care taie axa $O x$ în $(- 5, 0, 0)$ .

La al treilea lipsesc $x$ și $z$ , iar ecuația se scrie $y = 7$ : este un plan paralel cu planul $x O z$ , care taie axa $O y$ în $(0, 7, 0)$ . Observă că primul și al treilea au aceeași constantă, $7$ , dar sunt plane cu totul diferite — contează variabila, nu numărul.

Exemplul 2 — Plane cărora le lipsește o singură variabilă

Precizează poziția față de repere a planelor $7 x + 5 y - 70 = 0$ , $9 x - 4 z + 36 = 0$ și $6 y - 5 z = 0$ .

Rezolvare. Primului îi lipsește $z$ , iar termenul liber este $- 70 \neq = 0$ : planul este paralel cu axa $O z$ . Taie axa $O x$ în $(10, 0, 0)$ și axa $O y$ în $(0, 14, 0)$ , dar nu taie axa $O z$ .

Al doilea nu conține $y$ , iar termenul liber este $36 \neq = 0$ : planul este paralel cu axa $O y$ . Taie axa $O x$ în $(- 4, 0, 0)$ și axa $O z$ în $(0, 0, 9)$ .

Al treilea nu conține $x$ , iar termenul liber este nul: planul conține axa $O x$ , fiindcă orice punct $(t, 0, 0)$ îi verifică ecuația. El nu taie axa $O x$ într-un punct, ci o cuprinde în întregime.

Exemplul 3 — Ce schimbă termenul liber

Se dau planele $5 x + 7 y + 2 z = 0$ și $5 x + 7 y + 2 z - 14 = 0$ . Precizează care dintre ele trece prin origine și ce legătură geometrică există între ele.

Rezolvare. Niciunul nu are vreun coeficient nul, deci niciunul nu este particular în sensul secțiunilor $2$ și $3$ ; singura deosebire este termenul liber. Primul are $d = 0$ , deci $O (0, 0, 0)$ îl verifică: trece prin origine. Al doilea dă $- 14 \neq = 0$ în origine, deci nu trece prin ea.

Cele două plane au aceiași coeficienți $a$ , $b$ , $c$ , deci aceeași direcție: sunt paralele și distincte. Al doilea se obține din primul printr-o deplasare; tăieturile lui cu axele sunt imediate — $(\frac{14}{5}, 0, 0)$ , $(0, 2, 0)$ și $(0, 0, 7)$ —, în timp ce primul trece prin origine și deci le taie pe toate trei chiar acolo.

Exemplul 4 — Scrierea ecuației pornind de la descriere

Scrie ecuația planului care: a) este paralel cu $y O z$ și trece prin $A (9, - 6, 3)$ ; b) conține axa $O x$ și trece prin $E (0, 5, 7)$ ; c) este paralel cu $x O y$ și trece prin $F (2, - 3, 8)$ .

Rezolvare. a) Planele paralele cu $y O z$ au forma $x = k$ ; din condiția ca $A$ să-i aparțină, $k = 9$ , deci ecuația este $x - 9 = 0$ . Coordonatele $- 6$ și $3$ nu joacă niciun rol, fiindcă $y$ și $z$ lipsesc din ecuație.

b) Planele care conțin axa $O x$ au forma $b y + cz = 0$ . Punând condiția pentru $E$ : $5 b + 7 c = 0$ . O alegere de numere întregi este $b = 7$ și $c = - 5$ , deci ecuația este $7 y - 5 z = 0$ . Orice altă pereche proporțională dă același plan.

c) Planele paralele cu $x O y$ au forma $z = k$ ; din $F$ rezultă $k = 8$ , deci $z - 8 = 0$ .

Exemplul 5 — Un model din științe: straturile termice ale unui lac

Vara, apa unui lac adânc se împarte în straturi suprapuse, despărțite prin suprafețe pe care le putem considera orizontale. Luăm luciul apei ca planul $x O y$ , cu axa $O z$ orientată în sus și unitatea de măsură metrul, așa că adâncimile apar cu semnul minus. Limita dintre stratul de suprafață, cald, și stratul de tranziție este planul $5 z + 100 = 0$ , iar limita dintre stratul de tranziție și apa rece de la fund este planul $8 z + 400 = 0$ .

a) La ce adâncimi se află cele două limite?

b) În ce strat se află o sondă de temperatură aflată în punctul $R (12, 7, - 35)$ ?

c) Verifică dacă punctul $S (4, 9, - 50)$ se află chiar pe a doua limită.

Rezolvare. a) Prima ecuație se scrie $z = - 20$ , a doua $z = - 50$ . Limitele sunt deci la $20$ m și la $50$ m adâncime.

b) Cota sondei este $- 35$ , cuprinsă între $- 50$ și $- 20$ : sonda se află în stratul de tranziție.

c) Înlocuim în a doua ecuație: $8 \cdot (- 50) + 400 = 0$ , deci $S$ aparține planului limită. Observă că primele două coordonate nu au contat nicăieri — exact asta înseamnă „plan paralel cu $x O y$ ": limita se află la aceeași adâncime în tot lacul, ipoteză rezonabilă pe apă liniștită, dar nu și acolo unde vântul înclină straturile.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră planul $π : 8 x - 7 y - 56 = 0$ .

a) Arată că $π$ este paralel cu axa $O z$ .

b) Află punctele în care $π$ taie axele $O x$ și $O y$ .

c) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $M (m, 8, 4)$ aparține planului $π$ .

Rezolvare. a) Din ecuație lipsește variabila $z$ , iar termenul liber este $- 56 \neq = 0$ . Punctele axei $O z$ sunt de forma $(0, 0, t)$ și dau $- 56 \neq = 0$ , deci niciunul nu este în plan: $π$ este paralel cu axa $O z$ .

b) Pe $O x$ punem $y = z = 0$ : $8 x - 56 = 0$ , deci $(7, 0, 0)$ . Pe $O y$ punem $x = z = 0$ : $- 7 y - 56 = 0$ , deci $(0, - 8, 0)$ .

c) Condiția de apartenență dă $8 m - 56 - 56 = 0$ , adică $8 m = 112$ , deci $m = 14$ . A treia coordonată a lui $M$ nu intervine, fiindcă $z$ lipsește din ecuație.

Să exersăm

La fiecare cerință, răspunde în ordinea: ce variabile lipsesc, cât este termenul liber, ce plan este.

1. Ce reprezintă, față de repere, planul $7 z + 49 = 0$ ?

2. Ce reprezintă, față de repere, planul $6 x - 54 = 0$ ?

3. Precizează poziția planului $8 y - 7 z + 56 = 0$ față de repere și află punctele în care taie axele.

4. Precizează poziția planului $6 x - 7 y = 0$ față de repere.

5. Precizează poziția planului $6 x + 9 y - 54 = 0$ față de repere și află punctele în care taie axele.

6. Precizează poziția planului $5 x - 6 y + 7 z = 0$ față de repere.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un plan din ecuația căruia lipsește variabila $z$ nu are niciun punct comun cu planul $x O y$ ."

8. Scrie ecuația planului paralel cu $x O z$ care trece prin punctul $M (4, - 6, 1)$ .

9. Scrie ecuația planului care conține axa $O z$ și trece prin punctul $N (7, - 5, 2)$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Planul $y O z$ conține axa $O x$ ."

11. Află punctele în care planul $8 x + 5 z - 40 = 0$ taie axele de coordonate și spune cu ce axă nu se întâlnește.

12. (Problemă aplicată.) O cuvă paralelipipedică dintr-un laborator de biologie este așezată cu un colț în origine și cu muchiile pe axe; are $6$ dm pe axa $O x$ și $5$ dm pe axa $O y$ . Scrie ecuațiile celor patru pereți laterali, spune care dintre ei sunt plane de coordonate și explică de ce înălțimea cuvei nu apare în niciuna dintre ecuații.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planul $7 x + 6 z - 42 = 0$ . a) Arată că este paralel cu axa $O y$ . b) Află punctele în care taie axele $O x$ și $O z$ . c) Stabilește dacă punctul $P (6, 5, 0)$ îi aparține.

14. Determină numărul real $m$ pentru care planul $m x + 6 y - 7 z + m - 5 = 0$ trece prin origine și scrie ecuația obținută.

15. Determină numărul real $m$ pentru care planul $(m - 8) x + 5 y + 9 z - 45 = 0$ este paralel cu axa $O x$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planul $9 y + 5 z = 0$ . a) Arată că planul conține axa $O x$ . b) Stabilește dacă punctul $P (3, 5, - 9)$ îi aparține. c) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $Q (2, m, - 18)$ îi aparține.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planul $9 x + 7 y - 63 = 0$ . a) Precizează poziția lui față de axa $O z$ . b) Află punctele în care taie axele $O x$ și $O y$ . c) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $R (m, 0, 4)$ îi aparține.

18. (Provocare.) Arată că singurele plane care conțin simultan două dintre axele de coordonate sunt chiar cele trei plane de coordonate.

Răspunsuri și explicații

1. Lipsesc $x$ și $y$ , iar ecuația se scrie $z = - 7$ : este un plan paralel cu planul $x O y$ , situat sub el, care taie axa $O z$ în $(0, 0, - 7)$ .

2. Lipsesc $y$ și $z$ , iar ecuația se scrie $x = 9$ : este un plan paralel cu planul $y O z$ , care taie axa $O x$ în $(9, 0, 0)$ .

3. Lipsește $x$ , iar termenul liber este $56 \neq = 0$ : planul este paralel cu axa $O x$ . Taie axa $O y$ în $(0, - 7, 0)$ și axa $O z$ în $(0, 0, 8)$ ; cu axa $O x$ nu se întâlnește.

4. Lipsește $z$ , iar termenul liber este nul: planul conține axa $O z$ , deoarece orice punct $(0, 0, t)$ verifică ecuația. În particular, trece prin origine; cu celelalte două axe are în comun doar originea.

5. Lipsește $z$ , iar termenul liber este $- 54 \neq = 0$ : planul este paralel cu axa $O z$ . Taie axa $O x$ în $(9, 0, 0)$ și axa $O y$ în $(0, 6, 0)$ .

6. Niciun coeficient nu este nul, deci planul nu este paralel cu nicio axă; termenul liber fiind nul, el trece prin origine, iar toate cele trei tăieturi se reduc la origine.

7. Fals. Punctele planului $x O y$ au $z = 0$ , iar înlocuirea lui $z = 0$ în ecuația $a x + b y + d = 0$ nu schimbă nimic, fiindcă $z$ nici nu apare acolo. Rămâne aceeași condiție asupra lui $x$ și $y$ , verificată de o infinitate de perechi, deci cele două plane au o infinitate de puncte comune. Lipsa lui $z$ dă paralelism cu axa $O z$ , nu cu planul $x O y$ .

8. Planele paralele cu $x O z$ au forma $y = k$ ; din condiția ca $M$ să aparțină planului rezultă $k = - 6$ , deci ecuația este $y + 6 = 0$ .

9. Planele care conțin axa $O z$ au forma $a x + b y = 0$ . Condiția pentru $N$ dă $7 a - 5 b = 0$ ; o alegere de numere întregi este $a = 5$ și $b = 7$ , deci ecuația este $5 x + 7 y = 0$ . A treia coordonată a lui $N$ nu a fost folosită, fiindcă $z$ lipsește din ecuație.

10. Fals. Planul $y O z$ are ecuația $x = 0$ , iar punctele axei $O x$ sunt de forma $(t, 0, 0)$ ; înlocuite, ele dau $t = 0$ . Singurul punct comun este deci originea, nu toată axa. Axele cuprinse în $y O z$ sunt $O y$ și $O z$ , ale căror puncte, $(0, t, 0)$ și $(0, 0, t)$ , verifică ecuația $x = 0$ pentru orice $t$ real.

11. Pe $O x$ punem $y = z = 0$ : $8 x - 40 = 0$ , deci $(5, 0, 0)$ . Pe $O z$ punem $x = y = 0$ : $5 z - 40 = 0$ , deci $(0, 0, 8)$ . Din ecuație lipsește $y$ , iar termenul liber nu este nul, deci planul este paralel cu axa $O y$ și nu se întâlnește cu ea.

12. Peretele din spate este planul $x = 0$ , adică planul de coordonate $y O z$ ; peretele din stânga este $y = 0$ , adică planul $x O z$ . Ceilalți doi au ecuațiile $x - 6 = 0$ și $y - 5 = 0$ . Înălțimea nu apare în nicio ecuație pentru că din fiecare dintre ele lipsește $z$ : un perete vertical arată la fel la orice înălțime, deci poziția lui nu depinde de cotă. Dacă cuva ar avea capac și fund, acestea ar fi plane de tipul $z = k$ , iar acolo ar interveni înălțimea.

13. a) Lipsește $y$ , iar termenul liber este $- 42 \neq = 0$ ; punctele axei $O y$ , de forma $(0, t, 0)$ , dau $- 42 \neq = 0$ , deci planul este paralel cu axa $O y$ . b) Pe $O x$ : $7 x - 42 = 0$ , deci $(6, 0, 0)$ . Pe $O z$ : $6 z - 42 = 0$ , deci $(0, 0, 7)$ . c) Pentru $P$ : $42 + 0 - 42 = 0$ , deci $P$ aparține planului; a doua coordonată nu contează, fiindcă $y$ lipsește.

14. Planul trece prin origine exact atunci când termenul liber este nul: $m - 5 = 0$ , deci $m = 5$ . Ecuația devine $5 x + 6 y - 7 z = 0$ . Coeficientul lui $x$ este atunci $5 \neq = 0$ , deci condiția ca $a$ , $b$ , $c$ să nu fie toți nuli este respectată.

15. Planul este paralel cu axa $O x$ atunci când din ecuație lipsește $x$ , adică $m - 8 = 0$ , deci $m = 8$ , iar termenul liber trebuie să fie nenul — ceea ce se verifică, fiind $- 45$ . Ecuația devine $5 y + 9 z - 45 = 0$ .

16. a) Termenul liber este nul și lipsește $x$ ; orice punct $(t, 0, 0)$ dă $0 = 0$ , deci planul conține axa $O x$ . b) Pentru $P$ : $45 - 45 = 0$ , deci $P$ aparține planului. c) Condiția dă $9 m - 90 = 0$ , deci $m = 10$ .

17. a) Lipsește $z$ , iar termenul liber este $- 63 \neq = 0$ , deci planul este paralel cu axa $O z$ . b) Pe $O x$ : $9 x - 63 = 0$ , deci $(7, 0, 0)$ . Pe $O y$ : $7 y - 63 = 0$ , deci $(0, 9, 0)$ . c) Pentru $R$ : $9 m - 63 = 0$ , deci $m = 7$ .

18. Presupunem că planul conține axele $O x$ și $O y$ . Fiindcă le conține, el conține și originea, deci $d = 0$ . Conținând toate punctele $(t, 0, 0)$ , avem $a t = 0$ pentru orice $t$ real, deci $a = 0$ ; la fel, din punctele $(0, t, 0)$ rezultă $b = 0$ . Rămâne $cz = 0$ cu $c \neq = 0$ , adică $z = 0$ — planul $x O y$ . Raționamentul se repetă identic pentru celelalte două perechi de axe, deci nu există alte plane cu această proprietate.

De reținut

Un plan este particular când cel puțin unul dintre $a$ , $b$ , $c$ este nul; variabila lipsă arată axa la care se raportează planul.
O singură variabilă lipsă: planul este paralel cu axa acelei variabile dacă $d \neq = 0$ și o conține dacă $d = 0$ .
Două variabile lipsă: planul este paralel cu planul de coordonate al celor două variabile care lipsesc, sau chiar acel plan, când $d = 0$ .
Cele trei ecuații de știut pe de rost: $x = 0$ este $y O z$ , $y = 0$ este $x O z$ , $z = 0$ este $x O y$ .
Un plan particular nu taie toate axele: nu o taie pe cea a variabilei lipsă, fie pentru că îi este paralel, fie pentru că o conține în întregime.

Greșeli frecvente

Confundarea axei cu planul. Din lipsa lui $z$ se trage concluzia „paralel cu $x O y$ ". Corect: lipsa unei variabile dă paralelism cu axa ei; paralelismul cu un plan de coordonate cere lipsa a două variabile.
Numirea planului de coordonate după variabila prezentă. Planul $z = k$ este paralel cu $x O y$ , nu cu vreun plan care poartă litera $z$ în nume. Denumirea se face după cele două variabile absente.
Uitarea cazului $d = 0$ . Se spune „paralel cu axa" fără să se verifice termenul liber, deși cu $d = 0$ planul conține axa. Sunt două situații geometrice diferite, iar enunțul care le confundă este pur și simplu fals.
Căutarea tăieturii cu o axă pe care planul n-o taie. Se anulează două coordonate, se ajunge la o egalitate imposibilă de tipul „număr nenul egal cu zero" și se scrie că exercițiul e greșit. De fapt, rezultatul acesta este răspunsul: planul e paralel cu acea axă.
Simplificarea care pierde informația despre origine. Se trece de la $a x + b y = 0$ la $y = - \frac{a}{b} x$ și se uită că este vorba despre un plan din spațiu, nu despre o dreaptă din plan. În spațiu, egalitatea descrie un plan care conține axa $O z$ .

Aplică acasă

Camera în ecuații. Alege un colț al camerei ca origine, cu muchiile ca axe, și măsoară lungimea, lățimea și înălțimea. Scrie ecuațiile celor șase plane care mărginesc camera, grupează-le în perechi de plane paralele și spune câte dintre ele au termenul liber nul.
Rafturile ca plane. Măsoară înălțimile la care se află polițele unei biblioteci, luând podeaua ca plan $x O y$ , și scrie ecuația fiecărei polițe. Alege apoi un obiect de pe un raft, estimează-i cota și decide, doar comparând numere, între ce două polițe se află. Scrie și ecuația peretelui din spatele bibliotecii: ce variabilă lipsește din ea?
Ce nu se vede din ecuație. Scrie ecuațiile a trei plane: unul paralel cu o axă, unul care conține o axă și unul paralel cu un plan de coordonate. Dă-i-le unui coleg și roagă-l să le descrie în cuvinte. Notează unde s-a încurcat: aproape sigur la deosebirea dintre „paralel cu axa" și „conține axa".

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul numără corect coeficienții nuli, dacă deosebește paralelismul cu o axă de paralelismul cu un plan de coordonate și dacă se uită la termenul liber înainte de a se pronunța.

Dificultatea nu este de calcul — la multe exerciții nu se face niciun calcul —, ci de vocabular geometric: planul de coordonate se numește după cele două variabile care lipsesc, ceea ce sună pe dos față de intuiție. Cel mai bun sprijin este desenul, pe un cub de carton hașurat cu creionul.

Întrebări de control: „Ce plan este $y = 0$ ?", „Ce se schimbă dacă termenul liber devine nul?", „Un plan căruia îi lipsește $x$ taie axa $O x$ ?". Semne că a înțeles: răspunde la cerințele scurte fără să scrie nimic pe hârtie; verifică singur, înlocuind un punct de pe axă, dacă planul o conține sau doar îi este paralel; și spune din prima cu ce axă planul nu se întâlnește.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, la conținutul „Planul în reperul cartezian tridimensional Oxyz: ecuația generală a planului". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Care sunt ecuațiile planelor de coordonate?

Planul $x O y$ are ecuația $z = 0$ , planul $x O z$ are ecuația $y = 0$ , iar planul $y O z$ are ecuația $x = 0$ . Regula de reținut este că fiecare plan de coordonate se descrie anulând variabila care nu apare în numele lui, adică pe cea a axei perpendiculare pe el.

Ce înseamnă că dintr-o ecuație lipsește o variabilă?

Înseamnă că poziția planului nu depinde deloc de acea coordonată: odată cu orice punct al său, planul conține toată dreapta paralelă cu axa respectivă care trece prin acel punct. De aici rezultă că planul este paralel cu acea axă sau, dacă termenul liber este nul, că o conține.

Cum deosebesc „paralel cu o axă" de „conține acea axă"?

După termenul liber. Punctele unei axe au două coordonate nule, așa că, înlocuindu-le în ecuație, rămâne exact $d$ . Dacă $d \neq = 0$ , niciun punct al axei nu este în plan, deci planul îi este paralel; dacă $d = 0$ , toate punctele axei verifică ecuația, deci planul o conține.

Un plan care are un coeficient nul taie toate axele?

Nu. Axa variabilei care lipsește din ecuație nu este tăiată niciodată într-un punct: planul îi este paralel atunci când termenul liber este nenul și o conține în întregime atunci când termenul liber este nul. Celelalte axe se taie normal, anulând celelalte două coordonate în ecuație și rezolvând ce rămâne.

Cum scriu ecuația unui plan paralel cu un plan de coordonate?

Scrii direct constanta. Planele paralele cu $x O y$ au ecuația $z = k$ , cele paralele cu $x O z$ au $y = k$ , iar cele paralele cu $y O z$ au $x = k$ , unde $k$ este coordonata corespunzătoare a oricărui punct al planului. Pentru $k = 0$ obții chiar planul de coordonate.

Se studiază planele particulare și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu este o temă exclusiv a profilului științe ale naturii: la matematică-informatică, geometria clasei a XII-a este dedicată conicelor din plan. Pentru comparație, citirea poziției unei drepte din ecuația ei, în plan, la mate-info (M1): Ecuația explicită a dreptei.

La ce subiect apare la examen?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, geometria analitică — cea din plan — apare ca o cerință scurtă la Subiectul I. Structura probei MAT_P2 nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Ce urmează după această lecție?

Pasul următor este compararea a două plane între ele — paralele, suprapuse sau secante —, la Pozițiile relative a două plane. Ecuația unui plan din trei puncte date se scrie la Planul determinat de trei puncte necoliniare, iar forma generală rămâne la Ecuația generală a planului.