Ce este afixul unui punct din plan?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Numere complexe desenate în plan

Afixul punctului $M (a, b)$ este numărul complex $a + bi$ : abscisa devine partea reală, iar ordonata devine coeficientul lui $i$ . Invers, punctul $M$ se numește imaginea geometrică a numărului. Exemplu: punctul $P (- 2, 5)$ are afixul $- 2 + 5 i$ , iar punctul $Q (0, - 3)$ , aflat pe axa verticală, are afixul $- 3 i$ . Fiecare punct are un singur afix și fiecare număr complex are un singur punct.

Numărul complex $a + bi$ se desenează ca punctul de coordonate $(a, b)$ dintr-un reper cartezian: punctul este imaginea geometrică a numărului, iar numărul este afixul punctului. Legătura merge în ambele sensuri și fără ambiguități, deoarece egalitatea a două numere complexe înseamnă egalitatea părților lor.

Axa orizontală se numește axa reală și conține numerele reale; axa verticală se numește axa imaginară și conține numerele pur imaginare. Un număr cu ambele părți nenule stă într-un cadran, stabilit de semnele părților. Când numărul vine dintr-un calcul, întâi îl aduci la forma algebrică și abia apoi citești poziția.

Pe desen, conjugatul se vede ca simetricul punctului față de axa reală: abscisa rămâne, ordonata își schimbă semnul. Modulul numărului măsoară cât de departe e punctul de originea reperului, iar calculul lui repetă formula distanței dintre două puncte; de aceea un număr și conjugatul lui sunt la fel de departe de origine.

Când afixul depinde de un parametru, poziția punctului devine o condiție pe părți: parte reală zero pentru axa imaginară, parte imaginară zero pentru axa reală și câte o inegalitate pentru fiecare parte când se cere un cadran.

De reținut

$M (a, b)$ are afixul $a + bi$
distanța dintre imaginile lui $z_{1}$ și $z_{2}$ este $∣ z_{1} - z_{2} ∣$
mijlocul segmentului are afixul $\frac{z _{1} + z _{2}}{2}$

Greșeala tipică

Se inversează coordonatele și se scrie afixul lui $P (- 2, 5)$ ca $5 - 2 i$ ; abscisa este întotdeauna partea reală, iar ordonata coeficientul lui $i$ .

Exerciții din această mini-lecție

În ce cadran se află imaginea geometrică a numărului $7 - 10 i$ ?
- a) cadranul I
- b) cadranul II
- c) cadranul IV
- d) cadranul III
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cadranul IV

Partea reală $7$ este pozitivă, iar partea imaginară $- 10$ este negativă: punctul $(7, - 10)$ este în cadranul IV.
Afixul punctului $P (- 8, 0)$ este:
- a) $- 8 i$
- b) $- 8$
- c) $8 i$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 8$

Abscisa devine partea reală, ordonata coeficientul lui $i$ : $- 8 + 0 \cdot i = - 8$ , un număr real, pe axa reală.
Simetricul punctului $M (- 8, 3)$ față de axa reală este punctul:
- a) $(- 8, - 3)$
- b) $(8, 3)$
- c) $(8, - 3)$
- d) $(3, - 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 8, - 3)$

Față de axa reală abscisa rămâne, iar ordonata își schimbă semnul: $(- 8, - 3)$ , imaginea conjugatului $- 8 - 3 i$ .

Întrebări conexe

De ce aduc numărul la forma algebrică înainte să aflu cadranul imaginii?

Semnele părților se văd abia în forma $a + bi$ . Numărul $(1 - 2 i)^{2}$ pare legat de $1 - 2 i$ , din cadranul IV, dar $(1 - 2 i)^{2} = 1 - 4 i + 4 i^{2} = - 3 - 4 i$ . Ambele părți sunt negative, deci imaginea $(- 3, - 4)$ este în cadranul III, nu în IV.

Pentru ce $m$ se află imaginea lui $(m - 1) + (m + 2) i$ în cadranul al doilea?

În cadranul al doilea abscisa e negativă și ordonata pozitivă: $m - 1 < 0$ și $m + 2 > 0$ . Rezultă $- 2 < m < 1$ . Pentru $m = 0$ , de exemplu, numărul este $- 1 + 2 i$ , cu imaginea $(- 1, 2)$ , în cadranul al doilea.

Cum calculez distanța dintre imaginile a două numere complexe?

Distanța este modulul diferenței: $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ . Pentru $z_{1} = 1 + 2 i$ și $z_{2} = 4 + 6 i$ , diferența este $- 3 - 4 i$ , cu modulul $9 + 16 = 5$ . Același rezultat dă formula distanței dintre punctele $(1, 2)$ și $(4, 6)$ .

Ce afix are mijlocul segmentului dintre imaginile lui $z_{1}$ și $z_{2}$ ?

Afixul mijlocului este media afixelor, $\frac{z _{1} + z _{2}}{2}$ . Pentru $z_{1} = 1 + 2 i$ și $z_{2} = 5 - 4 i$ obții $\frac{6 - 2 i}{2} = 3 - i$ , deci mijlocul este punctul $(3, - 1)$ . Formula corespunde mediei coordonatelor din clasa a IX-a.

Pentru ce $m$ se află imaginea lui $(2 m - 1) + (m + 4) i$ pe prima bisectoare?

Pe prima bisectoare, $y = x$ , deci partea reală este egală cu partea imaginară: $2 m - 1 = m + 4$ , adică $m = 5$ . Numărul devine $9 + 9 i$ , cu imaginea $(9, 9)$ . Proba: $2 \cdot 5 - 1 = 9$ și $5 + 4 = 9$ , deci punctul $(9, 9)$ are coordonatele egale.

Oamenii mai întreabă și: afixul unui punct · cum citesc afixul de pe desen · afix și imagine geometrică · numărul complex asociat unui punct