Planul complex. Imaginea geometrică și afixul (M2, științe ale naturii)

Privit la microscop, un bob de polen pus într-o picătură de apă nu stă pe loc: tremură și se deplasează în salturi mici, lovit din toate părțile de moleculele apei. Ca să-i urmărești drumul, notezi pozițiile lui pe reticulul microscopului, câte două numere pentru fiecare poziție: cât s-a deplasat spre dreapta și cât în sus. Două numere reale care descriu un singur obiect sunt exact materia unui număr complex. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), această observație devine o regulă: fiecărui număr complex îi corespunde un punct din plan și fiecărui punct un număr. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”, deși lista de conținuturi nu numește separat planul complex. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține interpretarea geometrică a unor operații cu numere complexe, pentru care reprezentarea în plan este punctul de plecare; varianta-model pentru 2026 nu are o cerință cu planul complex.

Lecția se sprijină pe reperul cartezian din clasa a IX-a: axele, originea și cadranele, coordonatele unui punct și distanța dintre două puncte. Din clasa a X-a folosești conjugatul și modulul unui număr complex la M2. Nu vei avea nevoie de nicio formulă nouă de calcul: lecția îți dă un desen pentru lucruri pe care le știi deja să calculezi.

Ce vei învăța

• Vei putea așeza orice număr complex în plan și vei citi numărul care corespunde unui punct, fie din coordonate, fie de pe o figură.
• Vei ști unde se află în plan numerele reale, cele pur imaginare și în ce cadran ajunge un număr după semnele părților lui.
• Vei ști că imaginea conjugatului este simetrica imaginii lui $z$ față de axa reală.
• Vei recunoaște în modulul lui $z$ lungimea segmentului care unește originea cu punctul lui $z$, calculată cu formula distanței din clasa a IX-a.
• Vei ști să determini un parametru real pentru care imaginea unui număr se află pe o axă sau într-un cadran dat.

Hai să descoperim împreună

1. Cum devine o pereche de numere un punct?

Un număr complex $a+bi$ este determinat de perechea ordonată $(a,b)$ a părților lui, iar o pereche ordonată de numere reale determină un punct într-un reper cartezian. Lipim cele două lumi.

Imaginea geometrică a numărului $z=a+bi$ ($a$ și $b$ reale) este punctul $M(a,b)$ dintr-un reper cartezian; numărul $z$ se numește afixul punctului $M$. Planul în care folosim această corespondență se numește planul complex. Scriem $M(z)$ și citim „punctul $M$ de afix $z$”.

Corespondența este „unu la unu”: fiecare număr are o singură imagine, iar fiecare punct un singur afix. Motivul este lecția despre egalitatea a două numere complexe: două numere complexe sunt egale exact când au aceleași părți, iar punctele sunt egale doar dacă abscisele și ordonatele lor sunt egale.

Figura A arată cinci puncte ale planului complex, fiecare cu afixul scris lângă el. Punctul $A$ are coordonatele $(7,2)$, deci afixul $7+2i$; punctul $B(-6,3)$ are afixul $-6+3i$; punctul $C(-3,-5)$ are afixul $-3-5i$; punctul $D(4,-6)$ are afixul $4-6i$. Punctul $E$ stă pe axa orizontală, la $5$ unități de origine: afixul lui este numărul real $5$.

2. Pe ce linii stau numerele cu o parte nulă?

Axa orizontală a reperului se numește axa reală: pe ea stau imaginile numerelor cu partea imaginară zero, adică ale numerelor reale. Axa verticală se numește axa imaginară: pe ea stau imaginile numerelor pur imaginare, cu partea reală zero. Originea are afixul $0$, iar punctele $(1,0)$ și $(0,1)$ au afixele $1$ și $i$, cele două „unități” ale planului complex.

Un număr care nu stă pe nicio axă are ambele părți nenule și ajunge într-un cadran după semnele lor:

De exemplu, $-11+4i$ are imaginea în cadranul II, iar $10-7i$ în cadranul IV. Un punct de pe o axă nu aparține niciunui cadran. Pentru un rezultat de calcul, semnele se citesc din forma algebrică: $(8+3i)(-1+i)=-8+8i-3i+3i^2=-11+5i$ are imaginea tot în cadranul II.

3. Cum citești afixul unui punct de pe desen?

Citirea se face în doi pași, în ordinea fixă din clasa a IX-a: întâi abscisa, pe axa reală, apoi ordonata, pe axa imaginară. Abscisa devine partea reală, ordonata devine coeficientul lui $i$.

Două detalii fac diferența. Primul: o ordonată egală cu $1$ sau cu $-1$ dă termenul $i$, respectiv $-i$; coeficientul nu se mai scrie, dar $i$ rămâne în afix. Al doilea: citirea coordonatelor ține cont de gradații exact ca în lecția despre reperul cartezian, deci nu presupune că o diviziune e o unitate înainte să verifici.

Pe Figura A, punctul $E$ are ordonata zero, deci afixul lui este numărul real $5$, fără termen în $i$.

4. Ce simetrie ascunde conjugatul?

Numărul $z=a+bi$ are imaginea $M(a,b)$, iar conjugatul $\bar{z}=a-bi$ are imaginea $M^{\prime }(a,-b)$: aceeași abscisă, ordonata cu semnul schimbat. Două puncte cu această proprietate sunt simetrice față de axa orizontală.

Imaginea conjugatului $\bar{z}$ este simetrica imaginii lui $z$ față de axa reală.

Figura B arată punctul $M$ de afix $3+5i$ și punctul $M^{\prime }$ de afix $3-5i$. Segmentul $M{M}^{\prime }$ este vertical, deci perpendicular pe axa reală, iar axa reală îl taie în mijlocul lui, în punctul $(3,0)$. Punctul $M^{\prime }$ se obține din $M$ prin simetria față de axa reală.

Faptul algebric din lecția despre conjugat, „se schimbă semnul părții imaginare”, și faptul geometric, „se reflectă simetric față de axa reală”, sunt aceeași informație, spusă în două limbi.

5. Cum măsori pe desen cât de departe e un număr de zero?

Distanța de la originea $O(0,0)$ la punctul $M(a,b)$ se calculează cu formula din clasa a IX-a: $OM=\sqrt{(a-0{)}^2+(b-0{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}$. Aceasta este exact formula modulului.

Modulul numărului complex $z$ este distanța de la origine la imaginea geometrică a lui $z$: $|z|=OM$.

Figura C arată punctul $M$ de afix $-4+7i$, segmentul $OM$ și cele două segmente punctate care duc de la $M$ la axe. Ele formează un triunghi dreptunghic cu catetele $4$ și $7$, iar ipotenuza este $OM=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$. Este triunghiul din lecția despre modul, așezat acum în planul complex. Semnul coordonatelor nu contează, pentru că în formulă intră pătratele lor; de aceea un număr și conjugatul lui, simetrici față de axa reală, sunt la aceeași distanță de origine.

6. Ce condiții pune un parametru pe poziția unui punct?

Când afixul depinde de un parametru real, poziția punctului se traduce în condiții pe părți. „Pe axa imaginară” înseamnă partea reală zero; „pe axa reală” înseamnă partea imaginară zero; „într-un cadran” înseamnă două inegalități, câte una pentru fiecare parte.

Pentru $z=(m-3)+(2m+4)i$: imaginea este pe axa imaginară când $m-3=0$, adică $m=3$, iar atunci $z=10i$, punctul $(0,10)$. Imaginea este pe axa reală când $2m+4=0$, adică $m=-2$, iar atunci $z=-5$, punctul $(-5,0)$. Pentru fiecare valoare găsită calculezi afixul, ca să vezi unde a ajuns concret punctul.

7. Unde folosesc științele planul complex?

În chimie, multe molecule plane au o axă de simetrie. Dacă așezi axa reală de-a lungul acestei axe și originea într-un atom de pe ea, atomii care își corespund prin simetrie au afixe conjugate. În biologie, pozițiile succesive ale unei particule văzute la microscop se scriu ca afixe, iar distanța față de punctul de plecare este un modul. Reticulul microscopului joacă rolul reperului: originea e poziția de start, axa reală arată deplasarea spre dreapta, iar axa imaginară deplasarea în sus. Unitatea de măsură, de obicei micrometrul, se scrie o singură dată, lângă reper, iar afixele rămân numere simple.

Programa recomandă și instrumentele digitale de vizualizare: o aplicație de geometrie dinamică îți desenează imediat punctul de afix $a+bi$ și îți permite să modifici părțile și să urmărești punctul. Operațiile cu numere complexe privite ca mișcări în plan sunt tema suplimentului despre interpretarea geometrică a operațiilor cu numere complexe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la număr la punct și înapoi

a) Precizați imaginile geometrice ale numerelor $9-7i$, $-8$, $\frac{9}{2}i$ și $-7-2i$ și poziția fiecăreia. b) Scrieți afixul punctului $P(-10,1)$.

Rezolvare. a) $9-7i$ are imaginea $(9,-7)$, în cadranul IV. Numărul $-8$ este real, cu imaginea $(-8,0)$ pe axa reală. Numărul $\frac{9}{2}i$ este pur imaginar, cu imaginea $\left(0,\frac{9}{2}\right)$ pe axa imaginară, deasupra originii. Numărul $-7-2i$ are imaginea $(-7,-2)$, în cadranul III.

b) Abscisa devine partea reală, ordonata coeficientul lui $i$: afixul lui $P$ este $-10+i$. Ordonata $1$ dă termenul $1\cdot i$, pe care îl scriem simplu $i$.

Exemplul 2 — Citește figura

În Figura D, punctele $K$, $L$, $N$ și $R$ sunt așezate pe un caroiaj cu pasul $1$. Scrieți afixele lor și afixele conjugatelor.

Rezolvare. Citim coordonatele, întâi abscisa: $K(-7,3)$, $L(5,-7)$, $N(-5,-1)$ și $R(3,0)$. Afixele sunt $-7+3i$, $5-7i$, $-5-i$ și $3$. Conjugatele schimbă semnul părții imaginare: $-7-3i$, $5+7i$, $-5+i$, iar numărul real $3$ rămâne $3$.

Pe desen, imaginile conjugatelor sunt simetricele punctelor față de axa reală; punctul $R$, aflat chiar pe axă, rămâne pe loc. Pentru control, verifică pe caroiaj că fiecare punct și simetricul lui au aceeași abscisă.

Exemplul 3 — Cadranul unui cât

Determinați cadranul în care stă punctul numărului $z=\frac{-4+19i}{5+i}$.

Rezolvare. Aducem câtul la forma algebrică. Amplificăm cu $5-i$; numitorul devine $26$, iar numărătorul $(-4+19i)(5-i)=-20+4i+95i-19i^2=-1+99i$. Deci $z=-\frac{1}{26}+\frac{99}{26}i$.

Semnele părților, minus la cea reală și plus la cea imaginară, trimit punctul în cadranul II. El este însă foarte aproape de axa imaginară: abscisa lui este $-\frac{1}{26}$. Pe o schiță făcută din ochi l-ai fi putut pune pe axă sau chiar în cadranul I; calculul exact decide.

Exemplul 4 — Un punct și simetricul lui

Fie $z=-1+6i$, iar $M$ și $N$ imaginile lui $z$ și $\bar{z}$. Determinați coordonatele lui $M$ și $N$, arătați că $OM=ON$ și scrieți afixul punctului în care segmentul $MN$ taie axa reală.

Rezolvare. $M(-1,6)$, iar $\bar{z}=-1-6i$, deci $N(-1,-6)$. Punctele au aceeași abscisă, deci segmentul $MN$ este vertical și taie axa reală în punctul $(-1,0)$, de afix $-1$, adică partea reală a lui $z$.

Distanțele la origine sunt modulele: $OM=|z|=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$ și $ON=|\bar{z}|=\sqrt{37}$. Egalitatea era de așteptat, pentru că $N$ este simetricul lui $M$ față de axa reală, iar axa trece prin origine.

Exemplul 5 — Molecula de ozon în planul complex

Molecula de ozon, ${\mathrm{O}}_3$, este plană și îndoită. Așezăm atomul de oxigen din mijloc în origine, iar axa reală de-a lungul axei de simetrie a moleculei, unitatea fiind picometrul. Unul dintre atomii de la capete are, cu coordonatele rotunjite, afixul $67+109i$. Determinați afixul celuilalt atom de la capăt și lungimea legăturii dintre atomul din mijloc și un atom de la capăt, apoi explicați de ce cele două legături au aceeași lungime.

Rezolvare. Atomii de la capete își corespund prin simetria față de axa reală, deci al doilea are afixul conjugat, $67-109i$. Lungimea legăturii este distanța de la origine la imaginea lui $67+109i$, adică modulul: $\sqrt{4489+11881}=\sqrt{16370}\approx 127,9$ picometri. A doua legătură are aceeași lungime, pentru că un număr și conjugatul lui au același modul: $|67-109i|=|67+109i|$.

Tabelele de chimie dau pentru legătura din ozon aproximativ $128$ picometri; micile diferențe vin din rotunjirea coordonatelor. Modelul tratează atomii ca puncte și ignoră vibrația moleculei, care face ca distanțele să oscileze în jurul acestor valori.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie numărul complex $z=i(10-7i)-3$.

a) Arătați că $z=4+10i$.

b) Determinați coordonatele imaginilor geometrice ale numerelor $z$ și $\bar{z}$.

c) Calculați distanța de la origine la imaginea geometrică a lui $z$.

Rezolvare. a) $i(10-7i)=10i-7i^2=7+10i$, deci $z=7+10i-3=4+10i$.

b) Imaginea lui $z$ este punctul $(4,10)$, iar $\bar{z}=4-10i$ are imaginea $(4,-10)$.

c) Distanța este modulul: $|4+10i|=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$.

Să exersăm

Desenează reperul ori de câte ori te ajută, scrie coordonatele în ordinea (abscisă, ordonată) și adu fiecare rezultat de calcul la forma algebrică înainte de a citi poziția.

1. Reprezintă în planul complex numerele $8$, $6-7i$, $-9-5i$, $3+9i$, $-\frac{7}{2}i$ și $-8+7i$ și precizează unde se află fiecare punct: într-un cadran sau pe o axă.

2. Figura E arată patru puncte pe un caroiaj cu pasul $1$. Scrie afixele punctelor $E$, $F$, $G$ și $H$.

3. Scrie afixul simetricului punctului $P(-6,9)$ față de axa reală și explică legătura cu afixul lui $P$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă imaginea geometrică a lui $z$ se află în cadranul II, atunci imaginea lui $\bar{z}$ se află în cadranul III.”

5. Precizează cadranul imaginii geometrice a fiecărui număr: a) $(7-3i)(2+5i)$; b) $i(-2+9i)$.

6. Calculează distanța de la origine la imaginile geometrice ale numerelor $-11-11i$ și $60-11i$.

7. Ordonează imaginile numerelor $4-8i$, $-5+6i$ și $1-8i$ după distanța lor la origine, de la cea mai mică la cea mai mare.

8. Punctul $M$ are afixul $z=4+15i$. Scrie afixul simetricului $M^{\prime }$ față de axa reală și verifică faptul că $OM=O{M}^{\prime }$.

9. Determină numerele reale $m$ pentru care imaginea numărului $z=(m^2-1)+(m+4)i$ se află în cadranul II.

10. Determină numărul real $m$ pentru care imaginea numărului $z=(2m+1)+(m+5)i$ are abscisa egală cu ordonata și scrie afixul obținut.

11. Determină numărul real $a>0$ pentru care imaginea numărului $a+2ai$ se află la distanța $5$ de origine.

12. Punctul $M$, imaginea lui $z$, se află în cadranul I, are abscisa $8$ și $OM=\sqrt{233}$. Determină $z$ și afixul simetricului lui $M$ față de axa reală.

13. (Problemă aplicată.) Pe reticulul unui microscop, cu axa reală spre dreapta și unitatea de $1$ micrometru, un bob de polen pleacă din origine și, după un minut, ajunge în punctul de afix $5-7i$. În ce cadran se află noua poziție și la ce distanță de punctul de plecare a ajuns bobul? Rotunjește rezultatul la sutimi.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie numărul complex $z=(2+5i)(i-1)$. a) Arătați că $z=-7-3i$. b) Precizați cadranul în care se află imaginea geometrică a lui $\bar{z}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie numărul complex $z=\frac{117}{9+6i}$. Determinați distanța de la origine la imaginea geometrică a lui $z$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care imaginea geometrică a numărului $(x+2)+(y-1)i$ este punctul $M(-1,6)$.

17. Determină numerele reale $m$ pentru care imaginea numărului $z=(m-2)+(m^2-16)i$ se află pe axa reală și calculează, pentru fiecare valoare, distanța de la această imagine la origine.

18. (Provocare.) Determină numerele complexe nenule $z$ pentru care imaginile lui $z$ și $z^2$ se află amândouă pe axa reală, apoi pe cele pentru care se află amândouă pe axa imaginară.

Răspunsuri și explicații

1. Numărul real $8$ dă punctul $(8,0)$, de pe axa reală. Pentru $6-7i\to (6,-7)$ semnele sunt plus și minus: cadranul IV. Punctul $(-9,-5)$ al lui $-9-5i$ are ambele coordonate negative, deci stă în cadranul III, iar $(3,9)$, al lui $3+9i$, în cadranul I. Numărul $-\frac{7}{2}i$ are imaginea $\left(0,-\frac{7}{2}\right)$, pe axa imaginară, sub origine. Ultimul, $-8+7i\to (-8,7)$, ajunge în cadranul II.

2. Din figură: $E(5,6)$, $F(-7,-4)$, $G(7,0)$ și $H(-4,6)$. Afixele sunt $5+6i$, $-7-4i$, $7$ și $-4+6i$. Punctul $G$ e pe axa reală, deci afixul lui nu conține $i$.

3. Simetricul față de axa reală are aceeași abscisă și ordonata opusă: $P^{\prime }(-6,-9)$, cu afixul $-6-9i$. Afixul lui $P$ este $-6+9i$, iar $-6-9i$ este conjugatul lui.

4. Adevărat. Imaginea lui $z=a+bi$ este în cadranul II când $a<0$ și $b>0$. Conjugatul are părțile $a<0$ și $-b<0$, deci imaginea lui are ambele coordonate negative și se află în cadranul III.

5. a) $(7-3i)(2+5i)=14+35i-6i-15i^2=29+29i$, cu ambele părți pozitive: cadranul I. b) $i(-2+9i)=-2i+9i^2=-9-2i$, cu ambele părți negative: cadranul III.

6. Distanțele sunt modulele: $|-11-11i|=\sqrt{121+121}=\sqrt{242}=11\sqrt{2}$ și $|60-11i|=\sqrt{3600+121}=\sqrt{3721}=61$. A doua distanță este un număr întreg, pentru că $3721=61^2$.

7. Distanțele la origine sunt modulele: $|4-8i|=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$, $|-5+6i|=\sqrt{61}$ și $|1-8i|=\sqrt{65}$. Cum $61<65<80$, ordinea este: imaginea lui $-5+6i$, apoi a lui $1-8i$, apoi a lui $4-8i$.

8. $M^{\prime }$ are afixul $\bar{z}=4-15i$, adică $M^{\prime }(4,-15)$. Distanțele la origine sunt modulele: $OM=\sqrt{16+225}=\sqrt{241}$ și $O{M}^{\prime }=|4-15i|=\sqrt{241}$, deci $OM=O{M}^{\prime }$.

9. Cadranul II cere partea reală negativă și partea imaginară pozitivă: $m^2-1<0$ și $m+4>0$. Prima inegalitate dă $-1<m<1$, a doua $m>-4$. Ambele au loc pentru $m\in (-1,1)$.

10. Abscisa este $2m+1$, ordonata $m+5$. Din $2m+1=m+5$ rezultă $m=4$, iar afixul este $9+9i$.

11. Distanța este modulul: $|a+2ai|=\sqrt{a^2+4a^2}=\sqrt{5a^2}=a\sqrt{5}$, pentru $a>0$. Din $a\sqrt{5}=5$ rezultă $a=\sqrt{5}$.

12. $M(8,b)$, cu $b>0$ pentru că $M$ e în cadranul I. Din $O{M}^2=64+b^2=233$ rezultă $b^2=169$, deci $b=13$ și $z=8+13i$. Simetricul lui $M$ față de axa reală are afixul $\bar{z}=8-13i$.

13. Partea reală e pozitivă, iar cea imaginară negativă, deci poziția este în cadranul IV: bobul s-a deplasat spre dreapta și în jos. Distanța față de origine este $|5-7i|=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\approx 8,60$ micrometri. Distanța în linie dreaptă nu spune nimic despre drumul real, care a fost în zigzag și mai lung.

14. a) $z=(2+5i)(i-1)=2i-2+5i^2-5i=-7-3i$. b) $\bar{z}=-7+3i$, cu partea reală negativă și partea imaginară pozitivă; punctul lui se află în cadranul II.

15. Amplificăm cu $9-6i$; numitorul este $81+36=117$, deci $z=\frac{117(9-6i)}{117}=9-6i$. Distanța este $|9-6i|=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$.

16. Imaginea numărului este punctul $(x+2,y-1)$. Egalând cu $(-1,6)$: $x+2=-1$ și $y-1=6$, deci $x=-3$ și $y=7$.

17. Pe axa reală partea imaginară este zero: $m^2-16=0$, deci $m=4$ sau $m=-4$. Pentru $m=4$ numărul este $z=2$, cu imaginea $(2,0)$ la distanța $2$ de origine; pentru $m=-4$ numărul este $z=-6$, cu imaginea $(-6,0)$ la distanța $6$ de origine. Pentru un număr real, distanța la origine este chiar modulul lui real.

18. Dacă imaginea lui $z$ este pe axa reală, $z$ este un număr real nenul, iar $z^2$ este tot real, deci ambele imagini sunt pe axa reală: prima cerință e îndeplinită exact de numerele reale nenule. Dacă imaginea lui $z$ este pe axa imaginară, $z=bi$ cu $b\ne 0$, iar $z^2=-b^2$ este real, deci imaginea lui $z^2$ stă pe axa reală, nu pe cea imaginară. A doua cerință nu e îndeplinită de niciun număr. De exemplu, pentru $z=3i$ avem $z^2=-9$, cu imaginea $(-9,0)$.

De reținut

• Imaginea geometrică a lui $z=a+bi$ este punctul $M(a,b)$, iar $z$ este afixul lui $M$; fiecare număr are un singur punct și fiecare punct un singur afix.
• Numerele reale stau pe axa reală (orizontală), cele pur imaginare pe axa imaginară (verticală); un punct de pe axă nu aparține niciunui cadran.
• Poziția se traduce în condiții pe părți: pe axa imaginară $\mathrm{Re}z=0$, pe axa reală $\mathrm{Im}z=0$, într-un cadran două inegalități.
• Imaginea conjugatului $\bar{z}$ este simetrica imaginii lui $z$ față de axa reală.
• Modulul $|z|$ este distanța de la origine la imaginea lui $z$, calculată cu formula distanței din clasa a IX-a.

Greșeli frecvente

• Oglindești conjugatul în axa greșită. Conjugatul schimbă semnul părții imaginare, deci ordonata: simetria este față de axa reală, cea orizontală. Punctul $(-a,b)$, simetric față de axa imaginară, nu este imaginea conjugatului: acolo s-a schimbat semnul părții reale, nu al celei imaginare.
• Pierzi $i$ când ordonata este $1$ sau $-1$. Pentru punctul $P(9,-1)$ scrii „$9-1=8$”, ca și cum ai aduna coordonatele. Afixul corect este $9-i$: abscisa dă partea reală, iar ordonata $-1$ dă termenul $-i$, care nu se adună cu partea reală.
• Rotunjești o parte înainte să decizi poziția. Numărul $-\frac{1}{26}+\frac{99}{26}i$ nu stă pe axa imaginară, deși partea lui reală e foarte mică: rotunjit „la vedere” la $4i$, punctul ar fi pus greșit pe axă. Poziția se hotărăște pe valorile exacte.
• Crezi că aceeași parte reală înseamnă aceeași distanță la origine. Punctele $(3,1)$ și $(3,9)$ au aceeași abscisă, dar distanțele lor la origine sunt $\sqrt{10}$ și $\sqrt{90}$. Distanța depinde de ambele coordonate, prin suma pătratelor lor.
• Pui o singură condiție pentru un cadran. „În cadranul II” cere două inegalități, câte una pentru fiecare parte; dacă o scrii doar pe prima, accepți și puncte din cadranul III sau de pe axe.

Aplică acasă

1. Pe o foaie de matematică, desenează un reper și colorează fiecare cadran cu altă culoare. Alege zece numere complexe din rezultatele exercițiilor 5 și 14 și din exemplele lecției și, înainte să le desenezi, prezice pe baza semnelor părților culoarea în care va cădea fiecare punct. Desenează apoi punctele și numără câte predicții au fost corecte; pentru cele greșite, notează unde ai încurcat semnele.
2. Într-o aplicație de geometrie dinamică, creează două glisoare $a$ și $b$, punctul de afix $a+bi$ și punctul de afix $a-bi$. Mișcă glisoarele și urmărește cum al doilea punct rămâne mereu simetricul primului față de axa reală. Notează ce se întâmplă cu cele două puncte când $b=0$.
3. Joacă cu un coleg „ținte ascunse” în planul complex: fiecare desenează, pe o foaie pe care celălalt nu o vede, trei puncte cu coordonate întregi între $-5$ și $5$. Pe rând, numiți câte un afix; celălalt răspunde „lovit” sau spune în ce cadran ar trebui să cauți. Câștigă cine găsește primul toate cele trei puncte.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă calculul cu numere complexe de desen. Nu introduce formule noi: partea reală și partea imaginară devin coordonate, conjugatul devine o simetrie față de axa reală, iar modulul devine o distanță la origine, calculată cu formula din clasa a IX-a. Vocabularul care trebuie fixat este precis: imaginea geometrică este punctul asociat unui număr, afixul este numărul asociat unui punct.

Lecția se oprește intenționat la poziția unui singur număr și a conjugatului lui. Nu calculează distanța dintre imaginile a două numere, nici pe cea dintre imaginile lui $z$ și $\bar{z}$, care ar fi $|z-\bar{z}|$, nu descrie mulțimi de puncte prin condiții și nu interpretează operațiile ca mișcări în plan: acestea nu fac parte din programa de bază de științe ale naturii și sunt tratate în suplimentul pentru bacalaureatul M2. Întrebări bune de control: „Care este afixul punctului $(0,-2)$?”; „Unde se află imaginea conjugatului unui număr din cadranul IV?”; „Ce condiție pune pe partea imaginară un punct de pe axa reală?”. Semne că elevul a înțeles: citește corect scara figurii, nu confundă axele și păstrează termenul în $i$ chiar când coeficientul lui este $1$. O activitate scurtă și utilă este dictarea: profesorul spune afixe, elevii marchează punctele pe un caroiaj, apoi rolurile se inversează și elevii citesc afixele unor puncte desenate de profesor.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul „Numere complexe” numește forma algebrică, conjugatul, modulul și operațiile, iar competența X.CS.6.4 recomandă instrumente digitale de vizualizare a numerelor complexe. Planul complex nu apare ca temă separată în lista de conținuturi. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care cuprinde numerele complexe sub formă algebrică și interpretarea geometrică a adunării, a scăderii și a înmulțirii cu un număr real; reprezentarea unui număr în plan este baza acestei interpretări, de aceea exercițiile marcate poartă „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. Varianta-model din 2026 nu conține o cerință cu planul complex.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: planul complex, imaginea geometrică și afixul, mate-info (M1). Lecția următoare a traseului este ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ la M2, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul M2 despre numerele complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre planul complex?

Varianta M2 se oprește la poziția unui singur număr: imaginea, afixul, cadranul, conjugatul ca simetric și modulul ca distanță la origine. Nu descrie mulțimi de puncte prin condiții, nu privește numerele ca vectori și nu tratează înmulțirea cu $i$ ca rotație. Adaugă în schimb citirea afixelor de pe figuri și aplicații din chimie și biologie.

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea planul complex?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 cere interpretarea geometrică a unor operații cu numere complexe, care pornește de la imaginea în plan. În varianta-model pentru 2026, numerele complexe apar în prima cerință a Subiectului I, ca un calcul, fără desen. Pentru MAT_P2 din 2030, numerele complexe țin de domeniul „Algebră”, fără ca planul complex să fie numit separat.

De ce axele se notează uneori Re și Im?

Pentru a aminti ce număr citești pe fiecare axă: pe cea orizontală partea reală, pe cea verticală partea imaginară. Desenul este același reper cartezian din clasa a IX-a, cu altă etichetă la axe. În lucrări poți folosi oricare notație, cu condiția să spui că planul este planul complex.

Cum verific un afix cu o aplicație digitală?

În majoritatea aplicațiilor de geometrie dinamică scrii numărul, de exemplu 3 + 2i, iar aplicația desenează punctul corespunzător. Compară coordonatele afișate cu partea reală și partea imaginară. Aplicația poate calcula și distanța la origine, pe care o compari cu modulul găsit de mână, scris exact.

Ce legătură are planul complex cu reperul cartezian din clasa a IX-a?

Sunt același plan, cu aceleași axe, cadrane și formule de distanță. Diferența este că fiecărui punct îi atașăm acum un număr complex. De aceea tot ce ai învățat în clasa a IX-a despre coordonate, simetrii față de axe și distanțe se poate folosi direct pentru numerele complexe.

De ce distanța până la origine nu depinde de cadran?

Pentru că în formula distanței intră pătratele coordonatelor, iar pătratul nu ține seama de semn. Punctele obținute unul din altul prin schimbarea semnului uneia sau ambelor coordonate sunt la aceeași distanță de origine; de exemplu, un număr și conjugatul lui au același modul.