Planul complex. Afixul: pe scurt

Fiecărui număr complex $z=a+bi$ îi asociem punctul $M(a,b)$, numit imaginea geometrică a lui $z$; reciproc, $z$ este afixul lui $M$. Planul astfel înzestrat se numește planul complex (sau planul lui Gauss). Axa $Ox$ se numește axă reală (aici stau imaginile numerelor reale), iar $Oy$ axă imaginară (aici stau imaginile numerelor pur imaginare).

Ca să afli cadranul unui produs sau al unui cât, aduci întâi numărul la forma algebrică și abia apoi citești semnele — cadranele nu se moștenesc de la factori.

Modulul unui număr are un sens geometric direct: $|z|$ este distanța de la origine până la imaginea lui. Numerele cu același modul au imaginile pe un cerc centrat în $O$.

Cele trei simetrii de bază: $\bar{z}$ este simetricul lui $z$ față de axa reală, $-z$ față de origine, iar $-\bar{z}$ față de axa imaginară. Mulțimile de puncte se descriu notând $z=x+yi$ și traducând condiția într-o relație între $x$ și $y$: $\mathrm{Re}z=c$ dă o dreaptă verticală, $\mathrm{Im}z=c$ una orizontală, $|z|=r$ un cerc.

Exerciții din această mini-lecție

1. În ce cadran se află imaginea geometrică a numărului $(-1-i)(2-i)$?

   • a) cadranul III
   • b) cadranul I
   • c) cadranul II
   • d) cadranul IV
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) cadranul III

   $(-1-i)(2-i)=-2+i-2i+i^2=-3-i$. Partea reală și cea imaginară sunt ambele negative, deci imaginea se află în cadranul III.

2. Care este simetricul față de axa reală al punctului care reprezintă $z=-5+9i$?

   • a) $(5,9)$
   • b) $(-5,-9)$
   • c) $(5,-9)$
   • d) $(-5,9)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $(-5,-9)$

   Simetricul față de axa reală este imaginea conjugatului: $\overline{-5+9i}=-5-9i$, cu imaginea $(-5,-9)$.

3. Ce mulțime de puncte descrie condiția $\mathrm{Im}z=4$?

   • a) cercul de rază $4$ centrat în $O$
   • b) dreapta verticală $x=4$
   • c) dreapta orizontală $y=4$
   • d) semiplanul $y>4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) dreapta orizontală $y=4$

   Cu $z=x+yi$, condiția devine $y=4$: o dreaptă orizontală, paralelă cu axa reală, la $4$ unități deasupra ei.