Care dintre tripletele de puncte nu determină un plan?

$$(1,1,1)$$, $$(3,4,0)$$, $$(5,7,-1)$$

$$(1,0,2)$$, $$(3,1,2)$$, $$(0,4,5)$$

$$(0,0,0)$$, $$(1,2,3)$$, $$(3,2,1)$$

Când sunt coliniare trei puncte din spațiu?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Planul prin trei puncte

Scazi coordonatele unui punct din ale celorlalte două și compari diferențele: punctele sunt coliniare exact când cele două triplete obținute sunt proporționale. Exemplu: $A (1, 2, 3)$ , $B (3, 5, 4)$ , $C (7, 11, 6)$ dau $B - A = (2, 3, 1)$ și $C - A = (6, 9, 3) = 3 \cdot (2, 3, 1)$ , deci sunt coliniare și nu fixează un plan. Pentru $D (7, 11, 5)$ , $D - A = (6, 9, 2)$ nu mai e multiplu al lui $(2, 3, 1)$ , așa că $A$ , $B$ , $D$ determină un singur plan.

Trei vârfuri care nu stau aliniate fixează o singură suprafață plană. Cuvântul necoliniare nu e pus de formă: pe o dreaptă se pot sprijini oricâte plane, rotite unul față de altul, deci enunțul n-ar mai alege nimic.

Sunt două drumuri către ecuație. Primul folosește determinantul de ordinul al patrulea scris cu coordonatele celor trei vârfuri, ale unui punct mobil și cu o coloană de unu; se dezvoltă pe linia de sus, iar semnele alternează. Al doilea pleacă de la forma generală și cere ca fiecare vârf s-o verifice, ceea ce dă trei egalități pentru patru coeficienți. Fixezi atunci comod numărul liber — cel mai bine un multiplu al datelor din enunț —, ca împărțirile să iasă întregi. Dacă unul dintre vârfuri e chiar originea, acel număr e silit să fie zero, iar normalizarea cade pe alt coeficient.

Că sistemul are o infinitate de soluții nu e o piedică: toate duc la aceeași suprafață.

Semnalul de alarmă e unul singur și acoperă amândouă situațiile proaste — îți ies toți coeficienții zero, fie pentru că ai greșit, fie pentru că vârfurile erau aliniate.

Proba cere toate trei înlocuirile: cea comodă, cu două coordonate nule, e trecută și de rezolvări false.

De reținut

coliniare exact când diferențele $B - A$ și $C - A$ sunt proporționale
trei puncte necoliniare determină exact un plan
un coeficient nul în ecuație înseamnă plan paralel cu axa acelei variabile

Greșeala tipică

Pentru coliniaritatea în spațiu se folosește determinantul de ordinul $3$ din geometria plană, cu o coloană de $1$ ; în spațiu fiecare punct are trei coordonate, așa că se compară diferențele, care trebuie să fie proporționale.

Exerciții din această mini-lecție

Care este ecuația planului determinat de $A (0, 0, 6)$ , $B (4, 0, 0)$ și $C (0, 3, 0)$ ?
- a) $3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0$
- b) $4 x + 3 y + 2 z - 12 = 0$
- c) $3 x + 4 y + 2 z - 24 = 0$
- d) $2 x + 3 y + 4 z - 12 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0$

Punem condiția ca fiecare punct să verifice $a x + b y + cz + d = 0$ : din $A$ avem $6 c + d = 0$ , din $B$ avem $4 a + d = 0$ , din $C$ avem $3 b + d = 0$ . Cu $d = - 12$ obținem $c = 2$ , $a = 3$ , $b = 4$ , deci $3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0$ . Verificare pe toate trei: $12 - 12 = 0$ de fiecare dată. În b) punctul $B$ dă $16 - 12 = 4$ , în c) punctul $A$ dă $12 - 24 = - 12$ , iar în d) punctul $A$ dă $24 - 12 = 12$ .
Care dintre tripletele de puncte nu determină un plan?
- a) $(2, 0, 0)$ , $(0, 5, 0)$ , $(0, 0, 1)$
- b) $(1, 1, 1)$ , $(3, 4, 0)$ , $(5, 7, - 1)$
- c) $(1, 0, 2)$ , $(3, 1, 2)$ , $(0, 4, 5)$
- d) $(0, 0, 0)$ , $(1, 2, 3)$ , $(3, 2, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(1, 1, 1)$ , $(3, 4, 0)$ , $(5, 7, - 1)$

La b), trecerea de la primul punct la al doilea înseamnă $+ 2$ , $+ 3$ , $- 1$ , iar de la al doilea la al treilea exact aceleași variații: punctele sunt coliniare, deci prin ele trec o infinitate de plane. La celelalte triplete variațiile nu sunt proporționale — de pildă la a) avem $(- 2, 5, 0)$ și $(- 2, 0, 1)$ —, deci fiecare determină câte un plan.
Ecuația planului care trece prin originea reperului, prin $A (2, - 1, 0)$ și prin $B (0, 3, 1)$ este:
- a) $x + 2 y - 6 z = 0$
- b) $x + 2 y + 6 z = 0$
- c) $2 x - y + 3 z = 0$
- d) $x + 2 y - 6 z - 1 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x + 2 y - 6 z = 0$

Originea aparține planului, deci $d = 0$ . Din $A$ : $2 a - b = 0$ ; din $B$ : $3 b + c = 0$ . Luând $a = 1$ obținem $b = 2$ și $c = - 6$ , deci $x + 2 y - 6 z = 0$ . Control: $2 - 2 = 0$ pentru $A$ și $6 - 6 = 0$ pentru $B$ . În b) punctul $B$ dă $6 + 6 = 12$ , în c) punctul $A$ dă $4 + 1 = 5$ , iar d) nici nu trece prin origine, fiindcă termenul ei liber e nenul.

Întrebări conexe

Cum aflu planul prin trei puncte așezate pe axe?

Pentru $(2, 0, 0)$ , $(0, 5, 0)$ , $(0, 0, 10)$ cauți $a x + b y + cz + d = 0$ și alegi $d = - 10$ : rezultă $a = 5$ , $b = 2$ , $c = 1$ . Planul este $5 x + 2 y + z - 10 = 0$ ; fiecare punct dă $10 - 10 = 0$ . Alegerea $d = - 10$ face ca împărțirile să iasă întregi, iar același procedeu merge pentru orice trei tăieturi nenule cu axele.

Ce se întâmplă cu ecuația planului dacă punctele sunt coliniare?

Sistemul pentru $a$ , $b$ , $c$ , $d$ are prea puține condiții independente, iar determinantul scris cu punctul $(x, y, z)$ se anulează pentru orice $x$ , $y$ , $z$ . Nu rezultă nicio ecuație anume, fiindcă prin dreapta punctelor trec o infinitate de plane.

Cum aflu planul prin două puncte, paralel cu axa $O z$ ?

Un astfel de plan nu conține $z$ , deci are forma $a x + b y + d = 0$ . Pentru $A (1, 2, 0)$ și $B (3, - 2, 5)$ : $a + 2 b + d = 0$ și $3 a - 2 b + d = 0$ , de unde $a = 2 b$ . Cu $b = 1$ se obține $2 x + y - 4 = 0$ ; verificare în $B$ : $6 - 2 - 4 = 0$ .

Cum aflu planul unui panou solar din trei puncte măsurate?

Iei trei colțuri, de exemplu $(0, 0, 1)$ , $(2, 0, 1)$ și $(0, 2, 2)$ , în metri, și impui ca fiecare să verifice ecuația. Rezultă $y - 2 z + 2 = 0$ : panoul e paralel cu axa $O x$ și urcă $1$ m la fiecare $2$ m parcurși pe direcția $O y$ .

Ce plan trece prin trei vârfuri ale unui cub?

La cubul cu latura $2$ și un vârf în origine, vârfurile $(2, 0, 0)$ , $(0, 2, 0)$ și $(0, 0, 2)$ se află în planul $x + y + z = 2$ . Vârful opus originii, $(2, 2, 2)$ , dă $6$ , deci nu e în acest plan.

Oamenii mai întreabă și: coliniaritatea a trei puncte în spațiu · cum arăt că trei puncte din spațiu sunt pe aceeași dreaptă · trei puncte coliniare în reperul Oxyz · puncte necoliniare în spațiu