Planul determinat de trei puncte necoliniare (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Un taburet cu trei picioare nu se clatină niciodată, oricât de denivelată ar fi podeaua, în timp ce unul cu patru picioare se clatină îndată ce podeaua nu este perfect netedă. Explicația nu ține de tâmplărie, ci de geometrie: trei puncte care nu stau pe aceeași dreaptă determină un plan și numai unul, iar al patrulea punct are toate șansele să nu fie în el. Aceeași proprietate stă la temelia lecției de față, din geometria analitică în spațiu de clasa a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2): dacă știi coordonatele a trei puncte necoliniare, ecuația planului lor este complet determinată și se poate scrie prin calcul, fără desen. Tema se dă la bacalaureatul M2 din 2030, proba MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Capitolul este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025, și ajunge la clasă în anul școlar 2029–2030. Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Forma ecuației unui plan și citirea coeficienților ei le găsești la Ecuația generală a planului; aici învățăm cum se obține acea ecuație din trei puncte date, pe două căi diferite.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii ecuația unui plan prin trei puncte necoliniare, folosind determinantul de ordinul patru.
Vei ști să rezolvi aceeași cerință cu un sistem în necunoscutele $a$ , $b$ , $c$ , $d$ și să alegi singur normalizarea.
Vei ști să compari cele două căi și să o alegi pe cea mai scurtă pentru datele pe care le ai.
Vei ști să recunoști cazul punctelor coliniare și să explici de ce atunci ecuația nu se poate scrie.
Vei ști să verifici rezultatul înlocuind toate cele trei puncte, nu doar unul.
Vei ști să construiești planul unei suprafețe din trei măsurători și să prevezi cu el o a patra valoare.

Hai să descoperim împreună

1. De ce trei puncte și de ce necoliniare?

Pornim de la ce știm deja. Ecuația unui plan are patru coeficienți, $a x + b y + cz + d = 0$ , dar dintre ei numai trei sunt independenți: împărțind toată egalitatea la un coeficient nenul, unul devine $1$ . Ca să fixezi un plan ai nevoie, așadar, de trei informații — iar fiecare punct impus îți dă exact una, sub forma unei egalități pe care coeficienții trebuie s-o verifice.

Trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul, iar ecuația lui este acea egalitate de gradul întâi $a x + b y + cz + d = 0$ , cu $a$ , $b$ , $c$ nu toate nule, pe care o verifică toate cele trei puncte; două ecuații obținute astfel diferă cel mult printr-un factor nenul, deci descriu același plan.

Cuvântul necoliniare nu e o formalitate. Trei puncte așezate pe aceeași dreaptă lasă planul liber să se rotească în jurul ei, ca o ușă în balamale: prin ele trec o infinitate de plane, deci niciunul nu poate fi „cel determinat". Vei vedea în secțiunea $5$ cum se manifestă asta în calcul.

Analogia din plan îți este cunoscută: la Coliniaritate și ecuația dreptei cu determinant, două puncte distincte determinau o dreaptă. În spațiu se adaugă un punct și o coordonată, deci determinantul urcă la ordinul patru.

2. Prima cale: determinantul de ordinul patru

Ideea e simplă: un punct oarecare $M (x, y, z)$ se află în planul celor trei puncte exact atunci când cele patru puncte sunt coplanare, iar asta știi deja să o scrii, de la Condiția de coplanaritate a patru puncte — determinantul de ordinul patru format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ trebuie să fie nul.

Să facem drumul până la capăt pe punctele $A (7, 0, 0)$ , $B (2, 5, 0)$ și $C (0, 0, 5)$ . Condiția se scrie

$det x 720 y 050 z 005 1111 = 0$

și se dezvoltă după prima linie. Coeficientul lui $x$ este determinantul de ordinul trei rămas după ștergerea primei linii și a primei coloane, adică $25$ ; coeficientul lui $y$ este, cu semn schimbat, determinantul obținut ștergând prima linie și a doua coloană, tot $25$ ; coeficientul lui $z$ iese $35$ , iar termenul liber, tot cu semn schimbat, iese $- 175$ . Egalitatea devine $25 x + 25 y + 35 z - 175 = 0$ și, împărțită la $5$ , se scrie

$5 x + 5 y + 7 z - 35 = 0.$

Simplificarea nu e obligatorie, dar este de bun-simț: același plan scris cu numere mai mici se verifică mai ușor. Atenție la alternanța semnelor la dezvoltare — al doilea și al patrulea termen se scad; este greșeala cea mai frecventă pe această cale.

3. A doua cale: sistemul în $a$ , $b$ , $c$ , $d$

A doua cale nu cere niciun determinant. Pornești de la forma generală $a x + b y + cz + d = 0$ și impui, pe rând, ca fiecare punct s-o verifice. Pentru aceleași trei puncte $A$ , $B$ , $C$ obții

$7 a + d = 0, 2 a + 5 b + d = 0, 5 c + d = 0$

— trei ecuații cu patru necunoscute, deci un sistem cu o infinitate de soluții. Asta nu e o problemă, ci chiar oglinda faptului că un plan are o infinitate de ecuații, toate proporționale: alegi o soluție nenulă și ai terminat.

Alegerea se face comod. Iei $d = - 35$ , un multiplu al numerelor care apar, și găsești imediat $a = 5$ din prima ecuație, $c = 7$ din a treia, iar din a doua $5 b = 35 - 10$ , deci $b = 5$ . Rezultă $5 x + 5 y + 7 z - 35 = 0$ , exact ecuația de mai sus — semn că cele două căi duc în același loc.

Orice altă valoare a lui $d$ dă o ecuație proporțională, deci același plan. Singura alegere interzisă este $d = 0$ atunci când planul nu trece prin origine: ea ar duce la $a = b = c = 0$ , adică la nimic. Când unul dintre puncte este chiar originea se întâmplă invers — $d$ trebuie să fie $0$ , iar normalizarea se face pe alt coeficient.

4. Care dintre cele două căi e mai rapidă?

Depinde de date, iar deosebirea se vede la numărul de operații.

Cale	Ce scrii	Când o preferi
determinantul de ordinul patru	un determinant, dezvoltat în patru minori de ordinul trei	coordonatele sunt „urâte", fără zerouri; vrei un drum mecanic, fără alegeri
sistemul în $a$ , $b$ , $c$ , $d$	trei egalități liniare și o alegere de normalizare	punctele au multe coordonate nule; pe puncte de pe axe, sistemul se rezolvă din ochi

În practică, la profilul științe ale naturii vei întâlni mai des puncte cu zerouri — vârfuri pe axe, puncte din planele de coordonate —, iar acolo sistemul e vizibil mai scurt. Determinantul rămâne însă calea sigură: nu cere nicio inspirație și nu are cazuri speciale de discutat.

5. Ce se întâmplă dacă punctele sunt coliniare?

Calculul nu se blochează și nu dă eroare — dă ceva mai rău, fiindcă e ușor de trecut cu vederea: dă zero peste tot.

Ia punctele $P (1, 2, 0)$ , $Q (4, 0, 6)$ și $R (7, - 2, 12)$ . Trecerea de la $P$ la $Q$ înseamnă a aduna $3$ la prima coordonată, a scădea $2$ din a doua și a aduna $6$ la a treia; de la $Q$ la $R$ se adună și se scade exact același lucru. Cele trei puncte sunt așadar pe aceeași dreaptă. Dacă scrii determinantul de ordinul patru cu $M (x, y, z)$ pe prima linie, toți cei patru coeficienți ies nuli, iar egalitatea devine $0 = 0$ — adevărată pentru orice punct din spațiu, deci fără nicio putere de a selecta ceva.

Pe calea sistemului, același lucru arată altfel: a treia ecuație se obține din primele două și nu aduce nicio informație nouă, așa că rămâi cu două condiții pentru patru necunoscute — prea puține ca să fixezi un plan.

Semnul că ai greșit sau că punctele sunt coliniare este același: toți coeficienții ies nuli. De aceea, la o cerință care spune „arată că punctele determină un plan și scrie-i ecuația", primul pas e verificarea necoliniarității, nu calculul.

6. Cum verifici că ecuația obținută este cea bună?

Prin înlocuire, și anume prin toate trei înlocuirile. Un punct singur nu decide nimic: prin el trec o infinitate de plane, deci verificarea lui e trecută și de ecuații greșite. Ordinea de lucru, bună de repetat la fiecare exercițiu: scrii ecuația, o simplifici, apoi înlocuiești pe rând $A$ , $B$ și $C$ și te aștepți la trei zerouri.

A doua verificare, gratuită, este cea geometrică. Dacă unul dintre puncte are $y = 0$ și $z = 0$ , el este pe axa $O x$ , deci planul taie acea axă exact acolo — iar tăietura se citește din ecuație. Când cele două citiri nu se potrivesc, greșeala e în calcul.

A treia verificare privește forma răspunsului: coeficienții se simplifică prin cel mai mare divizor comun, iar primul coeficient nenul se ia pozitiv — ca răspunsul tău și cel din rezolvare să arate la fel.

7. La ce folosește într-un model din științe?

Cel mai des, la reconstituirea unei suprafețe din puține măsurători. O placă, un panou, o masă de lucru sau un acoperiș se sprijină, în practică, în trei puncte, tocmai pentru că trei puncte fixează un plan și numai unul. Dacă le cunoști înălțimile, scrii ecuația planului și afli apoi, prin calcul, înălțimea în orice alt punct al suprafeței — fără să mai măsori.

Puterea metodei stă în această predicție, iar limita ei stă într-o ipoteză nescrisă: că suprafața chiar este plană. De aceea al patrulea punct se măsoară totuși — nu ca să afle valoarea, ci ca să verifice ipoteza. Dacă punctul măsurat nu verifică ecuația, concluzia nu este că matematica a greșit, ci că suprafața nu este plană, iar diferența dintre valoarea prevăzută și cea măsurată spune cât de departe este de a fi.

Aceeași schemă apare oriunde trei mărimi sunt legate liniar și ai la dispoziție trei seturi de măsurători: cele trei puncte dau coeficienții legii, iar al patrulea set o pune la încercare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația planului pe calea determinantului

Scrie ecuația planului determinat de $A (1, 1, 0)$ , $B (0, 0, 3)$ și $C (0, 6, 0)$ .

Rezolvare. Punctele nu sunt coliniare: $B$ și $C$ sunt pe axe diferite, iar $A$ nu este pe dreapta $B C$ , fiindcă are prima coordonată nenulă, în timp ce $B$ și $C$ o au nulă. Scriem condiția de coplanaritate cu $M (x, y, z)$ :

$det x 100 y 106 z 030 1111 = 0$

Dezvoltând după prima linie obținem $- 15 x - 3 y - 6 z + 18 = 0$ , adică, după împărțirea la $- 3$ ,

$5 x + y + 2 z - 6 = 0.$

Verificare: pentru $A$ , $5 + 1 - 6 = 0$ ; pentru $B$ , $6 - 6 = 0$ ; pentru $C$ , $6 - 6 = 0$ . Toate trei dau zero.

Exemplul 2 — Aceeași cerință, pe calea sistemului

Scrie ecuația planului determinat de $A (5, 2, 0)$ , $B (0, 0, - 2)$ și $C (8, 0, 0)$ .

Rezolvare. Punem condiția ca fiecare punct să verifice $a x + b y + cz + d = 0$ :

$5 a + 2 b + d = 0, - 2 c + d = 0, 8 a + d = 0$

Alegem $d = - 16$ , ca împărțirile să iasă întregi. Din a treia ecuație, $8 a = 16$ , deci $a = 2$ ; din a doua, $- 2 c = 16$ , deci $c = - 8$ ; din prima, $10 + 2 b - 16 = 0$ , deci $b = 3$ . Ecuația este

$2 x + 3 y - 8 z - 16 = 0.$

Verificare: $A$ dă $10 + 6 - 16 = 0$ , $B$ dă $16 - 16 = 0$ , $C$ dă $16 - 16 = 0$ .

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev a scris, pentru punctele $A (0, - 2, 1)$ , $B (1, 0, 0)$ și $C (0, 0, 7)$ , ecuația $7 x - 3 y + z - 1 = 0$ și a verificat-o doar pe $B$ : $7 - 1 = 6$ … și s-a oprit, crezând că a greșit la înlocuire. Găsește greșeala și scrie ecuația corectă.

Rezolvare. Pe calea sistemului: din $A$ avem $- 2 b + c + d = 0$ ; din $B$ , $a + d = 0$ ; din $C$ , $7 c + d = 0$ . Alegem $d = - 7$ : atunci $a = 7$ din a doua ecuație, $c = 1$ din a treia, iar din prima $- 2 b + 1 - 7 = 0$ , deci $b = - 3$ . Ecuația corectă este

$7 x - 3 y + z - 7 = 0.$

Greșeala elevului este în termenul liber: a scris $- 1$ în loc de $- 7$ . Verificarea lui a fost însă bună — ea a semnalat corect că ecuația nu merge, numai că elevul a bănuit înlocuirea, nu calculul. Reține tiparul: când o verificare nu dă zero, presupune întâi că ecuația e greșită, nu că înlocuirea e greșită.

Exemplul 4 — Trei puncte care nu determină niciun plan

Arată că punctele $M (2, 1, 3)$ , $N (5, 3, 7)$ și $P (8, 5, 11)$ nu determină un plan.

Rezolvare. Comparăm trecerile: de la $M$ la $N$ coordonatele cresc cu $3$ , cu $2$ și cu $4$ ; de la $N$ la $P$ cresc cu exact aceleași valori. Cele trei puncte se află deci pe aceeași dreaptă, parcursă cu pași egali.

Prin trei puncte coliniare trec o infinitate de plane, deci niciunul nu este „determinat" de ele. Dacă totuși scrii sistemul, a treia ecuație se dovedește o consecință a primelor două, iar coeficienții nu se pot afla. Cerința corectă, într-o astfel de situație, ar fi „arată că punctele sunt coliniare", nu „scrie ecuația planului".

Exemplul 5 — Un model din științe: este acoperișul cu adevărat plan?

Trei colțuri ale unui acoperiș au, într-un reper cu unitatea de un metru, coordonatele $A (0, 0, 3)$ , $B (7, 0, 5)$ și $C (0, 5, 8)$ . Scrie ecuația planului determinat de ele și stabilește dacă al patrulea colț, $D (7, 5, 10)$ , se află în același plan.

Rezolvare. Din sistem: $3 c + d = 0$ , $7 a + 5 c + d = 0$ , $5 b + 8 c + d = 0$ . Alegem $d = 21$ ; atunci $3 c = - 21$ , deci $c = - 7$ ; apoi $7 a - 35 + 21 = 0$ , deci $a = 2$ ; și $5 b - 56 + 21 = 0$ , deci $b = 7$ . Ecuația planului este

$2 x + 7 y - 7 z + 21 = 0.$

Pentru $D$ obținem $14 + 35 - 70 + 21 = 0$ , deci al patrulea colț este în același plan. Practic, asta înseamnă că acoperișul poate fi o singură suprafață plană, fără frângere pe diagonală: o tablă întinsă peste cele patru colțuri s-ar așeza fără să se îndoaie. Dacă valoarea ieșea nenulă, semnul și mărimea ei ar fi arătat în ce parte și cu cât iese colțul din plan.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră punctele $A (0, 4, 0)$ , $B (0, 0, 8)$ și $C (6, 2, 0)$ .

a) Arată că punctele $A$ , $B$ și $C$ nu sunt coliniare și scrie ecuația planului determinat de ele.

b) Verifică dacă punctul $D (3, 1, 4)$ aparține acestui plan.

c) Determină numărul real $m$ pentru care punctul $E (m, 1, 2)$ aparține planului.

Rezolvare. a) $A$ și $B$ au prima coordonată nulă, iar $C$ nu, deci $C$ nu este pe dreapta $A B$ ; punctele nu sunt coliniare. Din sistem: $4 b + d = 0$ , $8 c + d = 0$ , $6 a + 2 b + d = 0$ . Alegem $d = - 24$ : atunci $b = 6$ , $c = 3$ și $6 a = 24 - 12$ , deci $a = 2$ . Planul este

$2 x + 6 y + 3 z - 24 = 0.$

b) Înlocuim: $6 + 6 + 12 - 24 = 0$ , deci $D$ aparține planului.

c) Condiția de apartenență dă $2 m + 6 + 6 - 24 = 0$ , adică $2 m = 12$ , deci $m = 6$ .

Să exersăm

La fiecare exercițiu: verifică întâi necoliniaritatea, scrie ecuația pe calea pe care o consideri mai scurtă, simplific-o și verifică toate cele trei puncte.

1. Scrie ecuația planului determinat de $A (0, 6, 0)$ , $B (0, 0, 3)$ și $C (3, 2, 0)$ .

2. Scrie ecuația planului determinat de $A (7, 6, 0)$ , $B (5, 0, 0)$ și $C (0, 0, 3)$ .

3. Scrie ecuația planului determinat de $A (0, 0, 1)$ , $B (1, - 4, 0)$ și $C (2, 0, 0)$ .

4. Scrie ecuația planului determinat de $A (1, 0, - 4)$ , $B (0, 5, 0)$ și $C (0, 0, 5)$ .

5. Scrie ecuația planului determinat de $A (- 1, 0, 0)$ , $B (0, 1, 6)$ și $C (0, 0, 7)$ .

6. Scrie ecuația planului determinat de $A (0, 0, 0)$ , $B (7, 7, 0)$ și $C (0, 1, 7)$ și explică de ce termenul liber iese nul.

7. Scrie ecuația planului determinat de $A (3, 0, 1)$ , $B (0, 0, 0)$ și $C (0, 2, - 1)$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două dintre cele trei puncte necoliniare care determină un plan sunt simetrice față de origine, atunci ecuația planului are termenul liber nul."

9. Scrie ecuația planului determinat de $A (0, 0, 0)$ , $B (4, 5, 0)$ și $C (0, 1, - 1)$ .

10. Scrie ecuația planului determinat de $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 8, 6)$ și $C (0, - 1, 0)$ .

11. Scrie ecuația planului determinat de $A (5, - 1, 0)$ , $B (- 4, 0, 0)$ și $C (0, 0, 2)$ .

12. (Problemă aplicată.) Placa de bază a unui aparat de laborator se sprijină pe trei șuruburi de reglaj, aflate în punctele de coordonate orizontale $(0, 0)$ , $(6, 0)$ și $(0, 9)$ , măsurate în centimetri; capetele lor se află la înălțimile $8$ , $5$ și, respectiv, $2$ centimetri deasupra mesei. Scrie ecuația planului plăcii și află la ce înălțime deasupra mesei se găsește punctul plăcii aflat deasupra poziției orizontale $(4, 3)$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $A (7, - 2, 0)$ , $B (0, 0, - 1)$ și $C (0, 1, 0)$ . a) Arată că punctele nu sunt coliniare. b) Scrie ecuația planului determinat de ele. c) Verifică dacă originea aparține acestui plan.

14. Scrie ecuația planului determinat de $A (0, 2, - 1)$ , $B (0, 0, 8)$ și $C (- 2, 0, 0)$ .

15. Scrie ecuația planului determinat de $A (4, - 3, 0)$ , $B (0, 0, 6)$ și $C (- 4, 0, 0)$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $A (7, 0, - 2)$ , $B (1, 0, 0)$ și $C (0, - 2, 0)$ . a) Scrie ecuația planului determinat de ele. b) Află punctul în care planul taie axa $O z$ . c) Stabilește dacă punctul $P (4, - 1, - 1)$ aparține planului.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră $A (0, 0, - 3)$ , $B (0, - 2, 0)$ și $C (3, 7, 0)$ . a) Scrie ecuația planului determinat de ele. b) Arată că punctul $Q (1, 1, - 2)$ nu aparține planului. c) Determină numărul real $t$ pentru care $S (t, 1, - 2)$ aparține planului.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ pentru care punctele $A (3, 0, 0)$ , $B (0, m, 0)$ și $C (0, 0, m)$ determină un plan care trece prin $P (1, 2, 2)$ .

Răspunsuri și explicații

1. Din sistem, cu $d = - 18$ : din $A$ , $6 b = 18$ , deci $b = 3$ ; din $B$ , $3 c = 18$ , deci $c = 6$ ; din $C$ , $3 a + 6 - 18 = 0$ , deci $a = 4$ . Ecuația este $4 x + 3 y + 6 z - 18 = 0$ . Verificare: $A$ dă $3 \cdot 6 - 18 = 0$ , $B$ dă $6 \cdot 3 - 18 = 0$ , $C$ dă $12 + 6 - 18 = 0$ .

2. Cu $d = - 15$ : din $B$ , $5 a = 15$ , deci $a = 3$ ; din $C$ , $3 c = 15$ , deci $c = 5$ ; din $A$ , $21 + 6 b - 15 = 0$ , deci $b = - 1$ . Ecuația este $3 x - y + 5 z - 15 = 0$ .

3. Cu $d = - 8$ : din $C$ , $2 a = 8$ , deci $a = 4$ ; din $A$ , $c - 8 = 0$ , deci $c = 8$ ; din $B$ , $4 - 4 b - 8 = 0$ , deci $b = - 1$ . Ecuația este $4 x - y + 8 z - 8 = 0$ .

4. Cu $d = - 5$ : din $B$ , $5 b = 5$ , deci $b = 1$ ; din $C$ , $5 c = 5$ , deci $c = 1$ ; din $A$ , $a - 4 - 5 = 0$ , deci $a = 9$ . Ecuația este $9 x + y + z - 5 = 0$ .

5. Cu $d = 7$ : din $A$ , $- a + 7 = 0$ , deci $a = 7$ ; din $C$ , $7 c + 7 = 0$ , deci $c = - 1$ ; din $B$ , $b - 6 + 7 = 0$ , deci $b = - 1$ . Ecuația este $7 x - y - z + 7 = 0$ .

6. Planul trece prin origine, deci $d = 0$ — orice ecuație de plan verificată de $O (0, 0, 0)$ are termenul liber nul. Rămân $7 a + 7 b = 0$ și $b + 7 c = 0$ ; luând $a = 7$ obținem $b = - 7$ și $c = 1$ , deci $7 x - 7 y + z = 0$ .

7. Trece tot prin origine, deci $d = 0$ . Din $A$ : $3 a + c = 0$ ; din $C$ : $2 b - c = 0$ . Luând $c = - 6$ obținem $a = 2$ și $b = - 3$ , deci $2 x - 3 y - 6 z = 0$ .

8. Adevărat. Fie $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ și $Q (- x_{0}, - y_{0}, - z_{0})$ cele două puncte. Apartenența lor la $a x + b y + cz + d = 0$ dă $a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d = 0$ și $- (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}) + d = 0$ ; adunând, rămâne $2 d = 0$ , deci $d = 0$ . Geometric: dreapta $P Q$ trece prin origine, iar planul o conține.

9. Trece prin origine, deci $d = 0$ . Din $B$ : $4 a + 5 b = 0$ ; din $C$ : $b - c = 0$ . Luând $a = 5$ obținem $b = - 4$ și $c = - 4$ , deci $5 x - 4 y - 4 z = 0$ .

10. Cu $d = - 4$ : din $A$ , $4 a = 4$ , deci $a = 1$ ; din $C$ , $- b - 4 = 0$ , deci $b = - 4$ ; din $B$ , $- 32 + 6 c - 4 = 0$ , deci $c = 6$ . Ecuația este $x - 4 y + 6 z - 4 = 0$ .

11. Cu $d = 4$ : din $B$ , $- 4 a + 4 = 0$ , deci $a = 1$ ; din $C$ , $2 c + 4 = 0$ , deci $c = - 2$ ; din $A$ , $5 - b + 4 = 0$ , deci $b = 9$ . Ecuația este $x + 9 y - 2 z + 4 = 0$ .

12. Cele trei capete dau punctele $F (0, 0, 8)$ , $G (6, 0, 5)$ și $H (0, 9, 2)$ . Cu $d = - 48$ : din $F$ , $8 c = 48$ , deci $c = 6$ ; din $G$ , $6 a + 30 - 48 = 0$ , deci $a = 3$ ; din $H$ , $9 b + 12 - 48 = 0$ , deci $b = 4$ . Ecuația plăcii este $3 x + 4 y + 6 z - 48 = 0$ . Pentru $x = 4$ și $y = 3$ obținem $12 + 12 + 6 z - 48 = 0$ , deci $6 z = 24$ și $z = 4$ centimetri. Modelul presupune că placa este rigidă și nu se încovoaie între șuruburi; dacă s-ar încovoia, înălțimea măsurată ar fi mai mică decât cea calculată.

13. a) $A$ are prima coordonată nenulă, iar $B$ și $C$ o au nulă, deci $A$ nu se află pe dreapta $B C$ ; punctele nu sunt coliniare. b) Cu $d = - 7$ : din $C$ , $b - 7 = 0$ , deci $b = 7$ ; din $B$ , $- c - 7 = 0$ , deci $c = - 7$ ; din $A$ , $7 a - 14 - 7 = 0$ , deci $a = 3$ . Planul este $3 x + 7 y - 7 z - 7 = 0$ . c) Originea dă $- 7 \neq = 0$ , deci nu aparține planului — cum era de așteptat, fiindcă termenul liber nu este nul.

14. Cu $d = 16$ : din $C$ , $- 2 a + 16 = 0$ , deci $a = 8$ ; din $B$ , $8 c + 16 = 0$ , deci $c = - 2$ ; din $A$ , $2 b + 2 + 16 = 0$ , deci $b = - 9$ . Ecuația este $8 x - 9 y - 2 z + 16 = 0$ .

15. Cu $d = 12$ : din $C$ , $- 4 a + 12 = 0$ , deci $a = 3$ ; din $B$ , $6 c + 12 = 0$ , deci $c = - 2$ ; din $A$ , $12 - 3 b + 12 = 0$ , deci $b = 8$ . Ecuația este $3 x + 8 y - 2 z + 12 = 0$ .

16. a) Cu $d = - 2$ : din $B$ , $a = 2$ ; din $C$ , $- 2 b - 2 = 0$ , deci $b = - 1$ ; din $A$ , $14 - 2 c - 2 = 0$ , deci $c = 6$ . Planul este $2 x - y + 6 z - 2 = 0$ . b) Pe axa $O z$ punem $x = y = 0$ : $6 z - 2 = 0$ , deci punctul este $(0, 0, \frac{1}{3})$ . c) Pentru $P$ : $8 + 1 - 6 - 2 = 1 \neq = 0$ , deci $P$ nu aparține planului.

17. a) Cu $d = - 6$ : din $A$ , $- 3 c - 6 = 0$ , deci $c = - 2$ ; din $B$ , $- 2 b - 6 = 0$ , deci $b = - 3$ ; din $C$ , $3 a - 21 - 6 = 0$ , deci $a = 9$ . Planul este $9 x - 3 y - 2 z - 6 = 0$ . b) Pentru $Q$ : $9 - 3 + 4 - 6 = 4 \neq = 0$ , deci $Q$ nu aparține planului. c) Condiția dă $9 t - 3 + 4 - 6 = 0$ , adică $9 t = 5$ , deci $t = \frac{5}{9}$ .

18. Pentru $m = 0$ punctele $B$ și $C$ ar coincide cu originea, deci presupunem $m \neq = 0$ ; atunci $A$ , $B$ , $C$ sunt câte unul pe fiecare axă și nu pot fi coliniare. Cu $d = - 3 m$ obținem, din $A$ , $3 a = 3 m$ , deci $a = m$ , iar din $B$ și din $C$ , $mb = 3 m$ și $m c = 3 m$ , deci $b = c = 3$ . Planul este $m x + 3 y + 3 z - 3 m = 0$ , iar condiția ca $P (1, 2, 2)$ să-i aparțină dă $m + 6 + 6 - 3 m = 0$ , adică $2 m = 12$ și $m = 6$ . Planul obținut, după simplificarea prin $3$ , este $2 x + y + z - 6 = 0$ .

De reținut

Trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul; coliniare, determină o infinitate, deci niciunul.
Prima cale: pui condiția ca $M (x, y, z)$ să fie coplanar cu cele trei puncte și dezvolți determinantul de ordinul patru după prima linie, cu semnele alternate.
A doua cale: impui ca fiecare punct să verifice $a x + b y + cz + d = 0$ și rezolvi sistemul de trei ecuații cu patru necunoscute, alegând o normalizare comodă pentru $d$ .
Dacă unul dintre puncte este originea, atunci $d = 0$ și normalizarea se face pe alt coeficient; altfel, $d = 0$ este o alegere interzisă.
Verificarea se face pe toate trei punctele, iar ecuația finală se simplifică prin cel mai mare divizor comun, cu primul coeficient nenul pozitiv.

Greșeli frecvente

Minorii luați după alte coloane decât trebuie. Fiecare coeficient se obține ștergând prima linie și coloana variabilei lui, iar termenul liber ștergând coloana de $1$ . Cine păstrează mereu aceeași coloană ștearsă obține patru numere fără legătură cu planul, deși fiecare determinant în parte e calculat corect.
Alegerea $d = 0$ dintr-un reflex de simplificare. Dacă planul nu trece prin origine, $d = 0$ duce la $a = b = c = 0$ , adică la nicio ecuație. Termenul liber se ia nul numai când unul dintre punctele date este originea.
Verificarea făcută numai pe punctul cel mai comod. Se înlocuiește punctul de pe axă, în care doi coeficienți dispar din calcul, se obține zero și se trece mai departe. Corect: punctul cu toate coordonatele nenule prinde greșelile de semn, fiindcă e singurul în care intră toți patru.
Trecerea peste condiția de necoliniaritate. Elevul scrie liniștit „planul determinat de $M$ , $N$ , $P$ " fără să observe că punctele sunt pe o dreaptă, iar la final îi ies toți coeficienții nuli și crede că a greșit calculul.
Compararea răspunsului cu cel din rezolvare, fără simplificare. Două ecuații proporționale descriu același plan; înainte de a-ți declara răspunsul greșit, verifică dacă nu este un multiplu al celui din rezolvare.

Aplică acasă

Masa cu trei picioare. Taie trei bețișoare de lungimi diferite, lipește-le ca picioare sub o bucată de carton și așaz-o pe masă: cartonul stă nemișcat. Adaugă un al patrulea picior de lungime aleasă la întâmplare și observă clătinarea. Măsoară apoi cele patru lungimi, scrie ecuația planului determinat de capetele primelor trei și află prin calcul de cât ar fi trebuit să fie al patrulea.
Trei termometre. Notează, în trei zile diferite, temperatura de dimineață, cea de prânz și cea de seară dintr-o cameră. Ia fiecare zi ca pe un punct cu trei coordonate și scrie ecuația planului lor. Adaugă apoi datele unei a patra zile și verifică dacă punctul ei este în plan: aproape sigur nu va fi, iar cât de mult iese din plan spune cât de departe e realitatea de un model liniar.
Harta unui deal. Alege pe o hartă cu curbe de nivel trei puncte cu altitudini diferite, citește-le coordonatele pe grilă și altitudinea, apoi scrie ecuația planului lor. Prevezi altitudinea într-un al patrulea punct și compar-o cu cea citită de pe hartă; încearcă apoi și cu trei puncte mult depărtate între ele.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul stabilește necoliniaritatea înainte de a scrie ecuația; dacă duce la capăt cel puțin una dintre cele două căi, corect ca semne; dacă normalizează convenabil și simplifică rezultatul; și dacă verifică toate cele trei puncte la final. Ultima deprindere este plasa de siguranță a celorlalte trei, pentru că depistează singură greșelile de semn.

Dificultatea reală este de ordin logic, nu de calcul: elevul trebuie să accepte că un sistem cu mai multe necunoscute decât ecuații nu este „nerezolvabil", ci are o infinitate de soluții, dintre care oricare este bună — exact fiindcă un plan are o infinitate de ecuații, toate proporționale.

Întrebări de control: „De ce trei puncte, și nu două sau patru?", „Ce se întâmplă dacă punctele sunt coliniare?", „De ce poți alege valoarea lui $d$ ?". Semne că a înțeles: alege singur calea mai scurtă în funcție de zerourile din coordonate; ia $d$ egal cu un multiplu comun al numerelor din enunț; și, când îi ies toți coeficienții nuli, verifică coliniaritatea în loc să refacă înmulțirile.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, la conținutul „ecuația planului determinat de trei puncte necoliniare". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pe programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc — nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cum scriu ecuația planului prin trei puncte date?

Ai două căi. Pe prima, pui condiția ca un punct oarecare $M (x, y, z)$ să fie coplanar cu cele trei puncte date și dezvolți determinantul de ordinul patru format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ . Pe a doua, impui ca fiecare dintre cele trei puncte să verifice $a x + b y + cz + d = 0$ și rezolvi sistemul obținut, alegând o valoare comodă pentru $d$ .

De ce trebuie ca punctele să fie necoliniare?

Pentru că prin trei puncte așezate pe aceeași dreaptă trec o infinitate de plane, toate cele care conțin dreapta respectivă. Niciunul dintre ele nu este „determinat" de puncte, așa că ecuația nu se poate scrie. În calcul, situația se recunoaște imediat: toți coeficienții ies nuli, iar egalitatea devine $0 = 0$ .

Ce valoare aleg pentru $d$ în sistem?

Un multiplu comun al numerelor care apar în enunț, ca împărțirile să iasă întregi; semnul se alege ca primul coeficient nenul să fie pozitiv. Orice altă alegere nenulă dă o ecuație proporțională, deci același plan. Singura valoare interzisă este $0$ , atunci când planul nu trece prin origine.

Ce fac dacă unul dintre puncte este originea?

Atunci termenul liber este obligatoriu $0$ , fiindcă $O (0, 0, 0)$ trebuie să verifice ecuația. Rămâi cu două condiții pentru trei coeficienți, iar normalizarea se face dând o valoare comodă unuia dintre $a$ , $b$ , $c$ — de obicei celui care apare cu coeficientul cel mai mare.

Cum verific rezultatul fără să refac tot calculul?

Înlocuiești toate cele trei puncte în ecuația găsită: fiecare trebuie să dea zero. Un singur punct nu ajunge, fiindcă prin el trec o infinitate de plane, deci verificarea lui e trecută și de ecuații greșite. În plus, dacă un punct este pe o axă, tăietura citită din ecuație trebuie să coincidă cu el.

Se dă planul prin trei puncte și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu este o temă exclusiv a profilului științe ale naturii: la matematică-informatică, geometria clasei a XII-a este dedicată conicelor din plan. Pentru comparație, cerința înrudită din plan la mate-info (M1): Dreapta prin două puncte, cu determinant.

La ce subiect apare la examen?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, geometria analitică — cea din plan — apare ca o cerință scurtă la Subiectul I. Structura probei MAT_P2 nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial.

Ce urmează după această lecție?

Urmează citirea poziției unui plan față de axe și față de planele de coordonate, care se face sistematic la Plane particulare, și apoi compararea a două plane între ele. Determinantul de ordinul patru folosit aici rămâne cel învățat în clasa a XI-a, la Determinantul de ordin 4.