Ce poziție relativă au planele $$2x-9y+4z-3=0$$ și $$-8x+36y-16z+12=0$$?

Nu se poate decide fără a rezolva sistemul.

Cum aflu m ca două plane să fie paralele?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Două plane: secante, paralele sau confundate

Ceri ca tripletele de coeficienți să fie proporționale cu același $k$ pe toate pozițiile, apoi verifici că termenii liberi nu respectă acel $k$ . Exemplu: $2 x + m y - 4 z + 1 = 0$ și $6 x - 9 y - 12 z + 5 = 0$ . Din $x$ rezultă $k = 3$ , iar la $z$ se potrivește: $3 \cdot (- 4) = - 12$ . La $y$ se cere $3 m = - 9$ , deci $m = - 3$ . Termenii liberi dau $3 \cdot 1 = 3 \neq = 5$ , așa că pentru $m = - 3$ planele sunt paralele distincte, nu confundate.

Așezarea a două suprafețe plane una față de alta are numai trei variante: se taie după o dreaptă, nu se ating deloc sau sunt una și aceeași, scrisă de două ori. Varianta „se ating într-un punct” nu apare — trei necunoscute și numai două egalități lasă mereu un grad de libertate.

Hotărârea vine în doi timpi, iar ordinea lor contează. Întâi cauți un număr nenul $k$ cu care primul șir de coeficienți, înmulțit, îl dă pe al doilea, verificând toate cele trei locuri. Dacă nu găsești așa ceva, ai încheiat: suprafețele se intersectează. Dacă găsești, treci la numerele libere și folosești același $k$ — potrivire înseamnă o singură suprafață, nepotrivire înseamnă două, fără nimic în comun.

Proporționalitatea se scrie loc cu loc, nu ca șir de rapoarte, fiindcă un numitor zero ar strica totul. Reflexul scurt: zeroul nu se potrivește decât iarăși cu un zero, așa că o literă prezentă într-o ecuație și absentă din cealaltă închide discuția.

Intersecția se scrie cu un parametru, lăsând liberă una dintre necunoscute; un singur punct nu e răspunsul, ci doar un exemplu de pe ea.

De reținut

întâi tripletele $(a, b, c)$ , cu un singur $k$ pe toate pozițiile, apoi termenii liberi, cu același $k$
un coeficient zero se potrivește numai cu un zero
două plane nu au niciodată exact un punct comun

Greșeala tipică

Se declară planele paralele după ce primele două poziții se potrivesc, fără a verifica și a treia; $x + 2 y + z = 0$ și $2 x + 4 y + 3 z = 1$ sunt secante, pentru că $2 \cdot 1 \neq = 3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Ce poziție relativă au planele $2 x - 9 y + 4 z - 3 = 0$ și $- 8 x + 36 y - 16 z + 12 = 0$ ?
- a) Secante.
- b) Paralele distincte.
- c) Confundate.
- d) Nu se poate decide fără a rezolva sistemul.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Confundate.

Tripletele sunt $(2, - 9, 4)$ și $(- 8, 36, - 16)$ . Din prima poziție, $- 8 = k \cdot 2$ , deci $k = - 4$ , iar $- 4 \cdot (- 9) = 36$ și $- 4 \cdot 4 = - 16$ se potrivesc. Trecem la termenii liberi, cu același $k$ : $- 4 \cdot (- 3) = 12$ , exact cât are al doilea plan. A doua ecuație este prima înmulțită cu $- 4$ , deci planele sunt confundate. Criteriul decide singur, fără sistem.
Ce poziție relativă au planele $5 x + 3 z - 1 = 0$ și $10 x + 7 y + 6 z + 4 = 0$ ?
- a) Secante.
- b) Paralele distincte.
- c) Confundate.
- d) Nu au niciun punct comun.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Secante.

Tripletele sunt $(5, 0, 3)$ și $(10, 7, 6)$ . Prima poziție dă $k = 2$ , iar a treia se potrivește, fiindcă $2 \cdot 3 = 6$ . Pe poziția din mijloc însă $2 \cdot 0 = 0$ , în timp ce al doilea plan are acolo $7$ : un zero se potrivește numai cu un zero. Nu există niciun $k$ , deci planele sunt secante și au o dreaptă întreagă comună — de aceea și varianta d) este falsă.
Planele $x + 3 z - 13 = 0$ și $y - 5 z + 7 = 0$ sunt secante. Care dintre puncte aparține dreptei lor comune?
- a) $(10, 3, 1)$
- b) $(7, 3, 2)$
- c) $(4, 8, 4)$
- d) $(13, 7, 0)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(7, 3, 2)$

Un punct al dreptei comune trebuie să verifice amândouă ecuațiile. Pentru $(7, 3, 2)$ : $7 + 6 - 13 = 0$ și $3 - 10 + 7 = 0$ . Punctul $(10, 3, 1)$ verifică doar prima ( $3 - 5 + 7 = 5$ la a doua), $(13, 7, 0)$ tot doar prima ( $7 + 7 = 14$ ), iar $(4, 8, 4)$ nu o verifică nici pe prima, fiindcă $4 + 12 - 13 = 3$ .

Întrebări conexe

Cum găsesc un punct comun a două plane secante?

Dai o valoare convenabilă unei necunoscute și rezolvi sistemul rămas. Pentru $x + y + z = 6$ și $x - y + 2 z = 4$ , cu $z = 0$ rămân $x + y = 6$ și $x - y = 4$ , deci $x = 5$ , $y = 1$ . Punctul $(5, 1, 0)$ se află pe dreapta comună.

Poate intersecția a două plane să fie un singur punct?

Nu. Două ecuații cu trei necunoscute lasă mereu cel puțin o necunoscută liberă, deci dacă au o soluție, au o infinitate. Intersecția este o dreaptă, un plan întreg, dacă planele coincid, sau mulțimea vidă, dacă sunt paralele distincte.

Cum decid poziția când ambelor plane le lipsește aceeași variabilă?

Compari coeficienții rămași. La $3 x - z + 2 = 0$ și $6 x - 2 z + 7 = 0$ lipsește $y$ din ambele, iar $k = 2$ se potrivește pe $x$ și $z$ ; cum $2 \cdot 2 = 4 \neq = 7$ , planele sunt paralele distincte. Dacă doar unuia i-ar lipsi $y$ , ar fi secante.

Ce poziție au podeaua și tavanul unei camere, scrise în ecuații?

Cu originea într-un colț al podelei, podeaua este $z = 0$ , iar tavanul, la $2, 8$ m, este $z = 2, 8$ : plane paralele distincte. Un perete, $x = 0$ , taie podeaua după axa $O y$ , adică după dreapta $x = 0$ , $z = 0$ .

Ce dreaptă au în comun planele $x O y$ și $x O z$ ?

Primul plan are ecuația $z = 0$ , al doilea $y = 0$ . Punctele comune au ordonata și cota nule, deci sunt de forma $(t, 0, 0)$ : dreapta comună este chiar axa $O x$ .

Oamenii mai întreabă și: plane paralele cu parametru · condiția de paralelism a două plane · pentru ce m planele sunt paralele · când sunt paralele două plane cu parametru