Pozițiile relative a două plane (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Într-o carieră de piatră, straturile de rocă se văd ca niște foi groase, aproape plane, așezate una peste alta. Cât timp straturile s-au depus liniștit, ele rămân paralele: oricât ai coborî peretele carierei, nu se ating niciodată. Când terenul a fost însă rupt de o falie, planul faliei taie stratul, iar urma tăieturii se vede pe perete ca o linie dreaptă. Geologul care cartează cariera are, de fapt, două plane și o singură întrebare: se ating sau nu? Capitolul de geometrie analitică în spațiu, de clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), răspunde la ea fără să coboare în carieră — doar comparând coeficienții a două ecuații. Tema se dă la Bacalaureatul M2 din 2030 (proba MAT_P2), în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Lecția continuă direct de la Ecuația generală a planului, unde ai văzut că tripletul $(a, b, c)$ arată cum stă planul, iar termenul liber $d$ arată unde este așezat. Acum punem alături două astfel de ecuații. Merită spus cinstit cui se adresează lecția: geometria analitică în spațiu este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025, iar în probă intră abia la Bacalaureatul M2 din 2030 (proba MAT_P2), în domeniul „Geometrie. Trigonometrie". Elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte; pentru ei, pozițiile relative rămân cele din plan, între două drepte.

Ce vei învăța

Vei ști să numești cele trei poziții în care se pot afla două plane — secante, paralele distincte, confundate — și să spui, pentru fiecare, câte puncte comune are perechea.
Vei ști să decizi poziția din coeficienți, comparând mai întâi tripletele și abia apoi termenii liberi.
Vei ști să verifici proporționalitatea și când unul dintre coeficienți este nul, fără să împarți la zero.
Vei ști să scrii dreapta comună a două plane secante ca o listă de puncte care depind de un singur parametru.
Vei ști să discuți poziția a două plane după un parametru din ecuație și să separi cazul „paralele" de cazul „confundate".

Hai să descoperim împreună

1. Câte poziții poate avea un plan față de altul?

Pornește de la o observație pe care o poți face în cameră. Podeaua și tavanul nu se întâlnesc nicăieri; podeaua și un perete se întâlnesc după o muchie, adică după o dreaptă întreagă; iar o foaie lipită perfect pe podea nu e un al doilea plan, ci același plan descris de două ori. Acestea sunt toate cazurile posibile.

Poziția relativă a două plane este felul în care se așază unul față de celălalt, citit din numărul punctelor lor comune: planele sunt secante dacă au cel puțin un punct comun fără să coincidă, paralele dacă nu au niciun punct comun și confundate dacă fiecare punct al unuia este punct al celuilalt. Planele trebuie privite ca mulțimi de puncte, nu ca ecuații: două ecuații diferite pot descrie același plan, iar atunci perechea este confundată, nu paralelă. Când planele sunt paralele fără să coincidă, spunem complet paralele distincte.

Întrebarea se traduce imediat în algebră. Punctele comune ale planelor $π_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ și $π_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ sunt exact soluțiile sistemului format din cele două ecuații. De aici iese corespondența pe care se sprijină toată lecția: sistem fără soluții înseamnă plane paralele distincte, sistem cu o infinitate de soluții care depind de un parametru înseamnă plane secante, iar sistem în care a doua ecuație nu adaugă nimic față de prima înseamnă plane confundate.

2. De ce două plane care se întâlnesc au o dreaptă întreagă comună?

Aici e deosebirea cea mare față de plan, unde două drepte care se întâlnesc au un singur punct comun. Motivul nu e geometric, ci de numărătoare: avem trei necunoscute și doar două ecuații, deci una rămâne liberă, iar soluția nu poate fi un punct izolat.

Ia perechea $x + 4 y - 12 = 0$ și $2 y + z - 8 = 0$ și rezolv-o ca pe un sistem. Din prima ecuație scoți $x = 12 - 4 y$ , din a doua scoți $z = 8 - 2 y$ , iar pe $y$ nu-l determină nimeni: el poate fi orice număr real. Notând $y = t$ , toate punctele comune se scriu deodată:

$(x, y, z) = (12 - 4 t, t, 8 - 2 t), t \in R$

Dă-i lui $t$ trei valori: pentru $t = 0$ obții $(12, 0, 8)$ , pentru $t = 2$ obții $(4, 2, 4)$ , pentru $t = 3$ obții $(0, 3, 2)$ . Fiecare verifică amândouă ecuațiile — controlează ultimul: $0 + 12 - 12 = 0$ și $6 + 2 - 8 = 0$ . Punctele nu sunt împrăștiate: când $t$ crește cu o unitate, punctul se mută mereu cu același pas, în aceeași direcție. Exact asta înseamnă că stau pe o dreaptă.

Reține concluzia, nu calculul: două plane distincte care au un punct comun au o dreaptă întreagă comună. Un sistem de două ecuații cu trei necunoscute nu poate avea niciodată soluție unică — poate avea zero soluții sau o infinitate, niciodată exact una.

3. Cum decizi poziția fără să rezolvi sistemul?

Rezolvarea sistemului dă răspunsul complet, dar e lentă. Mai rapid e să folosim tripletul, care arată direcția planului: triplete proporționale înseamnă aceeași direcție, deci plane care nu se pot tăia; triplete neproporționale înseamnă direcții diferite, deci plane care se taie.

Scrie proporționalitatea ca o egalitate de triplete, nu ca un lanț de rapoarte: există $k \neq = 0$ astfel încât $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = k (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ . Dacă un astfel de $k$ nu există, planele sunt secante și discuția s-a încheiat. Dacă există, mai rămâne un pas: compari termenii liberi cu același $k$ . Dacă și $d_{2} = k d_{1}$ , atunci a doua ecuație este prima înmulțită cu $k$ , deci planele sunt confundate; dacă $d_{2} \neq = k d_{1}$ , sunt paralele distincte. Tabloul complet arată așa:

Tripletele	Termenii liberi	Poziția	Puncte comune
nu sunt proporționale	—	secante	o dreaptă întreagă
$(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = k (a_{1}, b_{1}, c_{1})$	$d_{2} \neq = k d_{1}$	paralele distincte	niciunul
$(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = k (a_{1}, b_{1}, c_{1})$	$d_{2} = k d_{1}$	confundate	toate punctele

Ordinea pașilor contează: întâi tripletele, apoi termenii liberi. Dacă începi cu termenii liberi, nu afli nimic — două plane secante pot avea, întâmplător, orice termeni liberi. Iar cazul „confundate" nu e o curiozitate de manual: e situația în care crezi că ai două obiecte și ai unul singur, scris în două feluri.

4. Ce faci când unul dintre coeficienți este nul?

Planele cu un coeficient nul apar tot timpul, fiindcă sunt cele așezate special față de axe — le găsești la Plane particulare: planele de coordonate și planele paralele cu axele. Cu ele, scrierea proporționalității ca lanț de rapoarte, $\frac{a _{2}}{a _{1}} = \frac{b _{2}}{b _{1}} = \frac{c _{2}}{c _{1}}$ , se strică: un numitor nul face raportul fără sens.

Soluția e să verifici proporționalitatea poziție cu poziție, cu un singur $k$ ales din prima poziție nenulă, și să ceri egalitate pe toate cele trei poziții, inclusiv pe cele cu zero. Privește perechea $3 x - 2 z + 5 = 0$ și $6 x + y - 4 z + 1 = 0$ . Tripletele sunt $(3, 0, - 2)$ și $(6, 1, - 4)$ . Pe prima poziție, $6 = 2 \cdot 3$ , deci singurul $k$ posibil este $2$ ; pe a treia, $- 4 = 2 \cdot (- 2)$ se potrivește și el. Pe poziția din mijloc însă, $2 \cdot 0 = 0$ , în timp ce al doilea plan are acolo $1$ . Egalitatea cade, deci nu există niciun $k$ , iar planele sunt secante — deși la prima vedere „semănau".

Regula practică, pe care merită s-o reții ca pe un reflex: un zero se potrivește numai cu un zero. Dacă un plan nu conține variabila $y$ și celălalt o conține, cele două plane sunt sigur secante, oricât de asemănători ar fi ceilalți coeficienți.

5. Cum se discută poziția când în ecuație apare un parametru?

Multe cerințe nu îți dau două plane gata scrise, ci unul cu un număr necunoscut în coeficienți, și te întreabă pentru ce valori apare o anumită poziție. Drumul e mereu același, în trei pași.

Întâi pui condiția ca tripletele să fie proporționale: scrii $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = k (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ pe cele trei poziții și obții un mic sistem în $k$ și în parametru. Al doilea pas: din pozițiile în care parametrul nu apare afli valoarea lui $k$ — de obicei imediat, dintr-o singură împărțire. Abia al treilea pas dă valoarea parametrului, înlocuind $k$ în poziția rămasă. Și, la final, comparația termenilor liberi separă „paralele distincte" de „confundate".

Două avertismente. Primul: dacă din pozițiile fără parametru ies două valori diferite ale lui $k$ , nu există nicio valoare a parametrului care să facă planele paralele — „nu există" e un răspuns corect și complet. Al doilea: cerința „pentru ce valori sunt secante" se rezolvă la fel, doar că răspunsul este mulțimea complementară celei găsite.

6. La ce folosește poziția a două plane într-un model?

Întoarce-te la carieră. Un strat de rocă, măsurat în trei puncte și așezat într-un reper cu $O z$ vertical, dă o ecuație de gradul întâi; planul faliei dă o a doua. Dacă tripletele lor nu sunt proporționale, suprafețele se taie, iar dreapta comună este chiar linia pe care geologul o vede pe peretele carierei. Dacă tripletele sunt proporționale, falia e paralelă cu stratul și nu-l întâlnește nicăieri — iar informația hotărăște dacă are rost să continue forajul.

Aceeași lectură funcționează pentru orice pereche de legi liniare dintre trei mărimi măsurate. Când două experimente dau legi cu aceleași triplete și termeni liberi diferiți, sistemul este incompatibil: nicio stare a fenomenului nu le respectă pe amândouă, deci o măsurătoare are o eroare sau modelul cere un termen în plus. Când tripletele diferă, mulțimea stărilor care respectă ambele legi este o dreaptă: cu două condiții liniare, un fenomen cu trei mărimi mai are un grad de libertate. Asta e legătura pe care o vei folosi la Trei plane citite dintr-un sistem liniar: fiecare ecuație în plus taie încă o dimensiune.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două ecuații, un singur plan

Stabilește poziția relativă a planelor $5 y - 2 z + 3 = 0$ și $- 15 y + 6 z - 9 = 0$ .

Rezolvare. Tripletele sunt $(0, 5, - 2)$ și $(0, - 15, 6)$ . Prima poziție dă $0 = k \cdot 0$ , adevărat pentru orice $k$ , deci nu ne ajută; luăm $k$ din a doua poziție nenulă: $- 15 = k \cdot 5$ , deci $k = - 3$ . Verificăm și a treia: $- 3 \cdot (- 2) = 6$ , se potrivește. Termenii liberi: $- 3 \cdot 3 = - 9$ , exact cât are al doilea plan. Planele sunt confundate: a doua ecuație este prima înmulțită cu $- 3$ , deci descriu aceeași mulțime de puncte.

Exemplul 2 — Factorul $k$ care se oprește la termenul liber

Stabilește poziția relativă a planelor $π_{1} : x + 5 y - 4 = 0$ și $π_{2} : 2 x + 10 y + 3 = 0$ .

Rezolvare. Tripletele sunt $(1, 5, 0)$ și $(2, 10, 0)$ . Din prima poziție, $k = 2$ , iar $2 \cdot 5 = 10$ și $2 \cdot 0 = 0$ se potrivesc, deci tripletele sunt proporționale. Trecem la termenii liberi, cu același $k$ : $2 \cdot (- 4) = - 8$ , în timp ce al doilea plan are $3$ . Cum $- 8 \neq = 3$ , planele sunt paralele distincte. Control prin sistem: scăzând din a doua ecuație dublul primei, necunoscutele dispar și rămâne termenul liber $11$ , care ar trebui să fie nul; nu este, deci sistemul nu are nicio soluție.

Exemplul 3 — Dreapta comună, scrisă cu un parametru

Arată că planele $x - z - 1 = 0$ și $y + 4 z - 6 = 0$ sunt secante și scrie două puncte ale dreptei lor comune.

Rezolvare. Tripletele sunt $(1, 0, - 1)$ și $(0, 1, 4)$ : prima poziție ar cere $k \cdot 1 = 0$ , deci $k = 0$ , ceea ce nu se acceptă. Nu există niciun $k$ nenul, așa că planele sunt secante. Pentru dreapta comună rezolvăm sistemul: din prima ecuație $x = z + 1$ , din a doua $y = 6 - 4 z$ , iar $z$ rămâne liber. Cu $z = t$ obținem $(t + 1, 6 - 4 t, t)$ . Pentru $t = 0$ iese punctul $(1, 6, 0)$ , iar pentru $t = 1$ iese $(2, 2, 1)$ ; amândouă verifică ambele ecuații.

Exemplul 4 — Un punct nu ajunge

Un elev stabilește poziția planelor $5 y - z - 7 = 0$ și $2 x + y + z - 13 = 0$ așa: „Din prima ecuație, $z = 5 y - 7$ . Înlocuind în a doua, $2 x + y + 5 y - 7 - 13 = 0$ , deci $2 x + 6 y = 20$ și $x = 10 - 3 y$ . Pentru $y = 0$ obțin $x = 10$ și $z = - 7$ , așadar planele se taie în punctul $(10, 0, - 7)$ ." Găsește greșeala și dă răspunsul corect.

Rezolvare. Calculele sunt corecte, concluzia nu. Tripletele $(0, 5, - 1)$ și $(2, 1, 1)$ nu pot fi proporționale, fiindcă prima poziție ar cere $k \cdot 0 = 2$ , așa că planele sunt secante. Greșeala stă în pasul următor: elevul i-a dat lui $y$ valoarea $0$ fără niciun motiv, deși nicio ecuație nu-l determină. Punctele comune sunt toate punctele $(10 - 3 t, t, 5 t - 7)$ , cu $t$ real, iar cel găsit de elev este doar acela de la $t = 0$ . Pentru $t = 1$ iese $(7, 1, - 2)$ , care verifică și el ambele ecuații: $5 + 2 - 7 = 0$ și $14 + 1 - 2 - 13 = 0$ . Răspunsul corect este „secante, cu dreapta comună $(10 - 3 t, t, 5 t - 7)$ ", nu „se taie în punctul…".

Exemplul 5 — Parametrul care hotărăște direcția

Determină numărul real $m$ pentru care planele $3 x + m y + 4 = 0$ și $12 x - 20 y - 7 = 0$ nu sunt secante, apoi precizează poziția lor exactă pentru valoarea găsită.

Rezolvare. Planele nu sunt secante exact când tripletele $(3, m, 0)$ și $(12, - 20, 0)$ sunt proporționale. Pe prima poziție, $12 = k \cdot 3$ , deci $k = 4$ ; pe a treia, $0 = 4 \cdot 0$ , se potrivește. Rămâne poziția din mijloc: $- 20 = 4 m$ , de unde $m = - 5$ . Pentru această valoare comparăm termenii liberi: $4 \cdot 4 = 16$ , iar al doilea plan are $- 7$ . Cum $16 \neq = - 7$ , planele sunt paralele distincte. Verificare: pentru $m = - 5$ primul plan devine $3 x - 5 y + 4 = 0$ , iar înmulțit cu $4$ dă $12 x - 20 y + 16 = 0$ , care diferă de $12 x - 20 y - 7 = 0$ doar prin termenul liber.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Se consideră planele $π : x + 2 z - 7 = 0$ și $σ : y - 3 z + 1 = 0$ .

a) Arată că planele $π$ și $σ$ sunt secante.

b) Arată că punctul $A (5, 2, 1)$ aparține ambelor plane, iar punctul $B (7, 2, 0)$ aparține doar lui $π$ .

c) Determină punctul dreptei comune situat în planul $x O y$ .

Rezolvare. a) Tripletele sunt $(1, 0, 2)$ și $(0, 1, - 3)$ . Prima poziție ar cere $k \cdot 1 = 0$ , adică $k = 0$ , valoare neacceptată. Nu există $k$ nenul, deci planele sunt secante.

b) Pentru $A$ : $5 + 2 \cdot 1 - 7 = 0$ și $2 - 3 \cdot 1 + 1 = 0$ , deci $A$ aparține amândurora. Pentru $B$ : $7 + 0 - 7 = 0$ , deci $B \in π$ ; dar $2 - 0 + 1 = 3 \neq = 0$ , deci $B \in / σ$ .

c) Rezolvăm sistemul: $x = 7 - 2 z$ și $y = 3 z - 1$ , cu $z$ liber. Punctele planului $x O y$ au cota $z = 0$ , deci punctul căutat este $(7, - 1, 0)$ . Verificare: $7 + 0 - 7 = 0$ și $- 1 - 0 + 1 = 0$ .

Să exersăm

1. Stabilește poziția relativă a planelor $2 x - 7 y + 3 = 0$ și $4 x - 14 y - 5 = 0$ .

2. Stabilește poziția relativă a planelor $3 x - z + 2 = 0$ și $- 6 x + 2 z - 4 = 0$ .

3. Stabilește poziția relativă a planelor $y + 5 z - 1 = 0$ și $4 y - 3 z + 7 = 0$ .

4. Stabilește poziția relativă a planelor $7 y + 2 z - 3 = 0$ și $7 y + 2 z + 9 = 0$ .

5. Arată că planele $2 y - 9 = 0$ și $6 y + 5 = 0$ sunt paralele distincte și spune cu ce plan de coordonate sunt amândouă paralele.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă sistemul format din ecuațiile a două plane are cel puțin o soluție, atunci planele au exact o dreaptă comună.

7. Arată că planele $x - 3 z + 4 = 0$ și $y + 2 z - 6 = 0$ sunt secante și scrie trei puncte ale dreptei lor comune.

8. Stabilește poziția relativă a planelor $4 x - 6 z - 10 = 0$ și $- 2 x + 3 z + 5 = 0$ .

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Planele $5 y - 2 = 0$ și $4 z + 7 = 0$ sunt paralele, fiindcă fiecăruia dintre ele îi lipsesc câte două variabile.

10. Arată că planele $x + 2 y - 9 = 0$ și $2 x - 3 y - 4 = 0$ sunt secante și precizează cu ce axă este paralelă dreapta lor comună.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determină numărul real $m$ pentru care planele $m x + 12 z - 20 = 0$ și $3 x - 4 z + 5 = 0$ nu sunt secante, apoi precizează poziția lor exactă.

12. (Problemă aplicată.) Într-un montaj optic, două lame plane de sticlă sunt descrise, în centimetri, de ecuațiile $x + 3 z - 12 = 0$ și $2 x + 6 z + 5 = 0$ . Stabilește dacă lamele se ating și spune ce mărime fizică nu se poate citi din ecuații.

13. Determină numărul real $d$ pentru care planele $5 y - 3 z + d = 0$ și $- 10 y + 6 z + 8 = 0$ sunt confundate.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $x + 5 z - 8 = 0$ și $y - 2 z + 1 = 0$ . a) Arată că sunt secante. b) Arată că punctul $P (3, 1, 1)$ aparține amândurora. c) Determină punctul dreptei comune care are cota $z = 2$ .

15. Un elev scrie: „Planele $3 x + 6 y - 2 = 0$ și $x + 2 y + 7 = 0$ sunt secante, pentru că $3 \neq = 1$ și $6 \neq = 2$ ." Găsește greșeala din raționament și dă răspunsul corect.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră planele $x - 4 y + 5 = 0$ și $y + 2 z - 3 = 0$ . a) Scrie două puncte ale dreptei lor comune. b) Arată că dreapta comună nu întâlnește axa $O z$ .

17. Se consideră planele $2 x - z + 6 = 0$ și $4 x + m y - 2 z + 1 = 0$ , cu $m$ real. a) Determină $m$ pentru care planele nu sunt secante și precizează poziția lor. b) Pentru $m = 1$ , scrie un punct al dreptei lor comune.

18. (Provocare.) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care planele $m x - 2 y + 8 = 0$ și $2 x + m y - 3 = 0$ nu sunt secante.

Răspunsuri și explicații

1. Tripletele $(2, - 7, 0)$ și $(4, - 14, 0)$ dau $k = 2$ pe toate pozițiile. Termenii liberi: $2 \cdot 3 = 6 \neq = - 5$ , deci planele sunt paralele distincte.

2. Tripletele $(3, 0, - 1)$ și $(- 6, 0, 2)$ dau $k = - 2$ , iar $- 2 \cdot 2 = - 4$ , exact termenul liber al celui de-al doilea. Planele sunt confundate.

3. Tripletele $(0, 1, 5)$ și $(0, 4, - 3)$ : din a doua poziție $k = 4$ , dar $4 \cdot 5 = 20 \neq = - 3$ . Nu există $k$ , deci planele sunt secante.

4. Tripletele sunt identice, deci $k = 1$ , iar termenii liberi diferă: $- 3 \neq = 9$ . Planele sunt paralele distincte, la fel ca oricare două plane care au aceeași parte cu necunoscute și termeni liberi diferiți.

5. Tripletele $(0, 2, 0)$ și $(0, 6, 0)$ dau $k = 3$ , iar $3 \cdot (- 9) = - 27 \neq = 5$ : paralele distincte. Amândurora le lipsesc $x$ și $z$ , deci sunt paralele cu planul $x O z$ .

6. Fals. Sistemul are soluții și atunci când planele sunt confundate, iar în cazul acela punctele comune nu formează o dreaptă, ci un plan întreg: fiecare punct al primului plan verifică și a doua ecuație. O astfel de pereche se obține înmulțind o ecuație cu un număr nenul. Afirmația devine adevărată numai dacă se cere în plus ca planele să fie distincte.

7. Tripletele $(1, 0, - 3)$ și $(0, 1, 2)$ nu pot fi proporționale, fiindcă prima poziție ar cere $k = 0$ : planele sunt secante. Din sistem, $x = 3 z - 4$ și $y = 6 - 2 z$ , cu $z$ liber; pentru $z = 0$ , $z = 1$ și $z = 2$ obținem $(- 4, 6, 0)$ , $(- 1, 4, 1)$ și $(2, 2, 2)$ .

8. Tripletele $(4, 0, - 6)$ și $(- 2, 0, 3)$ dau $k = - \frac{1}{2}$ , iar $- \frac{1}{2} \cdot (- 10) = 5$ , exact termenul liber al celui de-al doilea. Planele sunt confundate.

9. Fals. Tripletele sunt $(0, 5, 0)$ și $(0, 0, 4)$ și nu sunt proporționale: pe poziția a doua ar trebui $k \cdot 5 = 0$ , deci $k = 0$ , valoare neacceptată. Planele sunt secante. Primul este paralel cu $x O z$ , al doilea cu $x O y$ , iar dreapta lor comună este paralelă cu axa $O x$ . Ce le lipsește nu contează; contează dacă le lipsesc aceleași variabile.

10. Tripletele $(1, 2, 0)$ și $(2, - 3, 0)$ nu sunt proporționale, fiindcă $k = 2$ din prima poziție dă $2 \cdot 2 = 4 \neq = - 3$ : planele sunt secante. Rezolvând sistemul obținem $x = 5$ și $y = 2$ , iar $z$ rămâne liber, deci dreapta comună este formată din punctele $(5, 2, t)$ și este paralelă cu axa $O z$ — firesc, de vreme ce fiecărui plan îi lipsește $z$ .

11. Tripletele $(m, 0, 12)$ și $(3, 0, - 4)$ sunt proporționale când $- 4 = 12 k$ , deci $k = - \frac{1}{3}$ , iar din $3 = k m$ rezultă $m = - 9$ . Termenii liberi: $- \frac{1}{3} \cdot (- 20) = \frac{20}{3} \neq = 5$ , deci planele sunt paralele distincte.

12. Tripletele $(1, 0, 3)$ și $(2, 0, 6)$ dau $k = 2$ , iar $2 \cdot (- 12) = - 24 \neq = 5$ : lamele sunt paralele distincte, deci nu se ating. Din ecuații nu se poate citi grosimea lamelor: ecuația descrie o suprafață plană, fără grosime, iar o lamă reală are două fețe, adică două plane paralele foarte apropiate.

13. Din tripletele $(0, 5, - 3)$ și $(0, - 10, 6)$ rezultă $k = - 2$ . Pentru plane confundate trebuie ca $- 2 d = 8$ , deci $d = - 4$ . Verificare: înmulțind $5 y - 3 z - 4 = 0$ cu $- 2$ obținem chiar $- 10 y + 6 z + 8 = 0$ .

14. a) Tripletele $(1, 0, 5)$ și $(0, 1, - 2)$ nu sunt proporționale, fiindcă prima poziție ar cere $k = 0$ : planele sunt secante. b) $3 + 5 \cdot 1 - 8 = 0$ și $1 - 2 \cdot 1 + 1 = 0$ , deci $P$ aparține amândurora. c) Din sistem, $x = 8 - 5 z$ și $y = 2 z - 1$ ; pentru $z = 2$ obținem punctul $(- 2, 3, 2)$ , care verifică ambele ecuații.

15. Greșeala este că elevul compară coeficienții „pe poziții", în loc să caute un factor comun. Tripletele $(3, 6, 0)$ și $(1, 2, 0)$ sunt proporționale cu $k = \frac{1}{3}$ , deci planele nu sunt secante. Termenii liberi: $\frac{1}{3} \cdot (- 2) = - \frac{2}{3} \neq = 7$ , așa că planele sunt paralele distincte.

16. a) Tripletele $(1, - 4, 0)$ și $(0, 1, 2)$ nu sunt proporționale, deci planele sunt secante. Din sistem, $y = 3 - 2 z$ și $x = 4 y - 5 = 7 - 8 z$ ; pentru $z = 0$ și $z = 1$ obținem punctele $(7, 3, 0)$ și $(- 1, 1, 1)$ . b) Un punct al axei $O z$ are primele două coordonate nule. Anulând a doua coordonată a punctelor dreptei comune obținem $z = \frac{3}{2}$ , iar prima coordonată devine $7 - 8 \cdot \frac{3}{2} = - 5$ , diferită de zero. Prin urmare niciun punct al dreptei comune nu se află pe axa $O z$ .

17. a) Tripletele $(2, 0, - 1)$ și $(4, m, - 2)$ dau $k = 2$ din prima poziție, iar poziția a treia se potrivește; pe poziția din mijloc, $m$ trebuie să fie $2 \cdot 0$ , adică $m = 0$ . Pentru această valoare termenii liberi dau $2 \cdot 6 = 12$ , iar al doilea plan are $1$ , deci planele sunt paralele distincte. b) Pentru $m = 1$ tripletele sunt $(2, 0, - 1)$ și $(4, 1, - 2)$ , iar pe poziția din mijloc $2 \cdot 0$ nu ajunge la $1$ , deci planele sunt secante. Sistemul devine $2 x - z = - 6$ și $4 x + y - 2 z = - 1$ ; înlocuind $z = 2 x + 6$ în a doua, termenii cu $x$ se reduc și rămâne $y = 11$ . Un punct al dreptei comune este $(0, 11, 6)$ .

18. Tripletele $(m, - 2, 0)$ și $(2, m, 0)$ sunt proporționale doar dacă există $k$ cu $2 = k m$ și $m = - 2 k$ . Înlocuind, $2 = k \cdot (- 2 k)$ , adică $k^{2} = - 1$ , egalitate imposibilă în mulțimea numerelor reale. Nu există nicio valoare reală a lui $m$ : oricare ar fi $m$ , cele două plane sunt secante.

De reținut

Două plane sunt secante (au o dreaptă întreagă comună), paralele distincte (fără niciun punct comun) sau confundate (unul și același plan, scris în două feluri).
Punctele comune a două plane sunt soluțiile sistemului format din ecuațiile lor; un sistem de două ecuații cu trei necunoscute nu are niciodată soluție unică.
Poziția se decide în doi pași, în ordinea asta: întâi tripletele, cu un singur $k$ pe toate cele trei poziții, apoi termenii liberi, cu același $k$ .
Un zero se potrivește numai cu un zero: dacă unui plan îi lipsește o variabilă, iar celuilalt nu, planele sunt sigur secante.
Dreapta comună se scrie rezolvând sistemul și lăsând o necunoscută liberă, ca parametru; fiecare valoare a parametrului dă un punct al dreptei.

Greșeli frecvente

Transportul regulii din plan în spațiu. În plan, două drepte neparalele au un punct comun; în spațiu, două plane secante au o dreaptă întreagă comună. Răspunsul „planele se taie în punctul…" este greșit din start, oricât de corect ar fi calculul care urmează.
Compararea coeficienților poziție cu poziție, fără factor comun. Din $3 \neq = 1$ nu rezultă nimic: contează dacă al doilea triplet este un multiplu al primului, nu dacă numerele sunt egale.
Confundarea lui „paralel cu o axă" cu „paralele între ele". Două plane pot fi amândouă paralele cu axa $O z$ și totuși să se taie după o dreaptă — chiar paralelă cu $O z$ . Paralelismul cu o axă este o proprietate a fiecărui plan în parte, nu o relație între ele.
Declararea unui punct „comun" după o singură verificare. Un punct trebuie pus în ambele ecuații; dacă verifică doar una, el arată exact contrariul, adică faptul că nu se află pe dreapta comună.
Oprirea la un singur punct al dreptei comune. Cerința „scrie dreapta de intersecție" nu e rezolvată de un punct: trebuie lăsată o necunoscută liberă și scrise toate punctele deodată, în funcție de parametru.

Aplică acasă

Cartea deschisă. Așază o carte deschisă pe masă și alege un reper cu originea într-un colț al mesei, cu $O x$ și $O y$ pe muchii și cu $O z$ în sus. Măsoară în centimetri, scrie ecuația planului mesei și pe cea a unei coperți, verifică prin criteriul cu triplete că sunt secante și arată că dreapta lor comună este cotorul cărții.
Vânătoare de perechi. Găsește în casă trei perechi de suprafețe plane: una paralelă distinctă, una secantă și una în care crezi că sunt două suprafețe, dar e aceeași (o placă subțire lipită pe un blat). Pentru fiecare, alege un reper, scrie cele două ecuații și confirmă poziția prin calcul, nu prin privire.
Controlul colegului. Scrie cinci perechi de plane, fiecare cu cel puțin un coeficient nul, amestecând cele trei poziții, și dă-le unui coleg. Verifică-i apoi răspunsurile rezolvând tu sistemele; pentru perechile secante, cere-i și două puncte ale dreptei comune.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul numește corect cele trei poziții și le leagă de numărul de puncte comune, dacă aplică criteriul în ordinea potrivită — întâi tripletele, apoi termenii liberi — și dacă scrie dreapta comună a două plane secante ca listă de puncte cu un parametru.

Dificultatea reală nu este algebrică, ci de imaginație spațială: elevul vine cu reflexul „două condiții, un punct" și îl aplică automat, deși aici două condiții lasă o dimensiune liberă. O dreaptă în spațiu nu are, la acest profil, o ecuație proprie: se descrie fie ca intersecție a două plane, fie prin lista punctelor ei, scrisă cu un parametru.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Câte puncte comune au două plane secante?", „Cum arăți că două plane sunt confundate, nu doar paralele?", „De ce nu poți compara coeficienții prin rapoarte când unul e nul?", „Ce înseamnă, geometric, că sistemul celor două ecuații nu are soluții?". Semne că a înțeles: pune tripletele unul sub altul înainte de orice calcul; spune „o dreaptă", nu „un punct", când planele se taie; și, în fața a două ecuații proporționale cu tot cu termenul liber, răspunde imediat „e același plan".

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, la conținutul „Pozițiile relative ale două sau trei plane". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc; programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014) conține doar poziția relativă a două drepte în plan, temă de clasa a IX-a. Pentru ei, lecția rămâne lectură utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

În ce poziții se pot afla două plane în spațiu?

În exact trei: secante, dacă au o dreaptă întreagă comună; paralele distincte, dacă nu au niciun punct comun; confundate, dacă sunt unul și același plan scris în două feluri. Nu există cazul „se taie într-un punct": două plane distincte care au un punct comun au automat o dreaptă comună întreagă.

Cum stabilesc dacă două plane sunt paralele?

Compari tripletele coeficienților. Cauți un număr $k \neq = 0$ pentru care al doilea triplet este primul înmulțit cu $k$ , verificând toate cele trei poziții, inclusiv pe cele cu zero. Dacă un astfel de $k$ nu există, planele sunt secante; dacă există, compari și termenii liberi: dacă ei nu respectă aceeași proporție, planele sunt paralele distincte.

Care e diferența dintre plane paralele și plane confundate?

Paralele distincte înseamnă aceeași direcție, dar niciun punct comun: sistemul celor două ecuații nu are soluții. Confundate înseamnă că a doua ecuație este prima înmulțită cu un număr nenul, deci descrie exact aceleași puncte. Verificarea care le separă este comparația termenilor liberi, cu același factor $k$ folosit la triplete.

Cum scriu dreapta de intersecție a două plane secante?

Rezolvi sistemul format din cele două ecuații. Ele lasă o necunoscută liberă: o notezi cu un parametru, de obicei $t$ , și exprimi celelalte două în funcție de el. Lista punctelor, scrisă în funcție de $t$ , este chiar dreapta, iar fiecare valoare a parametrului dă un punct al ei.

Se cere unghiul dintre două plane la profilul științe ale naturii?

Nu. Programa nouă pentru științe ale naturii cere doar pozițiile relative — secante, paralele, confundate — nu și unghiul dintre plane sau distanța dintre două plane paralele. Acestea ar avea nevoie de calcul vectorial, care nu face parte din programă; aici tripletul $(a, b, c)$ se folosește exclusiv ca indicator de direcție citit din ecuație.

Se dau pozițiile relative a două plane și la mate-info (M1)?

Nu. Geometria analitică în spațiu lipsește cu totul de la matematică-informatică: acolo capitolul de geometrie al clasei a XII-a este dedicat conicelor din plan. Pentru comparație, poziția relativă a două drepte în plan la mate-info (M1): Poziția relativă a două drepte; acolo criteriul se scrie cu un determinant de ordinul al doilea, fiindcă necunoscutele sunt doar două.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, geometria analitică — cea din plan — apare ca o cerință scurtă, la Subiectul I.

Ce înseamnă că sistemul celor două ecuații este incompatibil?

Înseamnă că nu există niciun punct din spațiu ale cărui coordonate să verifice ambele ecuații, adică planele nu se întâlnesc nicăieri: sunt paralele distincte. Într-un model cu trei mărimi măsurate, aceeași concluzie se citește altfel: cele două legi liniare nu pot fi adevărate deodată, deci una dintre măsurători sau modelul însuși are o problemă.