Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int 12^{x}\,dx$$ este:

$$\dfrac{12^{x}}{\ln 12}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{12^{x+1}}{x+1}+\mathcal{C}$$

Pe $$(0,+\infty)$$, $$\displaystyle\int\frac{5x^{2}+3}{x}\,dx$$ este:

$$\dfrac{5x^{2}}{2}+3\ln\lvert x\rvert+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{5x^{2}}{2}+\dfrac{3}{x}+\mathcal{C}$$

$$5x^{2}+3\ln\lvert x\rvert+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{5x^{2}}{2}+3\ln\lvert x\rvert$$

Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int e^{9x}\,dx$$ este:

$$\dfrac{e^{9x}}{9}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{e^{9x}}{\ln 9}+\mathcal{C}$$

Cum integrez (x²+1)/x?

Desparți fracția în x+ 1/x, apoi aplici rândurile din tabel pentru putere și pentru logaritm. Pe (0,+∞) se obține x²/2+ln x+ C, unde modulul poate lipsi, fiindcă x este pozitiv. Derivând, rezultatul dă înapoi x+ 1/x.

Ce primitivă are 3^(x)+x³?

Fiecare termen are rândul lui: la 3^(x) litera stă la exponent, deci se împarte la ln3, iar la x³ stă la bază, deci crește exponentul. Rezultatul este 3^(x)/ln3+ x⁴/4+ C, valabil pe ℝ.

De ce se pune modul la logaritm în primitivă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Primitive cu exponențială și logaritm

Pentru că formula trebuie să funcționeze și pe $(- \infty, 0)$ , unde $ln x$ nu există. Acolo se folosește $ln (- x)$ , a cărui derivată este tot $\frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$ . Scrierea $ln ∣ x ∣$ le cuprinde pe amândouă, pe câte un interval fără zero. Exemplu: pe $(- 5, - 1)$ , primitivele lui $\frac{1}{x}$ sunt $ln (- x) + C$ , iar diferența lor între $- 1$ și $- 5$ este $ln 1 - ln 5 = - ln 5 \approx - 1, 61$ , negativă, cum e și funcția pe acel interval.

Se adaugă trei rânduri, scurte, dar așezate exact peste greșelile ușor de făcut.

Funcția rămasă pe dinafară la puteri, cea cu numitorul chiar $x$ , capătă acum primitivele $ln ∣ x ∣ + C$ , bune pe orice interval din care originea lipsește. Modulul ține de formulă, nu de enunț: pe partea negativă nu poți scrie logaritm din $x$ , dar poți din $- x$ , iar derivata iese aceeași. Domeniul fiind rupt în două, numărul adăugat se alege deosebit pe fiecare bucată.

Exponențiala de bază $e$ trece neatinsă și prin derivare, și prin integrare, fiindcă derivarea ei nu scoate niciun factor în față. La orice altă bază, derivarea înmulțește cu logaritmul ei, deci mersul înapoi împarte; aici se greșește cel mai des, prin analogie.

Exponentul înmulțit cu un număr nu cere unelte noi: îl citești ca putere a bazei ridicate la acel număr, iar factorul coboară la numitor, exponentul rămânând cum era.

Alegerea rândului o dictează exponentul de sub linie: numitorul chiar $x$ duce la logaritm, iar $x$ la o putere de cel puțin doi duce tot la o fracție.

De reținut

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , pe câte un interval care nu conține $0$
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{l n a} + C$ ; pentru $a = e$ , $\int e^{x} d x = e^{x} + C$
litera la exponent: exponențială; litera la bază: putere

Greșeala tipică

Se scrie $\int \frac{1}{x} d x = ln x + C$ și pe $(- \infty, 0)$ , unde $ln x$ nu este definit; acolo primitiva este $ln (- x)$ , adică $ln ∣ x ∣$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int 1 2^{x} d x$ este:
- a) $1 2^{x} ln 12 + C$
- b) $\frac{1 2 ^{x}}{ln 12} + C$
- c) $\frac{1 2 ^{x + 1}}{x + 1} + C$
- d) $1 2^{x} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1 2 ^{x}}{ln 12} + C$

Este rândul exponențialei cu bază oarecare, cu $a = 12$ : la integrare se împarte la $ln a$ . Varianta a) este chiar derivata, nu primitiva. Varianta c) aplică rândul puterilor, deși aici litera $x$ stă la exponent, nu la bază. Varianta d) ar fi corectă numai pentru baza $e$ , unde factorul $ln e$ valorează $1$ și nu se vede.
Pe $(0, + \infty)$ , $\int \frac{5 x ^{2} + 3}{x} d x$ este:
- a) $\frac{5 x ^{2}}{2} + \frac{3}{x} + C$
- b) $5 x^{2} + 3 ln ∣ x ∣ + C$
- c) $\frac{5 x ^{2}}{2} + 3 ln ∣ x ∣ + C$
- d) $\frac{5 x ^{2}}{2} + 3 ln ∣ x ∣$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{5 x ^{2}}{2} + 3 ln ∣ x ∣ + C$

Împărțim termen cu termen: $\frac{5 x ^{2} + 3}{x} = 5 x + \frac{3}{x}$ . Primul termen dă $\frac{5 x ^{2}}{2}$ , al doilea este rândul logaritmului, cu constanta $3$ în față. Varianta a) alege rândul puterilor pentru al doilea termen, b) uită împărțirea la $2$ , iar d) pierde familia, scriind un singur element în locul ei.
Pe $R$ , $\int e^{9 x} d x$ este:
- a) $9 e^{9 x} + C$
- b) $e^{9 x} + C$
- c) $\frac{e ^{9 x}}{ln 9} + C$
- d) $\frac{e ^{9 x}}{9} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{e ^{9 x}}{9} + C$

Scriem $e^{9 x} = (e^{9})^{x}$ , adică o exponențială obișnuită cu baza $e^{9}$ . Numitorul devine $ln (e^{9}) = 9$ , deci rezultatul este $\frac{e ^{9 x}}{9} + C$ . Exponentul rămâne neschimbat, iar numărul care înmulțește variabila coboară la numitor. Proba: $(\frac{e ^{9 x}}{9})^{'} = e^{9 x}$ .

Întrebări conexe

Cum aflu numărul de bacterii dintr-o rată de creștere exponențială?

Dacă populația crește cu viteza $200 e^{0, 5 t}$ bacterii pe oră, o primitivă este $400 e^{0, 5 t}$ , fiindcă derivata ei aduce factorul $0, 5$ . Cu $1000$ de bacterii la început, $N (t) = 400 e^{0, 5 t} + 600$ , iar după $2$ ore $N (2) = 400 e + 600 \approx 1687$ .

Cum integrez $\frac{x ^{2} + 1}{x}$ ?

Desparți fracția în $x + \frac{1}{x}$ , apoi aplici rândurile din tabel pentru putere și pentru logaritm. Pe $(0, + \infty)$ se obține $\frac{x ^{2}}{2} + ln x + C$ , unde modulul poate lipsi, fiindcă $x$ este pozitiv. Derivând, rezultatul dă înapoi $x + \frac{1}{x}$ .

Ce legătură are logaritmul cu lucrul mecanic al unui gaz?

La o destindere izotermă, presiunea este $p = \frac{n R T}{V}$ , iar o primitivă în raport cu volumul este $n R T ln V$ . Lucrul efectuat între $V_{1}$ și $V_{2}$ este $n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}}$ . Pentru $n R T = 1000$ J și volum dublat, lucrul este $1000 ln 2 \approx 693$ J.

Ce primitivă are $3^{x} + x^{3}$ ?

Fiecare termen are rândul lui: la $3^{x}$ litera stă la exponent, deci se împarte la $ln 3$ , iar la $x^{3}$ stă la bază, deci crește exponentul. Rezultatul este $\frac{3 ^{x}}{l n 3} + \frac{x ^{4}}{4} + C$ , valabil pe $R$ .

De ce primitiva lui $e^{x}$ nu are niciun factor în față?

Pentru că derivata lui $e^{x}$ este chiar $e^{x}$ , fără factor. Formula generală împarte la $ln a$ , iar pentru baza $e$ acest număr este $ln e = 1$ . De aceea $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , spre deosebire de $\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{l n 2} + C$ .

Oamenii mai întreabă și: de ce se scrie modul la logaritm · primitiva lui 1 supra x cu modul · ln de modul de x la primitive · modulul din primitiva lui 1/x