Primitive cu exponențială și logaritm (M2, științe ale naturii)

O cultură de alge dintr-un fotobioreactor își dublează masa la răstimpuri egale; o doză de medicament părăsește sângele cu o viteză care scade în același ritm. Amândouă procesele se descriu cu funcții exponențiale, iar întrebarea pe care ți-o pune biologia nu e „cât de repede", ci „cât s-a strâns până acum" — adică o întrebare de primitivă. Lecția aceasta, de clasa a XII-a, profil științe ale naturii (M2), completează tabelul primitivelor cu cele trei rânduri de care ai nevoie ca să răspunzi: funcția $\frac{1}{x}$, exponențiala naturală și exponențiala în bază oarecare. La bacalaureatul M2, materia de analiză stă la Subiectul al III-lea, iar în modelul oficial publicat pentru proba actuală prima problemă de acolo, cea despre derivate, este construită pe o funcție cu exponențială.

Tabelul nu se ia de la capăt. El s-a deschis la Tabelul primitivelor uzuale: puteri și radicali, cu cinci rânduri; aici se adaugă rândurile 6, 7 și 8, iar ultimele șase vin la lecția următoare. Tema se cere la amândouă examenele: programa de examen din 2014, valabilă pentru sesiunile 2027–2029, are la capitolul de analiză rândul „Primitive uzuale", iar programa nouă, pe care se construiește proba MAT_P2 din 2030, cere la unitatea XII.3 „Tabelul primitivelor uzuale". Nicio despărțire între generații, deci, și niciun exercițiu de aici care să nu-ți folosească.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii primitiva funcției $\frac{1}{x}$ și să explici de ce în ea apare modulul.
• Vei ști să lucrezi pe fiecare dintre cele două ramuri ale domeniului, cu constanta ei.
• Vei ști că exponențiala naturală este propria ei primitivă și de ce nu se întâmplă asta cu nicio altă bază.
• Vei ști să integrezi $a^x$, împărțind la $\ln a$, și să recunoști ce se schimbă când baza e subunitară.
• Vei ști să duci la capăt integrala lui $e^{kx}$ fără nicio metodă nouă, citind-o ca exponențială cu altă bază.
• Vei ști să folosești cele trei rânduri într-un model de creștere sau de eliminare din biologie.

Hai să descoperim împreună

1. Care este rândul care lipsea din tabel?

La lecția precedentă, rândul puterilor de la numitor s-a oprit la $n\ge 2$, iar funcția $\frac{1}{x}$ a rămas pe dinafară. Ea își primește acum rândul propriu, al șaselea:

Mulțimea primitivelor funcției $\frac{1}{x}$ este, pe orice interval $I$ care nu conține originea, familia $\ln |x|+\mathcal{C}$, adică toate funcțiile de forma $\ln |x|+c$, cu $c$ număr real fixat pe acel interval.

Pe $(0,+\infty )$ rezultatul e cel pe care îl bănuiai: din ${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, citit invers, obții că $\ln x$ este o primitivă. Formula de derivare o ai în tabelul derivatelor, iar funcția însăși din clasa a IX-a, de la logaritmul natural și logaritmul zecimal.

Merită observat de ce rândul acesta nu putea fi obținut din blocul precedent. Acolo, toate primitivele erau tot puteri ale lui $x$: o putere derivată dă o putere, iar o putere integrată dă tot o putere. Aici, pentru prima dată, integrarea scoate elevul din familia cu care a pornit și îl duce la o funcție de alt fel. E semnul că tabelul nu e o simplă listă de exerciții rezolvate, ci harta legăturilor dintre familiile de funcții pe care le-ai studiat până acum.

Partea interesantă începe însă pe cealaltă ramură.

2. De ce apare modulul?

Pe intervalul $(-\infty ,0)$ funcția $\frac{1}{x}$ este perfect definită și continuă, deci are primitive; dar $\ln x$ nu are niciun sens acolo, fiindcă logaritmul cere argument strict pozitiv. Încercăm atunci funcția $\ln (-x)$, care e bine definită pentru $x<0$, și o derivăm cu regula funcțiilor compuse, învățată la derivarea funcțiilor compuse:

$${\left(\ln (-x)\right)}^{\prime }=\frac{(-x{)}^{\prime }}{-x}=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}.$$

Prin urmare $\ln (-x)$ este o primitivă pe ramura negativă. Cele două formule se strâng într-una singură: pentru $x>0$ avem $\ln |x|=\ln x$, iar pentru $x<0$ avem $\ln |x|=\ln (-x)$. Modulul nu e o podoabă de scriere, ci singurul mod de a scrie ambele ramuri într-un rând.

Cuvântul sau din enunț cere și el atenție. Domeniul funcției nu e un interval, ci o reuniune de două intervale, așa că nu poți vorbi despre „mulțimea primitivelor pe tot domeniul": pe fiecare bucată constanta se alege separat, iar două primitive care diferă pe o ramură pot diferi cu altceva pe cealaltă.

Ca să vezi limpede ce înseamnă asta, imaginează-ți două funcții care pe ramura negativă sunt amândouă egale cu $\ln (-x)$, iar pe cea pozitivă una este $\ln x$ și cealaltă $\ln x+4$. Amândouă au derivata $\frac{1}{x}$ peste tot unde sunt definite, deci amândouă sunt primitive ale aceleiași funcții, dar diferența dintre ele nu e o constantă: e zero pe o bucată și patru pe cealaltă. Nu se contrazice nimic, fiindcă teorema care spune că două primitive diferă printr-o constantă se enunță pe un interval. Aici sunt două intervale, deci două constante, iar un enunț bine scris precizează pe care dintre ele se lucrează.

Un calcul complet, pe o funcție care nu e chiar $\frac{1}{x}$: pentru $\frac{3x+8}{x}$ împărțim întâi termen cu termen și obținem $3+\frac{8}{x}$, adică rândul 1 cu $n=0$ și rândul 6 cu constanta $8$ în față. Rezultă $\int \frac{3x+8}{x}dx=3x+8\ln |x|+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$ sau pe $(-\infty ,0)$.

3. De ce este exponențiala naturală propria ei primitivă?

Dintre toate funcțiile din tabel, una singură se reproduce prin derivare: ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$. Citită invers, egalitatea dă al șaptelea rând, cel mai scurt din tot tabelul:

$$\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Nu apare niciun coeficient, fiindcă derivarea nu a scos niciunul în față. Numărul $e$ a fost ales tocmai ca să se întâmple asta — l-ai întâlnit la numărul e și funcția exponențială naturală —, iar consecința practică e că exponențiala naturală trece nemodificată prin orice lanț de derivări și de integrări.

Atenție la o confuzie care se face des: aici $e$ este baza, iar variabila stă la exponent. Dacă într-un enunț variabila stă la bază, ai o putere și te întorci la rândurile din lecția precedentă. Proba de recunoaștere ia o secundă: caută unde stă litera $x$.

4. De ce se împarte la $\ln a$?

Pentru o bază oarecare $a>0$, $a\ne 1$, formula de derivare aduce un factor: ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$. Cum $a\ne 1$ înseamnă $\ln a\ne 0$, putem împărți, și obținem al optulea rând:

$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Ține minte sensul operației: la derivare se înmulțește cu $\ln a$, la integrare se împarte. E singurul loc din bloc unde se poate greși, și se greșește tocmai prin analogie cu derivarea.

Un calcul cu două baze deodată: pentru $4e^x-5^x$ folosim rândul 7 pentru primul termen și rândul 8 cu $a=5$ pentru al doilea, deci $\int \left(4e^x-5^x\right)dx=4e^x-\frac{5^x}{\ln 5}+\mathcal{C}$. Asimetria dintre cei doi termeni nu e o scăpare: la baza $e$ numitorul ar fi $\ln e$, adică $1$, și de aceea nu se vede.

Condițiile puse bazei nu sunt nici ele decorative. Cerința $a>0$ vine din chiar definiția funcției exponențiale, studiată la funcția exponențială: pentru o bază negativă expresia nu are sens decât în câteva puncte răzlețe, deci nu se poate vorbi despre o funcție continuă și cu atât mai puțin despre primitivele ei. Cerința $a\ne 1$ vine din formula însăși: pentru $a=1$ numitorul $\ln a$ ar fi zero. Nu e nicio pierdere, pentru că atunci funcția devine constanta $1$, iar primitiva ei o cunoști din blocul precedent.

Cazul care sperie fără motiv este baza subunitară. Când $0<a<1$, logaritmul $\ln a$ este negativ, deci primitiva $\frac{a^x}{\ln a}$ ia valori negative. Nu e nicio eroare: funcția $a^x$ e descrescătoare, iar o primitivă a unei funcții pozitive trebuie să crească — ceea ce chiar face, urcând dinspre valori negative spre zero. Semnul iese singur din formulă, fără niciun caz separat.

5. Cum integrezi $e^{kx}$ fără nicio metodă nouă?

În modelele din științe exponentul aproape niciodată nu este chiar $x$: apare $e^{2t}$, $e^{-0,5t}$ și așa mai departe. La prima vedere ți-ar trebui o metodă pe care încă nu o ai. În realitate îți ajunge o proprietate a puterilor, știută din clasa a X-a.

Pentru orice număr real $k\ne 0$ avem $e^{kx}={\left(e^k\right)}^x$, adică o exponențială obișnuită, cu baza numărul $e^k$, care este strict pozitiv și, pentru $k\ne 0$, diferit de $1$. Rândul 8 se aplică imediat, iar numitorul devine $\ln \left(e^k\right)=k$:

$$\int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R},k\ne 0.$$

Regula practică se reține într-o propoziție: exponentul rămâne neschimbat, iar numărul care înmulțește variabila coboară la numitor. Nu e o metodă nouă, ci rândul 8 privit cu altă bază; metodele propriu-zise de integrare le vei întâlni abia la integrala definită.

Același mecanism lămurește și o întrebare care revine mereu la clasă: ce se întâmplă cu logaritmul în altă bază? Tabelul derivatelor de clasa a XI-a conține rândul ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$. Citit invers, el nu aduce un rând nou: din formula de schimbare a bazei, ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$, se vede că ${\log }_{a}x$ este o primitivă a funcției $\frac{1}{x\ln a}$, nu a funcției $\frac{1}{x}$ — singurul logaritm care o are este cel natural. De aceea tabelul primitivelor păstrează logaritmul natural și numai pe el: un răspuns scris cu ${\log }_{10}$ ar avea nevoie de factorul $\ln 10$ ca să fie corect.

6. Cele trei rânduri noi

Blocul al doilea al tabelului arată astfel. Rândurile 1–5, cu puteri și radicali, rămân cele din lecția precedentă și nu se repetă aici.

Rândurile acestea se combină cu cele din primul bloc prin liniaritate, proprietatea dovedită la Liniaritatea integralei nedefinite: integrala unei sume e suma integralelor, iar constantele ies în față. Ordinea de lucru rămâne aceeași: întâi prelucrarea algebrică, apoi liniaritatea, abia la urmă tabelul.

7. Cum arată un model de creștere din biologie?

Într-un fotobioreactor de laborator, o cultură de alge produce biomasă cu o viteză care se triplează la fiecare oră. Măsurătorile dau $r(t)=6\cdot 3^t$ miligrame pe oră, unde $t$ este timpul scurs de la începutul experimentului, în ore, iar modelul se folosește pe intervalul în care hrana nu se epuizează, adică pentru $t\in [0,8]$.

Biomasa acumulată este o primitivă a vitezei de producere. Cu rândul 8, luat cu constanta $6$ în față, obținem $\int 6\cdot 3^{t}dt=\frac{6\cdot 3^t}{\ln 3}+\mathcal{C}$, deci biomasa are forma $\frac{6\cdot 3^t}{\ln 3}+c$ miligrame. Observă ce spune modelul: viteza crește, deci fiecare oră adaugă mai mult decât cea dinaintea ei, iar biomasa nu are cum să scadă. Limitarea la opt ore nu e cochetărie: niciun proces biologic nu crește exponențial la nesfârșit, iar un model care nu-și declară intervalul de valabilitate minte.

Două lucruri merită reținute din acest exemplu, dincolo de calcul. Primul: unitatea de măsură a primitivei nu e cea a funcției de integrat. Viteza se măsura în miligrame pe oră, iar rezultatul integrării se măsoară în miligrame — unitatea de la numitor dispare, pentru că variabila după care s-a integrat era timpul. Este o probă de bun-simț pe care merită să o faci la fiecare model: dacă unitățile nu se potrivesc, ai integrat altceva decât credeai. Al doilea: constanta $c$ nu se poate afla din datele de mai sus, ci numai dintr-o informație suplimentară, de tipul „la începutul experimentului biomasa era de atâtea miligrame". Cum se determină ea, și de ce o singură asemenea informație ajunge, vei vedea la Primitiva care trece printr-un punct dat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O fracție care ascunde rândul 6

Determină $\int \frac{x^3-7}{x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

Rezolvare. Împărțim termen cu termen: $\frac{x^3-7}{x}=x^2-\frac{7}{x}$. Primul termen e rândul 1 cu $n=2$, al doilea e rândul 6 cu constanta $7$ în față, deci

$$\int \frac{x^3-7}{x}dx=\frac{x^3}{3}-7\ln |x|+\mathcal{C}.$$

Modulul se scrie chiar dacă pe intervalul de lucru el nu schimbă nimic: face parte din formula rândului 6.

Exemplul 2 — Două baze diferite

Determină $\int \left(5^x+2\cdot 3^x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Rândul 8 se aplică de două ori, cu $a=5$ și cu $a=3$:

$$\int \left(5^x+2\cdot 3^x\right)dx=\frac{5^x}{\ln 5}+\frac{2\cdot 3^x}{\ln 3}+\mathcal{C}.$$

Numitorii sunt diferiți pentru că bazele sunt diferite; nu există niciun logaritm comun care să iasă în față. Rezultatul rămâne exact, fără aproximări: $\ln 5$ și $\ln 3$ se lasă așa cum sunt.

Exemplul 3 — Exponent cu coeficient, în ambele sensuri

Determină $\int \left(e^{2x}+e^{-x}\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Fiecare termen se citește ca exponențială cu altă bază: $e^{2x}={\left(e^2\right)}^x$ și $e^{-x}={\left(e^{-1}\right)}^x$. Numitorii devin $2$, respectiv $-1$:

$$\int \left(e^{2x}+e^{-x}\right)dx=\frac{e^{2x}}{2}-e^{-x}+\mathcal{C}.$$

Al doilea termen schimbă semnul tocmai fiindcă la numitor apare $-1$. Proba prin derivare: ${\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }=e^{-x}$, iar ${\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)}^{\prime }=e^{2x}$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „$\int \left(\frac{4}{x}+6^x\right)dx=4\ln |x|+\frac{6^x}{\ln 6}+\mathcal{C}$, pentru orice $x$ real." Ce e greșit?

Rezolvare. Cele două primitive sunt corecte, rând cu rând: rândul 6 cu constanta $4$ și rândul 8 cu $a=6$. Greșită este afirmația despre mulțimea pe care se lucrează. Funcția de integrat nici nu e definită în $0$, deci nu se poate vorbi despre primitive „pentru orice $x$ real". Formularea corectă precizează intervalul: rezultatul este valabil pe $(0,+\infty )$ sau pe $(-\infty ,0)$, cu constanta aleasă separat pe fiecare dintre ele. Greșeala e cu atât mai periculoasă cu cât toate cifrele sunt bune.

Exemplul 5 — Citește graficul

Figura arată graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x-8$. Ce se poate spune despre monotonia unei primitive a lui $f$ și unde are ea extrem? Determină apoi mulțimea primitivelor.

Rezolvare. Fie $F$ o primitivă oarecare a lui $f$. Atunci $F^{\prime }=f$, deci semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$ — legătura e cea de la monotonia cu ajutorul derivatei. Din grafic se citește că funcția taie axa într-un singur punct: acolo $2^x=8$, adică $x=3$. La stânga lui $3$ graficul e sub axă, deci $F$ scade; la dreapta e deasupra, deci $F$ crește. Prin urmare $x=3$ este punct de minim pentru orice primitivă, fiindcă adunarea unei constante nu schimbă monotonia. Mulțimea primitivelor se obține din rândurile 8 și 1:

$$\int \left(2^x-8\right)dx=\frac{2^x}{\ln 2}-8x+\mathcal{C}.$$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+15}{x^2}$.

a) Arată că $f(x)=\frac{2}{x}+\frac{15}{x^2}$ pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0,+\infty )$.

c) Arată că, pentru orice primitivă $F$ a lui $f$ pe $(0,+\infty )$, are loc $F(3)-F(1)=2\ln 3+10$.

Rezolvare. a) Împărțim fiecare termen al numărătorului la $x^2$: $\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$ și $\frac{15}{x^2}$ rămâne cum este.

b) Primul termen e rândul 6, al doilea e rândul 2 din lecția precedentă, cu $n=2$:

$$\int f(x)dx=2\ln |x|-\frac{15}{x}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

c) Scriem $F(x)=2\ln x-\frac{15}{x}+c$ și calculăm diferența, în care constanta se simplifică:

$$F(3)-F(1)=\left(2\ln 3-5+c\right)-\left(0-15+c\right)=2\ln 3+10.$$

Am folosit $\ln 1=0$ și $\frac{15}{3}=5$. Faptul că rezultatul nu depinde de $c$ nu e o întâmplare: el pregătește formula cu care se calculează integralele definite.

Să exersăm

1. Determină $\int \frac{4}{x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

2. Determină $\int 7^{x}dx$ pe $\mathbb{R}$.

3. Determină $\int \left(2e^x-\frac{9}{x}\right)dx$ pe $(0,+\infty )$.

4. Determină $\int \frac{x^2+6x-1}{x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

5. Determină $\int e^{6x}dx$ pe $\mathbb{R}$.

6. Determină $\int {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}dx$ pe $\mathbb{R}$ și explică de ce rezultatul este negativ.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $(0,+\infty )$ are loc egalitatea $\int \frac{1}{x}dx=\frac{\ln x^2}{2}+\mathcal{C}$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $F(x)=\ln (3x)$ este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{1}{3x}$ pe $(0,+\infty )$."

9. Determină $\int \frac{3-x}{x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

10. (Problemă aplicată.) După o singură administrare, un medicament părăsește sângele cu viteza $v(t)=12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^t$ miligrame pe oră, unde $t$ este timpul în ore, iar modelul se folosește pentru $t\ge 0$. Cantitatea eliminată $Q$ verifică $Q^{\prime }(t)=v(t)$ și $Q(0)=0$. Determină $Q(t)$ și arată că valorile lui nu depășesc niciodată $\frac{12}{\ln 2}$ miligrame.

11. Determină $\int \left(4^x-e^x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+8}{2x}$. a) Arată că $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{4}{x}$. b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe $(0,+\infty )$.

13. Determină $\int \frac{1}{5x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

14. Determină $\int e^{-2x}dx$ pe $\mathbb{R}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină $\int \frac{x^2-3x+1}{x^2}dx$ pe $(0,+\infty )$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care funcția $F(x)=m\ln x+\frac{n}{x}$ este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{4x-3}{x^2}$ pe $(0,+\infty )$.

17. Determină $\int \frac{11}{x}dx$ pe $(-\infty ,0)$ și explică apoi, în două-trei propoziții, de ce modulul se scrie și atunci când enunțul cere rezultatul pe $(0,+\infty )$.

18. (Provocare.) Determină $\int \frac{4^x-1}{2^x+1}dx$ pe $\mathbb{R}$, aducând mai întâi funcția la o formă din tabel.

Răspunsuri și explicații

1. Rândul 6, cu constanta scoasă în față: $\int \frac{4}{x}dx=4\ln |x|+\mathcal{C}$.

2. Rândul 8 cu $a=7$: $\int 7^{x}dx=\frac{7^x}{\ln 7}+\mathcal{C}$. Se împarte la $\ln 7$, nu se înmulțește.

3. Rândurile 7 și 6: $\int \left(2e^x-\frac{9}{x}\right)dx=2e^x-9\ln |x|+\mathcal{C}$.

4. Împărțire termen cu termen: $\frac{x^2+6x-1}{x}=x+6-\frac{1}{x}$, deci $\int \frac{x^2+6x-1}{x}dx=\frac{x^2}{2}+6x-\ln |x|+\mathcal{C}$.

5. Cu $e^{6x}={\left(e^6\right)}^x$, numitorul este $6$: $\int e^{6x}dx=\frac{e^{6x}}{6}+\mathcal{C}$.

6. Rândul 8 cu $a=\frac{1}{2}$ dă $\int {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}dx=-\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}{\ln 2}+\mathcal{C}$, fiindcă $\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$. Rezultatul are valori negative pentru că baza e subunitară; funcția de integrat rămâne pozitivă, iar primitiva ei crește, urcând spre zero.

7. Adevărat. Pentru $x>0$ avem $\ln x^2=2\ln x$, deci $\frac{\ln x^2}{2}=\ln x$, care este chiar $\ln |x|$ pe acest interval. Cele două scrieri diferă doar ca formă. Pe $(-\infty ,0)$ egalitatea ar fi tot adevărată, dar acolo $\ln x$ nu se poate scrie, iar $\ln x^2$ da.

8. Fals. Derivând funcția compusă obținem derivata $\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$, nu $\frac{1}{3x}$. O primitivă a funcției $\frac{1}{3x}$ este $\frac{\ln |x|}{3}$. Constanta de la numitorul argumentului nu se plimbă cum vrea ea: $\ln (3x)$ și $\ln x$ diferă printr-o constantă, deci sunt primitive ale aceleiași funcții.

9. $\frac{3-x}{x}=\frac{3}{x}-1$, deci $\int \frac{3-x}{x}dx=3\ln |x|-x+\mathcal{C}$.

10. Rândul 8 cu $a=\frac{1}{2}$, luat cu constanta $12$ în față, dă $Q(t)=-\frac{12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^t}{\ln 2}+c$. Din $Q(0)=0$ obținem $-\frac{12}{\ln 2}+c=0$, deci $c=\frac{12}{\ln 2}$ și $Q(t)=\frac{12}{\ln 2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^t\right)$ miligrame. Cum ${\left(\frac{1}{2}\right)}^t>0$ pentru orice $t$, paranteza e mai mică decât $1$, deci $Q(t)<\frac{12}{\ln 2}$ miligrame, adică sub aproximativ $17,31$ de miligrame. Modelul e corect: cantitatea eliminată crește și se apropie de o valoare-limită.

11. Rândurile 8 și 7: $\int \left(4^x-e^x\right)dx=\frac{4^x}{\ln 4}-e^x+\mathcal{C}$.

12. a) $\frac{x^2+8}{2x}=\frac{x^2}{2x}+\frac{8}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{4}{x}$. b) $\int f(x)dx=\frac{x^2}{4}+4\ln |x|+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$.

13. Constanta iese în față: $\int \frac{1}{5x}dx=\frac{\ln |x|}{5}+\mathcal{C}$.

14. Numitorul este $-2$: $\int e^{-2x}dx=-\frac{e^{-2x}}{2}+\mathcal{C}$. Proba: derivata lui $-\frac{e^{-2x}}{2}$ este $e^{-2x}$.

15. Împărțim termen cu termen: $\frac{x^2-3x+1}{x^2}=1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}$. Cu rândurile 1, 6 și 2 obținem $\int \frac{x^2-3x+1}{x^2}dx=x-3\ln |x|-\frac{1}{x}+\mathcal{C}$.

16. Derivăm: $F^{\prime }(x)=\frac{m}{x}-\frac{n}{x^2}$. Scriem funcția din enunț sub aceeași formă, $\frac{4x-3}{x^2}=\frac{4}{x}-\frac{3}{x^2}$, și identificăm: $m=4$ și $-n=-3$, deci $n=3$. Verificare: $F(x)=4\ln x+\frac{3}{x}$ are derivata cerută.

17. Rândul 6, cu constanta scoasă în față: $\int \frac{11}{x}dx=11\ln |x|+\mathcal{C}$, pe $(-\infty ,0)$; aici modulul e indispensabil, fiindcă $\ln x$ nu se poate scrie pentru $x$ negativ. Modulul face parte din formula rândului, nu din enunț, așa că se scrie și pe cealaltă ramură: acolo nu strică nimic, pentru că $\ln |x|$ și $\ln x$ sunt aceeași funcție, și te obișnuiește cu scrierea care merge în ambele cazuri.

18. Numărătorul e o diferență de pătrate: $4^x-1={\left(2^x\right)}^2-1=\left(2^x-1\right)\left(2^x+1\right)$. Cum $2^x+1>0$ pentru orice $x$ real, simplificarea e legitimă pe tot $\mathbb{R}$ și rămâne $2^x-1$. Prin urmare $\int \frac{4^x-1}{2^x+1}dx=\frac{2^x}{\ln 2}-x+\mathcal{C}$.

De reținut

• Funcția $\frac{1}{x}$ are primitivele $\ln |x|+\mathcal{C}$, iar formula se aplică pe câte un interval: separat pe $(-\infty ,0)$ și separat pe $(0,+\infty )$.
• Modulul face parte din formulă și se scrie mereu, chiar dacă pe intervalul din enunț el nu schimbă valoarea.
• Exponențiala naturală este singura funcție care rămâne neschimbată și la derivare, și la integrare.
• La baza oarecare se împarte la $\ln a$; la derivare se înmulțește cu el. Sensul greșit al operației e greșeala numărul unu a acestui bloc.
• Un exponent de forma $kx$ nu cere nicio metodă nouă: $e^{kx}$ este exponențiala cu baza $e^k$, iar numărul $k$ coboară la numitor.

Greșeli frecvente

• Scrii $\ln x$ în loc de $\ln |x|$. Pe o mulțime de numere negative, $\ln x$ nu are niciun sens, deși funcția de integrat e definită și continuă acolo. Modulul e singurul care acoperă ambele ramuri.
• Înmulțești cu $\ln a$. Primitiva lui $a^x$ este $\frac{a^x}{\ln a}$; produsul $a^x\ln a$ este derivata. Cele două se deosebesc printr-o probă de trei secunde.
• Crezi că „$\ln$" apare la orice fracție. Rândul 6 se aplică funcției $\frac{1}{x}$, nu oricărui cât cu numitor. Pentru $\frac{1}{x^2}$ răspunsul e o putere, nu un logaritm; alegerea se face după exponentul de la numitor.
• Muți o constantă în argumentul logaritmului. Din $\frac{1}{7x}$ nu iese $\ln (7x)$: constanta se scoate în fața integralei, nu se strecoară sub logaritm. Proba prin derivare taie imediat varianta greșită.
• Declari rezultatul valabil „pe $\mathbb{R}$" când apare $\frac{1}{x}$. Punctul $0$ nu e în domeniul funcției de integrat, deci nu poate fi în intervalul de lucru, oricât de frumos ar arăta formula.

Aplică acasă

1. Trei baze, trei primitive. Alege trei numere pozitive diferite de $1$ — unul supraunitar, unul subunitar și numărul $e$ — și scrie primitivele exponențialelor corespunzătoare. Apoi calculează cu ajutorul calculatorului valorile lor în $x=1$ și așază-le pe o axă. Vei vedea cu ochii ce înseamnă un numitor negativ.

2. Cele două ramuri, desenate. Desenează pe aceeași foaie graficul funcției $\ln |x|$ și, deasupra lui, două copii translatate pe verticală, fiecare pe câte o singură ramură, cu translații diferite. Explică-i cuiva din familie de ce desenul obținut arată tot o primitivă a funcției $\frac{1}{x}$.

3. Caută o creștere din biologie. Deschide manualul de biologie la un proces care se descrie cu o exponențială — înmulțirea celulelor, acumularea unei substanțe, atenuarea unui semnal. Scrie viteza sub forma $A\cdot a^t$, calculează primitiva, pune unitatea de măsură la rezultat și precizează intervalul de timp pe care modelul mai are sens fizic.

Pentru părinți și profesori

Lecția adaugă tabelului trei formule scurte, dar așezate exact în cele două locuri unde greșeala e ușor de făcut și greu de văzut: sensul împărțirii la $\ln a$ și modulul de la logaritm. Nimic nu se dă ca listă de memorat — fiecare rând se obține dintr-o formulă de derivare din clasa a XI-a și se controlează pe loc, derivând înapoi.

Ce verifică lecția, concret: dacă elevul scrie modulul fără să i se ceară; dacă precizează intervalul de lucru la funcțiile care nu sunt definite în origine; dacă împarte, și nu înmulțește, la logaritmul bazei; dacă recunoaște o exponențială cu exponent de forma $kx$ fără să caute o metodă nouă. Ultimul punct merită subliniat: la profilul științe ale naturii metodele de integrare vin abia odată cu integrala definită, iar aici toată puterea stă în citirea corectă a tabelului.

Întrebările de control care prind cel mai mult: „De ce nu putem scrie rezultatul pe tot domeniul funcției?"; „Ce număr ajunge la numitor și de unde vine el?"; „Cum arată primitiva dacă baza este mai mică decât unu și de ce nu e o eroare?"; „Ce probă îți faci înainte de a preda lucrarea?". Semne bune: elevul scrie intervalul înaintea formulei și își derivează singur rezultatul.

O observație pentru cine urmărește caietul acasă: greșelile de la acest bloc arată la fel, dar au cauze diferite și se repară altfel. Un logaritm scris fără modul e o problemă de rigoare și se repară cerând, la fiecare exercițiu, ca primul lucru scris pe foaie să fie mulțimea de lucru. O înmulțire cu $\ln a$ în loc de împărțire e o problemă de memorie și dispare după câteva probe făcute prin derivare. Un rezultat cu logaritm apărut acolo unde trebuia o putere e însă altceva: e semn că elevul alege rândul după aspectul general al fracției, nu după exponentul de la numitor, iar asta se repară exersând recunoașterea, nu calculul. Ultimul tipar e și cel mai costisitor, fiindcă duce răspunsul complet în altă direcție, nu doar la o cifră greșită.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Tabelul primitivelor uzuale". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cuprinde, la capitolul Primitive, rândul „Primitive uzuale" — tema se cere, așadar, la amândouă examenele, iar exercițiile poartă marcajul simplu. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Care este primitiva funcției $\frac{1}{x}$?

Este $\ln |x|+\mathcal{C}$, scrisă pe câte un interval care nu conține originea: fie pe $(-\infty ,0)$, fie pe $(0,+\infty )$. Pe ramura pozitivă modulul nu schimbă nimic, dar pe cea negativă el este singurul care dă un sens formulei, pentru că acolo primitiva este $\ln (-x)$.

De ce se împarte la $\ln a$ și nu se înmulțește?

Pentru că derivarea este cea care înmulțește. Din ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a$ se vede că, derivând, apare un factor în plus; ca să-l anulezi când mergi în sens invers, împarți la el. Pentru baza $e$ factorul valorează $1$, adică nu se vede deloc, și de aici vine confuzia.

Cum calculez o primitivă a lui $e$ la puterea $kx$?

Scrii $e^{kx}$ ca ${\left(e^k\right)}^x$, adică o exponențială obișnuită cu baza numărul $e^k$, și aplici rândul potrivit din tabel. Numitorul devine $\ln \left(e^k\right)$, adică chiar $k$, deci rezultatul este $\frac{e^{kx}}{k}+\mathcal{C}$, valabil pentru orice $k$ nenul, pozitiv sau negativ. Nu ai nevoie de nicio metodă nouă de integrare pentru asta, ci doar de o proprietate a puterilor.

Ce se întâmplă dacă baza exponențialei este subunitară?

Formula rămâne aceeași, dar $\ln a$ este negativ, deci primitiva ia valori negative. Nu este o greșeală: funcția de integrat e pozitivă și descrescătoare, iar o primitivă a ei crește, urcând dinspre valori negative spre zero. Semnul iese singur din formulă, fără niciun caz tratat separat.

Când apare logaritm la o primitivă și când apare o putere?

Decide exponentul de la numitor. Dacă numitorul este exact $x$, ai rândul cu logaritm; dacă e $x$ la o putere mai mare sau egală cu $2$, ai rândul cu puteri, iar rezultatul este tot o fracție. Un rezultat cu logaritm apărut la $\frac{1}{x^3}$ este semn sigur că rândul a fost ales greșit.

Se dă această temă și la mate-info (M1)?

Da, dar altfel așezată. La matematică-informatică cele trei formule stau în tabelul unic al primitivelor, iar lecția separată despre exponențiale le tratează prin schimbare de variabilă, metodă care la științe ale naturii vine abia la integrala definită. Pentru comparație, exponențialele la mate-info (M1): Primitivele funcțiilor cu radicali și exponențiale.

La ce subiect apar primitivele cu exponențială la bacalaureatul M2?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, primitivele apar la Subiectul al III-lea, în problema de analiză; funcțiile cu exponențială și cu logaritm se numără printre cele cu care se lucrează acolo. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă subiecte publicate, ci doar programa de examen, care așază tema în domeniul Analiză matematică.

Ce urmează după aceste trei rânduri?

Ultimele șase rânduri ale tabelului, cele cu funcții trigonometrice și cu cele două forme care duc la arctangentă și la arcsinus, la Primitive trigonometrice și cu arctangentă. După ce tabelul e complet, urmează funcțiile care admit primitive și primitiva determinată de o condiție.