Primitivele funcției $$f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{x^7-4x^5}{x^4}$$, sunt:

$$\dfrac{x^4}{4}-2x^2+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^4}{4}-4x^2+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^4}{4}-2x+\mathcal{C}$$

Primitivele funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=10^x$$, sunt:

$$\dfrac{10^x}{\ln 10}+\mathcal{C}$$

$$x\cdot 10^{x-1}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{10^{x+1}}{x+1}+\mathcal{C}$$

Primitivele funcției $$f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{\big(\sqrt{x}+1\big)\big(\sqrt{x}-1\big)}{\sqrt{x}}$$, sunt:

$$\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}-2\sqrt{x}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}+2\sqrt{x}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{x\sqrt{x}}{3}-2\sqrt{x}+\mathcal{C}$$

$$\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}-\dfrac{\sqrt{x}}{2}+\mathcal{C}$$

Ce rescriere ajută la ((x+2)²)/x?

Desfaci pătratul și împarți termen cu termen: (x²+4x+4)/x=x+4+ 4/x. Pe (0,+∞) primitivele sunt x²/2+4x+4ln x+ C. Fără rescriere nu există un rând din tabel care să se potrivească.

Cum deosebesc o putere de o exponențială?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Recunoașterea funcției

Te uiți unde stă litera $x$ . Dacă $x$ este la bază, ca în $x^{5}$ , ai o putere: exponentul crește cu $1$ și împarți la noul exponent, deci $\int x^{5} d x = \frac{x ^{6}}{6} + C$ . Dacă $x$ este la exponent, ca în $5^{x}$ , ai o exponențială și împarți la logaritmul bazei: $\int 5^{x} d x = \frac{5 ^{x}}{l n 5} + C$ . Exemplu cu ambele: $\int (x^{3} + 3^{x}) d x = \frac{x ^{4}}{4} + \frac{3 ^{x}}{l n 3} + C$ .

Puține formule, dar un gest care le precede și care hotărăște rezolvarea: recunoașterea. El se desfășoară într-o ordine fixă — intervalul de lucru, liniaritatea, rescrierea, în sfârșit rândul potrivit din tabel.

Liniaritatea lucrează numai cu adunarea și cu înmulțirea printr-un număr; produsele și rapoartele îi scapă. Dacă expresia nu seamănă cu nimic cunoscut, vinovat nu e tabelul, ci forma în care a fost scrisă funcția. Trei transformări acoperă aproape toate cazurile profilului: împărțirea pe termeni, atunci când sub linia de fracție stă un monom; simplificarea, atunci când numitorul se regăsește ca factor al numărătorului; desfacerea unui pătrat sau a unui produs. Fiecare se justifică pe intervalul dat, unde factorul redus trebuie să fie nenul.

Două familii de expresii se aseamănă înșelător. Între putere și exponențială hotărăște poziția literei $x$ — la bază, respectiv la exponent. Un numitor $x^{2}$ trimite la o putere cu exponent negativ, în vreme ce $x^{2} + 1$ trimite la arctangentă, deși pe hârtie diferența e o singură unitate.

Produsul a două funcții de naturi diferite rămâne în afara uneltelor de aici și își așteaptă metoda la capitolul de integrală definită. Orice răspuns se controlează derivându-l. Programa din 2014 cere primitivele uzuale împreună cu proprietatea de liniaritate a integralei fără limite.

De reținut

$x$ la bază: putere, $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$
$x$ la exponent: exponențială, $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{l n a} + C$
numitor $x$ : logaritm; numitor $x^{2} + a^{2}$ : arctangentă

Greșeala tipică

Se aplică la $3^{x}$ regula puterii și se scrie $\frac{3 ^{x + 1}}{x + 1}$ ; litera stă la exponent, deci rândul corect este $\frac{3 ^{x}}{l n 3}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{7} - 4 x ^{5}}{x ^{4}}$ , sunt:
- a) $\frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2} + C$
- b) $\frac{x ^{4}}{4} - 4 x^{2} + C$
- c) $\frac{x ^{4}}{4} - 2 x + C$
- d) $x^{4} - 2 x^{2} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2} + C$

La numitor stă un singur monom, deci se împarte termen cu termen, ceea ce este permis fiindcă $x > 0$ : $\frac{x ^{7}}{x ^{4}} - \frac{4 x ^{5}}{x ^{4}} = x^{3} - 4 x$ . Au rămas două rânduri de tabel, iar primitivele sunt $\frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2} + C$ . Proba prin derivare respinge celelalte variante: b) dă $x^{3} - 8 x$ , c) dă $x^{3} - 2$ , iar d) dă $4 x^{3} - 4 x$ .
Primitivele funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 1 0^{x}$ , sunt:
- a) $1 0^{x} ln 10 + C$
- b) $\frac{1 0 ^{x}}{ln 10} + C$
- c) $x \cdot 1 0^{x - 1} + C$
- d) $\frac{1 0 ^{x + 1}}{x + 1} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1 0 ^{x}}{ln 10} + C$

Litera $x$ stă la exponent, deci avem o exponențială, nu o putere: rândul se citește invers din derivata cunoscută $(1 0^{x})^{'} = 1 0^{x} ln 10$ , de unde primitivele $\frac{1 0 ^{x}}{ln 10} + C$ . Derivând a) obținem $1 0^{x} ln^{2} 10$ ; variantele c) și d) aplică regula puterii unei exponențiale, iar derivatele lor nu dau $1 0^{x}$ .
Primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x}$ , sunt:
- a) $\frac{2 x x}{3} + 2 x + C$
- b) $\frac{x x}{3} - 2 x + C$
- c) $\frac{2 x x}{3} - 2 x + C$
- d) $\frac{2 x x}{3} - \frac{x}{2} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{2 x x}{3} - 2 x + C$

Numărătorul este o diferență de pătrate în $x$ : $(x + 1) (x - 1) = x - 1$ . Pe intervalul de lucru $x \neq = 0$ , deci se împarte termen cu termen și $f (x) = x - \frac{1}{x}$ . Primitiva lui $x$ este $\frac{2 x x}{3}$ , iar a lui $- \frac{1}{x}$ este $- 2 x$ . Derivând celelalte variante obținem $x + \frac{1}{x}$ , $\frac{x}{2} - \frac{1}{x}$ și $x - \frac{1}{4 x}$ .

Întrebări conexe

Cum recunosc un numitor care duce la arctangentă?

Numitorul este o sumă de pătrate, $x^{2} + a^{2}$ , fără radical. De exemplu, $\int \frac{1}{x ^{2} + 16} d x = \frac{1}{4} arctg \frac{x}{4} + C$ . Dacă numitorul ar fi doar $x^{2}$ , ar fi vorba de o putere, cu primitiva $- \frac{1}{x}$ .

Ce rescriere ajută la $\frac{( x + 2 ) ^{2}}{x}$ ?

Desfaci pătratul și împarți termen cu termen: $\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x} = x + 4 + \frac{4}{x}$ . Pe $(0, + \infty)$ primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} + 4 x + 4 ln x + C$ . Fără rescriere nu există un rând din tabel care să se potrivească.

Ce fac cu un produs de două paranteze sub integrală?

Îl desfaci într-o sumă, fiindcă liniaritatea nu lucrează cu produse. $(x - 1) (x + 5) = x^{2} + 4 x - 5$ , deci primitivele sunt $\frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2} - 5 x + C$ . Înmulțirea primitivelor celor două paranteze ar da un rezultat greșit.

Cum recunosc o primitivă care duce la logaritm?

Numitorul este exact $x$ , la puterea întâi, iar numărătorul este o constantă, ca în $\frac{7}{x}$ , cu primitivele $7 ln ∣ x ∣ + C$ . Dacă numitorul este $x^{3}$ , rândul este al puterii: $\int \frac{7}{x ^{3}} d x = - \frac{7}{2 x ^{2}} + C$ .

Cum simplific o fracție înainte de a-i căuta primitiva?

Cauți un factor comun al numărătorului și numitorului. $\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = x - 3$ pe orice interval care nu conține $- 3$ , deci primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + C$ . Simplificarea se face doar unde factorul este nenul.

Oamenii mai întreabă și: diferența dintre putere și exponențială la primitive · x la putere sau putere la x · când folosesc formula puterii și când exponențiala · primitiva lui 5 la x față de x la 5