Primitive: cum recunoști funcția la examen (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

La capitolul de primitive din clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), formulele sunt puține și se învață repede. Ce desparte, într-o rezolvare, elevul care merge mai departe de cel care se blochează nu mai este formula, ci un gest anterior ei: recunoașterea. Funcția din tabel vine împachetată — o fracție cu numitor simplu, un pătrat nedesfăcut, o sumă care ascunde două rânduri diferite, un raport care se simplifică din prima privire, dacă o ai. La bacalaureatul M2 analiza stă la Subiectul al III-lea; cum arată acolo cerințele de integrale în modelul oficial publicat, vezi subsecțiunea 8.

Lecția aceasta este un antrenament de citire, nu unul de calcul. Vei primi patru gesturi de făcut în ordinea lor, o listă de control și proba cu care îți verifici singur răspunsul. Cerințele de acest fel se dau la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al III-lea: programa de examen conține rândurile despre primitivele uzuale și despre liniaritatea integralei nedefinite. Tema rămâne și în programa nouă, la domeniul Analiză matematică, pentru proba MAT_P2 din 2030. Metodele de integrare — prin părți și prin schimbare de variabilă — există și ele în programa de examen, dar la profilul științe ale naturii se învață mai târziu, la integrala definită; aici lucrăm numai cu tabelul și cu liniaritatea.

Ce vei învăța

Vei ști să traduci cele trei feluri în care e formulată o cerință de primitive și să spui, din prima, ce ai de făcut.
Vei ști să desfaci o sumă și să scoți constantele în față, înainte de a căuta ceva în tabel.
Vei ști să rescrii expresia până când devine o sumă de rânduri din tabel: împărțire termen cu termen, desfacerea unui pătrat, simplificare cu numitorul.
Vei ști să desparți formele care seamănă, mai ales puterea de exponențială și rândurile cu numitor pătratic.
Vei ști să recunoști ce nu se rezolvă cu tabelul la profilul tău și să nu pierzi timp acolo.
Vei ști să faci proba prin derivare, singura care confirmă un răspuns de primitive.

Hai să descoperim împreună

1. Ce îți cere, de fapt, cerința?

Trei formulări acoperă aproape tot ce vei citi în enunțuri, iar fiecare cere altceva de la tine:

„Determinați primitivele funcției $f$ " — răspunsul este o familie întreagă și se scrie cu $+ C$ . E cerința care se rezolvă cu lecția de față.
„Arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$ " — nu ai nimic de integrat: derivezi funcția dată și compari. Se rezolvă în două rânduri.
„Determinați primitiva $F$ cu $F (x_{0}) = y_{0}$ " — întâi familia, apoi constanta, ca la Primitiva care trece printr-un punct dat.

Prima grijă, înainte de orice, este intervalul: fără el, nici formulele nu au sens, iar cerința „arătați că $f$ admite primitive" are drept răspuns chiar verificarea de la Ce funcții admit primitive. Abia apoi începe citirea expresiei.

2. Gestul întâi: desfaci suma și scoți constantele

Primul lucru care se face, mecanic, este să folosești liniaritatea: integrala unei sume se desface în sumă de integrale, iar o constantă care înmulțește se scoate în față. Proprietatea e demonstrată la Liniaritatea integralei nedefinite; aici ne interesează doar ca reflex de lucru.

Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = 6 x^{2} - \frac{3}{x ^{2} + 1}$ , gestul dă imediat două bucăți: prima e o putere, a doua e rândul arctangentei. Rezultatul se scrie dintr-o mișcare, $2 x^{3} - 3 arctg x + C$ , și se controlează derivând.

Reține și limita gestului: liniaritatea desface sume și diferențe, nu produse și nici rapoarte. Nu există nicio regulă care să spună că primitiva unui produs e produsul primitivelor — vom vedea la Exemplul 3 cât de repede se vede că e falsă. Când expresia e un produs sau un raport, nu liniaritatea e unealta, ci gestul următor.

3. Gestul al doilea: rescrii expresia până ajunge în tabel

Aici se câștigă cele mai multe puncte, pentru că aici se blochează cei mai mulți. Ideea e simplă: dacă expresia nu seamănă cu niciun rând din tabel, nu tabelul e de vină — expresia trebuie adusă la altă formă. Trei rescrieri acoperă aproape tot ce se dă la profilul tău.

Împărțirea termen cu termen, când la numitor stă un singur monom. Pentru $x > 0$ ,

$\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 5 x}{x} = x^{2} - 2 x + 5$

iar ce a rămas e o sumă de puteri, adică trei rânduri de tabel, nu un raport. Semnul după care recunoști situația: numitorul e $x$ , $x^{2}$ sau $x$ , adică un singur termen.

Simplificarea cu numitorul, când numărătorul se descompune. Pentru orice $x$ real,

$\frac{x ^{4} - 1}{x ^{2} + 1} = x^{2} - 1$

fiindcă $x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$ . Semnul după care o cauți: numitorul e un polinom care se ghicește ca factor al numărătorului — diferență de pătrate, diferență sau sumă de cuburi, pătrat perfect.

Desfacerea unui pătrat sau a unui produs, când expresia e scrisă compact. Un $(a x + b)^{2}$ se desface și devine un polinom de gradul al doilea; un produs de doi factori se înmulțește. Pare o înapoiere — de obicei se cere factorizarea, nu desfacerea —, dar aici forma desfăcută e cea care are rânduri în tabel.

O regulă de aur peste toate trei: rescrierea se face pe intervalul din enunț și se justifică acolo. Simplificarea din primul exemplu are sens pentru $x \neq = 0$ , iar dacă intervalul de lucru este $(0, + \infty)$ , condiția e îndeplinită și se spune în rezolvare.

4. Gestul al treilea: desparți formele care seamănă

Câteva perechi de expresii arată aproape la fel și se integrează complet diferit. Cea mai costisitoare este perechea putere–exponențială. Întrebarea care o rezolvă, într-o secundă: unde stă litera $x$ ?

Dacă $x$ stă la bază, ai o putere: exponentul e un număr fix, iar primitiva urcă exponentul cu unu și împarte la noul exponent, deci pentru $x^{3}$ primitiva este $\frac{x ^{4}}{4}$ . Dacă $x$ stă la exponent, ai o exponențială: baza e un număr fix, iar primitiva păstrează funcția și împarte la logaritmul bazei, deci pentru $3^{x}$ primitiva este $\frac{3 ^{x}}{ln 3}$ . Aceeași probă de recunoaștere ți-a folosit și la derivate, în lecția Tabelul derivatelor, și merită recitită acolo dacă ezitanții.

A doua pereche periculoasă are numitor pătratic: un $x^{2}$ singur la numitor duce la o putere cu exponent negativ, iar un $x^{2} + 1$ duce la arctangentă. Cele două se deosebesc printr-o singură unitate scrisă la numitor, iar răspunsurile nu seamănă deloc.

A treia pereche e cea trigonometrică, unde deosebirea se face după semn și nu după formă: sinusul și cosinusul își schimbă rolurile la integrare, iar unul dintre ele capătă minus. Regula de memorare e cea de la derivate, citită invers: minusul stă la funcțiile al căror nume începe cu „co".

5. Ce nu se rezolvă cu tabelul, la profilul tău?

Există expresii pentru care niciun gest de mai sus nu ajută, și e bine să le recunoști repede, ca să nu pierzi minute. Tipul cel mai clar este produsul a două funcții de naturi diferite, cum e $(2 x + 1) cos x$ : nu e o sumă, nu se simplifică, nu se desface în nimic din tabel. Pentru el există o metodă — integrarea prin părți —, dar ea se învață la profilul științe ale naturii abia la capitolul de integrală definită, împreună cu schimbarea de variabilă.

Tot acolo intră și expresiile în care funcția din tabel apare compusă, nu simplă. Reține deci granița, ca să știi ce ai voie să folosești acum: la capitolul de primitive lucrezi cu tabelul și cu liniaritatea; metodele vin mai târziu. Iar dacă o funcție nu se poate scrie cu tabelul, asta nu înseamnă că nu are primitive — regula de existență spune, mai departe, că orice funcție continuă pe un interval are.

6. Lista de control, în ordinea în care o folosești

Lista următoare nu adaugă nimic nou: este reluarea tabelului construit în lecțiile Tabelul primitivelor: puteri și radicali, Primitive cu exponențială și logaritm și Primitive trigonometrice și cu arctangentă, așezată însă în ordinea în care o parcurgi la examen. Formulele, cu intervalele lor, se citesc acolo.

Întrebarea pe care o pui	Dacă răspunsul e „da"	Unde e construit rândul
E o sumă sau o diferență?	desfaci și lucrezi pe bucăți	liniaritatea
Are o constantă care înmulțește?	o scoți în față	liniaritatea
E un raport cu un singur termen la numitor?	împarți termen cu termen	lecția 20
Numărătorul se descompune, cu numitorul ca factor?	simplifici	lecțiile 20 și 22
E un pătrat sau un produs nedesfăcut?	îl desfaci	lecția 20
Litera $x$ stă la bază sau la exponent?	putere, respectiv exponențială	lecțiile 20 și 21
Numitorul e $x$ sau $x^{2} + 1$ ?	logaritm, respectiv arctangentă	lecțiile 21 și 22
E un produs de naturi diferite?	nu se rezolvă acum	capitolul de integrală definită

7. Proba: derivezi ce ai obținut

Un răspuns de primitive se verifică singur, iar verificarea durează mai puțin decât rezolvarea. Ia expresia $f (x) = \frac{x - 9}{x + 3}$ , definită pentru $x > 0$ . Numărătorul se descompune ca diferență de pătrate, $x - 9 = (x - 3) (x + 3)$ , deci expresia se simplifică și devine $f (x) = x - 3$ . Primitivele sunt atunci $\frac{2 x x}{3} - 3 x + C$ .

Proba se face derivând: $(\frac{2 x x}{3})^{'} = x$ — rândul radicalului, citit invers — iar derivata lui $- 3 x$ este $- 3$ . Suma dă exact $x - 3$ , adică funcția de la care am plecat, deci răspunsul e bun. Reține tiparul: proba unui răspuns de primitive este o derivare, iar derivarea e o operație pe care o faci deja din clasa a XI-a — vezi și Cum derivezi o funcție. Nu există motiv să predai o lucrare fără proba făcută.

8. Ce se cere efectiv la examenul M2 din materia aceasta?

Aici trebuie făcută o distincție de calendar, pentru că cele două generații de elevi dau examene diferite. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține, la elementele de analiză matematică, rândul „Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale". Sunt exact cele două unelte ale lecției de față. Cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea, singurul care conține materie de acest fel.

Merită spus și cum arată proba, din sursa cea mai apropiată: modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii. Acolo se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore; cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Subiectul al III-lea are două probleme, fiecare cu trei cerințe de câte $5$ puncte; prima problemă este despre derivate, a doua despre integrale. În acel model, primele două cerințe ale problemei de integrale încep amândouă cu o simplificare algebrică a expresiei de sub integrală — adică exact gestul al doilea din lecția aceasta. Cerințele din lecție sunt construite pe tema din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un raport cu monom la numitor

Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x}$ .

Rezolvare. Expresia nu seamănă cu niciun rând din tabel, deci o rescriem. Întâi desfacem pătratul de la numărător: $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ . Apoi împărțim termen cu termen, ceea ce e permis fiindcă pe intervalul de lucru $x > 0$ :

$f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x} = x + 4 + \frac{4}{x}$

Au ieșit trei rânduri cunoscute: puterea, constanta și logaritmul. Primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} + 4 x + 4 ln x + C$ . Proba, prin derivare: $x + 4 + \frac{4}{x}$ , adică funcția inițială.

Exemplul 2 — O fracție cu numitorul $x^{2} + 1$

Determină primitivele funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 5}{x ^{2} + 1}$ .

Rezolvare. Numitorul nu se anulează, deci funcția e continuă pe $R$ și admite primitive acolo. Numărătorul nu se descompune cu numitorul ca factor, dar se poate scrie pornind de la el: $x^{2} + 5 = (x^{2} + 1) + 4$ . Atunci

$f (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) + 4}{x ^{2} + 1} = 1 + \frac{4}{x ^{2} + 1}$

Prima bucată dă $x$ , a doua e chiar rândul arctangentei. Primitivele sunt $x + 4 arctg x + C$ . Proba: derivata lui $x$ este $1$ , iar derivata lui $4 arctg x$ este $\frac{4}{x ^{2} + 1}$ ; suma lor este $f (x)$ .

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev are de determinat primitivele funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x \cdot x^{2}$ , și scrie: „primitiva produsului este produsul primitivelor, deci răspunsul este $\frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{x ^{3}}{3}$ ." Arată că răspunsul e greșit și dă-l pe cel corect.

Rezolvare. Proba prin derivare demontează totul în două rânduri. Produsul propus este $\frac{x ^{5}}{6}$ , iar derivata lui este $\frac{5 x ^{4}}{6}$ , care nu coincide cu $f (x) = x^{3}$ . Regula invocată de elev nu există: liniaritatea desface sume, nu produse. Corect, expresia se simplifică întâi — $x \cdot x^{2} = x^{3}$ —, iar primitivele sunt $\frac{x ^{4}}{4} + C$ , cu proba imediată: derivata lui $\frac{x ^{4}}{4}$ este $x^{3}$ . Reține: când vezi un produs, prima încercare este să-l desfaci sau să-l simplifici, nu să-l integrezi pe bucăți.

Exemplul 4 — Un raport cu exponențiale

Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{4 ^{x} - 1}{2 ^{x} - 1}$ .

Rezolvare. Observă întâi că $4^{x} = (2^{x})^{2}$ , deci numărătorul este o diferență de pătrate: $4^{x} - 1 = (2^{x} - 1) (2^{x} + 1)$ . Pe intervalul $(0, + \infty)$ avem $2^{x} > 1$ , deci $2^{x} - 1 \neq = 0$ și simplificarea e permisă:

$f (x) = 2^{x} + 1$

Rândul exponențialei se citește invers din derivata cunoscută $(2^{x})^{'} = 2^{x} ln 2$ : primitiva lui $2^{x}$ este $\frac{2 ^{x}}{ln 2}$ . Prin urmare primitivele lui $f$ sunt $\frac{2 ^{x}}{ln 2} + x + C$ . Proba: derivata acestei expresii este $\frac{2 ^{x} ln 2}{ln 2} + 1 = 2^{x} + 1$ .

Exemplul 5 — Aceeași cifră, patru funcții diferite

Precizează, pentru fiecare dintre expresiile $\frac{4}{x ^{2}}$ , $\frac{4}{x ^{2} + 1}$ , $4^{x}$ și $x^{4}$ , ce rând din tabel se aplică și scrie primitivele, pe un interval potrivit.

Rezolvare. Prima este o putere cu exponent negativ, înmulțită cu $4$ ; pe $(0, + \infty)$ primitivele ei sunt $- \frac{4}{x} + C$ . A doua diferă printr-o singură unitate la numitor, dar e cu totul altceva: rândul arctangentei, cu primitivele $4 arctg x + C$ , pe $R$ . A treia are litera $x$ la exponent, deci e exponențială: primitivele sunt $\frac{4 ^{x}}{ln 4} + C$ , pe $R$ . A patra are litera $x$ la bază, deci e putere: primitivele sunt $\frac{x ^{5}}{5} + C$ , pe $R$ . Patru expresii scrise cu aceeași cifră, patru rânduri diferite — de aceea recunoașterea se face citind unde stă $x$ , nu ce cifre apar.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : (- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ .

a) Arată că $f (x) = x + 3$ , pentru orice $x \in (- 3, + \infty)$ .

b) Determină mulțimea primitivelor funcției $f$ pe intervalul $(- 3, + \infty)$ .

c) Arată că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $(- 3, + \infty)$ .

Rezolvare. a) Numărătorul este un pătrat perfect: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ . Pe intervalul dat avem $x > - 3$ , deci $x + 3 > 0$ și în particular $x + 3 \neq = 0$ , așa că simplificarea este permisă și $f (x) = \frac{( x + 3 ) ^{2}}{x + 3} = x + 3$ .

b) După simplificare a rămas o funcție polinomială de gradul întâi, iar liniaritatea o desface în două rânduri de tabel. Mulțimea primitivelor este $\frac{x ^{2}}{2} + 3 x + C$ . Proba: derivata lui $\frac{x ^{2}}{2} + 3 x$ este $x + 3$ .

c) Fie $F$ o primitivă oarecare a lui $f$ pe interval. Atunci $F^{'} (x) = f (x) = x + 3$ , iar pe $(- 3, + \infty)$ avem $x + 3 > 0$ , deci $F^{'} (x) > 0$ . O funcție cu derivata strict pozitivă pe un interval este strict crescătoare acolo, deci $F$ este strict crescătoare. Observă că răspunsul nu depinde de constantă: toate primitivele au aceeași derivată.

Să exersăm

1. Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{5} + 3 x ^{3}}{x ^{2}}$ .

2. Determină primitivele funcției $f : R \to R$ , $f (x) = (3 x - 4)^{2}$ .

3. Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{6}{x} - \frac{6}{x ^{2}}$ .

4. Determină primitivele funcției $f : (6, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 36}{x - 6}$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $R$ are loc egalitatea $\int (x + 5)^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + 25 x + C$ ."

6. Dintre $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} (x + 6)$ , și $g : R \to R$ , $g (x) = cos (4 x)$ , una se rezolvă cu tabelul și cu liniaritatea după un singur gest, cealaltă nu. Spune care e care, fă gestul și scrie primitivele celei care se poate.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină primitivele funcției $f : (2, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ .

8. Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x + 2 x}{x}$ .

9. Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (x + 3)^{2}$ .

10. Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x \cdot x + \frac{4}{x}$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{4} + x ^{2}}{x ^{2}}$ .

12. (Problemă aplicată.) Într-un referat de fizică, intensitatea curentului dintr-un circuit de laborator, măsurată în amperi, apare scrisă în trei forme: $\frac{3 t ^{2} + 12}{3}$ , $(t + 2)^{2} - 4 t$ și $t^{2} + 4$ , unde $t$ este timpul în secunde, iar modelul a fost verificat prin măsurători pentru $0 \leq t \leq 6$ . Arată că cele trei expresii descriu aceeași funcție pe acest interval și precizează care dintre ele se integrează direct cu tabelul, fără nicio rescriere.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{2 x ^{3} + 5 x}{x}$ .

14. Un elev scrie: „ $\frac{1}{x ^{2}}$ are primitivele $ln ∣ x ∣ + C$ , fiindcă la numitor stă o putere a lui $x$ ." Arată, prin derivare, că răspunsul e greșit și scrie primitivele corecte pe $(0, + \infty)$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină primitivele funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{3}{x ^{2} + 1} + 2 sin x$ .

16. Așază fiecare dintre expresiile $\frac{1}{x ^{3}}$ , $\frac{5}{x}$ , $\frac{1}{cos ^{2} x}$ , $\frac{7}{x ^{2} + 1}$ și $2 e^{x}$ în dreptul rândului din tabel care i se potrivește și scrie primitivele lor, pe un interval potrivit.

17. Determină primitivele funcției $f : R \to R$ , $f (x) = (3 x + 1) (x - 2)$ .

18. (Provocare.) Un elev susține că expresia $\frac{x ^{3} + x}{x ^{2} + 1}$ nu se poate integra cu tabelul clasei, fiindcă este un raport de două polinoame. Arată că se înșală și determină primitivele funcției $f : R \to R$ date de această expresie.

Răspunsuri și explicații

1. Împărțim termen cu termen, permis fiindcă $x > 0$ : expresia devine $x^{3} + 3 x$ . Primitivele sunt $\frac{x ^{4}}{4} + \frac{3 x ^{2}}{2} + C$ , cu proba prin derivare.

2. Desfacem pătratul: $(3 x - 4)^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$ . Primitivele sunt $3 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + C$ . Derivata lui $3 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x$ este $9 x^{2} - 24 x + 16$ .

3. Sunt două rânduri diferite, deși seamănă: $\frac{6}{x}$ duce la logaritm, iar $\frac{6}{x ^{2}}$ e o putere cu exponent negativ. Primitivele sunt $6 ln x + \frac{6}{x} + C$ . Atenție la semn: primitiva lui $- \frac{6}{x ^{2}}$ este $+ \frac{6}{x}$ .

4. Numărătorul e o diferență de pătrate: $x^{2} - 36 = (x - 6) (x + 6)$ , iar pe $(6, + \infty)$ avem $x - 6 \neq = 0$ , deci $f (x) = x + 6$ . Primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} + 6 x + C$ .

5. Fals. Derivând membrul drept obținem $x^{2} + 25$ , în timp ce $(x + 5)^{2} = x^{2} + 10 x + 25$ : lipsește termenul $10 x$ . Pătratul se desface înainte de integrare, iar rezultatul corect este $\frac{x ^{3}}{3} + 5 x^{2} + 25 x + C$ .

6. La $f$ amândoi factorii sunt polinoame, deci produsul se desface: $f (x) = x^{3} + 6 x^{2}$ , iar primitivele sunt $\frac{x ^{4}}{4} + 2 x^{3} + C$ . La $g$ funcția din tabel apare compusă — cosinusul se aplică lui $4 x$ , nu lui $x$ —, iar nicio rescriere din lecție nu o aduce la un rând, deci primitivele ei nu se pot scrie acum.

7. Numărătorul e o diferență de cuburi: $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , iar pe $(2, + \infty)$ simplificarea e permisă, deci $f (x) = x^{2} + 2 x + 4$ . Primitivele sunt $\frac{x ^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + C$ .

8. Împărțim termen cu termen la $x$ , care e nenul pe interval: $f (x) = x + 2$ . Primitivele sunt $\frac{2 x x}{3} + 2 x + C$ , fiindcă derivata lui $\frac{2 x x}{3}$ este $x$ .

9. Desfacem pătratul: $(x + 3)^{2} = x + 6 x + 9$ . Primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} + 4 x x + 9 x + C$ , fiindcă derivata lui $4 x x$ este $6 x$ .

10. Pe $(0, + \infty)$ avem $x \cdot x = x$ , deci $f (x) = x + \frac{4}{x}$ . Primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} + 4 ln x + C$ .

11. Împărțim termen cu termen: $f (x) = x^{2} + 1$ . Primitivele sunt $\frac{x ^{3}}{3} + x + C$ .

12. Prima se simplifică prin $3$ și dă $t^{2} + 4$ . A doua se desface: $(t + 2)^{2} - 4 t = t^{2} + 4 t + 4 - 4 t = t^{2} + 4$ . Deci toate trei descriu aceeași funcție, exprimată în amperi, pe intervalul $0 \leq t \leq 6$ . Numai a treia se integrează direct, fiind deja o sumă de rânduri din tabel; primitivele ei sunt $\frac{t ^{3}}{3} + 4 t + C$ . Celelalte două cer, fiecare, câte o rescriere înainte.

13. Împărțim termen cu termen la $x$ , nenul pe interval: $f (x) = 2 x^{2} + 5$ . Primitivele sunt $\frac{2 x ^{3}}{3} + 5 x + C$ .

14. Derivata lui $ln x$ pe $(0, + \infty)$ este $\frac{1}{x}$ , nu $\frac{1}{x ^{2}}$ , deci răspunsul propus nu trece proba. Rândul potrivit este cel al puterii cu exponent negativ, iar primitivele sunt $- \frac{1}{x} + C$ ; proba: derivata lui $- \frac{1}{x}$ este $\frac{1}{x ^{2}}$ .

15. Liniaritatea desface suma în două rânduri: arctangenta și sinusul. Primitivele sunt $3 arctg x - 2 cos x + C$ . Atenție la semn: primitiva lui $sin x$ este $- cos x$ .

16. $\frac{1}{x ^{3}}$ este putere cu exponent negativ, cu primitivele $- \frac{1}{2 x ^{2}} + C$ pe $(0, + \infty)$ . $\frac{5}{x}$ dă logaritm: $5 ln x + C$ pe $(0, + \infty)$ . $\frac{1}{cos ^{2} x}$ dă tangenta: $tg x + C$ pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . $\frac{7}{x ^{2} + 1}$ dă arctangenta: $7 arctg x + C$ pe $R$ . $2 e^{x}$ se reproduce: $2 e^{x} + C$ pe $R$ .

17. Desfacem produsul: $(3 x + 1) (x - 2) = 3 x^{2} - 5 x - 2$ . Primitivele sunt $x^{3} - \frac{5 x ^{2}}{2} - 2 x + C$ .

18. Numărătorul se descompune scoțând factorul comun: $x^{3} + x = x (x^{2} + 1)$ , iar numitorul nu se anulează niciodată, deci simplificarea e permisă pe tot $R$ și expresia devine $x$ . Primitivele sunt $\frac{x ^{2}}{2} + C$ . Ce a păcălit a fost forma, nu conținutul: un raport de polinoame poate ascunde o funcție foarte simplă.

De reținut

Ordinea gesturilor este fixă: intervalul, apoi liniaritatea, apoi rescrierea, apoi rândul din tabel.
Liniaritatea desface sume și diferențe și scoate constante; produsele și rapoartele nu se desfac așa.
Cele trei rescrieri care acoperă aproape tot: împărțirea termen cu termen, simplificarea cu numitorul, desfacerea unui pătrat sau a unui produs.
Proba de recunoaștere între putere și exponențială: unde stă litera $x$ — la bază e putere, la exponent e exponențială.
Proba unui răspuns de primitive este întotdeauna o derivare, iar ea durează mai puțin decât rezolvarea.

Greșeli frecvente

Integrezi un produs pe bucăți. Nu există regulă care să dea primitiva unui produs ca produs de primitive; derivarea răspunsului o infirmă imediat. Când vezi un produs, întâi îl desfaci sau îl simplifici.
Împarți termen cu termen când la numitor stă o sumă. Rescrierea e permisă doar cu un singur termen la numitor. Dintr-un numitor de forma $x + 1$ nu se poate „împărți pe rând", oricât ar semăna cu situația permisă.
Confunzi rândul puterii cu cel al exponențialei. Greșeala vine din faptul că ambele au un exponent scris sus; proba e poziția literei $x$ , nu prezența exponentului.
Simplifici fără să te uiți pe ce interval lucrezi. O simplificare cere ca factorul tăiat să fie nenul acolo; dacă intervalul nu garantează asta, rescrierea nu e validă și trebuie spus de ce este.
Predai rezolvarea fără probă. Derivarea rezultatului prinde greșelile de semn și de coeficient, care sunt cele mai frecvente la acest capitol, și cere mai puțin de un minut.

Aplică acasă

Fișa celor trei rescrieri. Ia din culegere cincisprezece expresii de integrat și pune-le, fără să le rezolvi, în patru coloane: „direct din tabel", „împărțire termen cu termen", „simplificare", „desfacere". Vei vedea care rescriere îți scapă cel mai des — aceea merită exersată, nu toate.
Zece secunde de citire. Cere-i unui coleg să-ți arate, pe rând, zece expresii, și spune cu voce tare, în cel mult zece secunde fiecare, numai ce gest ai face — nu și rezultatul. Antrenamentul acesta se face separat de calcul, tocmai pentru că la examen recunoașterea e cea care consumă timp.
Proba pe lucrarea veche. Ia ultima ta lucrare cu primitive și derivează fiecare răspuns, fără să te uiți la corectură. Notează câte greșeli ai fi prins singur; ies la iveală mai ales cele de semn și cele de coeficient, iar numărul lor te convinge să faci proba de fiecare dată.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul spune intervalul înainte de a scrie ceva; dacă aplică liniaritatea numai la sume; dacă alege rescrierea potrivită după forma numitorului; și dacă face proba prin derivare. Sunt deprinderi de citire, nu de memorare, iar ele se antrenează separat de calcul, pe expresii pe care elevul nici nu le rezolvă.

Dificultatea reală a capitolului la profilul științe ale naturii nu este numărul de formule — sunt puține și se rețin în trei grupe —, ci faptul că enunțurile nu le arată direct. Un elev care știe tabelul pe de rost poate rămâne blocat în fața unei fracții care se simplifică într-un rând. De aceea exercițiile de aici cer, în bună parte, doar transformarea, nu și rezultatul.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Pe ce interval lucrezi?"; „Ce gest faci primul și de ce?"; „Unde stă litera $x$ în expresia asta?"; „Cum verifici că răspunsul e bun?". Semne că a înțeles: începe cu intervalul; la o fracție se uită întâi la numitor; nu încearcă să integreze produse pe bucăți; și derivează răspunsul fără să i se ceară.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținuturile „Tabelul primitivelor uzuale" și „Proprietăți ale integralei nedefinite: liniaritate". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține aceleași două rânduri, iar cerințele de analiză stau la Subiectul al III-lea. Integrarea prin părți și schimbarea de variabilă apar și ele în programa de examen, dar la acest profil se studiază la capitolul de integrală definită, nu aici. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cum recunosc ce formulă de primitivă îmi trebuie?

Parcurgi patru întrebări, în ordine. E o sumă? O desfaci. Are o constantă care înmulțește? O scoți în față. E un raport sau un pătrat? Îl rescrii, împărțind termen cu termen sau simplificând. Abia la final cauți rândul din tabel, iar acolo întrebarea decisivă este unde stă litera $x$ : la bază sau la exponent.

Când am voie să împart termen cu termen?

Numai când la numitor stă un singur termen — $x$ , o putere a lui $x$ sau $x$ — și când acel termen este nenul pe intervalul de lucru. Dacă numitorul este o sumă, cum e $x + 1$ sau $x^{2} + 1$ , împărțirea termen cu termen nu se poate face; acolo se caută o descompunere a numărătorului sau se scrie numărătorul pornind de la numitor.

De ce nu pot integra un produs înmulțind primitivele?

Pentru că regula e falsă, și se vede din prima verificare. Primitivele lui $x \cdot x^{2}$ sunt $\frac{x ^{4}}{4} + C$ , în timp ce produsul primitivelor ar da $\frac{x ^{5}}{6}$ , a cărui derivată este $\frac{5 x ^{4}}{6}$ . Liniaritatea se referă la sume și la înmulțirea cu o constantă, nu la produsul a două funcții.

Se dau la Bacalaureatul M2 integrarea prin părți și substituția?

Da, ele sunt în programa de examen, dar la profilul științe ale naturii se învață la capitolul de integrală definită, nu la primitive. La lecția de față rămâi cu tabelul și cu liniaritatea, iar expresiile date se rezolvă toate cu ele. Când vei ajunge la metodele acelea, arborele de decizie va primi două ramuri în plus.

La ce subiect apare la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, acest subiect are două probleme cu câte trei cerințe de $5$ puncte, iar a doua este cea de integrale; în acel model, primele două cerințe ale ei încep amândouă cu o simplificare a expresiei de sub integrală.

Ce fac dacă nicio rescriere nu merge?

Te oprești și verifici mai întâi dacă cerința chiar cere primitivele. Dacă da și expresia e un produs de funcții de naturi diferite, atunci e nevoie de o metodă pe care o vei învăța mai târziu. Faptul că nu găsești formula nu înseamnă că funcția nu are primitive: dacă e continuă pe un interval, sigur are.

Cum verific răspunsul la un exercițiu de primitive?

Derivezi rezultatul obținut și compari cu funcția din enunț. Dacă cele două coincid pe tot intervalul, răspunsul este corect; constanta nu se verifică astfel, fiindcă dispare la derivare. Verificarea durează mai puțin decât rezolvarea și prinde tocmai greșelile de semn și de coeficient, cele mai frecvente aici.

Există lecția aceasta și la mate-info (M1)?

Există una înrudită, dar cu alt conținut: acolo ghidul de alegere pornește de la metode, nu de la rânduri de tabel, fiindcă părțile și substituția sunt predate în același capitol. Pentru comparație, recapitularea de la mate-info (M1): Sinteză primitive pentru Bacalaureat M1. La științe ale naturii, lista de metode e mai scurtă, deci ghidul se oprește la recunoașterea funcției.