Un senzor indică $$0{,}4$$ grame pe secundă. Care dintre întrebările de mai jos cere valoarea unei primitive?

„Câte grame s-au adunat în primele zece secunde?"

„Cât de repede se adună substanța la secunda a zecea?"

„Care este rata la momentul pornirii?"

„Cu cât se schimbă rata într-o secundă?"

Cum aflu distanța parcursă știind viteza?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · De la rată la cantitate

Poziția unui mobil este o primitivă a vitezei, deci distanța parcursă se obține din valorile acestei primitive. Când viteza nu schimbă semnul, distanța dintre două momente este diferența celor două valori. Exemplu: $v (t) = 3 t^{2} + 2$ m/s. O primitivă este $s (t) = t^{3} + 2 t$ , deci între $t = 0$ și $t = 2$ s mobilul parcurge $s (2) - s (0) = 8 + 4 = 12$ m. Proba: derivata lui $t^{3} + 2 t$ redă viteza, iar unitatea iese din înmulțirea m/s cu s.

Un debitmetru și un apometru montate pe aceeași conductă măsoară mărimi diferite: primul, viteza cu care se adună apa, al doilea, cantitatea adunată. Legătura se scrie $M^{'} (t) = r (t)$ , ceea ce înseamnă că mărimea acumulată este o primitivă a ratei.

Recunoașterea se face după unitatea de măsură: numele unității de rată cuprinde un raport cu timpul: litri pe minut, grame pe secundă ori miligrame pe oră. Unitatea cantității iese prin înmulțire cu unitatea timpului și nu trebuie ținută minte. Constanta de integrare aduce în calcul valoarea de pornire și se află dintr-o măsurătoare cunoscută, făcută la un moment oarecare, nu obligatoriu la începutul intervalului.

Semnul se decide în prima egalitate, la traducerea enunțului: verbele care arată o pierdere cer $M^{'} (t) = - r (t)$ . Amânat până la sfârșit, el produce mase negative. O rată care se anulează nu duce mărimea la zero, ci o lasă neschimbată; una care își schimbă semnul îi așază acolo un maxim.

Controlul are trei trepte: derivarea trebuie să redea rata din enunț, punctul cunoscut trebuie să redea starea, iar rezultatul trebuie să fie cu putință fizic pe tot intervalul declarat — dincolo de el modelul nu se folosește. Programa din 2014 cuprinde, înaintea capitolului de primitive, problemele care duc la noțiunea de integrală.

De reținut

dacă $M^{'} (t) = r (t)$ , mărimea $M$ este o primitivă a ratei $r$
constanta de integrare este starea de la momentul cunoscut
unitatea cantității = unitatea ratei $\times$ unitatea timpului

Greșeala tipică

Se uită constanta și se consideră că mărimea pornește de la zero; dacă bazinul avea deja $30$ L, această valoare trebuie adăugată la volumul adus de debit.

Exerciții din această mini-lecție

Un senzor indică $0, 4$ grame pe secundă. Care dintre întrebările de mai jos cere valoarea unei primitive?
- a) „Cât de repede se adună substanța la secunda a zecea?"
- b) „Care este rata la momentul pornirii?"
- c) „Câte grame s-au adunat în primele zece secunde?"
- d) „Cu cât se schimbă rata într-o secundă?"
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) „Câte grame s-au adunat în primele zece secunde?"

Aparatul măsoară o rată, adică derivata mărimii. Întrebările a) și b) cer tot valori ale ratei, exprimate în grame pe secundă, iar d) cere variația ratei, adică o derivată a ei. Numai c) cere cantitatea acumulată, exprimată în grame, iar ea se obține integrând rata — este, prin urmare, valoarea unei primitive.
O mărime are rata $M^{'} (t) = 1, 2 t^{2}$ pe intervalul $[0, 6]$ , iar $M (0) = 4$ . Atunci $M (2)$ este egal cu:
- a) $7, 2$
- b) $3, 2$
- c) $4, 8$
- d) $11, 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7, 2$

Integrăm rata: $M (t) = 0, 4 t^{3} + c$ , iar din $M (0) = 4$ rezultă $c = 4$ , deci $M (t) = 0, 4 t^{3} + 4$ . Atunci $M (2) = 0, 4 \cdot 8 + 4 = 3, 2 + 4 = 7, 2$ . Varianta b) uită constanta, iar c) dă valoarea ratei, $M^{'} (2) = 1, 2 \cdot 4 = 4, 8$ — răspuns la altă întrebare și în altă unitate de măsură. Rata fiind nenegativă pe tot intervalul, mărimea crește.
Dintr-un vas se evaporă apă cu rata $e (t) = 1, 5 - 0, 05 t$ , măsurată în mililitri pe minut, pentru $t \in [0, 20]$ , iar la început vasul conținea $80$ de mililitri. Legea volumului este:
- a) $V (t) = 80 + 1, 5 t - 0, 025 t^{2}$
- b) $V (t) = 80 - 1, 5 t + 0, 025 t^{2}$
- c) $V (t) = 1, 5 t - 0, 025 t^{2} - 80$
- d) $V (t) = 80 - 1, 5 t + 0, 05 t^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $V (t) = 80 - 1, 5 t + 0, 025 t^{2}$

Volumul scade, deci semnul intră în prima egalitate: $V^{'} (t) = - e (t) = - 1, 5 + 0, 05 t$ . Integrând, $V (t) = - 1, 5 t + 0, 025 t^{2} + c$ , iar din $V (0) = 80$ rezultă $c = 80$ . Modelul este coerent: rata de evaporare rămâne pozitivă pe tot intervalul, fiindcă $e (20) = 0, 5 > 0$ , iar $V (20) = 80 - 30 + 10 = 60$ de mililitri, valoare pozitivă. Varianta d) dublează coeficientul de la integrare, iar a) și c) greșesc semnul.

Întrebări conexe

Cum aflu volumul adunat dintr-un debit variabil?

Volumul este o primitivă a debitului. Pentru $Q (t) = 4 t + 10$ L/min și un vas gol la început, $V (t) = 2 t^{2} + 10 t$ . După $5$ minute vasul conține $2 \cdot 25 + 50 = 100$ L. Proba: derivata lui $2 t^{2} + 10 t$ este $4 t + 10$ , adică debitul, iar unitatea L/min, înmulțită cu minute, se reduce la litri.

Cum aflu concentrația unui produs dintr-o viteză de reacție?

Concentrația este o primitivă a vitezei de formare. Pentru $r (t) = 0, 2 - 0, 01 t$ mol/(L·min) și concentrație inițială zero, $c (t) = 0, 2 t - 0, 005 t^{2}$ . După $10$ minute, $c = 2 - 0, 5 = 1, 5$ mol/L. Modelul are sens cât timp viteza rămâne pozitivă, adică pentru $t$ de cel mult $20$ de minute.

Ce unitate de măsură are mărimea acumulată?

Unitatea ratei înmulțită cu unitatea timpului. Metri pe secundă ori secunde dau metri, litri pe minut ori minute dau litri, miligrame pe oră ori ore dau miligrame. Dacă unitatea rezultatului nu iese așa, modelul este scris greșit.

Ce se întâmplă cu mărimea acumulată când rata devine zero?

Mărimea rămâne constantă în acel moment, nu devine zero. Dacă rata își schimbă semnul, mărimea are acolo un maxim sau un minim. Pentru $r (t) = 6 - 2 t$ mărimea crește până la $t = 3$ și apoi scade.

Cum aflu masa unei tije cu densitatea variabilă?

Masa este o primitivă a densității liniare, luată pe lungime. Pentru $λ (x) = 2 + 0, 5 x$ g/cm pe o tijă de $10$ cm, $m (x) = 2 x + 0, 25 x^{2}$ , deci masa totală este $20 + 25 = 45$ g.

Oamenii mai întreabă și: de la viteză la distanță cu primitive · cum afli spațiul din viteză · distanța parcursă din legea vitezei · spațiul parcurs ca primitivă a vitezei