De la rată la cantitate: primitive în științe (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Un vitezometru, un debitmetru și un senzor de concentrație dintr-un laborator de chimie au ceva neașteptat în comun: niciunul nu îți spune cât ai adunat, ci numai cât de repede se adună. Vitezometrul arată metri pe secundă, nu metri; debitmetrul arată litri pe minut, nu litri. În clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), matematica îți dă instrumentul care face drumul invers, de la cât de repede la cât de mult: primitiva. Tot capitolul de până aici a construit unealta; lecția de față o pune la treabă, pe modelele din laborator; cerințe construite pe ele se pot da la bacalaureatul M2, la Subiectul al III-lea.

Ideea se rezumă într-un singur rând, și merită ținută minte exact așa: dacă derivata unei mărimi este rata ei de variație, atunci primitiva ratei este mărimea însăși. Cerințele construite pe acest tipar se pot da la bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, pentru că programa de examen din 2014 conține rândul „Probleme care conduc la noțiunea de integrală" și, imediat după el, capitolul de primitive; tema rămâne și în programa nouă, pentru proba MAT_P2 din 2030, la domeniul Analiză matematică. Iar pentru profilul tău lecția are un rost în plus: aproape orice lege din fizică, chimie sau biologie se scrie întâi ca rată și abia apoi se integrează.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști, într-un enunț, care mărime este rata și care este cantitatea acumulată, chiar când enunțul nu folosește cuvintele acestea.
Vei ști să scrii relația $M^{'} (t) = r (t)$ și să afli $M$ integrând rata, apoi să fixezi constanta din starea de la început.
Vei ști să deduci unitatea de măsură a cantității acumulate din unitatea ratei și din cea a timpului, fără să o memorezi.
Vei ști să citești din semnul ratei dacă mărimea crește sau scade și să respingi o interpretare greșită a semnului.
Vei ști să declari intervalul pe care modelul are sens și să nu tragi concluzii în afara lui.
Vei ști să faci proba oricărui răspuns, derivând înapoi și verificând starea de la început.

Hai să descoperim împreună

1. Ce măsoară de fapt un aparat: rata sau totalul?

Pune alături două aparate dintr-un laborator. Primul, un debitmetru montat pe o conductă, afișează în fiecare clipă câți litri pe minut trec prin secțiune. Al doilea, un apometru montat pe aceeași conductă, afișează câți litri au trecut de la montare încoace. Primul măsoară o rată; al doilea, o cantitate acumulată.

Rata unei mărimi este viteza cu care mărimea se schimbă, adică derivata ei în raport cu timpul; cantitatea acumulată este chiar mărimea, valoarea la care s-a ajuns până la un moment dat. Sunt două funcții diferite, citite pe aparate diferite și exprimate în unități diferite.

Deosebirea nu e de amănunt, ci de natură. Rata are, în numele unității ei, o împărțire la timp — litri pe minut, grade pe minut, miligrame pe oră. Cantitatea acumulată nu are: litri, grade, miligrame. Când într-un enunț vezi o unitate cu „pe secundă", „pe minut" sau „pe oră", ai în față o rată, deci ai în față o derivată.

Legătura dintre cele două a fost deja scrisă, în clasa a XI-a, în celălalt sens: la Viteza și accelerația, aflate cu derivata ai pornit de la lege și ai coborât la rată, derivând. Acum urci înapoi.

2. Care este regula punții?

Fie $M$ mărimea care se acumulează și $r$ rata ei, ambele funcții de timpul $t$ . Faptul că $r$ este rata lui $M$ înseamnă, prin definiție, un singur lucru:

$M^{'} (t) = r (t) pe intervalul de timp pe care lucrezi.$

Citită de la dreapta la stânga, egalitatea spune că $M$ este o primitivă a lui $r$ . Prin urmare

$M (t) = \int r (t) d t = R (t) + c,$

unde $R$ este o primitivă oarecare a lui $r$ , iar $c$ este un număr real. Constanta nu e un rest de calcul: ea poartă starea de la început. Dacă știi $M$ la un moment $t_{0}$ , pui condiția $M (t_{0}) = M_{0}$ și afli $c$ — tehnica a fost făcută pas cu pas la Primitiva care trece printr-un punct dat.

Schema de lucru are, prin urmare, trei rânduri: scrii $M^{'} (t) = r (t)$ ; integrezi și obții familia; determini constanta din starea cunoscută. Când rata e o sumă, o desfaci cu liniaritatea integralei nedefinite și integrezi termen cu termen.

3. De unde știi în ce unitate iese rezultatul?

Nu se memorează: se citește din formulă. Rata se înmulțește cu un timp, deci unitatea cantității acumulate este unitatea ratei înmulțită cu unitatea timpului, iar „pe minut" înmulțit cu „minut" se simplifică.

Socoteala se face cu unitățile, ca la fizică, simplificând numitorul cu factorul de timp:

centimetri pe secundă, înmulțiți cu secunde, dau centimetri — adică un drum;
litri pe minut, înmulțiți cu minute, dau litri — adică un volum;
moli pe litru și pe minut, înmulțiți cu minute, dau moli pe litru — adică o concentrație.

Regula are o consecință practică: dacă rata e dată pe minut, iar întrebarea pomenește ore, transformi înainte de a integra, nu după. Amestecul de unități nu se vede în calcul, ci abia în rezultatul care iese de o sută de ori mai mare decât realitatea.

4. Cum treci de la viteză la drumul parcurs?

Un cărucior alunecă pe o șină de aer și e frânat uniform de o bandă magnetică. Măsurătorile dau viteza $v (t) = 24 - 1, 6 t$ , în centimetri pe secundă, model valabil pentru $t \in [0, 15]$ — la $t = 15$ viteza se anulează și căruciorul se oprește. Alegem originea în punctul de pornire, deci $x (0) = 0$ .

Scriem $x^{'} (t) = v (t)$ , integrăm și obținem $x (t) = 24 t - 0, 8 t^{2} + c$ . Din $x (0) = 0$ rezultă $c = 0$ , așadar

$x (t) = 24 t - 0, 8 t^{2}, t \in [0, 15] .$

Drumul până la oprire este $x (15) = 360 - 180 = 180$ de centimetri. Proba se face în două gesturi: derivăm înapoi, $x^{'} (t) = 24 - 1, 6 t$ , adică exact viteza dată, și verificăm $x (0) = 0$ .

Merită observat un detaliu fizic: la jumătatea duratei, $x (7, 5) = 180 - 45 = 135$ de centimetri, adică trei sferturi din drum. Firesc — la început căruciorul e rapid, la sfârșit abia se târăște. Iar dincolo de $t = 15$ formula ar da un cărucior care se întoarce singur: modelul nu mai are sens acolo.

5. Cum treci de la o rată la un volum, când mărimea scade?

Apa dintr-un vas deschis se evaporă, iar rata evaporării, măsurată în mililitri pe oră, scade pe măsură ce aerul de deasupra se umezește. Aici mărimea acumulată — volumul de apă rămas — nu crește, ci scade, deci rata ei de variație este negativă: $V^{'} (t) = - e (t)$ , unde $e$ este rata evaporării, un număr pozitiv.

Drumul e același: scrii relația dintre $V^{'}$ și rata măsurată, integrezi rata, determini constanta din volumul turnat la început. Restul e calcul, iar calculul îl faci tu, în exemple.

Reține însă gestul care se greșește ușor: semnul nu se pune la sfârșit, ci în prima egalitate, când traduci enunțul. Dacă enunțul spune „se evaporă", „se consumă", „se elimină", „se răcește", mărimea scade, iar în relația de pornire apare un minus.

6. Ce se întâmplă când rata este zero sau își schimbă semnul?

Două cazuri de margine merită privite, pentru că amândouă apar în laborator.

Dacă rata este nulă pe un interval, $r (t) = 0$ , atunci $M^{'} (t) = 0$ , deci $M$ este constantă acolo: reacția s-a oprit, iar concentrația rămâne la valoarea atinsă. Nu „scade la zero" — se oprește la ultima valoare. Confuzia dintre „rata este zero" și „mărimea este zero" strică interpretarea întregului model.

Dacă rata își schimbă semnul, mărimea crește cât timp rata e pozitivă și scade după, deci are un maxim exact acolo unde rata se anulează — e chiar regula de monotonie din clasa a XI-a, citită pentru $M$ . Un bazin alimentat cu un debit care devine negativ, de pildă, începe să se golească.

7. Cum verifici că răspunsul e bun?

Orice problemă de acest fel are o probă în două verificări, amândouă scurte.

Prima: derivezi răspunsul și trebuie să obții exact rata din enunț. Dacă nu o obții, greșeala e în integrare, nu în constantă. A doua: înlocuiești momentul cunoscut și trebuie să obții starea din enunț. Dacă nu o obții, greșeala e în constantă, nu în integrare. Proba spune, așadar, nu doar că ai greșit, ci și unde.

Mai rămâne o verificare, pe care nicio formulă nu o face în locul tău: rezultatul trebuie să fie posibil fizic. O masă nu iese negativă, un drum parcurs nu scade, o concentrație nu depășește saturația. Când iese așa ceva, cel mai probabil modelul a fost folosit în afara intervalului lui.

8. Și dacă rata depinde de mărimea însăși?

Toate ratele de până acum erau funcții de timp: le citeai la ceas și le integrai. În natură se întâmplă însă des altceva. O substanță radioactivă se dezintegrează cu atât mai repede cu cât a rămas mai multă din ea; un corp fierbinte se răcește cu atât mai iute cu cât e mai departe de temperatura camerei. În astfel de cazuri rata depinde de mărimea necunoscută, iar relația de pornire nu mai este $M^{'} (t) = r (t)$ , ci o legătură între $M$ și $M^{'}$ .

O asemenea egalitate se numește ecuație diferențială, iar rezolvarea ei cere altă tehnică decât integrarea directă. Cu ea începe unitatea următoare: Ecuații diferențiale: ce este o soluție. Lecția de față este exact puntea spre ea — cazul în care rata se citește direct la aparat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Debit și volum

Un bazin de decantare primește apă cu debitul $Q (t) = 0, 6 t^{2} + 4$ , în litri pe minut, pentru $t \in [0, 10]$ , iar la pornirea pompei conținea $40$ de litri. Determină volumul $V (t)$ și calculează $V (5)$ .

Rezolvare. Debitul este rata volumului, deci $V^{'} (t) = Q (t)$ . Integrăm termen cu termen: $V (t) = 0, 2 t^{3} + 4 t + c$ . Din $V (0) = 40$ obținem $c = 40$ , așadar $V (t) = 0, 2 t^{3} + 4 t + 40$ litri. Atunci $V (5) = 25 + 20 + 40 = 85$ de litri. Proba: $V^{'} (t) = 0, 6 t^{2} + 4$ , adică debitul dat, iar $V (0) = 40$ .

Exemplul 2 — O mărime care scade

O probă de sol este uscată într-un flux de aer. Apa din probă se pierde cu rata $u (t) = 2, 4 - 0, 08 t$ , în grame pe minut, pentru $t \in [0, 30]$ , iar la început proba conținea $60$ de grame de apă. Determină masa de apă rămasă și valoarea ei la $t = 30$ .

Rezolvare. Masa scade, deci $m^{'} (t) = - u (t) = - 2, 4 + 0, 08 t$ . Integrăm: $m (t) = - 2, 4 t + 0, 04 t^{2} + c$ , iar din $m (0) = 60$ rezultă $c = 60$ . Prin urmare $m (t) = 60 - 2, 4 t + 0, 04 t^{2}$ grame. La capătul intervalului, $m (30) = 60 - 72 + 36 = 24$ de grame. Rezultatul e plauzibil: masa a scăzut, dar a rămas pozitivă. Observă și că rata de uscare se anulează la $t = 30$ — de acolo încolo modelul nu mai spune nimic.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un filtru reține pulberi din aer cu rata $r (t) = 8 + 1, 2 t$ , în miligrame pe minut, iar la pornire filtrul era curat. Un elev scrie: „După $5$ minute filtrul a reținut $r (5) = 8 + 6 = 14$ miligrame." Unde greșește și care este răspunsul corect?

Rezolvare. Elevul a dat valoarea ratei la minutul al cincilea, nu cantitatea adunată; a răspuns în miligrame pe minut la o întrebare care cere miligrame. Corect: $m^{'} (t) = r (t)$ , deci masa reținută este $m (t) = 8 t + 0, 6 t^{2}$ , după ce din $m (0) = 0$ a rezultat $c = 0$ . Așadar $m (5) = 40 + 15 = 55$ de miligrame. Unitatea de măsură a fost, și aici, primul semn că răspunsul e greșit.

Exemplul 4 — Condiția dată la un moment oarecare

Un dezumidificator de laborator adună apă cu rata $r (t) = 20 - 0, 8 t$ , în mililitri pe oră, pentru $t \in [0, 20]$ . La ora a zecea, recipientul conținea $175$ de mililitri. Determină $V (t)$ și spune cât conținea recipientul la pornire.

Rezolvare. Din $V^{'} (t) = r (t)$ obținem $V (t) = 20 t - 0, 4 t^{2} + c$ . Condiția nu e dată la momentul zero, dar se folosește la fel: $V (10) = 200 - 40 + c = 175$ , deci $c = 15$ . Prin urmare $V (t) = 20 t - 0, 4 t^{2} + 15$ mililitri, iar la pornire recipientul avea $V (0) = 15$ mililitri — nu fusese golit complet. Proba: $V^{'} (t) = 20 - 0, 8 t$ și $V (10) = 175$ . Rata rămâne pozitivă pe tot intervalul: s-ar anula abia la $t = 25$ , în afara lui.

Exemplul 5 — Viteză de reacție și masă formată

Într-un vas de reacție, produsul se formează cu viteza $r (t) = 1, 8 - 0, 12 t$ , în grame pe minut, pentru $t \in [0, 15]$ , iar la pornire nu exista produs. Determină masa formată și valoarea ei la $t = 5$ .

Rezolvare. Avem $m^{'} (t) = r (t)$ , deci $m (t) = 1, 8 t - 0, 06 t^{2} + c$ , iar din $m (0) = 0$ rezultă $c = 0$ . Așadar $m (t) = 1, 8 t - 0, 06 t^{2}$ grame și $m (5) = 9 - 1, 5 = 7, 5$ grame. Viteza se anulează la $t = 15$ : reacția se oprește, iar masa rămâne la $m (15) = 27 - 13, 5 = 13, 5$ grame. Nicio valoare a lui $m$ pe acest interval nu depășește $13, 5$ grame, fiindcă $m$ crește cât timp $r$ este pozitivă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $v : [0, 12] \to R$ , $v (t) = 1, 5 t^{2} - 18 t + 54$ , care dă viteza unui vehicul de test pe o pistă rectilinie, în metri pe secundă, la momentul $t$ , în secunde. Vehiculul pornește din origine, deci $x (0) = 0$ .

a) Arată că $v (t) \geq 0$ pentru orice $t \in [0, 12]$ .

b) Determină legea de mișcare $x (t)$ .

c) Calculează drumul parcurs în primele $6$ secunde.

Rezolvare. a) Dăm factor comun $1, 5$ și recunoaștem un pătrat: $v (t) = 1, 5 (t^{2} - 12 t + 36) = 1, 5 (t - 6)^{2} \geq 0$ , cu egalitate doar la $t = 6$ . Vehiculul nu se dă înapoi; într-o singură clipă stă pe loc.

b) Din $x^{'} (t) = v (t)$ obținem $x (t) = 0, 5 t^{3} - 9 t^{2} + 54 t + c$ , iar $x (0) = 0$ dă $c = 0$ . Deci $x (t) = 0, 5 t^{3} - 9 t^{2} + 54 t$ metri.

c) $x (6) = 108 - 324 + 324 = 108$ metri. Proba: $x^{'} (t) = 1, 5 t^{2} - 18 t + 54$ și $x (0) = 0$ .

Să exersăm

La fiecare rezultat aplicativ scrie unitatea de măsură și verifică intervalul pe care modelul are sens.

1. O mărime are rata $M^{'} (t) = 0, 8 t + 3$ pe $[0, 10]$ și $M (0) = 5$ . Determină $M (t)$ și calculează $M (10)$ .

2. O mărime are rata $M^{'} (t) = 12 - 0, 5 t$ pe $[0, 20]$ și $M (0) = 0$ . Determină $M (t)$ .

3. O pompă de recirculare trimite apă cu debitul $Q (t) = 2, 5 t + 6$ litri pe minut, pe $[0, 8]$ , iar vasul conținea la pornire $12$ litri. Determină $V (t)$ și $V (4)$ .

4. Zăpada proaspătă se depune cu rata $h^{'} (t) = 0, 9 t^{2}$ centimetri pe oră, pe $[0, 6]$ , pornind de la sol curat. Determină grosimea stratului după $4$ ore.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă rata unei mărimi crește pe tot intervalul, atunci și mărimea acumulată crește pe tot intervalul.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $M^{'} (t) = 6 - 0, 4 t$ pe $[0, 20]$ , cu $M (0) = 9$ . Determină $M (t)$ și momentul în care rata se anulează.

7. Trei rate sunt măsurate în: mililitri pe minut, grade pe oră, miligrame pe zi. Scrie, pentru fiecare, unitatea de măsură a mărimii acumulate.

8. O mărime are rata $M^{'} (t) = 0, 25 t^{2} + 1, 5$ pe $[0, 12]$ și se știe că $M (2) = 7$ . Determină $M (t)$ .

9. (Găsește greșeala.) Enunțul dă $M^{'} (t) = 4 - 0, 2 t$ și $M (0) = 6$ , iar rezolvarea se încheie cu „ $M (t) = 4 t - 0, 1 t^{2} + c$ ". Ce lipsește și care este răspunsul complet?

10. (Problemă aplicată.) Un bioreactor de laborator degajă gaz, care este captat cu debitul $Q (t) = 4, 5 - 0, 15 t$ mililitri pe minut, pe $[0, 30]$ , recipientul fiind gol la pornire. Determină volumul captat $V (t)$ , calculează $V (20)$ și explică ce se întâmplă la $t = 30$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un mobil are viteza $v (t) = 0, 6 t^{2} - 7, 2 t + 21, 6$ metri pe secundă, pe $[0, 10]$ , și pornește din punctul de coordonată $4$ metri. Determină $x (t)$ .

12. O mărime are rata $M^{'} (t) = 0, 5 t + 1$ pe $[0, 10]$ și $M (0) = 8$ . Calculează $M (6)$ și, separat, cantitatea acumulată între momentele $2$ și $6$ .

13. Se știe că $M (t) = 0, 3 t^{2} + 5 t + 2$ . Determină rata mărimii și valoarea ei la $t = 4$ , apoi spune dacă rata obținută depinde de timp sau de mărimea însăși.

14. O mărime are rata $M^{'} (t) = 1, 4 - 0, 07 t$ pe $[0, 30]$ și $M (0) = 0$ . Determină momentul în care rata se anulează, valoarea mărimii atunci și valoarea ei în capătul intervalului, apoi compară-le.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-un vas, un precipitat se formează cu viteza $r (t) = 3, 6 - 0, 3 t$ grame pe minut, pe $[0, 12]$ , iar la pornire vasul nu conținea precipitat. a) Determină masa $m (t)$ . b) Calculează $m (6)$ . c) Arată că masa nu depășește $21, 6$ grame.

16. Pentru modelul de la exercițiul 10, explică de ce nu are sens să calculezi $V (40)$ .

17. Două vase primesc apă cu același debit, iar al doilea avea la pornire cu $20$ de litri mai mult decât primul. La minutul $8$ , al doilea conține $95$ de litri. Câți litri conține primul vas în aceeași clipă?

18. (Provocare.) O mărime are rata $M^{'} (t) = 0, 3 t^{2} - 2, 4 t + 6$ pe $[0, 12]$ și $M (0) = 0$ . Determină $M (t)$ , arată că rata este pozitivă pe tot intervalul și calculează valoarea cea mai mare a mărimii.

Răspunsuri și explicații

1. $M (t) = 0, 4 t^{2} + 3 t + 5$ , din $M (0) = 5$ . Atunci $M (10) = 40 + 30 + 5 = 75$ .

2. $M (t) = 12 t - 0, 25 t^{2}$ , fiindcă $M (0) = 0$ dă $c = 0$ .

3. $V (t) = 1, 25 t^{2} + 6 t + 12$ litri; $V (4) = 20 + 24 + 12 = 56$ de litri. Proba: derivata dă $2, 5 t + 6$ .

4. $h (t) = 0, 3 t^{3}$ centimetri, deci $h (4) = 19, 2$ centimetri.

5. Fals. Ce hotărăște creșterea mărimii este semnul ratei, nu monotonia ei. Contraexemplu: rata $r (t) = 0, 5 t - 2$ crește pe $[0, 6]$ , dar este negativă pe $[0, 4)$ , deci mărimea scade în primele patru unități de timp și abia apoi crește. O rată care crește, dar rămâne negativă, descrie o mărime care scade tot mai încet.

6. $M (t) = 6 t - 0, 2 t^{2} + 9$ . Rata se anulează pentru $6 - 0, 4 t = 0$ , adică la $t = 15$ , în interiorul intervalului: după acel moment rata devine negativă, deci mărimea începe să scadă.

7. Mililitri, grade, miligrame. Unitatea timpului din numitorul ratei se simplifică cu unitatea timpului cu care se înmulțește.

8. $M (t) = \frac{0 , 25 t ^{3}}{3} + 1, 5 t + c$ , adică $M (t) \approx 0, 0833 t^{3} + 1, 5 t + c$ . Din $M (2) = 7$ obținem $\frac{2}{3} + 3 + c = 7$ , deci $c = \frac{10}{3}$ și $M (t) = \frac{t ^{3}}{12} + 1, 5 t + \frac{10}{3}$ .

9. Lipsește determinarea constantei: răspunsul unei probleme de acest fel este o funcție anume, nu o familie. Din $M (0) = 6$ rezultă $c = 6$ , deci $M (t) = 4 t - 0, 1 t^{2} + 6$ .

10. $V (t) = 4, 5 t - 0, 075 t^{2}$ mililitri; $V (20) = 90 - 30 = 60$ de mililitri. La $t = 30$ debitul se anulează: degajarea încetează, iar volumul captat rămâne la $V (30) = 135 - 67, 5 = 67, 5$ mililitri.

11. $x (t) = 0, 2 t^{3} - 3, 6 t^{2} + 21, 6 t + 4$ metri, din condiția $x (0) = 4$ .

12. $M (t) = 0, 25 t^{2} + t + 8$ , din $M (0) = 8$ . Atunci $M (6) = 9 + 6 + 8 = 23$ , iar cantitatea acumulată între momentele $2$ și $6$ este $M (6) - M (2) = 23 - 11 = 12$ . Cele două numere răspund la întrebări diferite: primul spune cât este, al doilea cât s-a adunat.

13. Rata este derivata: $M^{'} (t) = 0, 6 t + 5$ , iar $M^{'} (4) = 2, 4 + 5 = 7, 4$ . Aici drumul e cel din clasa a XI-a, nu cel al lecției. Rata obținută depinde numai de timp, nu de $M$ : e cazul în care integrarea directă ajunge. Dacă rata ar fi ieșit scrisă cu $M$ în ea, am fi avut o ecuație diferențială.

14. Rata se anulează pentru $1, 4 - 0, 07 t = 0$ , adică la $t = 20$ . Cum $M (t) = 1, 4 t - 0, 035 t^{2}$ , avem $M (20) = 28 - 14 = 14$ , iar $M (30) = 42 - 31, 5 = 10, 5$ : după ce rata a trecut în negativ, mărimea a scăzut.

15. a) $m (t) = 3, 6 t - 0, 15 t^{2}$ grame. b) $m (6) = 21, 6 - 5, 4 = 16, 2$ grame. c) Rata este pozitivă pe $[0, 12)$ și se anulează la $t = 12$ , deci masa crește și atinge maximul la capăt: $m (12) = 43, 2 - 21, 6 = 21, 6$ grame. Prin urmare $m (t) \leq 21, 6$ pe tot intervalul.

16. Pentru că modelul e declarat valabil doar pe $[0, 30]$ . Formula $4, 5 - 0, 15 t$ ar da la $t = 40$ un debit negativ, adică gaz care intră înapoi în bioreactor — o absurditate fizică.

17. $95 - 20 = 75$ de litri. Cele două volume au aceeași derivată, deci diferă printr-o constantă, iar constanta este chiar diferența de la pornire, $20$ de litri; ea rămâne aceeași la orice moment. Observă că nu a fost nevoie nici de formula debitului, nici de volumul de la pornire al vreunuia dintre vase.

18. $M (t) = 0, 1 t^{3} - 1, 2 t^{2} + 6 t$ . Rata nu se descompune în factori, așa că semnul ei se citește din discriminant: $(- 2, 4)^{2} - 4 \cdot 0, 3 \cdot 6 = 5, 76 - 7, 2 = - 1, 44 < 0$ , iar coeficientul lui $t^{2}$ este pozitiv, deci trinomul nu se anulează niciodată și rămâne pozitiv. Prin urmare $M$ este crescătoare pe tot intervalul și își atinge valoarea cea mai mare în capătul din dreapta: $M (12) = 172, 8 - 172, 8 + 72 = 72$ . Rata are totuși un minim, la $t = 4$ , unde ia valoarea $1, 2$ — clipa în care mărimea crește cel mai încet, nu una în care s-ar opri.

De reținut

Dacă $r$ este rata mărimii $M$ , atunci $M^{'} (t) = r (t)$ , deci $M$ este o primitivă a lui $r$ : $M (t) = \int r (t) d t$ .
Constanta de integrare poartă starea de la început; se determină din valoarea cunoscută a mărimii, la orice moment din interval, nu neapărat la zero.
Unitatea mărimii acumulate este unitatea ratei înmulțită cu unitatea timpului; „pe minut" înmulțit cu „minut" se simplifică.
O rată negativă înseamnă o mărime care scade; o rată nulă înseamnă o mărime care rămâne constantă, nu una nulă.
Proba are două verificări: derivezi răspunsul și obții rata din enunț, apoi înlocuiești momentul cunoscut și obții starea din enunț.

Greșeli frecvente

Răspunzi cu rata, nu cu cantitatea. La întrebarea „cât s-a adunat în cinci minute" se calculează $M (5)$ , nu $r (5)$ . Semnul cel mai rapid că ai greșit este unitatea de măsură.
Lași constanta nedeterminată. O rezolvare care se oprește la „ $+ c$ ", deși enunțul dă starea de la început, e o rezolvare neterminată: răspunsul cerut este o funcție anume.
Derivezi în loc să integrezi, fiindcă enunțul spune „viteză". Cuvântul „viteză" arată că mărimea dată este derivata; ca să ajungi la mărimea acumulată, mergi în sens invers.
Pui minusul la sfârșit. Când mărimea scade, semnul intră în prima egalitate, $M^{'} (t) = - r (t)$ , nu în răspunsul final. Altfel ies mase și volume negative.
Confunzi „cât este acum" cu „cât s-a adunat de la început". Prima întrebare cere $M (t)$ , cu tot cu starea inițială; a doua cere numai partea acumulată. Într-un vas care avea deja apă, cele două numere sunt diferite.

Aplică acasă

Apometrul și cronometrul. Găsește apometrul din casă și notează indicația lui. Deschide robinetul la o poziție fixă exact două minute și notează din nou. Ai obținut cantitatea acumulată; împărțind la durată, ai rata medie. Repetă cu robinetul deschis pe jumătate și compară cele două rate, apoi scrie ce cantitate ar rezulta în zece minute la fiecare dintre ele.
Rata dintr-un manual de chimie. Caută în manualul de chimie o viteză de reacție dată printr-o formulă sau printr-un tabel. Scrie unitatea ei, deduce unitatea mărimii acumulate și, dacă formula e un polinom, determină mărimea acumulată în primele cinci minute, presupunând că la început ea era nulă.
Un model propriu, cu interval. Alege o mărime din casă care se acumulează — apă într-o găleată sub un robinet care picură, nisip într-o clepsidră, praf pe un pervaz. Propune pentru rata ei o formulă simplă, scrie mărimea acumulată și, mai ales, scrie intervalul de timp pe care modelul tău are sens. Explică într-o frază ce se strică dincolo de el.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul recunoaște, după unitatea de măsură, care mărime din enunț este rata; dacă scrie corect prima egalitate, cu semnul potrivit când mărimea scade; dacă determină constanta din starea dată, oricare ar fi momentul ei; și dacă face proba în două verificări, fără să i se ceară.

Dificultatea reală nu e calculul, care se reduce la primitive de polinoame, ci traducerea enunțului. Elevii care greșesc aici nu greșesc integrarea, ci prima propoziție: iau ca dată mărimea care de fapt se cere, sau invers. Un antrenament scurt și eficace, de cinci minute acasă, este să i se citească un enunț și să scrie numai prima egalitate, fără să calculeze nimic.

A doua sursă de pierderi este semnul. „Se evaporă", „se consumă", „se elimină" înseamnă rată de variație negativă, iar elevul care pune minusul abia la final obține o masă negativă fără să se oprească din calcul. Merită cerut, de fiecare dată, un comentariu de o frază despre plauzibilitatea rezultatului.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce măsoară aparatul din enunț: rata sau totalul?"; „În ce unitate iese răspunsul și de ce?"; „De unde iei constanta?"; „Ce se strică dacă folosești modelul dincolo de intervalul dat?". Semne că a înțeles: scrie unitatea la fiecare rezultat fără să i se ceară și verifică singur derivând înapoi.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; ea acoperă competența XII.CS.6.3, „Studiul integralei nedefinite și a ecuațiilor diferențiale în contexte practice", iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) conține rândul „Probleme care conduc la noțiunea de integrală" și capitolul „Primitive (antiderivate)" — deci cerințe de acest fel se pot da și în acele sesiuni, la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă „dacă derivata e rata, primitiva e cantitatea"?

Înseamnă că cele două operații sunt drumuri opuse pe același traseu: derivarea coboară de la mărime la viteza ei de variație, iar integrarea urcă înapoi. Dacă $M$ este mărimea și $r$ rata ei, legătura se scrie $M^{'} (t) = r (t)$ , deci $M$ este o primitivă a lui $r$ , fixată de starea de la început.

Cum recunosc în enunț care mărime este rata?

Cel mai sigur după unitatea de măsură: rata are în numele ei o împărțire la timp — litri pe minut, grade pe oră, miligrame pe zi —, iar cantitatea acumulată nu are. Ajută și verbele: „curge", „se formează", „se consumă" introduc o rată, iar „conține", „a adunat", „a parcurs" introduc o cantitate.

De ce am nevoie de valoarea de la început?

Pentru că rata nu știe nimic despre punctul de plecare. Două vase alimentate identic, dintre care unul era gol și celălalt pe jumătate plin, au în orice moment aceeași rată și volume diferite. Constanta de integrare este exact diferența dintre ele, iar o singură valoare cunoscută a mărimii o fixează.

Ce se schimbă dacă rata este negativă?

Se schimbă doar sensul: mărimea scade, în loc să crească. Calculul rămâne identic, iar minusul se scrie în prima egalitate, când traduci enunțul. Rezultatul trebuie apoi citit cu ochi de fizician: o masă care scade rămâne totuși pozitivă, iar dacă formula ar da valori negative, înseamnă că ai depășit intervalul pe care modelul e valabil.

Cum verific răspunsul fără să refac calculul?

Derivezi funcția găsită și trebuie să obții exact rata din enunț; apoi înlocuiești momentul cunoscut și trebuie să obții starea din enunț. Prima verificare prinde greșelile de integrare, a doua pe cele de constantă. Amândouă durează câteva secunde și se fac pe ciornă, fără să refaci integrala și fără să reiei traducerea enunțului.

Se dau modelări de acest fel și la mate-info (M1)?

Da, dar în alt loc și cu altă unealtă. La matematică-informatică modelările cu debit și volum apar mai târziu, în capitolul de aplicații ale integralei definite, unde se calculează direct cantitatea acumulată între două momente. La științe ale naturii ele vin mai devreme, chiar la primitive, ca punte spre ecuațiile diferențiale. Pentru comparație, Modelări din fizică: debit, volum de lichid și energie consumată.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Programa de examen din 2014 conține rândul „Probleme care conduc la noțiunea de integrală" și capitolul de primitive, iar în modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe legate, dintre care a doua este cea de integrale. Din 2030, la MAT_P2, tema stă în domeniul „Analiză matematică". Recunoașterea funcției se exersează la Primitive: cum recunoști funcția.

Ce legătură are lecția cu ecuațiile diferențiale?

Aici rata era o funcție de timp, citită la aparat, iar integrarea directă ajungea. Când rata depinde de mărimea însăși — cum se întâmplă la dezintegrarea radioactivă sau la răcirea unui corp — relația de pornire leagă $M$ de $M^{'}$ și se numește ecuație diferențială. Rezolvarea ei cere o tehnică nouă, cu care începe unitatea următoare.