Cât de departe e centrul cubului de un vârf?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Corpuri așezate în reper

Așezi cubul cu un vârf în origine și muchiile pe semiaxele pozitive; la latura $a$ , centrul are coordonatele $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ . Distanța de la origine la centru este $3 \cdot \frac{a ^{2}}{4} = \frac{a 3}{2}$ , adică jumătate din diagonala cubului. Exemplu: la $a = 6$ , centrul este $(3, 3, 3)$ , iar distanța este $9 + 9 + 9 = 33 \approx 5, 2$ . Toate cele opt vârfuri sunt la aceeași distanță de centru.

Capitolul nu adaugă formule; adaugă o decizie: unde așezi corpul. Alegerea bună pune începutul axelor în vârful din care pleacă trei muchii perpendiculare între ele și trimite axele de-a lungul lor. Rezultatul se vede în coordonate — multe zerouri, puține minusuri.

Pentru o cutie dreptunghiulară așezată astfel, cele patru vârfuri de jos au ultima coordonată zero, iar cele de deasupra o au egală cu înălțimea; vârful din colțul opus le poartă pe toate trei. Diagonala iese din formula distanței, mijlocul din semisuma coordonatelor, iar un tetraedru ale cărui trei muchii dintr-un vârf se întâlnesc sub unghi drept fiecare cu fiecare are volumul cât a șasea parte din produsul lungimilor acelor muchii.

La o piramidă regulată câștigul e și mai mare dacă începutul axelor cade în mijlocul bazei, cu verticala pe înălțime: diferențele față de vârf se repetă până la semn, deci cele patru muchii înclinate ies dintr-un calcul singur.

Controlul care nu costă nimic e simetria. Când două lungimi ar trebui să coincidă, iar cifrele spun altceva, greșeala stă în lista de coordonate, nu în formulă. Iar la problemele de cristalografie fiecare rezultat se scrie cu unitatea lui.

De reținut

cub cu latura $a$ și un vârf în origine: centrul este $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$
distanța vârf–centru: $\frac{a 3}{2}$ ; între centrele a două fețe vecine: $\frac{a 2}{2}$
la piramida regulată, originea în centrul bazei scurtează calculul

Greșeala tipică

La piramida regulată cu originea în centrul bazei, un vârf al bazei se scrie cu latura întreagă, $(l, l, 0)$ ; corect, coordonatele sunt jumătăți de latură, $(\frac{l}{2}, \frac{l}{2}, 0)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia $4$ este așezat cu $A$ în origine, cu $A B$ pe $O x$ , cu $A D$ pe $O y$ și cu $A A^{'}$ pe $O z$ . Coordonatele vârfului $D^{'}$ sunt:
- a) $(4, 0, 4)$
- b) $(0, 4, 4)$
- c) $(4, 4, 4)$
- d) $(0, 0, 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(0, 4, 4)$

Vârful $D$ se află pe axa $O y$ , la distanța $4$ de origine, deci $D (0, 4, 0)$ ; vârful $D^{'}$ stă deasupra lui, la înălțimea $4$ , deci $D^{'} (0, 4, 4)$ . Varianta a) e vârful $B^{'}$ , c) e vârful $C^{'}$ — cel opus originii —, iar d) e vârful $A^{'}$ .
Paralelipipedul dreptunghic cu $A$ în origine are $A B = 1$ , $A D = 4$ și $A A^{'} = 8$ , cu muchiile pe axe. Lungimea diagonalei $A C^{'}$ este:
- a) $13$
- b) $80$
- c) $9$
- d) $65$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $9$

Vârful opus originii este $C^{'} (1, 4, 8)$ , deci $A C^{'} = 1 + 16 + 64 = 81 = 9$ . Varianta a) adună dimensiunile, ceea ce dă lungimea unui drum pe trei muchii, nu a unui segment drept; b) uită muchia de $1$ , iar d) uită muchia de $4$ .
Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are baza pătrat de latură $12$ și înălțimea $7$ , așezată cu originea în centrul bazei. Lungimea muchiei laterale $V A$ este:
- a) $193$
- b) $11$
- c) $85$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11$

Jumătatea laturii bazei este $6$ , deci $A (6, 6, 0)$ , iar vârful este $V (0, 0, 7)$ . Atunci $V A = 36 + 36 + 49 = 121 = 11$ . Varianta a) folosește latura întreagă în loc de jumătatea ei, c) uită una dintre cele două jumătăți, iar d) ia doar înălțimea.

Întrebări conexe

Cât este distanța dintre centrele a două fețe vecine ale cubului?

La cubul cu latura $6$ și un vârf în origine, centrul feței de jos este $(3, 3, 0)$ , iar al feței din planul $x = 6$ este $(6, 3, 3)$ . Distanța este $9 + 0 + 9 = 32$ , adică $\frac{a 2}{2}$ .

Ce distanță e între doi atomi vecini într-o rețea cubică cu fețe centrate?

Atomii stau în vârfurile cubului și în centrele fețelor. Cei mai apropiați sunt un vârf, $(0, 0, 0)$ , și centrul unei fețe, $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$ , la distanța $\frac{a 2}{2}$ . Pentru cupru, cu $a \approx 0, 361$ nm, se obțin aproximativ $0, 255$ nm.

Cum aflu înălțimea unei piramide regulate din muchia laterală?

Pui originea în centrul bazei. La baza pătrat cu latura $8$ , un vârf al bazei este $(4, 4, 0)$ , iar vârful piramidei $(0, 0, h)$ . Pentru muchia laterală $9$ : $16 + 16 + h^{2} = 81$ , deci $h^{2} = 49$ și $h = 7$ .

Cum arăt cu coordonate că o secțiune în cub este triunghi echilateral?

La cubul cu latura $4$ , vârfurile $B (4, 0, 0)$ , $D (0, 4, 0)$ și $A^{'} (0, 0, 4)$ dau $B D^{2} = D A^{'2} = A^{'} B^{2} = 32$ . Laturile sunt egale, fiecare $42$ , deci secțiunea prin aceste trei vârfuri este un triunghi echilateral.

Cum arăt cu coordonate că diagonalele cubului au un punct comun?

Calculezi mijlocul fiecărei diagonale. La latura $a$ , diagonala de la $(0, 0, 0)$ la $(a, a, a)$ și cea de la $(a, 0, 0)$ la $(0, a, a)$ au același mijloc, $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ . La fel pentru celelalte două, deci toate patru se întâlnesc în centru și se înjumătățesc.

Oamenii mai întreabă și: distanța de la vârful cubului la centru · centrul cubului în coordonate · jumătatea diagonalei cubului · cât de departe e centrul cubului de un colț