Geometrie în spațiu, rezolvată analitic (M2, științe ale naturii)

Sarea de bucătărie nu este o pulbere fără formă: privită la microscopul electronic, ea este o stivă de cuburi minuscule, perfect regulate. Chimia numește acest cub repetat celulă elementară, iar din dimensiunea lui deduce tot ce contează — distanța dintre doi ioni vecini, densitatea cristalului, felul în care se rupe un bob de sare. Nimeni nu măsoară aceste distanțe cu rigla. Se pune cubul într-un reper, se scriu coordonatele ionilor și se calculează. Aceasta este metoda pe care o învețe capitolul de geometrie analitică în spațiu, la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), iar tema se dă la Bacalaureatul M2 din 2030 (proba MAT_P2), în domeniul „Geometrie. Trigonometrie".

Lecția de față nu aduce formule noi: le folosește pe cele din lecțiile anterioare ale unității și arată cum se alege reperul, astfel încât o problemă de corpuri să se rezolve prin calcul, nu prin desen. Merită spus cinstit cui se adresează. Geometria analitică în spațiu este o temă nouă, adusă de programa aprobată prin OMEC 6930/2025; elevii care susțin examenul în sesiunile 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa veche și nu au această temă nici la clasă, nici în subiecte. Pentru ei, corpurile rămân cele din gimnaziu, rezolvate cu teorema lui Pitagora și cu formulele de volum.

Ce vei învăța

• Vei ști să alegi reperul potrivit pentru un cub, un paralelipiped dreptunghic sau o piramidă regulată, astfel încât coordonatele să iasă cât mai simple.
• Vei ști să scrii coordonatele tuturor vârfurilor unui corp așezat în reper, pornind doar de la dimensiunile lui.
• Vei ști să transformi o întrebare de geometrie în spațiu — lungime, mijloc, volum, coplanaritate — într-un calcul cu triplete de numere.
• Vei ști să verifici un rezultat prin simetrie, folosind faptul că muchii sau diagonale egale trebuie să dea aceeași valoare.
• Vei ști să modelezi o celulă cristalină cubică și să calculezi distanțe dintre atomi, cu unitatea de măsură scrisă la fiecare rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să așezi o configurație în reper?

Așezarea unei configurații în reper este alegerea unei origini și a trei axe perpendiculare două câte două, astfel încât fiecare punct al configurației să primească un triplet de coordonate; din acel moment, orice întrebare geometrică despre configurație devine un calcul cu triplete. Nimic nu se schimbă în corpul studiat — se schimbă doar limbajul în care vorbim despre el.

Alegerea nu este unică, și aici stă toată arta. Același cub poate fi așezat cu originea într-un vârf, în centrul unei fețe sau în centrul cubului, iar cele trei alegeri dau trei liste diferite de coordonate, toate corecte. Diferă doar cât de mult de lucru urmează: o alegere bună înseamnă multe coordonate nule și puține numere negative, o alegere proastă înseamnă opt vârfuri cu trei numere urâte fiecare.

Regula practică, valabilă la orice corp din programa de clasa a XII-a: pune originea acolo unde se întâlnesc cele mai multe muchii perpendiculare și îndreaptă axele de-a lungul lor. La un corp cu simetrie față de o dreaptă — piramida regulată, de pildă — se câștigă și mai mult punând originea în centrul bazei și axa $Oz$ pe axa de simetrie.

2. Cum arată cubul într-un reper?

Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia $a$, așezat cu $A$ în origine, cu $AB$ pe axa $Ox$, cu $AD$ pe $Oy$ și cu $A{A}^{\prime }$ pe $Oz$. Atunci vârfurile de jos sunt $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, iar cele de sus se obțin adăugând $a$ la ultima coordonată: $A^{\prime }(0,0,a)$, $B^{\prime }(a,0,a)$, $C^{\prime }(a,a,a)$, $D^{\prime }(0,a,a)$.

Citește lista cu atenție, fiindcă ea conține deja răspunsurile. Un vârf al feței de jos are ultima coordonată nulă; un vârf al feței de sus o are egală cu $a$; două vârfuri sunt opuse în cub exact când toate cele trei coordonate diferă. Aplicând formula distanței de la Distanța dintre două puncte în spațiu, muchia iese $a$, diagonala unei fețe iese $a\sqrt{2}$, iar diagonala cubului iese $a\sqrt{3}$ — cele trei lungimi pe care le știai din gimnaziu, obținute acum fără niciun desen.

3. Ce se schimbă la paralelipipedul dreptunghic?

Doar faptul că cele trei muchii care pornesc din același vârf au lungimi diferite. Cu $A$ în origine și cu $AB=p$, $AD=q$, $A{A}^{\prime }=r$, vârfurile sunt $A(0,0,0)$, $B(p,0,0)$, $C(p,q,0)$, $D(0,q,0)$ și, deasupra lor, aceleași puncte cu ultima coordonată $r$. Diagonala $A{C}^{\prime }$ se calculează atunci direct din formula distanței și iese $\sqrt{p^2+q^2+r^2}$.

Merită oprit aici o clipă. Formula aceasta este exact teorema lui Pitagora aplicată de două ori, așa cum ai văzut-o în gimnaziu la Paralelipipedul dreptunghic și cubul: descriere, diagonala. Metoda analitică nu descoperă un adevăr nou; ea îl obține pe o cale care nu cere nicio figură și care funcționează la fel de bine atunci când corpul e strâmb sau când punctele nu sunt vârfuri.

4. Unde pui originea la o piramidă regulată?

Aici alegerea din §1 dă cel mai mult. Pentru piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu baza pătrat de latură $a$ și cu înălțimea $h$, pune originea în centrul bazei și axa $Oz$ de-a lungul înălțimii. Vârfurile bazei primesc atunci coordonatele $\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$, $\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$, $\left(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2},0\right)$, $\left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2},0\right)$, iar vârful piramidei devine $V(0,0,h)$ — trei numere, dintre care două nule.

Câștigul se vede imediat: pentru fiecare vârf al bazei, diferențele față de $V$ sunt $\pm \frac{a}{2}$, $\pm \frac{a}{2}$ și $-h$, iar pătratele lor nu depind de semne. Toate cele patru muchii laterale ies deci egale, fără să le calculezi pe rând — simetria corpului s-a transformat într-o simetrie a numerelor. Dacă ai fi pus originea într-un vârf al bazei, ar fi trebuit să faci patru calcule diferite ca să afli același lucru.

5. Ce întrebări se rezolvă imediat, odată ce ai coordonatele?

Aproape toate cele care apar în problemele capitolului. Iată lista, cu trimiterea la lecția care a construit fiecare unealtă — niciuna nu se redemonstrează aici, doar se folosește:

Ordinea de lucru e mereu aceeași: alegi reperul, scrii coordonatele vârfurilor care apar în cerință, alegi din tabel unealta potrivită și abia apoi calculezi. Cele mai multe greșeli nu vin din calcul, ci din sărirea primilor doi pași.

6. Ce câștigi față de metoda din gimnaziu?

Trei lucruri, și merită numite. Întâi, uniformitatea: aceeași formulă a distanței merge pentru muchie, pentru diagonala feței, pentru diagonala corpului și pentru un segment care unește două puncte oarecare de pe muchii, în timp ce în gimnaziu fiecare caz cerea altă figură. Apoi, verificarea: dacă două muchii trebuie să fie egale prin simetrie și calculul îți dă valori diferite, știi sigur că ai greșit undeva coordonatele. În sfârșit, extinderea: metoda nu se oprește la vârfuri, ci răspunde la fel de ușor pentru mijloace de muchii, centre de fețe sau puncte care împart o muchie într-un raport dat.

Ce nu câștigi este intuiția. Un desen, oricât de stângaci, îți arată dacă răspunsul e plauzibil, iar coordonatele nu-ți spun nimic despre asta. Obiceiul bun este să faci întâi o schiță, apoi calculul, și să compari cele două.

7. Cum se citește o celulă cristalină cu această metodă?

Multe substanțe cristalizează în celule cubice: ionii sau atomii stau în colțurile unui cub și, uneori, în centrele fețelor sau în centrul cubului. Pune cubul în reper cu un colț în origine și ai imediat coordonatele tuturor.

Ia clorura de sodiu, unde muchia celulei măsoară $564$ de picometri. Ionii de sodiu și de clor alternează pe muchii, deci un ion de sodiu aflat în origine are cel mai apropiat ion de clor la mijlocul muchiei, în punctul $(282,0,0)$: distanța dintre ei este de $282$ de picometri. Cel mai apropiat ion de sodiu, în schimb, se află în centrul unei fețe, în punctul $(282,282,0)$, iar formula distanței dă $282\sqrt{2}\approx 398,8$ picometri. Cele două numere explică de ce cristalul se rupe mai ușor de-a lungul unor plane decât de-a lungul altora — legăturile scurte sunt cele tari.

Reține și limita modelului: celula este un cub ideal, iar atomii sunt tratați ca puncte. Modelul dă bine distanțele dintre centre, dar nu spune nimic despre dimensiunea reală a ionilor și nu este valabil la temperaturi la care cristalul își schimbă structura.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cubul așezat în reper

Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia de $5$ cm și este așezat cu $A$ în origine, cu $AB$ pe $Ox$, cu $AD$ pe $Oy$ și cu $A{A}^{\prime }$ pe $Oz$. Scrie coordonatele lui $C$ și ale lui $C^{\prime }$, apoi calculează lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$.

Rezolvare. Originea este $A(0,0,0)$. Vârful $C$ este opus lui $A$ pe fața de jos, deci $C(5,5,0)$; vârful $C^{\prime }$ se află deasupra lui, la înălțimea $5$, deci $C^{\prime }(5,5,5)$. Pentru diagonală aplicăm formula distanței: $A{C}^{\prime }=\sqrt{25+25+25}=\sqrt{75}$, adică $A{C}^{\prime }=5\sqrt{3}$ cm. Control: rezultatul este de forma $a\sqrt{3}$, exact cum trebuie să iasă diagonala unui cub de muchie $a$.

Exemplul 2 — Paralelipipedul dreptunghic

Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $A$ în origine și dimensiunile $AB=10$ cm, $AD=12$ cm, $A{A}^{\prime }=8$ cm. Află coordonatele lui $C^{\prime }$, lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$ și mijlocul acestei diagonale.

Rezolvare. Cu $A(0,0,0)$, mergând pe cele trei axe obținem $B(10,0,0)$, $D(0,12,0)$, $A^{\prime }(0,0,8)$, iar vârful opus originii este $C^{\prime }(10,12,8)$. Diagonala are lungimea $A{C}^{\prime }=\sqrt{100+144+64}=\sqrt{308}=2\sqrt{77}$ cm. Mijlocul se află făcând semisuma coordonatelor lui $A$ și $C^{\prime }$: punctul $M(5,6,4)$. Punctul $M$ este chiar centrul paralelipipedului, fiindcă este la fel de departe de toate vârfurile.

Exemplul 3 — Piramida patrulateră regulată

Piramida regulată $VABCD$ are baza pătrat de latură $6$ și înălțimea $4$. Așaz-o în reper cu originea în centrul bazei, scrie coordonatele vârfurilor și calculează muchia laterală $VA$.

Rezolvare. Jumătatea laturii bazei este $3$, deci vârfurile bazei sunt $A(3,3,0)$, $B(-3,3,0)$, $C(-3,-3,0)$ și $D(3,-3,0)$, iar vârful piramidei este $V(0,0,4)$. Pentru muchia laterală: $VA=\sqrt{9+9+16}=\sqrt{34}$, iar pentru vârful vecin $VB=\sqrt{34}$. Cum diferențele de coordonate față de $V$ sunt $\pm 3$, $\pm 3$ și $-4$ pentru fiecare vârf al bazei, toate cele patru muchii laterale măsoară $\sqrt{34}$ — piramida este într-adevăr regulată.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev așază paralelipipedul dreptunghic cu $AB=7$, $AD=3$, $A{A}^{\prime }=2$ punând originea în $A$, dar scrie vârful $D$ pe axa $Ox$, la fel ca $B$. Explică de ce este greșit și ce consecință are asupra calculelor.

Rezolvare. În baza $ABCD$, laturile $AB$ și $AD$ sunt perpendiculare, deci nu pot fi amândouă pe aceeași axă: cu $A(0,0,0)$, punctul $B(7,0,0)$ merge pe $Ox$, iar $D(0,3,0)$ pe $Oy$, astfel încât $AB=7$ și $AD=3$. Dacă le pui pe amândouă pe $Ox$, punctele $A$, $B$ și $D$ devin coliniare, baza se turtește într-un segment, iar toate rezultatele care urmează sunt false — în particular, volumul iese nul, fiindcă cele patru vârfuri ale bazei ajung într-o dreaptă. Semnul care trebuie să te alerteze este tocmai acesta: două vârfuri diferite ale bazei cu aceleași două coordonate nule.

Exemplul 5 — Celula cubică a cuprului

Cuprul cristalizează într-o celulă cubică cu fețe centrate, cu muchia de $361$ de picometri: atomii stau în colțurile cubului și în centrele fețelor. Calculează distanța dintre un atom din colț și atomul din centrul unei fețe alăturate.

Rezolvare. Punem cubul în reper cu un colț în origine și cu muchiile pe axe. Atomul din colț este $(0,0,0)$, iar centrul feței din planul $xOy$ se află la jumătatea ambelor muchii ale acelei fețe, deci are coordonatele $(180,5;180,5;0)$. Distanța este jumătate din diagonala feței, adică $\frac{361\sqrt{2}}{2}\approx 255,3$ picometri. Valoarea este pozitivă și mai mică decât muchia, cum trebuie să fie, și corespunde distanței dintre doi atomi de cupru vecini măsurată experimental.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Model construit de noi: pentru proba MAT_P2 nu există încă subiecte oficiale publicate, ci doar programa de examen. Formatul — o problemă cu trei cerințe legate — urmează structura probei actuale de la științe ale naturii.)

Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $A(0,0,0)$, $AB=9$, $AD=5$ și $A{A}^{\prime }=3$, cu muchiile pe axele reperului.

a) Scrie coordonatele vârfului $C^{\prime }$ și calculează lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$.

b) Scrie ecuația planului determinat de punctele $B$, $D$ și $A^{\prime }$.

c) Calculează volumul tetraedrului $ABD{A}^{\prime }$.

Rezolvare. a) Avem $B(9,0,0)$, $D(0,5,0)$ și $A^{\prime }(0,0,3)$, deci $C^{\prime }(9,5,3)$ și $A{C}^{\prime }=\sqrt{81+25+9}=\sqrt{115}$.

b) Cele trei puncte se află pe axe, deci planul lor taie axele în $9$, $5$ și, respectiv, $3$. Folosind metoda de la Planul determinat de trei puncte necoliniare obținem $5x+9y+15z-45=0$. Verificare: pentru $B$ avem $45-45=0$, pentru $D$ avem $45-45=0$, pentru $A^{\prime }$ avem $45-45=0$.

c) Tetraedrul are trei muchii perpendiculare două câte două, pornite din $A$. Cu formula de la Volumul tetraedrului obținem ${\mathcal{V}}_{ABD{A}^{\prime }}=\frac{45}{2}$.

Să exersăm

1. Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia $3$ și este așezat cu $A$ în origine, cu $AB$ pe $Ox$, cu $AD$ pe $Oy$ și cu $A{A}^{\prime }$ pe $Oz$. Scrie coordonatele vârfurilor $C$ și $B^{\prime }$.

2. Un cub cu muchia $7$ este așezat la fel. Calculează lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$.

3. Paralelipipedul dreptunghic cu $A$ în origine are $AB=10$, $AD=10$ și $A{A}^{\prime }=5$. Calculează lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$.

4. Paralelipipedul dreptunghic cu $A$ în origine are $AB=14$, $AD=6$ și $A{A}^{\prime }=10$. Află coordonatele centrului lui.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Într-un cub, diagonala unei fețe este jumătate din diagonala cubului.

6. Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are baza de latură $8$ și înălțimea $3$, cu originea în centrul bazei. Scrie coordonatele lui $A$ și ale lui $V$, apoi calculează $VA$.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Paralelipipedul dreptunghic cu $A$ în origine are $AB=6$, $AD=10$ și $A{A}^{\prime }=15$. a) Scrie coordonatele lui $C^{\prime }$. b) Calculează $A{C}^{\prime }$. c) Calculează volumul tetraedrului $ABD{A}^{\prime }$.

8. Cubul cu muchia $10$ este așezat cu $A$ în origine. Află coordonatele centrului feței $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și distanța de la $A$ la acest centru.

9. Arată că punctele $A(5,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,-10)$ și $D(1,2,2)$ sunt coplanare, calculând volumul tetraedrului $ABCD$.

10. Scrie ecuația planului determinat de punctele $B(8,0,0)$, $D(0,6,0)$ și $A^{\prime }(0,0,3)$, vârfuri ale unui paralelipiped dreptunghic cu $A$ în origine.

11. (Problemă aplicată.) Fierul cristalizează într-o celulă cubică cu muchia de $286$ de picometri, cu atomi în colțuri și unul în centrul cubului. Calculează distanța dintre atomul din colț și cel din centru și spune ce nu descrie modelul.

12. Un elev afirmă că diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $9$, $12$ și $20$ este $41$. Găsește greșeala și calculează valoarea corectă.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are baza de latură $4$ și înălțimea $6$, cu originea în centrul bazei. a) Scrie coordonatele lui $A$ și ale lui $V$. b) Calculează $VA$. c) Calculează volumul tetraedrului $VABC$.

14. Paralelipipedul dreptunghic cu $A$ în origine are $AB=6$, $AD=10$ și $A{A}^{\prime }=7$. Fie $T$ centrul feței de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Calculează volumul tetraedrului $ABDT$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Paralelipipedul dreptunghic cu $A$ în origine are $AB=6$, $AD=4$ și $A{A}^{\prime }=10$. a) Scrie coordonatele lui $C^{\prime }$. b) Află mijlocul diagonalei $A{C}^{\prime }$. c) Calculează volumul tetraedrului $ABC{A}^{\prime }$.

16. O piramidă patrulateră regulată are baza de latură $10$ și înălțimea $12$. Scrie coordonatele celor patru vârfuri ale bazei și ale vârfului $V$ dacă originea se pune într-un vârf al bazei, cu două muchii ale bazei pe axe, apoi spune ce se pierde față de alegerea cu originea în centrul bazei.

17. O ladă are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de $120$ cm, $80$ cm și $60$ cm. Află lungimea celei mai lungi tije drepte care încape în ea.

18. (Provocare.) Paralelipipedul dreptunghic cu $A$ în origine are $AB=6$, $AD=8$ și $A{A}^{\prime }=10$. Arată că cele patru diagonale mari ale lui au același mijloc și calculează distanța de la acest mijloc la un vârf.

Răspunsuri și explicații

1. Cu $A(0,0,0)$, vârful $C$ este opus lui $A$ pe fața de jos, deci $C(3,3,0)$; $B^{\prime }$ se află deasupra lui $B(3,0,0)$, la înălțimea $3$, deci $B^{\prime }(3,0,3)$. Control prin diagonala feței: $AC=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$.

2. Cu $A(0,0,0)$, vârful opus originii este $C^{\prime }(7,7,7)$, deci $A{C}^{\prime }=\sqrt{49+49+49}=\sqrt{147}=7\sqrt{3}$.

3. Cu $A(0,0,0)$, vârful opus este $C^{\prime }(10,10,5)$, deci $A{C}^{\prime }=\sqrt{100+100+25}=\sqrt{225}=15$. Rezultatul este întreg, ceea ce se întâmplă rar și merită folosit ca semn că numerele au fost bine alese.

4. Cu $A(0,0,0)$, vârful opus originii este $C^{\prime }(14,6,10)$, iar centrul este mijlocul diagonalei $A{C}^{\prime }$, adică punctul $M(7,3,5)$.

5. Fals. Într-un cub de muchie $a$, diagonala unei fețe măsoară $a\sqrt{2}\approx 1,41a$, iar diagonala cubului $a\sqrt{3}\approx 1,73a$; jumătatea celei din urmă este $\frac{a\sqrt{3}}{2}\approx 0,87a$, adică mai puțin decât diagonala feței. Raportul celor două diagonale este $\sqrt{2}:\sqrt{3}$, nu $1:2$ — o diagonală de față este chiar mai lungă decât jumătate din diagonala corpului.

6. Jumătatea laturii bazei este $4$, deci $A(4,4,0)$, iar vârful este $V(0,0,3)$. Atunci $VA=\sqrt{16+16+9}=\sqrt{41}$.

7. a) Cu $A(0,0,0)$ avem $B(6,0,0)$, $D(0,10,0)$, $A^{\prime }(0,0,15)$, deci $C^{\prime }(6,10,15)$. b) $A{C}^{\prime }=\sqrt{36+100+225}=\sqrt{361}=19$. c) Muchiile $AB$, $AD$ și $A{A}^{\prime }$ sunt perpendiculare două câte două, iar volumul tetraedrului iese ${\mathcal{V}}_{ABD{A}^{\prime }}=150$.

8. Cu $A(0,0,0)$, fața de sus are vârfurile $A^{\prime }(0,0,10)$, $B^{\prime }(10,0,10)$, $C^{\prime }(10,10,10)$, $D^{\prime }(0,10,10)$, iar centrul ei este mijlocul diagonalei $A^{\prime }{C}^{\prime }$, adică $M(5,5,10)$. Distanța de la $A$ la el este $AM=\sqrt{25+25+100}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}$.

9. Volumul tetraedrului format de cele patru puncte este ${\mathcal{V}}_{ABCD}=0$, iar volum nul înseamnă puncte coplanare. Le poți verifica și direct: toate patru se află în planul $2x+5y-z-10=0$, fiindcă $10-10=0$ pentru $A$, $10-10=0$ pentru $B$, $10-10=0$ pentru $C$ și $2+10-2-10=0$ pentru $D$.

10. Punctele sunt pe cele trei axe, la $8$, $6$ și $3$, iar planul lor este $3x+4y+8z-24=0$. Verificare prin înlocuire: $24-24=0$ pentru fiecare dintre cele trei.

11. Punem colțul în origine; centrul cubului are toate coordonatele egale cu jumătate din muchie, deci distanța cerută este jumătate din diagonala cubului, $\frac{286\sqrt{3}}{2}\approx 247,7$ picometri. Modelul nu descrie dimensiunea atomilor: el îi tratează ca puncte și dă numai distanțe între centre.

12. Greșeala este adunarea dimensiunilor: diagonala nu este suma muchiilor, ci rădăcina pătrată a sumei pătratelor lor. Corect: $\sqrt{81+144+400}=\sqrt{625}=25$. Suma $41$ ar fi lungimea drumului pe trei muchii, nu a segmentului drept.

13. a) Jumătatea laturii bazei este $2$, deci $A(2,2,0)$ și $V(0,0,6)$; celelalte vârfuri ale bazei sunt $B(-2,2,0)$, $C(-2,-2,0)$ și $D(2,-2,0)$. b) $VA=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$. c) Tetraedrul $VABC$ are ca bază triunghiul $ABC$, jumătate din pătratul bazei, și volumul ${\mathcal{V}}_{VABC}=16$.

14. Cu $A(0,0,0)$ avem $B(6,0,0)$ și $D(0,10,0)$, iar $T$, mijlocul diagonalei $A^{\prime }{C}^{\prime }$ a feței de sus, are coordonatele $T(3,5,7)$. Baza $ABD$ este jumătate din dreptunghiul $ABCD$, deci are aria $\frac{6\cdot 10}{2}=30$, iar cota lui $T$ este chiar înălțimea față de planul bazei: ${\mathcal{V}}_{ABDT}=\frac{30\cdot 7}{3}=70$. Control: vârful se poate plimba oriunde pe fața de sus fără să schimbe înălțimea, deci $ABDT$ are același volum ca $ABD{A}^{\prime }$.

15. a) Cu $A(0,0,0)$ avem $B(6,0,0)$, $D(0,4,0)$, $A^{\prime }(0,0,10)$ și $C(6,4,0)$, deci $C^{\prime }(6,4,10)$. b) Mijlocul diagonalei $A{C}^{\prime }$ este $M(3,2,5)$. c) Tetraedrul $ABC{A}^{\prime }$ are volumul ${\mathcal{V}}_{ABC{A}^{\prime }}=40$.

16. Cu originea într-un vârf al bazei și cu două muchii ale bazei pe axe, vârfurile bazei sunt $A(0,0,0)$, $B(10,0,0)$, $C(10,10,0)$ și $D(0,10,0)$, iar vârful piramidei se află deasupra centrului bazei, deci $V(5,5,12)$, iar $VA=\sqrt{25+25+144}=\sqrt{194}$. Se pierde simetria coordonatelor: muchiile laterale trebuie calculate pe rând, în loc să iasă toate deodată dintr-o singură formulă, cum se întâmplă când originea este în centrul bazei.

17. Cea mai lungă tijă dreaptă este diagonala lăzii: $\sqrt{14400+6400+3600}=\sqrt{24400}=20\sqrt{61}$, adică $20\sqrt{61}\approx 156,2$ cm. Rezultatul depășește fiecare dimensiune în parte, cum era de așteptat.

18. Vârfurile sunt $A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $C(6,8,0)$, $D(0,8,0)$ și, deasupra lor, $A^{\prime }(0,0,10)$, $B^{\prime }(6,0,10)$, $C^{\prime }(6,8,10)$, $D^{\prime }(0,8,10)$. Mijlocul lui $A{C}^{\prime }$ este $M(3,4,5)$; mijlocul lui $B{D}^{\prime }$ este tot $(3,4,5)$; la fel ies și mijloacele diagonalelor $C{A}^{\prime }$ și $D{B}^{\prime }$. Distanța de la acest punct la orice vârf este $AM=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ — jumătate din diagonala corpului, cum se și cuvine.

De reținut

• Alegerea reperului este prima decizie a problemei: originea se pune unde se întâlnesc cele mai multe muchii perpendiculare, iar la corpurile cu axă de simetrie se pune în centrul bazei.
• Într-un cub de muchie $a$ așezat cu un vârf în origine, muchia măsoară $a$, diagonala unei fețe $a\sqrt{2}$, iar diagonala cubului $a\sqrt{3}$.
• Coordonatele scrise o singură dată, la început, se folosesc apoi pentru toate cerințele: lungimi, mijloace, volume, coplanaritate, ecuații de plan.
• Simetria corpului se vede în coordonate: dacă două segmente trebuie să fie egale și calculul dă valori diferite, greșeala e în coordonate, nu în formulă.
• Într-un model din chimie, unitatea de măsură se scrie la fiecare rezultat, iar limita modelului — atomi tratați ca puncte, celulă ideală — se spune explicit.

Greșeli frecvente

• Punerea a două muchii perpendiculare pe aceeași axă. Din $A$ pornesc trei muchii perpendiculare două câte două; fiecare merge pe altă axă. Dacă două vârfuri diferite ies cu aceleași coordonate nule, ai încurcat axele.
• Adunarea dimensiunilor în loc de formula distanței. Diagonala unui paralelipiped nu este suma muchiilor, ci rădăcina din suma pătratelor lor; suma muchiilor măsoară un drum frânt, nu un segment.
• Punerea vârfului piramidei deasupra unui vârf al bazei. La o piramidă regulată, vârful stă deasupra centrului bazei; altfel muchiile laterale ies inegale, iar corpul nu mai e regulat.
• Amestecarea unităților de măsură. Într-o problemă cu picometri sau centimetri, unitatea se poartă prin tot calculul și se scrie la fiecare rezultat; un număr fără unitate nu răspunde la întrebarea pusă.
• Renunțarea la schiță. Coordonatele nu spun dacă rezultatul e plauzibil. O schiță rapidă arată imediat când o diagonală iese mai scurtă decât o muchie, adică atunci când calculul a luat-o razna.

Aplică acasă

1. Camera ta, în coordonate. Alege un colț al camerei ca origine, cu axele pe muchiile podelei și pe cea verticală, și măsoară în centimetri. Scrie coordonatele celor opt colțuri ale camerei, calculează diagonala mare și verifică rezultatul măsurând cu un fir întins între două colțuri opuse.

2. Cutia și tija. Ia o cutie de carton și o tijă dreaptă (o riglă, un creion lung). Măsoară cele trei dimensiuni ale cutiei, calculează diagonala și abia apoi încearcă să introduci tija înclinat. Compară lungimea maximă care încape cu valoarea calculată.

3. Cristalul din manual. Caută în manualul de chimie muchia celulei elementare a unei substanțe cu structură cubică. Pune celula în reper, scrie coordonatele atomilor din colțuri și calculează distanța dintre doi atomi vecini, cu unitatea potrivită. Notează apoi ce anume nu poate spune modelul despre substanța aceea.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul alege un reper convenabil și justifică alegerea, dacă scrie corect coordonatele tuturor vârfurilor pornind doar de la dimensiuni și dacă folosește unealta potrivită pentru fiecare cerință — distanță, mijloc, volum sau coplanaritate. Formulele nu sunt noi; noutatea este organizarea lucrului.

Dificultatea reală este de traducere. Elevul știe să calculeze diagonala unui cub din gimnaziu și știe formula distanței din lecțiile anterioare, dar nu face legătura între ele decât după câteva exerciții. Un semn bun este momentul în care începe să scrie lista de coordonate înainte de a citi cerința până la capăt.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Unde pui originea pentru o piramidă regulată și de ce?", „Ce coordonate are vârful opus originii într-un cub de muchie $a$?", „Cum verifici, fără să refaci calculul, că toate muchiile laterale ies egale?", „Ce spune un volum nul despre patru puncte?". Semne că a înțeles: desenează schița și scrie coordonatele pe ea; observă singur că un rezultat de forma $a\sqrt{3}$ trebuie să fie diagonala corpului, nu a unei fețe; și pune unitatea de măsură la fiecare rezultat, fără să i se ceară.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Geometrie. Trigonometrie, unitatea XII.2. Elemente de geometrie analitică în spațiu, aici prin competența „Modelarea matematică a unor situații practice în limbajul specific geometriei într-un reper cartezian tridimensional". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde geometria analitică în spațiu nu apare deloc — programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014) se oprește la geometria analitică în plan. Pentru ei, lecția rămâne lectură utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026). Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cum așez un cub în reperul cartezian?

Pui un vârf în origine și cele trei muchii care pornesc din el pe cele trei axe. Vârfurile feței de jos primesc atunci ultima coordonată nulă, iar cele de sus o primesc egală cu muchia. Alegerea aceasta dă cel mai mare număr de zerouri în coordonate, deci cele mai scurte calcule.

Unde pun originea la o piramidă regulată?

În centrul bazei, cu axa $Oz$ de-a lungul înălțimii. Vârfurile bazei ies atunci simetrice față de origine, cu semne alternate, iar vârful piramidei are primele două coordonate nule. Consecința este că toate muchiile laterale ies egale dintr-un singur calcul, fiindcă diferențele de coordonate sunt aceleași, până la semn.

De ce este utilă metoda, dacă știu formulele din gimnaziu?

Pentru că este uniformă: aceeași formulă a distanței rezolvă muchia, diagonala feței, diagonala corpului și un segment care unește două puncte oarecare. În plus, se extinde la mijloace de muchii, centre de fețe și volume de tetraedre, unde metoda din gimnaziu ar cere de fiecare dată altă construcție.

Se dau probleme de geometrie în spațiu rezolvate analitic și la mate-info (M1)?

Nu. La matematică-informatică, geometria clasei a XII-a este dedicată conicelor din plan, iar reperul $Oxyz$ nu apare deloc. Pentru comparație, problemele de geometrie analitică în plan la mate-info (M1): Probleme de geometrie analitică; acolo se lucrează cu arii de triunghiuri și distanțe de la un punct la o dreaptă, unelte care nu au corespondent la acest profil.

Am nevoie de vectori pentru problemele acestea?

Nu. Programa nouă de la științe ale naturii nu conține calcul vectorial, iar toate cerințele lecției se rezolvă cu coordonate și cu formulele deja construite: distanța, mijlocul, determinantul de coplanaritate și volumul tetraedrului. Acolo unde apare tripletul $(a,b,c)$ al unui plan, el este doar un indicator de direcție citit din ecuație.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Tema intră în probă abia din 2030, la MAT_P2, în domeniul „Geometrie. Trigonometrie", unitatea XII.2. Structura acelei probe nu a fost încă publicată, așa că exemplul 6 din lecție este construit, nu preluat dintr-un model oficial. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, geometria analitică — cea din plan — apare ca o cerință scurtă, la Subiectul I.

Cum verific rapid dacă am scris bine coordonatele?

Folosește simetria. Într-un cub, toate cele douăsprezece muchii trebuie să iasă egale, iar cele patru diagonale ale corpului la fel; într-o piramidă regulată, cele patru muchii laterale trebuie să fie egale. Dacă o singură valoare iese diferită, greșeala este în coordonate, nu în formulă, iar cel mai adesea este un semn schimbat.

De ce se calculează distanțe dintre atomi cu geometrie analitică?

Pentru că celula elementară a unui cristal cubic este exact un cub, iar pozițiile atomilor sunt colțuri, centre de fețe sau centrul cubului — toate cu coordonate simple. Odată așezată celula în reper, distanțele dintre atomi devin calcule de câteva secunde, iar rezultatele se compară direct cu valorile măsurate experimental.