Câte soluții are ecuația 3^(x²)=81?

Scrii 81=3⁴ și folosești injectivitatea lui 3^(t): x²=4. Rezultă două soluții, x=2 și x=-2, fiindcă exponentul x² nu este injectiv. Ambele verifică: 3⁴=81. Graficul lui 3^(x²) e simetric față de axa Oy, de aici perechea de soluții opuse.

Cum simplific o fracție ca 8^(x)/4^(x)?

Puterile cu același exponent își împart bazele: 8^(x)/4^(x)=(8/4)^(x)=2^(x). La fel, 6^(x)=2^(x)· 3^(x). Probă la x=2: 64/16=4=2². Regula merge pentru orice exponent real, cu condiția ca bazele să fie pozitive, și scurtează mult calculele cu fracții de puteri.

De ce este injectivă funcția exponențială?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Proprietățile exponențialei

Pentru că este strict monotonă: crește pentru $a > 1$ și scade pentru $0 < a < 1$ , deci două argumente diferite dau mereu valori diferite. Consecința practică este $a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ , adică poți egala exponenții când bazele sunt egale. Exemplu: $5^{3 x - 1} = 5^{x + 3}$ dă $3 x - 1 = x + 3$ , deci $x = 2$ . Verificare: ambii membri sunt $5^{5} = 3125$ .

Toate proprietățile funcției $f (x) = a^{x}$ pornesc de la o singură regulă: la exponenți adunați corespund valori înmulțite, $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ . Din ea rezultă că $a^{0} = 1$ , că un exponent opus dă inversul valorii, că împărțirea puterilor cu aceeași bază scade exponenții, că puterea unei puteri îi înmulțește și că puterile cu același exponent își înmulțesc bazele.

Tot din regula produsului rezultă semnul: orice valoare este pătratul altei valori și nu este zero, deci $a^{x} > 0$ pentru orice $x$ . Zero este un minorant pe care funcția nu îl atinge, așa că pe toată axa ea nu are minim. Monotonia se justifică fără desen: trecând de la $x_{1}$ la un $x_{2}$ mai mare, valoarea se înmulțește cu $a^{x_{2} - x_{1}}$ , un factor supraunitar pentru baza mai mare decât unu și subunitar pentru baza dintre zero și unu.

Fiind strict monotonă, funcția este injectivă, deci din $a^{u} = a^{v}$ rezultă $u = v$ . O expresie $a^{g (x)}$ păstrează această proprietate numai dacă $g$ o are. Pentru baza supraunitară, binomul lui Newton arată că valorile depășesc orice prag.

De reținut

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ este regula din care decurg celelalte
strict monotonă, deci injectivă: $a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$
$a^{g (x)}$ e injectivă doar dacă $g$ e injectivă

Greșeala tipică

Se tratează $3^{x^{2}} = 81$ ca pe o ecuație cu o singură soluție, $x = 2$ ; injectivitatea dă $x^{2} = 4$ , iar ecuația are și soluția $x = - 2$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f (x) = a^{x}$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ , produsul $f (x) \cdot f (- x)$ este egal cu:
- a) $0$
- b) $1$
- c) $a$
- d) $a^{2 x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1$

Exponenții se adună: $x + (- x) = 0$ , iar $a^{0} = 1$ , oricare ar fi $x$ .
Care egalitate este adevărată pentru orice număr real $x$ ?
- a) $5^{x} + 5^{x} = 5^{2 x}$
- b) $5^{x} \cdot 2^{x} = 1 0^{2 x}$
- c) $5^{x + 1} = 5^{x} + 5$
- d) $(5^{x})^{2} = 2 5^{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(5^{x})^{2} = 2 5^{x}$

Puterea unei puteri înmulțește exponenții: $(5^{x})^{2} = 5^{2 x} = (5^{2})^{x} = 2 5^{x}$ . Celelalte trei confundă adunarea cu înmulțirea.
Pentru ce valori ale constantei $c$ funcția $f (x) = c \cdot 3^{x}$ este strict descrescătoare pe $R$ ?
- a) $c > 0$
- b) $c > 1$
- c) nicio valoare
- d) $c < 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $c < 0$

Pentru $x_{1} < x_{2}$ , $f (x_{2}) - f (x_{1}) = c (3^{x_{2}} - 3^{x_{1}})$ , iar paranteza este pozitivă; diferența e negativă exact când $c < 0$ .

Întrebări conexe

Cum crește viteza unei reacții după regula lui van 't Hoff?

Regula spune, aproximativ, că viteza se dublează la fiecare creștere a temperaturii cu $10$ grade: $v (T) = v_{0} \cdot 2^{\frac{T - T _{0}}{10}}$ . O încălzire cu $30$ de grade înmulțește viteza cu $2^{3} = 8$ . Exponenții adunați dau factori înmulțiți: două încălziri succesive de câte $10$ grade dau $2 \cdot 2 = 4$ .

De ce $2^{x} + 2^{x}$ este egal cu $2^{x + 1}$ și nu cu $2^{2 x}$ ?

Suma a doi termeni egali este dublul lor: $2^{x} + 2^{x} = 2 \cdot 2^{x} = 2^{x + 1}$ , după regula produsului puterilor. Exponentul se dublează doar la produs: $2^{x} \cdot 2^{x} = 2^{2 x}$ . Probă la $x = 3$ : $8 + 8 = 16 = 2^{4}$ , pe când $2^{6} = 64$ .

Este injectivă funcția $f (x) = 2^{∣ x ∣}$ ?

Nu. Deși $2^{t}$ este injectivă, exponentul $∣ x ∣$ ia aceeași valoare în numere opuse: $f (- 1) = f (1) = 2$ . O expresie $a^{g (x)}$ este injectivă doar dacă $g$ este injectivă. Graficul lui $2^{∣ x ∣}$ are formă de V rotunjit, simetric față de axa $O y$ .

Câte soluții are ecuația $3^{x^{2}} = 81$ ?

Scrii $81 = 3^{4}$ și folosești injectivitatea lui $3^{t}$ : $x^{2} = 4$ . Rezultă două soluții, $x = 2$ și $x = - 2$ , fiindcă exponentul $x^{2}$ nu este injectiv. Ambele verifică: $3^{4} = 81$ . Graficul lui $3^{x^{2}}$ e simetric față de axa $O y$ , de aici perechea de soluții opuse.

Cum simplific o fracție ca $\frac{8 ^{x}}{4 ^{x}}$ ?

Puterile cu același exponent își împart bazele: $\frac{8 ^{x}}{4 ^{x}} = (\frac{8}{4})^{x} = 2^{x}$ . La fel, $6^{x} = 2^{x} \cdot 3^{x}$ . Probă la $x = 2$ : $\frac{64}{16} = 4 = 2^{2}$ . Regula merge pentru orice exponent real, cu condiția ca bazele să fie pozitive, și scurtează mult calculele cu fracții de puteri.

Oamenii mai întreabă și: injectivitatea funcției exponențiale · de ce pot egala exponenții · a la u egal a la v implică u egal v · funcția exponențială este injectivă

De ce este injectivă funcția exponențială?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum crește viteza unei reacții după regula lui van 't Hoff?

De ce 2x+2x este egal cu 2x+1 și nu cu 22x?

Este injectivă funcția f(x)=2∣x∣?

Câte soluții are ecuația 3x2=81?

Cum simplific o fracție ca 4x8x​?

Continuă cu

De ce $2^{x} + 2^{x}$ este egal cu $2^{x + 1}$ și nu cu $2^{2 x}$ ?

Este injectivă funcția $f (x) = 2^{∣ x ∣}$ ?

Câte soluții are ecuația $3^{x^{2}} = 81$ ?

Cum simplific o fracție ca $\frac{8 ^{x}}{4 ^{x}}$ ?