Proprietățile funcției exponențiale: pe scurt

Dincolo de grafic, proprietățile funcției exponențiale $f(x)=a^x$ ($a>0,a\ne 1$) se demonstrează, nu doar se citesc. Semnul: $a^x>0$ pentru orice $x$ real, deci $\mathrm{Im}(a^x)=(0,+\infty )$ — ecuația $a^x=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$.

Monotonia: strict crescătoare pentru $a>1$, strict descrescătoare pentru $0<a<1$; demonstrația trece prin $a^{x_2}-a^{x_1}=a^{x_1}\left(a^{x_2-x_1}-1\right)$. Injectivitatea, $a^u=a^v⟺u=v$, este proprietatea pe care se sprijină toate ecuațiile exponențiale din lecțiile următoare.

Bijectivitatea spre $(0,+\infty )$ garantează că ecuația $a^x=b$, cu $b>0$, are exact o soluție — soluție care va primi numele de logaritm. Morfismul $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$ traduce adunarea exponenților în înmulțirea valorilor; o consecință: valorile funcției în puncte echidistante formează o progresie geometrică de rație $a$.

Greșeli frecvente: aplicarea regulii $a^u=a^v\Rightarrow u=v$ fără a verifica mai întâi că bazele sunt egale și diferite de $1$; afirmarea greșită că exponențiala e surjectivă pe $\mathbb{R}$ (de fapt doar pe $(0,+\infty )$); uitarea condiției $t>0$ la substituția $t=a^x$; și confundarea „descrescătoare” cu „devine negativă” — o funcție exponențială descrescătoare rămâne strict pozitivă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Imaginea funcției exponențiale $f(x)=a^x$ ($a>0,a\ne 1$) este:

   • a) $(0,+\infty )$
   • b) $\mathbb{R}$
   • c) $[0,+\infty )$
   • d) ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(0,+\infty )$

   Funcția exponențială ia doar valori strict pozitive și le ia pe toate: imaginea este $(0,+\infty )$.

2. Proprietatea de morfism a funcției exponențiale este:

   • a) $f(x)\cdot f(y)=f(x-y)$
   • b) $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$
   • c) $f(x+y)=f(x)+f(y)$
   • d) $f(x)+f(y)=f(xy)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$

   $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$: adunarea argumentelor devine înmulțire a valorilor — de aici numele de morfism.

3. Dacă $a>0,a\ne 1$ și $a^u=a^v$, concluzia corectă este:

   • a) $u=-v$
   • b) $u\cdot v=1$
   • c) $u=v$
   • d) $u>v$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $u=v$

   Aceasta este chiar injectivitatea funcției exponențiale — instrumentul de bază al ecuațiilor exponențiale.