Proprietățile funcției exponențiale (M2, științe ale naturii)

Chimiștii folosesc o regulă de lucru, numită după Jacobus van 't Hoff: pentru multe reacții, o creștere a temperaturii cu zece grade dublează aproximativ viteza reacției. Scrisă ca funcție, regula dă o exponențială a temperaturii. Întrebarea „de câte ori crește viteza când încălzim de la $25$ la $40$ °C?” are un răspuns care nu depinde de temperatura de pornire, ci doar de diferența de cincisprezece grade. Motivul este o proprietate algebrică a funcției exponențiale: la exponenți adunați corespund valori înmulțite. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), proprietățile funcției exponențiale se folosesc în calcul: regulile puterilor, semnul, monotonia justificată fără desen, injectivitatea și comportamentul pentru valori mari ale variabilei. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține funcția exponențială, proprietățile puterilor cu exponent real și ecuațiile exponențiale; în modelul oficial publicat pentru 2026, exponențiala stă numai la Subiectul al III-lea.

Graficul și transformările lui sunt în lecția M2 despre funcția exponențială: definiție și grafic, iar numărul $e$, baza cea mai folosită în științe, în lecția M2 despre numărul e. Monotonia după bază ai citit-o pe grafic în pagina de clasa a IX-a despre exponențială, la M2. Aici trecem de la ce se vede pe desen la ce se poate justifica prin calcul, iar fiecare afirmație primește un argument care nu depinde de precizia unui grafic.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești regula $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ și consecințele ei pentru orice exponenți reali.
• Vei ști să explici de ce funcția exponențială ia numai valori strict pozitive și ce înseamnă că este mărginită inferior.
• Vei ști să justifici monotonia strictă fără grafic, doar din regula produsului și din poziția bazei față de unu.
• Vei ști ce înseamnă că funcția exponențială este injectivă și cum rezultă de aici că din $a^u=a^v$ urmează $u=v$.
• Vei ști să arăți, cu binomul lui Newton, că pentru baza supraunitară valorile depășesc orice prag.
• Vei ști să folosești proprietățile într-un model din chimie, cu unități și interval de lucru.

Hai să descoperim împreună

1. Regula care leagă două valori ale funcției

Pentru $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, proprietatea fundamentală a funcției exponențiale este egalitatea $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$, valabilă pentru orice numere reale $x$ și $y$. Scrisă cu puteri, ea este regula cunoscută din gimnaziu, $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$, extinsă acum la exponenți reali. De exemplu, $1,5^{0,4}\cdot 1,5^{1,6}=1,5^2=2,25$, deși niciunul dintre factori nu este un număr „frumos”.

Din ea decurg celelalte reguli pe care le folosim:

$$a^0=1,a^{-x}=\frac{1}{a^x},\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},{\left(a^x\right)}^y=a^{xy},a^x\cdot b^x=(ab{)}^x.$$

Fiecare regulă se citește în ambele sensuri, iar în calcul contează care sens te ajută. De la stânga la dreapta, regula produsului strânge doi factori într-unul singur; de la dreapta la stânga, ea desface o putere incomodă în factori cunoscuți. De exemplu, $2^{3,5}$ nu se vede direct, dar $2^{3,5}=2^3\cdot 2^{0,5}=8\sqrt{2}$, iar acum calculatorul nu mai e necesar decât pentru radical. La fel, regula puterii unei puteri scrie $9^x$ ca ${\left(3^2\right)}^x={\left(3^x\right)}^2$, adică pătratul altei exponențiale, iar regula cu produsul bazelor adună două exponențiale cu același exponent într-una singură.

Construcția puterilor cu exponent real, din care aceste reguli rezultă riguros, este tema lecției de supliment despre regulile de calcul cu puteri reale. La clasa a X-a de bază le folosim ca proprietăți ale funcției, iar calculatorul le confirmă pe orice exemplu.

2. De ce nicio valoare nu este zero sau negativă?

Din proprietatea fundamentală, $f(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)$, deci orice valoare este pătratul unui număr real și nu poate fi negativă. Tot din ea, $f(x)\cdot f(-x)=f(0)=1$, deci nicio valoare nu este zero: un produs egal cu unu nu are factori nuli. Rămâne că $a^x>0$ pentru orice $x$ real. Argumentul nu a folosit nici graficul, nici calculatorul, ci numai regula produsului: dacă o funcție are această proprietate și nu se anulează nicăieri, valorile ei sunt obligatoriu pozitive.

Semnul are consecințe imediate în calcul. Un produs de forma $k\cdot a^x$ are semnul lui $k$, oricare ar fi $x$; o expresie ca $a^x-a^{x-1}$ se scrie $a^{x-1}(a-1)$ și are semnul lui $a-1$. Nu ai nevoie să știi valoarea puterii, ci doar că ea este pozitivă.

Consecința se numește mărginire inferioară: toate valorile stau deasupra numărului $0$. Numărul $0$ nu este însă atins, deci funcția nu are minim pe $\mathbb{R}$. Noțiunile de funcție mărginită, de minorant și de minim sunt în lecția M2 despre mărginire și convexitate; aici reținem doar că, pentru orice bază admisă, $0$ este un minorant pe care exponențiala nu îl ia niciodată.

3. Cum se justifică monotonia fără desen?

Luăm $a>1$ și două numere $x_1<x_2$. Din regula produsului, $a^{x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2-x_1}$. Exponentul $x_2-x_1$ este pozitiv, iar pentru o bază supraunitară o putere cu exponent pozitiv este mai mare decât unu. Înmulțind numărul pozitiv $a^{x_1}$ cu un factor mai mare decât unu, obținem un număr mai mare: $a^{x_2}>a^{x_1}$. Funcția este strict crescătoare.

Pentru $0<a<1$, același factor $a^{x_2-x_1}$ este subunitar, deci $a^{x_2}<a^{x_1}$, iar funcția este strict descrescătoare. Graficul din clasa a IX-a arăta aceste lucruri; acum ele rezultă dintr-un calcul care nu depinde de desen și care spune în plus cu cât se înmulțește valoarea pe un pas dat.

Să vedem calculul pe baza $1,5$ și pasul $0,5$. Factorul este $1,5^{0,5}=\sqrt{1,5}\approx 1,22$, indiferent de punctul de pornire: de la $x=1$ la $x=1,5$ valoarea trece de la $1,5$ la aproximativ $1,84$, iar de la $x=4$ la $x=4,5$ trece de la aproximativ $5,06$ la aproximativ $6,20$. Diferențele cresc, dar raportul rămâne același. Faptul că factorul este mai mare decât unu, oricât de mic ar fi pasul pozitiv, se acceptă aici ca proprietate a puterilor cu bază supraunitară; pentru exponenți raționali el rezultă din radicali, iar pentru cei iraționali, din aproximări.

4. Valori diferite în puncte diferite: injectivitatea

O funcție este injectivă dacă ia valori diferite în puncte diferite. O funcție strict monotonă are această proprietate: dacă $x_1<x_2$, valorile sunt fie în ordinea $f(x_1)<f(x_2)$, fie în ordinea inversă, dar nu pot fi egale. Prin urmare funcția exponențială este injectivă, iar pentru $a>0$, $a\ne 1$,

$$a^u=a^v⟺u=v.$$

Pe un obiect care nu mai apare în lecție: $0,6^{5-x}=0,6^{2x-1}$ are aceeași bază în ambii membri, deci $5-x=2x-1$, adică $x=2$. Ecuațiile în care membrii trebuie întâi scriși ca puteri ale aceleiași baze, sau în care apare o substituție, se rezolvă în lecția M2 despre ecuațiile exponențiale elementare; aici ne interesează proprietatea care le face posibile.

Echivalența se aplică și când în exponent stă o expresie: cu $u=g(x)$ și $v=c$, egalitatea $a^{g(x)}=a^c$ are exact soluțiile ecuației $g(x)=c$ — una pentru $g$ de gradul întâi, posibil două pentru $g$ de gradul al doilea. Studiul general al funcțiilor injective, surjective și bijective, cu demonstrații, este în lecția de supliment despre funcțiile injective, surjective și bijective.

5. Cum folosim monotonia pentru expresii cu exponent variabil?

Monotonia transportă o inegalitate între exponenți într-o inegalitate între puteri, oricare ar fi valoarea variabilei. Pentru baza $0,3$, subunitară, ordinea se inversează: cum $x+1>x$ pentru orice $x$, rezultă $0,3^{x+1}<0,3^x$ pentru orice $x$ real. Am comparat două funcții fără niciun desen: graficul lui $0,3^{x+1}$ stă peste tot sub graficul lui $0,3^x$.

Același mecanism stă la baza comparării a două puteri cu aceeași bază, tratată sistematic în lecția M2 despre compararea puterilor. Mărginirea unei expresii de forma $a^{g(x)}$ prin valoarea extremă a exponentului este una dintre aplicațiile lecției M2 despre mărginire și convexitate; aici ne oprim la inegalitățile valabile pentru toți $x$.

6. Ce se întâmplă cu $a^x$ pentru $x$ mare?

Pentru o bază supraunitară, scriem $a=1+d$, cu $d>0$. Din binomul lui Newton, pentru $n$ natural, $(1+d{)}^n=1+nd+\dots$, iar termenii care urmează sunt toți pozitivi, deci

$$(1+d{)}^n\ge 1+nd.$$

Membrul drept crește cu $d$ la fiecare pas și depășește orice prag, deci și $a^n$ îl depășește; cum funcția este crescătoare, orice $x$ mai mare decât un asemenea $n$ dă o valoare și mai mare. În cuvinte: pentru $x$ mare, $a^x$ trece de orice număr fixat, deci funcția nu este mărginită superior. Chiar o bază apropiată de unu ajunge departe: $1,1^{10}\ge 1+10\cdot 0,1=2$.

Figura A arată graficul lui $1,1^x$ și dreapta $y=1+0,1x$: cele două se întâlnesc în $x=0$ și în $x=1$, iar după aceea curba rămâne deasupra dreptei, din ce în ce mai departe. Pentru o bază subunitară, $a^x=\frac{1}{{\left(\frac{1}{a}\right)}^x}$, iar numitorul crește peste orice prag, deci valorile ajung sub orice număr pozitiv fixat, fără să devină zero.

7. Ce proprietăți nu are funcția exponențială?

La fel de util este să știi ce nu poți face. Exponențiala nu adună: $a^{x+y}$ este produsul, nu suma valorilor, deci $2^{x+1}$ înseamnă $2\cdot 2^x$. Ea nu este nici pară, nici impară, pentru că $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ este inversul valorii, nu aceeași valoare și nici opusa ei. Nu este mărginită superior pe $\mathbb{R}$, cum arată secțiunea precedentă, și nu are nici minim, nici maxim pe toată axa.

Proprietățile nu se transmit automat expresiilor construite din exponențiale. Regulile de calcul se aplică numai în forma lor exactă: produs de puteri cu aceeași bază, cât de puteri cu aceeași bază, putere a unei puteri, produs de puteri cu același exponent. Pentru sume și diferențe de puteri nu există reguli de „adunare a exponenților”; acolo se dă factor comun, ca în exemplul cu $a^x-a^{x-1}$ din secțiunea 2.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Baza dintr-o condiție între valori

Funcția $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, verifică $f(2)=f(1)+6$. Determinați baza și calculați $f(3)$ folosind proprietatea fundamentală.

Rezolvare. Condiția se scrie $a^2=a+6$, adică $a^2-a-6=0$, cu rădăcinile $3$ și $-2$. Baza trebuie să fie pozitivă, deci $a=3$. Verificare: $f(2)=9=3+6$.

Pentru $f(3)$ nu mai ridicăm baza la cub, ci folosim regula: $f(3)=f(2+1)=f(2)\cdot f(1)=9\cdot 3=27$. Același raționament dă $f(-1)=\frac{1}{f(1)}=\frac{1}{3}$. Condiția din enunț spune că, de la $x=1$ la $x=2$, valoarea crește cu $6$. La o funcție afină această creștere ar fi fost aceeași pe orice pas de lungime unu; la exponențială, ea depinde de punct, pentru că pe fiecare pas valoarea se înmulțește cu baza, deci crește cu atât mai mult cu cât era deja mai mare.

Exemplul 2 — O identitate valabilă pentru orice $x$

Se consideră $f(x)=4^x$. a) Arătați că $f(x)\cdot f\left(\frac{1}{2}-x\right)=2$ pentru orice număr real $x$. b) Deduceți valoarea exactă a lui $f\left(\frac{1}{4}\right)$.

Rezolvare. a) Exponenții se adună: $x+\left(\frac{1}{2}-x\right)=\frac{1}{2}$, deci produsul este $4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$, oricare ar fi $x$.

b) Pentru $x=\frac{1}{4}$ cele două argumente coincid, deci $f{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=2$. Valoarea este pozitivă, așadar $f\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2}$. Calculatorul confirmă: $4^{0,25}\approx 1,414$. Același mecanism funcționează pentru orice bază și orice constantă $c$: produsul $a^x\cdot a^{c-x}$ este $a^c$, oricare ar fi $x$. Două valori ale căror argumente au suma fixă au produsul fix, așa cum la o funcție afină două valori cu argumente de sumă fixă au suma fixă.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Funcția $x\mapsto 10^{x^2}$ are baza $10$, supraunitară, deci este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.” Unde greșește?

Rezolvare. Baza supraunitară face ca exponențiala să păstreze ordinea exponenților. Aici însă exponentul nu este $x$, ci $x^2$, iar $x\mapsto x^2$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$. Dacă $x_1<x_2\le 0$, atunci $x_1^2>x_2^2$, deci $10^{x_1^2}>10^{x_2^2}$: pe $(-\infty ,0]$ funcția scade. Un singur contraexemplu ajunge: $-1<0$, dar $10^{(-1{)}^2}=10>1=10^0$. Pe $[0,+\infty )$ exponentul crește, deci și funcția crește.

Figura E3 arată forma de vale, cu minimul $1$ în $x=0$ și cu aceeași valoare $10$ în $-1$ și în $1$. Concluzia corectă: funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,+\infty )$. Monotonia unei expresii $a^{g(x)}$ se citește din monotonia exponentului $g$, cu sensul păstrat pentru baza supraunitară.

Exemplul 4 — Un prag depășit, cu binomul

Arătați, fără calculator, că există un număr natural $n$ pentru care $1,03^n>50$, apoi comparați estimarea cu valoarea dată de calculator.

Rezolvare. Cu $d=0,03$, inegalitatea din secțiunea 6 dă $1,03^n\ge 1+0,03n$. Membrul drept depășește $50$ când $0,03n>49$, adică pentru $n\ge 1634$. Deci, de exemplu, $1,03^{1634}>50$.

Estimarea este sigură, dar foarte generoasă. Calculatorul arată că $1,03^{132}\approx 49,5$ și $1,03^{133}\approx 51,0$, deci pragul este depășit deja de la $n=133$. Inegalitatea cu binomul păstrează numai primii doi termeni ai dezvoltării și ignoră restul, care la puteri mari cântăresc cel mai mult. Rolurile sunt diferite: binomul demonstrează că pragul este depășit, fără niciun aparat, iar calculatorul caută doar cel mai mic exponent care îl depășește.

Exemplul 5 — Regula lui van 't Hoff

Viteza unei reacții, în micromoli pe litru și pe secundă, este modelată prin $v(T)=5\cdot 2^{\frac{T-20}{10}}$, unde $T$ este temperatura în grade Celsius, $T\in [10,60]$. a) Calculați $v(20)$, $v(10)$ și $v(50)$. b) Arătați că raportul $\frac{v(T+15)}{v(T)}$ nu depinde de $T$ și calculați-l.

Rezolvare. a) $v(20)=5\cdot 2^0=5$, $v(10)=5\cdot 2^{-1}=2,5$ și $v(50)=5\cdot 2^3=40$, toate în micromoli pe litru și pe secundă. De la $20$ la $50$ °C sunt trei creșteri de câte zece grade, deci trei dublări.

b) Cu regula câtului, $\frac{v(T+15)}{v(T)}=2^{\frac{T+15-20}{10}-\frac{T-20}{10}}=2^{1,5}=2\sqrt{2}\approx 2,83$. Valoarea lui $T$ s-a redus, deci raportul este același pentru încălzirea de la $25$ la $40$ °C și pentru cea de la $40$ la $55$ °C. Regula este aproximativă și se folosește pe intervalul declarat, unde enzimele și substanțele nu se degradează. Tot din regula câtului, $\frac{v(40)}{v(20)}=2^2=4$: încălzirea cu douăzeci de grade împarte la patru timpul necesar aceleiași transformări, lucru folosit în practică la păstrarea alimentelor la rece.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=3^x$. a) Arătați că $f(x+2)-f(x)=8f(x)$, pentru orice număr real $x$. b) Arătați că $f(x+2)-f(x)>0$, pentru orice număr real $x$.

Rezolvare. a) $f(x+2)=3^x\cdot 3^2=9f(x)$, deci $f(x+2)-f(x)=9f(x)-f(x)=8f(x)$.

b) Din a), diferența este $8f(x)$, iar $f(x)=3^x>0$ pentru orice $x$, deci diferența este strict pozitivă. Enunțul este un antrenament propriu, construit în stilul cerințelor scurte din lucrarea de bacalaureat, nu un subiect oficial.

Să exersăm

Justifică fiecare pas prin proprietatea folosită: regula produsului, semnul, monotonia sau injectivitatea.

1. Calculează fără calculator: ${\left(7^{0,5}\right)}^4$ și $2^{0,6}\cdot 5^{0,6}\cdot 10^{0,4}$.

2. O funcție exponențială $f(x)=a^x$ verifică $f(0,6)\cdot f(1,4)=49$. Află baza folosind regula produsului, apoi calculează exact $f(0,5)$ și $f(-1,5)$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru orice număr real $x$, are loc egalitatea $2^x\cdot 3^x=6^{2x}$.

4. Scrie funcțiile $g(x)=0,5^{-x}$ și $h(x)=3^{-2x}$ în forma $b^x$ și stabilește monotonia fiecăreia.

5. Arată că $5^{x+\frac{1}{2}}>2\cdot 5^x$ pentru orice număr real $x$.

6. Pentru $f(x)=5^x$, arată că $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ pentru orice $x$ și $y$ reali, apoi calculează fără calculator $\frac{f(2,3)}{f(0,3)}$.

7. Scrie ca o singură putere de forma $b^x$: a) ${\left(2^x\right)}^3\cdot 4^x$; b) $\frac{9^x}{3^x}$.

8. Știind că $0,8^{10}<0,11$, arată fără calculator că $0,8^{40}<0,001$ și deduce că $0,8^x<0,001$ pentru orice $x\ge 40$.

9. Care dintre funcțiile $x\mapsto 2^{x^3}$, $x\mapsto 2^{x^2+1}$ și $x\mapsto 2^{7-3x}$ sunt injective? Justifică.

10. (Problemă aplicată.) Intensitatea radiației ultraviolete de la amiază, într-o zi senină, crește cu aproximativ $10\%$ la fiecare kilometru de altitudine: $U(h)=U_0\cdot 1,1^h$, cu $h$ în kilometri, $h\in [0,4]$. De câte ori este mai puternică radiația la $3$ km decât la $1$ km? Dar la $2,5$ km față de nivelul mării? Explică de ce primul răspuns nu depinde de $U_0$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=64^x$. Arătați că $f\left(\frac{1}{2}\right)\cdot f(-1)=\frac{1}{8}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=2^x$. Arătați că $f(x)\cdot f(x+1)=2f(2x)$, pentru orice număr real $x$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$. Arătați că $f(2x)=f(x{)}^2$, pentru orice număr real $x$.

14. Pentru $f(x)=1,02^x$, arată cu scrierea $f(x_2)=f(x_1)\cdot 1,02^{x_2-x_1}$ că funcția este strict crescătoare, apoi calculează de câte ori crește valoarea când $x$ crește cu $50$, rotunjind la două zecimale.

15. Găsește un număr natural $x$ pentru care $2^x>10^6$, apoi explică de ce, oricât de mare ar fi un număr $M$, există o valoare a lui $2^x$ mai mare decât $M$.

16. Arată că funcția $f(x)=4^x-9\cdot 2^x$ nu este injectivă, găsind două numere diferite cu aceeași valoare.

17. Stabilește semnul expresiei $E(x)=2^x-3^x$ pentru $x>0$ și pentru $x<0$, scriind-o ca produs dintre $2^x$ și o paranteză.

18. (Provocare.) Un elev caută o funcție exponențială $f(x)=a^x$ care să ia aceeași valoare în $x=1$ și în $x=2$. El scrie $a=a^2$ și găsește $a\in \{0;1\}$. Arată că nicio funcție exponențială nu are această proprietate și leagă concluzia de injectivitate.

Răspunsuri și explicații

1. ${\left(7^{0,5}\right)}^4=7^{0,5\cdot 4}=7^2=49$. Apoi $2^{0,6}\cdot 5^{0,6}=10^{0,6}$ și $10^{0,6}\cdot 10^{0,4}=10^1=10$. Prima folosește puterea unei puteri, a doua regula cu produsul bazelor, apoi regula produsului.

2. Produsul este $f(0,6+1,4)=f(2)=a^2$, deci $a^2=49$ și, baza fiind pozitivă, $a=7$. Apoi $f(0,5)=7^{\frac{1}{2}}=\sqrt{7}$ și $f(-1,5)=\frac{1}{7\cdot \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{49}$. Regula produsului a dat baza fără să calculezi vreuna dintre cele două puteri din enunț.

3. Fals. Regula corectă este $2^x\cdot 3^x=(2\cdot 3{)}^x=6^x$. Pentru $x=1$ membrul stâng este $6$, iar $6^2=36$, deci egalitatea din enunț nu are loc.

4. $g(x)={\left(0,5^{-1}\right)}^x=2^x$, strict crescătoare, pentru că $2>1$. $h(x)={\left(3^{-2}\right)}^x={\left(\frac{1}{9}\right)}^x$, strict descrescătoare, pentru că $0<\frac{1}{9}<1$. Minusul din exponent inversează baza, așa că sensul de variație se decide după baza nouă, nu după cea scrisă în enunț.

5. Din regula produsului, $5^{x+\frac{1}{2}}=5^x\cdot 5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\cdot 5^x$. Cum $5>4$, avem $\sqrt{5}>2$, iar factorul $5^x$ este pozitiv pentru orice $x$. Înmulțind inegalitatea $\sqrt{5}>2$ cu numărul pozitiv $5^x$, obținem $\sqrt{5}\cdot 5^x>2\cdot 5^x$, adică inegalitatea cerută, pentru orice $x$ real.

6. $\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{5^x}{5^y}=5^{x-y}=f(x-y)$, după regula câtului. Pentru $x=2,3$ și $y=0,3$ obținem $f(2)=5^2=25$, deși niciuna dintre cele două puteri nu este un număr întreg.

7. a) ${\left(2^x\right)}^3\cdot 4^x=2^{3x}\cdot 2^{2x}=2^{5x}=32^x$. b) $\frac{9^x}{3^x}={\left(\frac{9}{3}\right)}^x=3^x$.

8. Din puterea unei puteri, $0,8^{40}={\left(0,8^{10}\right)}^4<0,11^4=0,00014641<0,001$. Funcția $0,8^x$ este strict descrescătoare, deci pentru $x\ge 40$ avem $0,8^x\le 0,8^{40}<0,001$. Nu am avut nevoie de binom: a ajuns o singură valoare cunoscută și regula puterii unei puteri.

9. $2^{x^3}$ este injectivă: din $x_1<x_2$ rezultă $x_1^3<x_2^3$, deci $2^{x_1^3}<2^{x_2^3}$, iar o funcție strict crescătoare nu repetă valori. $2^{7-3x}$ este injectivă, fiind strict descrescătoare. $2^{x^2+1}$ nu este injectivă: ia valoarea $4$ și în $1$, și în $-1$. În fiecare caz s-a folosit direct definiția: o monotonie strictă garantează valori diferite, iar două puncte cu aceeași valoare arată că injectivitatea lipsește.

10. $\frac{U(3)}{U(1)}=1,1^{3-1}=1,21$, adică radiația este cu $21\%$ mai puternică. $\frac{U(2,5)}{U(0)}=1,1^{2,5}\approx 1,27$. Factorul $U_0$ se simplifică în raport, iar ce rămâne depinde numai de diferența de altitudine, după regula câtului. Modelul este o aproximare pentru altitudinile declarate.

11. $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{64}=8$ și $f(-1)=\frac{1}{64}$, deci produsul este $\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$. Mai scurt: exponenții se adună, $\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$, iar $64^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{64}}=\frac{1}{8}$.

12. Exponenții se adună: $f(x)\cdot f(x+1)=2^x\cdot 2^{x+1}=2^{2x+1}$. Apoi puterea se desface în doi factori, $2^{2x+1}=2\cdot 2^{2x}=2f(2x)$, pentru orice $x$ real. Control pentru $x=1$: $2\cdot 4=8$ și $2\cdot f(2)=8$.

13. După regula puterii unei puteri, $f(2x)={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}={\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^x\right)}^2=f(x{)}^2$, pentru orice $x$ real. Control pentru $x=-1$: $f(-2)=\frac{9}{4}$ și $f(-1{)}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.

14. Pentru $x_1<x_2$, factorul $1,02^{x_2-x_1}$ este mai mare decât unu, deci $f(x_2)>f(x_1)$. Când $x$ crește cu $50$, valoarea se înmulțește cu $1,02^{50}\approx 2,69$, oricare ar fi punctul de pornire.

15. $2^{20}={\left(2^{10}\right)}^2=1024^2>1000^2=10^6$, deci $x=20$ convine. În general, $2^{10k}={\left(2^{10}\right)}^k>1000^k$, iar $1000^k$ are $3k+1$ cifre, deci depășește orice număr $M$ fixat pentru $k$ destul de mare. Funcția nu este mărginită superior, iar argumentul a folosit doar regula puterii unei puteri.

16. $f(0)=1-9=-8$ și $f(3)=64-72=-8$. Numerele $0$ și $3$ sunt diferite și dau aceeași valoare, deci funcția nu este injectivă. Valorile intermediare, $f(1)=-14$ și $f(2)=-20$, arată că funcția întâi scade, apoi crește. Diferența a două exponențiale poate pierde injectivitatea, chiar dacă fiecare termen o are.

17. $E(x)=2^x\left(1-\frac{3^x}{2^x}\right)=2^x\left(1-{\left(\frac{3}{2}\right)}^x\right)$. Factorul $2^x$ este pozitiv, iar ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ este mai mare decât $1$ pentru $x>0$ și mai mic pentru $x<0$. Deci $E(x)<0$ pentru $x>0$, $E(x)>0$ pentru $x<0$ și $E(0)=0$.

18. Egalitatea $a^2=a$ înseamnă $a(a-1)=0$, deci $a=0$ sau $a=1$. Niciuna nu este o bază admisă: o bază admisă este pozitivă și diferă de $1$. Concluzia se putea anticipa fără calcul: orice funcție exponențială este injectivă, deci nu ia aceeași valoare în două puncte diferite, cum sunt $1$ și $2$. Tocmai baza $1$, exclusă din definiție, ar fi dat o funcție constantă.

De reținut

• Proprietatea fundamentală $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ dă toate regulile de calcul: $a^0=1$, $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$, $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$, ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$, $a^x{b}^x=(ab{)}^x$.
• Pentru orice $x$ real, $a^x>0$; zero este un minorant al funcției, dar nu este atins, deci pe $\mathbb{R}$ funcția nu are minim.
• Din $a^{x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2-x_1}$ rezultă monotonia strictă: crescătoare pentru $a>1$, descrescătoare pentru $0<a<1$.
• Funcția exponențială este injectivă, deci $a^u=a^v⟺u=v$; în particular, $a^{g(x)}=a^c$ se reduce la $g(x)=c$.
• Pentru $a>1$, $(1+d{)}^n\ge 1+nd$ arată că valorile depășesc orice prag; pentru $0<a<1$, ele coboară sub orice număr pozitiv, fără să ajungă la zero.

Greșeli frecvente

• Confunzi ${\left(a^x\right)}^y$ cu $a^{x^y}$. ${\left(2^3\right)}^2=2^6=64$, pe când $2^{3^2}=2^9=512$. Parantezele spun ce se ridică la putere mai întâi.
• Împarți exponenții la câtul puterilor. $\frac{3^6}{3^2}=3^4=81$, nu $3^3=27$. La împărțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se scad.
• Scrii $(a+b{)}^x=a^x+b^x$. Pentru $x=2$, $(2+3{)}^2=25$, dar $2^2+3^2=13$. Regula cu produsul bazelor nu are o variantă cu suma.
• Combini două reguli care nu merg împreună. $2^3\cdot 3^2$ nu este $6^5$: bazele se înmulțesc doar când exponenții sunt egali, iar exponenții se adună doar când bazele sunt egale. Aici calculul corect este $8\cdot 9=72$.
• Crezi că o bază foarte apropiată de unu ține valorile mici. $1,01^x$ pare aproape constantă pe un interval scurt, dar trece de $1000$ înainte de $x=700$. Apropierea de unu încetinește creșterea, nu o oprește.

Aplică acasă

1. Pune câte o tabletă efervescentă identică în trei pahare cu apă la temperaturi diferite, de exemplu $10$, $20$ și $30$ °C, măsurate cu un termometru de bucătărie. Cronometrează dizolvarea fiecăreia și calculează raportul timpilor pentru pașii de câte zece grade. Compară rapoartele cu factorul $2$ din regula lui van 't Hoff și scrie ce abateri ai găsit.
2. Într-o aplicație meteo, notează indicele UV prognozat la amiază pentru localitatea ta și pentru o stațiune de munte apropiată, în aceeași zi senină. Calculează diferența de altitudine și compară raportul celor doi indici cu factorul $1,1$ ridicat la diferența de altitudine, în kilometri. Scrie ce alte cauze, precum norii sau zăpada, pot schimba raportul.
3. Într-o foaie de calcul, construiește o coloană cu valorile lui $1,5^x$ pentru $x$ de la $0$ la $3$, din zecime în zecime. Alege zece perechi de numere $x$ și $y$ din coloană și verifică, cu o formulă, că valoarea din $x+y$ este produsul valorilor din $x$ și din $y$. Notează cât de mari sunt diferențele datorate rotunjirii.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează funcția exponențială cu proprietățile ei de calcul. Pornește de la regula produsului, $f(x+y)=f(x)f(y)$, și arată că din ea decurg semnul valorilor, monotonia strictă, fără niciun desen, și injectivitatea, numită explicit ca proprietate a funcției. Comportamentul pentru valori mari ale variabilei se argumentează cu binomul lui Newton, fără limite, iar mărginirea inferioară trimite la lecția despre mărginire. Ecuațiile care cer aducerea la aceeași bază și compararea sistematică a puterilor sunt în lecțiile imediat următoare, care folosesc proprietățile de aici.

Un fir comun leagă secțiunile: aproape fiecare afirmație se obține din regula produsului, fie direct, fie prin semnul valorilor care decurge din ea. Merită ca elevul să vadă explicit acest lanț, pentru că el explică de ce aceleași reguli funcționează la baza $2$, la baza $0,6$ sau la baza $e$, fără să reînvețe ceva pentru fiecare bază.

De urmărit: dacă elevul justifică monotonia prin factorul $a^{x_2-x_1}$ și nu prin „așa arată graficul”; dacă observă că injectivitatea exponențialei nu garantează injectivitatea lui $a^{g(x)}$; dacă aplică regulile numai la baze egale sau la exponenți egali. O întrebare bună de control este „de ce $x\mapsto 10^{x^2}$ nu este monotonă pe $\mathbb{R}$, deși baza este supraunitară?”; răspunsul „pentru că exponentul $x^2$ scade pe $(-\infty ,0]$” arată că elevul a separat rolul exponentului de rolul exponențialei.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: unitatea de funcții numește funcția exponențială, monotonia ei și ecuațiile exponențiale; regulile de calcul cu puteri reale sunt folosite aici ca proprietăți ale funcției, iar construcția lor rămâne în lecțiile de supliment. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2, cu programa din Anexa 4.2 la OMEC 5077/2026) tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și susțin Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care conține „proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real”, funcția exponențială, injectivitatea și ecuațiile exponențiale. Modelul oficial publicat pentru 2026 conține exponențiala numai în funcția studiată la Subiectul al III-lea; exercițiile marcate în lecție sunt antrenamente proprii.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: proprietățile funcției exponențiale. Pagina precedentă a traseului este funcția exponențială: definiție și grafic, la M2, iar cea următoare este compararea puterilor cu aceeași bază, la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 de rată a creșterii, compunere și inversare.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre proprietățile funcției exponențiale?

Varianta M1 demonstrează pe rând monotonia, injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea, pregătind inversarea funcției. Varianta M2 pornește de la regula produsului, justifică monotonia și injectivitatea prin calcul, fără bijectivitate, arată cu binomul lui Newton cum cresc puterile mari și aplică totul într-un model din chimie.

În ce subiect al probei M2 folosesc aceste proprietăți?

Programa M_șt-nat pentru 2027–2029 conține proprietățile puterilor cu exponent real, funcția exponențială, injectivitatea și ecuațiile exponențiale, fără să le repartizeze pe subiecte. În modelul oficial din 2026, exponențiala apare doar în problema de analiză de la Subiectul al III-lea. Pentru MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Algebră”.

Pot folosi regulile puterilor și pentru exponenți iraționali?

Da. Regulile rămân adevărate pentru orice exponenți reali, iar lecția de supliment despre puterile cu exponent real arată de ce. În practică, un exponent irațional se tratează ca oricare altul: $5^{\sqrt{2}}\cdot 5^{3-\sqrt{2}}$ este $5^3=125$, pentru că exponenții se adună, iar partea irațională dispare.

Cum pot explica, fără limite, că $a^x$ crește peste orice prag?

Scrii baza ca $1+d$ și folosești binomul lui Newton: $(1+d{)}^n$ este cel puțin $1+nd$. Expresia $1+nd$ crește cu aceeași cantitate la fiecare pas, deci trece de orice număr fixat. Puterea, fiind și mai mare, trece și ea. Monotonia extinde concluzia de la numere naturale la orice $x$ mai mare.

De ce este funcția exponențială mărginită inferior, dar nu are minim?

Toate valorile sunt mai mari decât zero, deci zero este un minorant. Pentru orice valoare aleasă, există însă una și mai mică: la baza supraunitară, mergi spre stânga, la cea subunitară, spre dreapta. Cum nicio valoare nu este cea mai mică, funcția nu are minim, deși este mărginită inferior.

La ce folosește injectivitatea în lecțiile următoare?

Ea este puntea dintre puteri și exponenți. Când două puteri cu aceeași bază admisă sunt egale, injectivitatea spune că exponenții sunt egali, așa că o egalitate cu necunoscuta sus se transformă într-una obișnuită, de gradul întâi sau al doilea. Lecțiile despre ecuațiile exponențiale folosesc această punte la fiecare pas; aici ai văzut de ce ea este sigură.