Care număr este mai mare, $$\sqrt[3]4$$ sau $$\sqrt[4]7$$?

nu se pot compara fără calculator

Cât face 5^(1/3)· 25^(1/3)?

Exponenții sunt egali, deci înmulțești bazele: (5· 25)^(1/3)=125^(1/3)=5. Altfel, în baza 5: 5^(1/3)· 5^(2/3)=5¹=5. Ambele drumuri dau același rezultat, iar al doilea arată de ce funcționează regula exponentului comun.

Cum compar radicali de ordine diferite?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Regulile puterilor cu exponent rațional

Îi aduci la același ordin, cel mai mic multiplu comun al ordinelor, apoi compari numerele de sub radical. Exemplu: $33$ și $45$ . Ordinul comun este $12$ : $33 = 12 3^{4} = 1281$ și $45 = 12 5^{3} = 12125$ . Cum $81 < 125$ , rezultă $33 < 45$ . Scris cu puteri, e același lucru ca aducerea exponenților $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{4}$ la numitorul comun.

Cele cinci reguli de la exponenți întregi rămân adevărate pentru exponenți raționali, cu condiția ca bazele să fie strict pozitive: la produs exponenții se adună, la cât se scad, la puterea unei puteri se înmulțesc, iar puterea unui produs sau a unui cât se desface pe factori. Toate se reduc la o singură regulă a radicalilor, valabilă pentru orice ordin: radicalul de ordin $n$ al unui produs de numere nenegative este produsul radicalilor. Din ea rezultă și că radicalii puși unul în altul se contopesc, cu ordinele înmulțite.

La baze diferite ai două drumuri. Când toate bazele se scriu cu același număr prim, lucrezi numai cu exponenții acelui număr; dacă exponenții sunt egali, înmulțești bazele. Din radicalul de ordin $n$ scoți doar factorii ridicați la puterea $n$ ; la ordin par, o putere a unui număr negativ iese în modul.

Radicalii de ordine diferite nu se compară după numerele de sub radical. Se aduc întâi la ordinul comun, cel mai mic multiplu comun al ordinelor, și abia apoi se compară. Pentru sume nu există nicio regulă. Legile de scalare din științe, de pildă luminozitatea unei stele și durata ei de viață, se leagă între ele exact prin aceste reguli.

De reținut

radicalii se compară după aducerea la ordinul comun
$a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ , $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ , $a^{r} b^{r} = (ab)^{r}$ , pentru $a, b > 0$
$n p a^{m p} = n a^{m}$ pentru $a > 0$

Greșeala tipică

Se compară doar numerele de sub radical: din $3 < 4$ s-ar trage concluzia $33 < 44$ , dar la ordinul $12$ se compară $81$ cu $64$ , deci de fapt $33 > 44$ .

Exerciții din această mini-lecție

Numărul $524 \cdot 5324$ este egal cu:
- a) $5348$
- b) $6$
- c) $107776$
- d) $36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

Radicalii au același ordin, deci se unesc sub un singur radical prin produs: $5 24 \cdot 324 = 57776 = 6$ , pentru că $6^{5} = 7776$ . Varianta cu $348$ adună numerele de sub radical, ceea ce nicio regulă nu permite.
Numărul $(1 1^{\frac{3}{4}})^{\frac{8}{3}}$ este:
- a) $11$
- b) $1 1^{\frac{41}{12}}$
- c) $121$
- d) $1 1^{\frac{9}{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $121$

La puterea unei puteri exponenții se înmulțesc: $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = 2$ , deci rezultatul este $1 1^{2} = 121$ .
Care număr este mai mare, $34$ sau $47$ ?
- a) $34$
- b) $47$
- c) sunt egale
- d) nu se pot compara fără calculator
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $47$

Ordinul comun este $12$ : $34 = 12256$ și $47 = 12343$ . Cum $256 < 343$ , al doilea număr este mai mare.

Întrebări conexe

Cum scot un factor de sub radicalul de ordinul 4?

Cauți în numărul de sub radical o putere a patra. Pentru $448$ : $48 = 16 \cdot 3 = 2^{4} \cdot 3$ , deci $448 = 243$ . Factorul iese doar dacă apare la puterea egală cu ordinul radicalului. Probă: $(243)^{4} = 16 \cdot 3 = 48$ .

Cum simplific radicalul $6 a^{4}$ , pentru $a > 0$ ?

Scris ca putere, $6 a^{4} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$ , deci $6 a^{4} = 3 a^{2}$ . Ordinul radicalului și exponentul de sub el se împart la divizorul lor comun, $2$ , iar valoarea nu se schimbă. Probă cu $a = 8$ : $6 8^{4} = 64096 = 4$ și $364 = 4$ .

Cât face $5^{\frac{1}{3}} \cdot 2 5^{\frac{1}{3}}$ ?

Exponenții sunt egali, deci înmulțești bazele: $(5 \cdot 25)^{\frac{1}{3}} = 12 5^{\frac{1}{3}} = 5$ . Altfel, în baza $5$ : $5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 5^{1} = 5$ . Ambele drumuri dau același rezultat, iar al doilea arată de ce funcționează regula exponentului comun.

Cum leagă o lege de putere luminozitatea unei stele de durata ei de viață?

Dacă luminozitatea crește ca $M^{3, 5}$ , iar combustibilul ca $M$ , durata de viață se comportă ca $\frac{M}{M ^{3, 5}} = M^{- 2, 5}$ . O stea de $4$ ori mai masivă trăiește de $4^{2, 5} = (4)^{5} = 32$ de ori mai puțin. Exponenții se scad la cât, ca la orice puteri.

Cum scriu $32 \cdot 2$ ca o singură putere?

Treci la exponenți: $2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}}$ , adică $632$ . Radicalii de ordine diferite nu se înmulțesc direct sub același radical, dar exponenții se adună fără probleme. Proba cu puterea a șasea: $(2^{\frac{5}{6}})^{6} = 2^{5} = 32$ .

Oamenii mai întreabă și: compararea radicalilor de ordine diferite · aducerea radicalilor la același ordin · care e mai mare radical de ordin 3 sau 4 · ordinul comun al radicalilor