Proprietățile puterilor cu exponent rațional: pe scurt

Toate cele cinci reguli ale puterilor cu exponent întreg rămân valabile și pentru exponenți raționali, cu condiția ca bazele să fie strict pozitive: $a^r{a}^s=a^{r+s}$, $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$, ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$, $(ab{)}^r=a^r{b}^r$, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$. Ele se demonstrează pornind de la definiția cu radicali și proprietățile radicalilor.

Nu există reguli pentru sume: $(a+b{)}^r\ne a^r+b^r$ — verifică pe $a=3,b=4$: $\sqrt{3^2+4^2}=5$, dar $3+4=7$. La sume se folosesc formulele de calcul prescurtat, nu proprietățile puterilor.

Radicalii imbricați se contopesc: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=a^{\frac{1}{mn}}$ — ordinele radicalilor se înmulțesc, nu se adună.

Rețeta practică de calcul: descompune bazele în factori primi, aduce totul la o bază comună, apoi adună sau scade exponenții. Aceeași idee permite compararea radicalilor de ordine diferite: aduci exponenții la un numitor comun, obții același ordin de radical și compari radicandele.

Greșeli frecvente: înmulțirea exponenților la produs în loc de adunare ($a^{1/2}\cdot a^{1/3}=a^{5/6}$, nu $a^{1/6}$), aplicarea proprietăților la sume, uitarea condiției $a>0$ scrisă explicit pe foaie, și confuzia dintre ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$ și scrierea cu exponent etajat $a^{r^s}$, complet diferită.

Exerciții din această mini-lecție

1. Regula de calcul pentru produsul $a^r\cdot a^s$ (cu $a>0$) este:

   • a) $a^{r+s}$
   • b) $a^{r-s}$
   • c) $a^{r/s}$
   • d) $a^{rs}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a^{r+s}$

   La produsul a două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.

2. Cât este ${\left(a^{2/3}\right)}^3$?

   • a) $a^{2/9}$
   • b) $a^2$
   • c) $a^6$
   • d) $a^{9/2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $a^2$

   Putere la putere: exponenții se înmulțesc, $\frac{2}{3}\cdot 3=2$, deci rezultatul este $a^2$.

3. Radicalii imbricați $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$ sunt egali cu:

   • a) $a^6$
   • b) $\sqrt[5]{a}$
   • c) $\sqrt[6]{a}$
   • d) $\sqrt{a^3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\sqrt[6]{a}$

   $\sqrt[3]{\sqrt{a}}=a^{\frac{1}{3\cdot 2}}=a^{1/6}=\sqrt[6]{a}$: ordinele radicalilor imbricați se înmulțesc.