Proprietățile puterilor cu exponent rațional: calcul cu radicali de orice ordin (M2, științe ale naturii)

O stea din secvența principală, cu masa de nouă ori mai mare decât a Soarelui, strălucește de peste două mii de ori mai puternic, iar combustibilul, deși de nouă ori mai mult, îi ajunge de aproape două sute cincizeci de ori mai puțin timp. Astronomii ajung la aceste cifre dintr-o lege de putere, în care luminozitatea crește cu masa la puterea $3,5$, și dintr-un singur calcul cu exponenți: un cât de puteri cu aceeași bază. În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), lecția de față arată de ce regulile de calcul cu puteri rămân valabile când exponenții sunt fracții și cum se folosesc la radicali de orice ordin. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține puterile cu exponent rațional; radicalii de ordin 2 și 3 rămân în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține proprietățile puterilor cu exponent rațional și proprietățile radicalilor.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: proprietățile puterilor cu exponent rațional sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apar în programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28). Definiția $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ și independența de scrierea fracției vin din lecția de supliment care definește exponentul rațional. Regulile pe care le demonstrăm aici le-ai folosit deja, ca proprietăți ale funcției, în lecția M2 despre proprietățile funcției exponențiale, iar radicalii de ordin 2 și 3 sunt pe pagina M2 cu proprietățile radicalilor de ordin 2 și 3.

Ce vei învăța

• Vei ști cele cinci reguli de calcul pentru puterile cu exponent rațional și condițiile lor.
• Vei ști de ce radicalul de ordin $n$ se desface peste un produs, pentru orice ordin, nu doar pentru 2 și 3.
• Vei ști să demonstrezi regulile scurt, trecând prin radicali.
• Vei ști să aduci baze diferite la o bază comună sau la un exponent comun, după cum e mai comod.
• Vei ști să scoți un factor de sub un radical de ordin oarecare și să compari radicali de ordine diferite.
• Vei ști să folosești regulile într-o lege de putere din astronomie și într-o problemă de scară din inginerie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce reguli rămân adevărate când exponenții sunt fracții?

Proprietățile puterilor cu exponent rațional sunt cinci egalități, adevărate pentru orice baze $a>0$, $b>0$ și orice exponenți raționali $r$, $s$: $$a^r\cdot a^s=a^{r+s},\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s},{\left(a^r\right)}^s=a^{rs},(ab{)}^r=a^r{b}^r,{\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}.$$ Ele arată ca regulile de la exponenți întregi, iar asta nu e o întâmplare: definiția puterii cu exponent rațional a fost aleasă tocmai ca regulile să se păstreze. Alegerea însă trebuie verificată, fiindcă o regulă care a mers la exponenți întregi nu se transferă singură la exponenți fracționari. Un semn că verificarea e necesară vine chiar din condiția asupra bazei. La exponenți întregi, regula puterii unei puteri merge pentru orice bază nenulă; la exponenți fracționari, ea cere baza pozitivă, iar demonstrațiile de mai jos arată exact în ce pas intervine această cerință. Fără demonstrație, am folosi regulile și acolo unde nu mai sunt adevărate.

Mai e un motiv practic. Cine știe de unde vine o regulă o poate reconstrui singur atunci când o uită și poate spune imediat dacă o scriere nouă, întâlnită într-un manual de fizică, este corectă sau nu.

În lecția despre proprietățile exponențialei, aceleași egalități au fost folosite pentru orice exponenți reali, ca fapte despre funcție. Aici le arătăm pentru exponenți raționali, pornind numai de la radicali. Un exemplu de lucru: $11^{\frac{2}{5}}\cdot 11^{\frac{3}{5}}=11^{\frac{2}{5}+\frac{3}{5}}=11^1=11$; fiecare factor este un radical de ordinul cinci, iar produsul lor iese natural.

2. De ce radicalul de ordin $n$ se desface peste un produs?

Toate demonstrațiile se sprijină pe o singură regulă a radicalilor, pe care lecția de bază a clasei a X-a a dat-o numai pentru ordinele 2 și 3. O avem nevoie pentru orice ordin $n\ge 2$: pentru $x\ge 0$ și $y\ge 0$, $\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}$. Justificarea are un rând. Produsul $\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}$ este nenegativ, iar puterea lui a $n$-a este ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n{\left(\sqrt[n]{y}\right)}^n=xy$. Singurul număr nenegativ cu puterea a $n$-a egală cu $xy$ este $\sqrt[n]{xy}$, așa că egalitatea are loc. Pentru cât, cu $y>0$, se procedează la fel: $\sqrt[n]{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

Regula merge în ambele sensuri: $\sqrt[5]{32\cdot 243}=\sqrt[5]{32}\cdot \sqrt[5]{243}=2\cdot 3=6$. Din același tipar se obține și regula radicalilor puși unul în altul: pentru $x\ge 0$, $\sqrt[p]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[np]{x}$. Ridică numărul din stânga la puterea $np$: întâi puterea $p$ îl duce la $\sqrt[n]{x}$, apoi puterea $n$ îl duce la $x$. Numărul din stânga este nenegativ și are puterea de ordin $np$ egală cu $x$, deci este chiar $\sqrt[np]{x}$.

Condiția „nenegativ” apare în fiecare dintre aceste argumente și nu e o formalitate. La ordin par, puterea a $n$-a nu deosebește un număr de opusul lui, așa că singura cale de a alege între ele este semnul. Tocmai de aceea bazele puterilor cu exponent fracționar sunt cerute pozitive: toate numerele care apar în demonstrații rămân atunci pozitive, iar fiecare egalitate de puteri se poate „întoarce” într-o egalitate de numere.

3. Cum se arată regula produsului?

Scriem cei doi exponenți cu același numitor: $r=\frac{m}{n}$ și $s=\frac{p}{n}$. Lecția anterioară a arătat că valoarea unei puteri nu depinde de scrierea fracției, deci aducerea la numitor comun nu schimbă nimic. Atunci $$a^r\cdot a^s=\sqrt[n]{a^m}\cdot \sqrt[n]{a^p}=\sqrt[n]{a^m\cdot a^p}=\sqrt[n]{a^{m+p}}=a^{\frac{m+p}{n}}=a^{r+s}.$$ Pasul al doilea este regula din secțiunea 2, iar al treilea este regula produsului pentru exponenți întregi, cunoscută din gimnaziu. Pentru cât, radicalul unui cât înlocuiește radicalul unui produs și exponenții se scad. Pe un exemplu cu numitori diferiți: $5^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{3}{12}}\cdot 5^{\frac{8}{12}}=5^{\frac{11}{12}}=\sqrt[12]{5^{11}}$. În scrierea cu radicali, același calcul ar fi cerut aducerea ambilor radicali la ordinul $12$ și abia apoi înmulțirea; exponenții fac același lucru, dar într-o singură adunare de fracții.

Regula spune și când rezultatul este un număr frumos: exact atunci când suma exponenților este un număr întreg. Doi factori iraționali pot avea un produs natural, iar recunoașterea acestei situații este, de cele mai multe ori, cheia unui exercițiu de calcul.

4. Puterea unei puteri, fără calcule lungi

Fie $r=\frac{m}{n}$ și $s=\frac{p}{q}$. Folosim două fapte: ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^p=\sqrt[n]{x^p}$, care e regula din secțiunea 2 aplicată de $p$ ori, și regula radicalilor puși unul în altul. Atunci $${\left(a^{\frac{m}{n}}\right)}^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{{\left(\sqrt[n]{a^m}\right)}^p}=\sqrt[q]{\sqrt[n]{a^{mp}}}=\sqrt[nq]{a^{mp}}=a^{\frac{mp}{nq}}.$$ Exponentul final este exact produsul $\frac{m}{n}\cdot \frac{p}{q}$. De exemplu, ${\left(6^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{4}}=6^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$. Regula e cea mai folosită la aducerea bazelor la o bază comună și la „desfacerea” radicalilor puși unul în altul. Citită în limbajul radicalilor, ea spune că ordinele se înmulțesc: un radical de ordinul trei pus sub un radical de ordinul patru este un singur radical de ordinul doisprezece.

La exponenți negativi, nimic nu se schimbă, pentru că demonstrația nu a folosit semnul lui $m$ sau al lui $p$. De exemplu, $3^{-\frac{2}{5}}\cdot 3^{\frac{7}{10}}=3^{-\frac{4}{10}+\frac{7}{10}}=3^{\frac{3}{10}}$, iar ${\left(\frac{1}{a}\right)}^r=a^{-r}$ pentru orice $a>0$: puterea unui invers este inversul puterii.

5. Ce se schimbă când bazele sunt diferite?

Pentru puterea unui produs, $(ab{)}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(ab{)}^m}=\sqrt[n]{a^m{b}^m}=\sqrt[n]{a^m}\cdot \sqrt[n]{b^m}=a^{\frac{m}{n}}{b}^{\frac{m}{n}}$, iar puterea unui cât se arată la fel. Cu baze diferite ai două drumuri. Dacă exponenții sunt egali, înmulțești bazele: $4^{\frac{1}{5}}\cdot 8^{\frac{1}{5}}=32^{\frac{1}{5}}=2$. Dacă bazele sunt puteri ale aceluiași număr prim, le scrii în acel număr și aplici puterea unei puteri: $27^{\frac{2}{9}}={\left(3^3\right)}^{\frac{2}{9}}=3^{\frac{2}{3}}$.

Dacă bazele sunt diferite și exponenții diferiți, se poate totuși scrie produsul ca un singur radical, aducând exponenții la numitor comun. De exemplu, $3^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{2}{4}}\cdot 5^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{9}\cdot \sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{45}$. Rezultatul nu se mai simplifică, dar are o scriere unică, bună pentru comparații.

Pentru sume nu există o asemenea regulă: $16^{\frac{1}{4}}+81^{\frac{1}{4}}=2+3=5$, pe când $(16+81{)}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{97}\approx 3,14$. Regulile de mai sus vorbesc numai despre produse, câturi și puteri, iar observația e aceeași pentru exponenții reali din lecția despre proprietățile exponențialei.

6. Factorii scoși de sub radicalul de ordin $n$

Din puterea unui produs rezultă o regulă practică: pentru $c\ge 0$ și $b\ge 0$, $\sqrt[n]{c^{n}b}=c\sqrt[n]{b}$. La ordinul 2 scoteai de sub radical pătratele, la ordinul 3 cuburile; la ordinul $n$ scoți puterile a $n$-a. De exemplu, $96=2^5\cdot 3$, deci $\sqrt[5]{96}=2\sqrt[5]{3}$. Drumul invers introduce un factor nenegativ sub radical, ridicat la puterea egală cu ordinul.

Ca să găsești factorul, descompui numărul în factori primi și grupezi exponenții în multipli ai ordinului. Ce rămâne în afara grupelor rămâne sub radical. Dacă nu se formează nicio grupă, radicalul este deja în forma cea mai simplă. Un exemplu cu doi factori primi: $1296\cdot 7=6^4\cdot 7$, deci $\sqrt[4]{9072}=6\sqrt[4]{7}$. Aici ambii factori primi, $2$ și $3$, apăreau la puterea a patra, iar $7$ a rămas singur sub radical. Controlul este imediat: $6^4\cdot 7=1296\cdot 7=9072$.

7. Ordinul comun, instrument de comparare

Doi radicali de ordine diferite nu se compară direct după numerele de sub radical. Trecerea prin exponenți rezolvă problema: fracțiile $\frac{1}{p}$ și $\frac{1}{q}$ primesc același numitor, iar cei doi radicali devin de același ordin. Pentru $\sqrt[4]{10}$ și $\sqrt[6]{31}$, numitorul comun al lui $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{6}$ este $12$: $$\sqrt[4]{10}=10^{\frac{3}{12}}=\sqrt[12]{1000},\sqrt[6]{31}=31^{\frac{2}{12}}=\sqrt[12]{961}.$$ Radicalul de ordinul 12 păstrează ordinea numerelor pozitive, iar $1000>961$, deci $\sqrt[4]{10}>\sqrt[6]{31}$. Numerele sunt foarte apropiate, cum arată figura A, și totuși comparația a fost exactă, fără calculator.

De ce păstrează radicalul de ordinul 12 ordinea? Dacă $0\le x<y$, atunci $\sqrt[12]{x}<\sqrt[12]{y}$: în caz contrar, ridicând la puterea a douăsprezecea numere pozitive în ordinea inversă, am obține $x\ge y$, ceea ce contrazice ipoteza. Același argument merge pentru orice ordin. Metoda are un cost: numerele de sub radical cresc repede cu ordinul comun, așa că merită ales cel mai mic multiplu comun al ordinelor, nu produsul lor.

8. Rețeta unui calcul lung cu radicali de ordine diferite

Când într-o expresie apar mai mulți radicali, de ordine diferite și cu numere compuse sub ei, drumul sigur are patru pași. Scrii fiecare radical ca putere. Descompui fiecare număr în factori primi. Aduni, pentru fiecare număr prim în parte, exponenții lui. La final scrii rezultatul înapoi ca radical, cu ordinul egal cu numitorul comun.

Pe un exemplu: în $\frac{\sqrt[3]{28}\cdot \sqrt[6]{98}}{\sqrt{14}}$ avem $28=2^2\cdot 7$, $98=2\cdot 7^2$ și $14=2\cdot 7$. Exponentul lui $2$ este $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$, iar exponentul lui $7$ este $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Rezultatul este $2^{\frac{1}{3}}\cdot 7^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{2}{6}}\cdot 7^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{28}$. Fiecare număr prim se urmărește separat, ca o coloană dintr-un tabel, și de aceea calculul nu se încurcă oricât de mulți factori ar avea expresia. La sfârșit, un control cu calculatorul pe expresia inițială și pe rezultat prinde orice greșeală de semn la exponenți.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceeași bază, trei reguli

Scrieți ca o singură putere și apoi cu radicali: a) $13^{\frac{2}{3}}\cdot 13^{\frac{5}{6}}$; b) $6^{\frac{9}{4}}:6^{\frac{3}{4}}$; c) ${\left(2^{\frac{3}{5}}\right)}^{\frac{10}{9}}$.

Rezolvare. a) Numitorul comun este $6$: $\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$, deci $13^{\frac{2}{3}}\cdot 13^{\frac{5}{6}}=13^{\frac{3}{2}}=13\sqrt{13}$.

b) $\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$, deci $6^{\frac{9}{4}}:6^{\frac{3}{4}}=6^{\frac{3}{2}}=6\sqrt{6}$.

c) $\frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$, deci ${\left(2^{\frac{3}{5}}\right)}^{\frac{10}{9}}=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}$. Control pentru b): $6\sqrt{6}$ ridicat la pătrat dă $216=6^3$, adică exact pătratul lui $6^{\frac{3}{2}}$. În toate trei cazurile, primul pas a fost același: aducerea exponenților la numitor comun sau înmulțirea lor, înainte de orice radical.

Exemplul 2 — Baze diferite, aceeași bază primă

Calculați $E=9^{\frac{3}{4}}\cdot 243^{\frac{1}{10}}$.

Rezolvare. Bazele se scriu ca puteri ale lui $3$: $9=3^2$ și $243=3^5$. Cu puterea unei puteri, $9^{\frac{3}{4}}=3^{\frac{3}{2}}$ și $243^{\frac{1}{10}}=3^{\frac{1}{2}}$. Cu regula produsului, $E=3^{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}=3^2=9$.

Observă că fiecare factor, luat separat, este irațional: $3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt{3}$ și $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$. Produsul lor, $3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=9$, este natural. Fără trecerea la baza comună, calculul ar fi cerut un radical de ordinul zece. Strategia se alege uitându-te la baze înainte de orice calcul: dacă toate sunt puteri ale aceluiași număr prim, trecerea la acel număr transformă problema într-o adunare de fracții.

Exemplul 3 — Găsește greșeala: compararea după numărul de sub radical

Un elev scrie: „$3<5$, deci $\sqrt[3]{3}<\sqrt[5]{5}$.” Arătați că concluzia este falsă și comparați corect.

Rezolvare. Numerele de sub radical se pot compara direct numai când ordinele sunt egale. Aducem la ordinul comun $15$: $\sqrt[3]{3}=3^{\frac{5}{15}}=\sqrt[15]{243}$ și $\sqrt[5]{5}=5^{\frac{3}{15}}=\sqrt[15]{125}$. Cum $243>125$, rezultă $\sqrt[3]{3}>\sqrt[5]{5}$, exact invers față de concluzia elevului.

Greșeala este tentantă pentru că, la același ordin, radicalul păstrează ordinea. Aici însă ordinul mai mare „micșorează” mai mult: $\sqrt[3]{3}\approx 1,442$, iar $\sqrt[5]{5}\approx 1,380$. Regula corectă are două etape, iar elevul a sărit peste prima: întâi se egalează ordinele, abia apoi se compară numerele de sub radical.

Exemplul 4 — Trei radicali, în ordine crescătoare

Ordonați crescător numerele $\sqrt[5]{4}$, $\sqrt[15]{60}$ și $\sqrt[3]{2}$.

Rezolvare. Ordinul comun este $15$. Avem $\sqrt[5]{4}=4^{\frac{3}{15}}=\sqrt[15]{64}$ și $\sqrt[3]{2}=2^{\frac{5}{15}}=\sqrt[15]{32}$, iar al treilea număr este deja de ordinul $15$. Comparăm numerele de sub radical: $32<60<64$. Prin urmare $$\sqrt[3]{2}<\sqrt[15]{60}<\sqrt[5]{4}.$$ Diferențele sunt mici, între al doilea și al treilea număr de doar câteva miimi, dar ordinea este sigură. Ordinul comun a fost cel mai mic multiplu comun al lui $5$, $15$ și $3$, adică chiar $15$; un ordin mai mare ar fi dat aceeași ordine, cu numere mult mai mari sub radical.

Exemplul 5 — Masa și durata de viață a unei stele

Pentru stelele din secvența principală cu masa între aproximativ $2$ și $20$ de mase solare, luminozitatea este $L=M^{3,5}$ luminozități solare, unde $M$ este masa în mase solare. Timpul de viață este proporțional cu raportul dintre combustibil (masa) și ritmul în care se consumă (luminozitatea): $\tau =10^{10}\cdot \frac{M}{L}$ ani. a) Calculați $L$ și $\tau$ pentru $M=9$. b) Scrieți $\tau$ ca putere a lui $M$. c) De câte ori trăiește mai puțin o stea cu $M=16$ decât una cu $M=9$?

Rezolvare. a) $3,5=\frac{7}{2}$, deci $L=9^{\frac{7}{2}}={\left(\sqrt{9}\right)}^7=3^7=2187$ luminozități solare. Apoi $\tau =10^{10}\cdot \frac{9}{2187}=\frac{10^{10}}{243}\approx 4,1\cdot 10^7$ ani, adică aproximativ patruzeci și unu de milioane de ani.

b) Cu regula câtului, $\frac{M}{L}=\frac{M^1}{M^{\frac{7}{2}}}=M^{1-\frac{7}{2}}=M^{-\frac{5}{2}}$, deci $\tau =10^{10}\cdot M^{-\frac{5}{2}}$ ani. Pentru $M=9$, $9^{-\frac{5}{2}}=\frac{1}{3^5}=\frac{1}{243}$, același rezultat ca la punctul a).

c) Raportul duratelor este ${\left(\frac{16}{9}\right)}^{-\frac{5}{2}}={\left(\frac{9}{16}\right)}^{\frac{5}{2}}={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$. Steaua mai masivă trăiește de $\frac{1024}{243}\approx 4,2$ ori mai puțin. Figura B rezumă drumul de calcul. Modelul este o aproximare valabilă numai pe intervalul de mase declarat; pentru stele foarte mari sau foarte mici exponentul se schimbă. Observă și sensul fizic al semnului: exponentul $-\frac{5}{2}$ este negativ, deci durata de viață scade când masa crește. O stea mai masivă are mai mult combustibil, dar îl arde disproporționat de repede.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Fie numerele $a=\sqrt[4]{2}$ și $b=\sqrt[6]{2}$. Arătați că $a^2\cdot b^3=2$.

Rezolvare. Scriem cu exponenți: $a=2^{\frac{1}{4}}$ și $b=2^{\frac{1}{6}}$. Cu puterea unei puteri, $a^2=2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{1}{2}}$ și $b^3=2^{\frac{3}{6}}=2^{\frac{1}{2}}$. Cu regula produsului, $a^2\cdot b^3=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=2^1=2$. Cerința e compusă de noi, după forma cerințelor scurte de calcul, nu preluată dintr-un subiect oficial; redactarea cere scrierea fiecărui radical ca putere înaintea oricărui calcul. Aceeași cerință se putea rezolva și cu radicali: $a^2=\sqrt{2}$ și $b^3=\sqrt{2}$, iar $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$; drumul prin exponenți arată însă de ce apare de două ori $\sqrt{2}$.

Să exersăm

Scrie de fiecare dată regula pe care o aplici. În exercițiile cu litere, bazele sunt strict pozitive.

1. Calculează $23^{\frac{4}{7}}\cdot 23^{\frac{3}{7}}$, $29^{\frac{11}{6}}:29^{\frac{5}{6}}$ și $2^{\frac{3}{4}}\cdot 2^{\frac{3}{4}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}$.

2. Scrie ca o singură putere a lui $7$: $\sqrt[4]{7}\cdot \sqrt[3]{7}$, $\frac{\sqrt[5]{7^2}}{\sqrt{7}}$ și ${\left(\sqrt[6]{7}\right)}^3\cdot 7^{-\frac{1}{2}}$.

3. Scrie ca putere a lui $x$, pentru $x>0$: $\sqrt[4]{\sqrt{x}}$, $\sqrt[5]{x^2\cdot \sqrt[3]{x}}$ și $\sqrt{\frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}}$.

4. Adu la o bază comună și calculează $16^{\frac{3}{8}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}$ și $125^{\frac{2}{9}}:5^{\frac{1}{6}}$.

5. Calculează $\sqrt[5]{1215}:\sqrt[5]{5}$ și ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{\frac{1}{3}}\cdot {\left(\frac{9}{25}\right)}^{\frac{1}{3}}$.

6. Scrie în forma cea mai simplă, cu un factor în fața radicalului: $\sqrt[4]{80}$, $\sqrt[5]{486}$ și $\sqrt[6]{128}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $\sqrt[6]{2}\cdot \sqrt[6]{32}$ este natural.

8. Compară, fără calculator, numerele $\sqrt[4]{6}$ și $\sqrt[6]{13}$.

9. Ordonează crescător numerele $\sqrt[4]{7}$, $\sqrt[6]{17}$ și $\sqrt[12]{300}$.

10. Simplifică, pentru $x>0$, expresia $E(x)=\frac{x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{5}{12}}}$ și calculează $E(49)$.

11. Raționalizează numitorii: $\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ și $\frac{6}{\sqrt[5]{9}}$.

12. (Problemă aplicată.) Într-un bazin de încercări se testează macheta unei nave la scara $1:25$. Ca valurile să arate la fel, viteza machetei este viteza navei înmulțită cu ${\left(\frac{1}{25}\right)}^{\frac{1}{2}}$, iar puterea motorului machetei este puterea navei înmulțită cu ${\left(\frac{1}{25}\right)}^{\frac{7}{2}}$. Nava merge cu $10$ m/s și are nevoie de $7812500$ W. Calculează viteza și puterea pentru machetă.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $7^{\frac{1}{2}}\cdot 343^{\frac{1}{6}}=7$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că ${\left(\sqrt[3]{25}\right)}^{\frac{3}{2}}=5$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $\frac{\sqrt[3]{448}}{\sqrt[3]{7}}=4$.

16. Arată că, pentru orice $a>0$, ${\left(a^{\frac{3}{4}}\cdot a^{\frac{2}{5}}\right)}^{\frac{20}{23}}=a$.

17. Arată că ${\left(\sqrt[4]{5}\cdot \sqrt[8]{5}\right)}^{\frac{8}{3}}=5$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $a>0$ și $b>0$, $\frac{a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}{b}^{-\frac{1}{6}}}=\sqrt{ab}$.

Răspunsuri și explicații

1. $23^{\frac{4}{7}+\frac{3}{7}}=23^1=23$; $29^{\frac{11}{6}-\frac{5}{6}}=29^1=29$; $2^{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}=2^2=4$. La al treilea, suma exponenților este $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$.

2. $\sqrt[4]{7}\cdot \sqrt[3]{7}=7^{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}=7^{\frac{7}{12}}$. Apoi $\frac{\sqrt[5]{7^2}}{\sqrt{7}}=7^{\frac{2}{5}-\frac{1}{2}}=7^{-\frac{1}{10}}$. În fine, ${\left(\sqrt[6]{7}\right)}^3\cdot 7^{-\frac{1}{2}}=7^{\frac{3}{6}}\cdot 7^{-\frac{1}{2}}=7^0=1$.

3. $\sqrt[4]{\sqrt{x}}=x^{\frac{1}{8}}$, fiindcă ordinele se înmulțesc. Apoi $x^2\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{7}{3}}$, iar $\sqrt[5]{x^{\frac{7}{3}}}=x^{\frac{7}{15}}$. În fine, $\frac{x^3}{x^{\frac{1}{4}}}=x^{\frac{11}{4}}$ și $\sqrt{x^{\frac{11}{4}}}=x^{\frac{11}{8}}$.

4. $16^{\frac{3}{8}}=2^{4\cdot \frac{3}{8}}=2^{\frac{3}{2}}$ și $4^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}$, deci produsul este $2^2=4$. Apoi $125^{\frac{2}{9}}={\left(5^3\right)}^{\frac{2}{9}}=5^{\frac{2}{3}}$, deci câtul este $5^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$. La primul, fiecare factor era irațional, dar suma exponenților a ieșit întreagă.

5. $\sqrt[5]{1215}:\sqrt[5]{5}=\sqrt[5]{243}=3$. Apoi ${\left(\frac{3}{5}\cdot \frac{9}{25}\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(\frac{27}{125}\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$. În ambele cazuri, exponentul fiind același, bazele s-au înmulțit sau s-au împărțit.

6. $80=2^4\cdot 5$, deci $\sqrt[4]{80}=2\sqrt[4]{5}$; $486=3^5\cdot 2$, deci $\sqrt[5]{486}=3\sqrt[5]{2}$; $128=2^6\cdot 2$, deci $\sqrt[6]{128}=2\sqrt[6]{2}$. De fiecare dată a ieșit de sub radical factorul care apărea la o putere egală cu ordinul, iar restul a rămas sub radical.

7. Adevărat. Același ordin permite unirea sub un singur radical: $\sqrt[6]{2}\cdot \sqrt[6]{32}=\sqrt[6]{64}=2$, pentru că $2^6=64$.

8. Ordinul comun este $12$: $\sqrt[4]{6}=\sqrt[12]{216}$ și $\sqrt[6]{13}=\sqrt[12]{169}$. Cum $216>169$, avem $\sqrt[4]{6}>\sqrt[6]{13}$, deși $6<13$: la ordine diferite, numerele de sub radical nu decid singure.

9. $\sqrt[4]{7}=\sqrt[12]{343}$, $\sqrt[6]{17}=\sqrt[12]{289}$, iar $\sqrt[12]{300}$ are deja ordinul $12$. Din $289<300<343$ rezultă $\sqrt[6]{17}<\sqrt[12]{300}<\sqrt[4]{7}$.

10. Exponentul este $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}-\frac{5}{12}=\frac{9+2-5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, deci $E(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ și $E(49)=7$. Fără simplificare, calculul lui $E(49)$ ar fi cerut trei radicali iraționali ai lui $49$.

11. $\frac{1}{\sqrt[4]{8}}=2^{-\frac{3}{4}}$; amplificăm cu $\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}$ și obținem $\frac{\sqrt[4]{2}}{2}$. Apoi $\sqrt[5]{9}=3^{\frac{2}{5}}$; amplificăm cu $3^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{27}$: $\frac{6\sqrt[5]{27}}{3}=2\sqrt[5]{27}$. De fiecare dată am completat exponentul numitorului până la $1$.

12. ${\left(\frac{1}{25}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}$, deci macheta merge cu $10\cdot \frac{1}{5}=2$ m/s. Apoi ${\left(\frac{1}{25}\right)}^{\frac{7}{2}}={\left({\left(\frac{1}{25}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^7={\left(\frac{1}{5}\right)}^7=\frac{1}{78125}$, deci puterea machetei este $\frac{7812500}{78125}=100$ W. Legea de scară ignoră frecarea cu apa, care nu se scalează la fel; de aceea rezultatele de pe machetă se corectează înainte de a fi aplicate navei.

13. $343=7^3$, deci $343^{\frac{1}{6}}=7^{\frac{3}{6}}=7^{\frac{1}{2}}$. Produsul este $7^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=7$.

14. $\sqrt[3]{25}=5^{\frac{2}{3}}$, iar ${\left(5^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}}=5^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=5^1=5$.

15. Radicalii au același ordin, deci se unesc: $\frac{\sqrt[3]{448}}{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[3]{64}=4$, pentru că $448=7\cdot 64$ și $4^3=64$.

16. $a^{\frac{3}{4}}\cdot a^{\frac{2}{5}}=a^{\frac{15}{20}+\frac{8}{20}}=a^{\frac{23}{20}}$, iar ${\left(a^{\frac{23}{20}}\right)}^{\frac{20}{23}}=a^1=a$.

17. $\sqrt[4]{5}\cdot \sqrt[8]{5}=5^{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=5^{\frac{3}{8}}$, iar ${\left(5^{\frac{3}{8}}\right)}^{\frac{8}{3}}=5^1=5$.

18. Aplicăm regula câtului separat pentru fiecare bază: $a^{\frac{2}{3}-\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{2}}$ și $b^{\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{6}\right)}=b^{\frac{1}{2}}$. Cu puterea unui produs, $a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}=(ab{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{ab}$.

De reținut

• Pentru $a,b>0$ și $r,s$ raționale: $a^r{a}^s=a^{r+s}$, $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$, ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$, $(ab{)}^r=a^r{b}^r$, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$.
• Toate se demonstrează din radicali, cu $\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}$ pentru orice ordin $n$ și cu $\sqrt[p]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[np]{x}$.
• La baze diferite: cu exponent comun, înmulțești bazele; cu baze puteri ale aceluiași număr prim, treci la baza comună.
• Un factor iese de sub radicalul de ordin $n$ dacă apare la puterea $n$: $\sqrt[n]{c^{n}b}=c\sqrt[n]{b}$, cu $c,b\ge 0$.
• Radicalii de ordine diferite se compară după aducerea la ordinul comun, nu după numerele de sub radical.

Greșeli frecvente

• Înmulțești bazele și aduni exponenții în același timp. Scrierea „$2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=6^{\frac{5}{6}}$” amestecă două reguli care cer fiecare altă condiție: aceeași bază sau același exponent. Corect: $\sqrt[6]{2^3}\cdot \sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{72}$.
• Împarți exponentul când treci la baza comună. „$8^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{6}}$” este greșit: $8=2^3$, deci $8^{\frac{1}{2}}=2^{3\cdot \frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$. Exponentul bazei vechi se înmulțește cu exponentul puterii.
• Scoți factorul ca la ordinul 2. „$\sqrt[4]{48}=4\sqrt[4]{3}$” e greșit: $48=2^4\cdot 3$, deci iese $2$, nu $4$. La ordinul patru iese rădăcina de ordinul patru a factorului, nu rădăcina lui pătrată.
• Schimbi ordinul radicalului fără să schimbi numărul de sub el. „$\sqrt[4]{5}=\sqrt[12]{5}$” este greșit: când ordinul se înmulțește cu $3$, numărul de sub radical se ridică la puterea a treia, deci $\sqrt[4]{5}=\sqrt[12]{125}$.
• Uiți modulul la ordin par. „$\sqrt[4]{(-3{)}^4}=-3$” este greșit: un radical de ordin par nu dă rezultat negativ, deci $\sqrt[4]{(-3{)}^4}=\sqrt[4]{81}=3$. Egalitatea $\sqrt[n]{c^n}=c$ cere $c\ge 0$ la ordin par.

Aplică acasă

1. Alege trei numere pozitive și, cu calculatorul telefonului, verifică pentru fiecare că ${\left(a^{0,4}\right)}^{2,5}$ dă $a$ și că $a^{0,3}\cdot a^{0,2}$ dă $\sqrt{a}$. Notează ultimele zecimale afișate: diferențele mici provin din rotunjirile aparatului, nu din reguli. Încearcă apoi aceleași calcule cu o bază negativă și scrie ce afișează telefonul: vei vedea de ce regulile cer baza pozitivă.
2. Caută pe internet masa și luminozitatea a trei stele cunoscute din secvența principală, de exemplu Sirius A, Vega și Altair. Calculează $M^{3,5}$ pentru fiecare și compară cu luminozitatea măsurată. Scrie într-o frază cât de bine se potrivește modelul din Exemplul 5.
3. Cu un coleg, alegeți trei produse de radicali de ordine diferite, cu numere compuse sub radical. Unul calculează prin aducerea la ordin comun, celălalt prin exponenți și descompunere în factori primi, după rețeta din secțiunea 8. Comparați rezultatele și timpul, apoi scrieți care drum a fost mai scurt, la ce pas a apărut prima greșeală, dacă a apărut vreuna, și cum ați prins-o.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă definiția puterii cu exponent rațional într-un instrument de calcul. Accentul cade pe două lucruri: demonstrațiile scurte, care trec prin radicali și prin regula $\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y}$ extinsă la orice ordin, și alegerea strategiei la baze diferite. Regulile pe exponenți reali și comparările prin monotonie vin în lecția următoare a suplimentului; aici comparațiile se fac numai prin aducerea la același ordin.

De urmărit în caiet: scrie elevul fiecare radical ca putere înainte de calcul? Aduce exponenții la numitor comun înainte să-i adune? La o bază compusă, o descompune în factori primi? Întrebări bune de control: „Ce faci cu exponenții la produs și ce faci la puterea unei puteri?”; „Ce se întâmplă cu numărul de sub radical când ordinul crește de trei ori?”; „De ce nu poți compara $\sqrt[3]{3}$ cu $\sqrt[5]{5}$ după $3$ și $5$?”. Semn că tema e stăpânită: elevul verifică o simplificare dând bazei o valoare, de exemplu $x=64$, și calculând ambii membri.

Pentru elevii de științe, lecția are și o miză de citire: formulele de scalare din fizică, biologie sau astronomie se scriu cu exponenți fracționari, iar regulile de aici permit trecerea de la o lege la alta, de exemplu de la luminozitate la durata de viață. Merită cerut, la fiecare model, intervalul în care legea e valabilă.

Programa și examenul. Programa de examen a bacalaureatului M2 (M_șt-nat) pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) cere, la conținuturile clasei a X-a, proprietățile puterilor cu exponent rațional ale unui număr pozitiv nenul și proprietățile radicalului de ordin $n$; pe acest temei exercițiile marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”. În programa nouă pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), care intră la clasa a X-a în 2027–2028, au rămas numai radicalii de ordin 2 și 3, cu proprietățile lor. La proba MAT_P2 din 2030, puterile cu exponent rațional nu mai figurează în programă. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Modelul făcut public pentru sesiunea 2026 nu cere nicăieri exponenți fracționari, așa că exercițiile marcate sunt antrenamente proprii, în limitele programei. Ca număr de ore, planurile-cadru noi (OMEC 4350/2025) dau acestui profil trei ore de matematică pe săptămână, iar programa din 2014 era gândită pentru patru ore la clasa a X-a.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: proprietățile puterilor cu exponent rațional la mate-info. Pasul următor din supliment este lecția despre puterile cu exponent irațional, iar comparările cu exponenți întregi sunt în compararea puterilor cu aceeași bază la M2. Toate cele trei lecții de puteri ale suplimentului sunt verificate împreună de testul unității despre puteri reale și bijectivitate.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre proprietățile puterilor cu exponent rațional?

Varianta M1 demonstrează regulile cu ridicări repetate la puteri mari și insistă pe raționalizări și pe exerciții de tip „numărul este natural”. Varianta M2 le demonstrează prin două reguli ale radicalilor, extinse la orice ordin, pune alături alegerea dintre baza comună și exponentul comun și le folosește într-un model din astronomie și într-o problemă de scară.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 pot apărea proprietățile puterilor cu exponent rațional?

Programa examenului pentru 2027–2029 le trece la materia clasei a X-a, împreună cu proprietățile radicalilor, dar nu le leagă de un anume subiect al lucrării. În modelul oficial publicat pentru 2026 nu apare o cerință cu asemenea puteri. Pentru proba MAT_P2 din 2030, tema nu mai face parte din programă.

Ce aduce lecția față de regulile folosite la funcția exponențială?

În lecția de bază, regulile au fost luate ca proprietăți ale funcției și confirmate cu calculatorul. Aici ele sunt demonstrate pentru exponenți raționali, pornind de la radicali, iar demonstrațiile arată de ce trebuie cerută baza pozitivă. În plus apar scoaterea factorilor de sub radicalul de ordin $n$ și compararea radicalilor de ordine diferite.

De ce ne trebuie regula radicalului de ordin $n$ al unui produs?

Pentru că toate cele cinci proprietăți se reduc la ea. Lecția de bază despre radicali o dă numai pentru ordinele 2 și 3, iar puterile cu exponent rațional produc radicali de orice ordin. Justificarea, printr-o singură ridicare la putere, este aceeași pentru orice ordin, așa că o scrii o dată și o folosești peste tot.

Când aduc la baza comună și când la exponentul comun?

Aduci la baza comună când bazele sunt puteri ale aceluiași număr prim, cum sunt $9$ și $243$, puteri ale lui $3$. Aduci la exponentul comun când bazele nu au legătură, dar exponenții se pot face egali, cum se întâmplă la compararea radicalilor de ordine diferite. Dacă niciuna nu merge, rezultatul rămâne scris ca produs.

Cum verific repede o simplificare cu exponenți fracționari?

Dai bazei o valoare potrivită, care face ambii membri calculabili fără calculator, de exemplu o putere a lui $2$ cu exponentul egal cu numitorul comun. Calculezi membrul inițial și rezultatul simplificării și compari. Dacă nu coincid, reiei pe rând adunarea exponenților, apoi aducerea la numitor comun.