Din $$4{,}3<\sqrt{19}<4{,}4$$ rezultă pentru $$1{,}4^{\sqrt{19}}$$ încadrarea:

$$1{,}4^{4{,}3}<1{,}4^{\sqrt{19}}<1{,}4^{4{,}4}$$

$$1{,}4^{4{,}4}<1{,}4^{\sqrt{19}}<1{,}4^{4{,}3}$$

$$4{,}3\cdot1{,}4<1{,}4^{\sqrt{19}}<4{,}4\cdot1{,}4$$

$$1{,}4^{\sqrt{19}}<1{,}4^{4{,}3}$$

Din $$1{,}73<\sqrt3<1{,}74$$ rezultă pentru $$0{,}7^{\sqrt3}$$ încadrarea:

$$0{,}7^{1{,}74}<0{,}7^{\sqrt3}<0{,}7^{1{,}73}$$

$$0{,}7^{1{,}73}<0{,}7^{\sqrt3}<0{,}7^{1{,}74}$$

$$0{,}7^{\sqrt3}<0{,}7^{1{,}74}$$

Ce eroare are o putere cu exponentul rotunjit?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Exponentul irațional: încadrări și precizie

Eroarea puterii nu este eroarea exponentului: ea crește odată cu mărimea puterii. Exemplu: $1, 41 < 2 < 1, 42$ , deci, cu baza $10$ supraunitară, $1 0^{1, 41} < 1 0^{2} < 1 0^{1, 42}$ , adică între aproximativ $25, 70$ și $26, 30$ . Exponentul e cunoscut cu o sutime, dar puterea cu $0, 60$ , de șaizeci de ori mai mult. Ambele margini se rotunjesc la $26$ , deci $1 0^{2} \approx 26$ este o rotunjire sigură la întregi.

Un exponent irațional nu are numitor, deci nu există un radical care să dea o putere ca $2, 5^{11}$ . Puterea se obține altfel: încadrezi exponentul între două numere raționale, iar puterile lor încadrează rezultatul. Pentru o bază mai mare decât unu, exponentul mai mic dă puterea mai mică; pentru o bază între zero și unu, ordinea se întoarce. Motivul este monotonia puterilor raționale: dacă exponentul crește, puterea se înmulțește cu un factor mai mare decât unu.

Lățimea intervalului este eroarea declarată a rezultatului. Ea nu este egală cu eroarea exponentului, ci depinde de mărimea puterii, așa că pentru o valoare mare îți trebuie mai multe zecimale ale exponentului. Un rezultat se rotunjește la un anumit număr de zecimale numai dacă ambele margini se rotunjesc la fel.

La un exponent negativ, încadrezi întâi exponentul pozitiv și schimbi semnele, ceea ce întoarce ordinea marginilor. Aproximările nu trebuie să fie zecimale: și fracțiile verificate prin pătrate dau încadrări, uneori chiar cu margini exacte. Aceeași tehnică se aplică exponenților măsurați în laborator, care sunt cunoscuți doar între două valori.

De reținut

$r < x < s$ și $a > 1$ dau $a^{r} < a^{x} < a^{s}$ ; pentru $0 < a < 1$ ordinea se întoarce
lățimea intervalului pentru putere crește odată cu mărimea puterii
se rotunjește doar când ambele margini dau același rezultat

Greșeala tipică

Se presupune că exponentul cunoscut cu o sutime dă puterea tot cu o sutime; la $1 0^{2}$ intervalul ajunge la $0, 60$ , iar rezultatul trebuie rotunjit mult mai grosier.

Exerciții din această mini-lecție

Din $4, 3 < 19 < 4, 4$ rezultă pentru $1, 4^{19}$ încadrarea:
- a) $1, 4^{4, 4} < 1, 4^{19} < 1, 4^{4, 3}$
- b) $1, 4^{4, 3} < 1, 4^{19} < 1, 4^{4, 4}$
- c) $4, 3 \cdot 1, 4 < 1, 4^{19} < 4, 4 \cdot 1, 4$
- d) $1, 4^{19} < 1, 4^{4, 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1, 4^{4, 3} < 1, 4^{19} < 1, 4^{4, 4}$

Baza $1, 4$ este supraunitară, deci puterile păstrează ordinea exponenților: $1, 4^{4, 3} < 1, 4^{19} < 1, 4^{4, 4}$ , adică numărul este între aproximativ $4, 25$ și $4, 40$ .
Din $1, 73 < 3 < 1, 74$ rezultă pentru $0, 7^{3}$ încadrarea:
- a) $0, 7^{1, 73} < 0, 7^{3} < 0, 7^{1, 74}$
- b) $0, 7^{3} < 0, 7^{1, 74}$
- c) $0, 7^{1, 74} < 0, 7^{3} < 0, 7^{1, 73}$
- d) $0, 7^{3} > 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0, 7^{1, 74} < 0, 7^{3} < 0, 7^{1, 73}$

Baza $0, 7$ este subunitară, deci ordinea se întoarce: exponentul mai mare dă puterea mai mică. Rezultă $0, 7^{1, 74} < 0, 7^{3} < 0, 7^{1, 73}$ .
Aproximarea prin lipsă cu două zecimale a exponentului $2 - 13$ este:
- a) $- 1, 60$
- b) $- 1, 61$
- c) $1, 60$
- d) $- 1, 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 1, 61$

Din $3, 6 0^{2} = 12, 96 < 13 < 13, 0321 = 3, 6 1^{2}$ rezultă $3, 60 < 13 < 3, 61$ , deci $- 1, 61 < 2 - 13 < - 1, 60$ . Marginea de jos, cu două zecimale, este $- 1, 61$ .

Întrebări conexe

Când pot rotunji sigur la o zecimală puterea $1 0^{2}$ ?

Doar când ambele margini ale încadrării dau aceeași zecimală. Cu $1, 414 < 2 < 1, 415$ marginile sunt $25, 94$ și $26, 00$ , care se rotunjesc diferit. Cu $1, 4142 < 2 < 1, 4143$ ele devin $25, 954$ și $25, 960$ , ambele $26, 0$ , deci $1 0^{2} \approx 26, 0$ .

Cum încadrez $2^{5}$ folosind fracții în loc de zecimale?

Verifici prin pătrate: $2, 2^{2} = 4, 84 < 5 < 5, 0625 = (\frac{9}{4})^{2}$ , deci $2, 2 < 5 < \frac{9}{4}$ . Baza $2$ păstrează ordinea: $2^{2, 2} < 2^{5} < 2^{\frac{9}{4}} = 442$ . Avantajul fracției este că marginea de sus se scrie exact, cu radical, iar numeric intervalul este aproximativ $(4, 59; 4, 76)$ .

Cum încadrez o mărime dacă exponentul ei este măsurat doar aproximativ?

Tratezi exponentul măsurat ca pe un irațional: îl încadrezi și transmiți încadrarea prin monotonie. Dacă $y = 2^{α}$ , iar măsurătoarea dă $1, 9 \leq α \leq 2, 1$ , atunci $2^{1, 9} \leq y \leq 2^{2, 1}$ , adică $y$ este între aproximativ $3, 73$ și $4, 29$ . Incertitudinea lui $y$ este mult mai mare decât a lui $α$ .

Care număr este mai mare, $3^{2}$ sau $3^{1, 5}$ ?

Compari exponenții: $(2)^{2} = 2 < 2, 25 = 1, 5^{2}$ , deci $2 < 1, 5$ . Baza $3$ este supraunitară și păstrează ordinea, așa că $3^{2} < 3^{1, 5} = 33$ . Se poate verifica și cu aproximări: $2 \approx 1, 414$ , iar $3^{1, 414} \approx 4, 73$ este sub $33 \approx 5, 20$ .

De ce $1^{2}$ este exact $1$ ?

Toate puterile raționale ale lui $1$ sunt egale cu $1$ , deci orice încadrare $1^{r} < 1^{2} < 1^{s}$ are ambele margini egale cu $1$ . Intervalul nu are lățime, iar valoarea este exact $1$ . Baza $1$ este singurul caz în care exponentul irațional nu cere nicio aproximare.

Oamenii mai întreabă și: eroarea unei puteri când exponentul e rotunjit · încadrarea unei puteri cu exponent irațional · cât de precisă este o putere cu exponent aproximat · precizia puterii cu exponent irațional

Ce eroare are o putere cu exponentul rotunjit?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Când pot rotunji sigur la o zecimală puterea 102​?

Cum încadrez 25​ folosind fracții în loc de zecimale?

Cum încadrez o mărime dacă exponentul ei este măsurat doar aproximativ?

Care număr este mai mare, 32​ sau 31,5?

De ce 12​ este exact 1?

Continuă cu

Când pot rotunji sigur la o zecimală puterea $1 0^{2}$ ?

Cum încadrez $2^{5}$ folosind fracții în loc de zecimale?

Care număr este mai mare, $3^{2}$ sau $3^{1, 5}$ ?

De ce $1^{2}$ este exact $1$ ?