Puteri cu exponent irațional: aproximări și încadrări (M2, științe ale naturii)

Când un avion zboară, aripile lui sunt încărcate și descărcate de mii de ori, iar o fisură microscopică din metal crește puțin la fiecare ciclu. În încercările de laborator, viteza de creștere a fisurii iese proporțională cu amplitudinea solicitării ridicată la o putere $m$, iar exponentul $m$ se măsoară și este cunoscut doar între două margini, în jurul lui $3$. Cu un asemenea exponent, ca și cu unul irațional, cum sunt $\sqrt{2}$ sau $\pi$, nu mai poți scrie puterea cu un radical. Ce înseamnă atunci o putere de tipul $7^{\sqrt{2}}$ și cât de precis poate fi scris rezultatul ei? În clasa a X-a, la științe ale naturii (M2), această lecție dă sens puterilor cu exponent irațional prin încadrări între puteri cu exponent rațional și arată cum declari eroarea unui rezultat. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține puterile cu exponent irațional; aproximările prin lipsă și prin adaos rămân în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține puterile cu exponent irațional și aproximările raționale pentru numere reale.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: puterea cu exponent irațional e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a X-a (Anexa 28). Folosim trei lucruri pe care le ai deja: aproximările prin lipsă și prin adaos din lecția M2 despre ordonarea numerelor reale și aproximări, definiția puterii cu exponent rațional din lecția de supliment despre exponentul rațional și monotonia exponențialei, justificată în lecția M2 despre proprietățile funcției exponențiale. În lecția M2 despre definiția și graficul exponențialei, valorile de tipul $a^{\sqrt{2}}$ au fost luate de la calculator; aici vedem ce număr stă în spatele lor.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce definiția prin radicali nu mai funcționează când exponentul este irațional și ce o înlocuiește.
• Vei ști să prinzi o putere cu exponent irațional între margini calculabile, pentru baze supraunitare și pentru baze subunitare.
• Vei ști să scrii lângă un rezultat eroarea lui, adică lățimea intervalului în care se află.
• Vei ști să hotărăști câte zecimale ale exponentului îți trebuie pentru o precizie cerută.
• Vei ști să lucrezi cu exponenți iraționali negativi și cu aproximări care nu sunt zecimale, ci fracții.
• Vei ști să folosești încadrarea într-o lege de putere din mecanica materialelor și să verifici ce îți afișează calculatorul.

Hai să descoperim împreună

1. Unde se oprește definiția prin radicali?

Puterea $a^{\frac{m}{n}}$ a fost definită prin radicalul de ordin $n$, iar $n$ este numitorul exponentului. Un număr irațional, cum sunt $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$ sau $\pi$, nu are numitor: nu este câtul a două numere întregi. Prin urmare nu există niciun radical care să dea $7^{\sqrt{2}}$, iar definiția veche nu mai spune nimic. Ce avem în schimb sunt aproximările raționale ale exponentului, cât de strânse vrem.

Puterea cu exponent irațional $a^x$ este, pentru o bază $a>1$ și un exponent irațional $x$, numărul real cuprins între toate puterile $a^r$ și $a^s$, unde $r$ și $s$ sunt numere raționale cu $r<x<s$. Pentru $0<a<1$ se procedează la fel, cu inegalitățile întoarse, iar pentru $a=1$ toate puterile sunt egale cu $1$.

Nivelul acesta, intuitiv, e cel cerut de programa de examen, care vorbește despre „aproximări raționale pentru numere reale”. Faptul că numărul prins între toate aceste puteri există și este unul singur se demonstrează riguros abia la analiza matematică; aici îl vedem cum apare, rând cu rând, dintr-un tabel.

2. De ce se transmite încadrarea de la exponent la putere?

Totul se sprijină pe o proprietate a puterilor cu exponent rațional: pentru $a>1$ și $r<s$ raționale, $a^r<a^s$. Justificarea are două rânduri. Scriem $a^s=a^r\cdot a^{s-r}$, cu regula produsului din lecția anterioară. Exponentul $s-r$ este pozitiv, deci se scrie $\frac{m}{n}$ cu $m,n$ naturale nenule, iar $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ este mai mare decât $1$, pentru că $a^m>1$. Produsul dintre $a^r$, un număr pozitiv, și un factor supraunitar depășește $a^r$.

Este același argument cu care s-a arătat că exponențiala crește, în lecția de bază, doar că aici îl aplicăm numai pe exponenți raționali, cei pentru care puterile sunt deja definite. Consecința este cea care ne trebuie: dacă încadrăm exponentul, $r<x<s$, și baza este supraunitară, atunci puterile $a^r$ și $a^s$ sunt marginile unui interval, iar intervalul se strânge odată cu cel al exponentului.

Monotonia joacă aici rolul unei garanții. Fără ea, o aproximare mai bună a exponentului n-ar spune nimic despre putere: ar putea s-o mute oriunde. Cu ea, fiecare pas de aproximare al exponentului devine un pas de aproximare al puterii, în aceeași direcție. De aceea spunem că monotonia este justificarea intuitivă a construcției: ea transformă o problemă despre un număr fără radical într-una despre puteri pe care le știm calcula.

3. Ce arată, rând cu rând, un tabel de încadrare?

Luăm aproximările prin lipsă $r$ și prin adaos $s$ ale lui $\sqrt{11}=3,31662\dots$, cu tot mai multe zecimale, și baza $2,5$. Fiecare aproximare este o fracție zecimală, deci $2,5^r$ și $2,5^s$ sunt puteri cu exponent rațional, calculate aici cu patru zecimale. Ultima coloană este lățimea intervalului, adică eroarea maximă pe care o faci dacă alegi orice număr din el.

Citește coloanele de sus în jos. Marginile de jos cresc, marginile de sus scad, iar lățimea se micșorează cam de zece ori la fiecare zecimală adăugată exponentului. Figura A arată, pentru două, trei, patru și cinci zecimale, cât se abate fiecare margine de valoarea $2,5^{\sqrt{11}}$, măsurat în sutimi: marginile de jos stau sub axă și urcă spre zero, cele de sus stau deasupra și coboară spre zero. Cele două șiruri de puncte se apropie din părți opuse de același număr, iar distanța dintre ele scade atât de repede încât, de la a patra zecimală, punctele practic ating axa.

4. Câte zecimale ale exponentului cer o precizie dată?

Tabelul răspunde direct. Dacă vrei valoarea lui $2,5^{\sqrt{11}}$ cu o eroare mai mică de $0,01$, cauți primul rând cu lățimea sub $0,01$: al patrulea, adică patru zecimale ale exponentului. Cu trei zecimale, eroarea poate ajunge la aproape două sutimi, prea mult.

Observă că eroarea rezultatului nu este egală cu eroarea exponentului. Exponentul aproximat cu două zecimale greșește cu cel mult $0,01$, dar puterea greșește cu până la $0,19$, de aproape douăzeci de ori mai mult. Motivul este mărimea valorii: o mică schimbare în exponent se traduce într-o schimbare proporțională cu puterea însăși, iar $2,5^{\sqrt{11}}$ este un număr de ordinul lui $20$. Pentru o putere mare, aceeași precizie cerută rezultatului cere mai multe zecimale ale exponentului. În laborator, aceasta este regula de aur: precizia unui rezultat se hotărăște din intervalul în care el sigur se află, nu din numărul de cifre afișate de aparat.

5. Ce margine dă aproximarea prin lipsă când baza e subunitară?

Pentru $0<a<1$, argumentul din secțiunea 2 se întoarce: un exponent pozitiv dă o putere mai mică decât $1$, deci din $r<s$ rezultă $a^r>a^s$. Aproximarea prin lipsă a exponentului dă acum marginea de sus a puterii, iar aproximarea prin adaos dă marginea de jos. Pentru $0,3^{\sqrt{5}}$, din $2,2<\sqrt{5}<2,3$ rezultă $0,3^{2,3}<0,3^{\sqrt{5}}<0,3^{2,2}$, adică numărul este între aproximativ $0,0627$ și $0,0707$.

Construcția rămâne aceeași; se schimbă doar care capăt e jos și care e sus. De aceea, înainte să scrii o încadrare, spune în cuvinte dacă baza este mai mare sau mai mică decât $1$. Un control rapid: pentru o bază subunitară, toate puterile cu exponent pozitiv sunt sub $1$, iar cele cu exponent mai mare sunt mai aproape de zero.

O a doua întoarcere apare la exponenții negativi. Ca să încadrezi $4^{-\sqrt{5}}$, pornești de la $2,23<\sqrt{5}<2,24$ și schimbi semnele: $-2,24<-\sqrt{5}<-2,23$. Aproximarea prin lipsă a lui $-\sqrt{5}$ este deci $-2,24$, opusa aproximării prin adaos a lui $\sqrt{5}$. Baza $4$ fiind supraunitară, $4^{-2,24}<4^{-\sqrt{5}}<4^{-2,23}$, adică numărul este între aproximativ $0,0448$ și $0,0454$.

6. Trebuie să fie aproximările numere zecimale?

Nu. Orice fracții care încadrează exponentul dau o încadrare a puterii, iar numărul prins la limită este același. Pentru $\sqrt{11}$ sunt comode fracțiile $\frac{33}{10}$, $\frac{63}{19}$ și $\frac{10}{3}$. Verificarea se face prin pătrate: ${\left(\frac{63}{19}\right)}^2=\frac{3969}{361}<11$, fiindcă $11\cdot 361=3971$, iar ${\left(\frac{10}{3}\right)}^2=\frac{100}{9}>11$, fiindcă $11\cdot 9=99$. Deci $\frac{63}{19}<\sqrt{11}<\frac{10}{3}$, iar $2,5^{\frac{63}{19}}<2,5^{\sqrt{11}}<2,5^{\frac{10}{3}}$.

Unele fracții dau margini scrise exact: $2,5^{\frac{10}{3}}=2,5^3\cdot \sqrt[3]{2,5}$, de exemplu, se scrie cu un singur radical de ordinul trei. Altele, ca $\frac{63}{19}$, sunt foarte apropiate de exponent, dar duc la radicali de ordin mare. Alegi după scop: margini exacte pentru o demonstrație, margini strânse pentru o valoare numerică.

7. Ce spune semnul „$\approx$” despre un rezultat?

Când scrii un rezultat rotunjit, promiți că toate numerele din intervalul lui de încadrare se rotunjesc la fel. Din ultimul rând al tabelului, ambele margini, $20,8841$ și $20,8843$, se rotunjesc la $20,88$, deci poți scrie $2,5^{\sqrt{11}}\approx 20,88$ cu două zecimale sigure. Din rândul al patrulea nu poți încă, deși eroarea lui e sub o sutime: $20,8837$ se rotunjește la $20,88$, dar $20,8856$ la $20,89$. O eroare mică nu garantează singură cifrele; contează și unde cade intervalul față de pragul de rotunjire.

Două lucruri rămân ca la exponentul rațional. Baza trebuie să fie pozitivă (baza $0$ se admite doar cu exponent pozitiv, iar rezultatul este atunci $0$): pentru o bază negativă, printre aproximările exponentului apar fracții cu numitor par, iar puterile corespunzătoare nici nu există. Rezultatul este strict pozitiv, fiindcă stă între două numere pozitive.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Încadrarea lui $1,9^{\sqrt{17}}$ în doi pași

Folosind valorile $1,9^{4,1}\approx 13,8960$, $1,9^{4,2}\approx 14,8172$, $1,9^{4,12}\approx 14,0755$ și $1,9^{4,13}\approx 14,1662$, încadrați $1,9^{\sqrt{17}}$ întâi cu aproximările cu o zecimală ale lui $\sqrt{17}$, apoi cu cele cu două zecimale, și scrieți eroarea fiecărei încadrări.

Rezolvare. Din $4,1^2=16,81<17<17,64=4,2^2$ rezultă $4,1<\sqrt{17}<4,2$. Baza $1,9$ este supraunitară, deci $1,9^{4,1}<1,9^{\sqrt{17}}<1,9^{4,2}$, adică $1,9^{\sqrt{17}}$ este între $13,8960$ și $14,8172$; eroarea este $14,8172-13,8960=0,9212$, iar partea întreagă poate fi $13$ sau $14$.

Din $4,12^2=16,9744<17<17,0569=4,13^2$ rezultă $4,12<\sqrt{17}<4,13$, deci $1,9^{\sqrt{17}}$ este între $14,0755$ și $14,1662$, cu eroarea $14,1662-14,0755=0,0907$. Partea întreagă este acum sigură: $14$.

Exemplul 2 — Câte zecimale îi trebuie exponentului?

Un program calculează $3^{\sqrt{7}}$ și dă următoarele margini, pentru aproximările lui $\sqrt{7}=2,64575\dots$: cu o zecimală, $17,3986$ și $19,4190$; cu două, $18,1803$ și $18,3811$; cu trei, $18,2804$ și $18,3005$. Câte zecimale ale exponentului sunt necesare pentru ca eroarea să fie sub $0,05$? Ce valoare rotunjită poți scrie atunci?

Rezolvare. Lățimile sunt $19,4190-17,3986=2,0204$, apoi $18,3811-18,1803=0,2008$, apoi $18,3005-18,2804=0,0201$. Primul rând cu lățimea sub $0,05$ este al treilea, deci sunt necesare trei zecimale ale exponentului.

Din $18,2804<3^{\sqrt{7}}<18,3005$, ambele margini se rotunjesc la $18,3$, deci $3^{\sqrt{7}}\approx 18,3$, cu o zecimală sigură. Pentru două zecimale sigure ar mai trebui o zecimală a exponentului.

Exemplul 3 — Bază subunitară: marginile se inversează

Încadrați $0,35^{\sqrt{6}}$ folosind $2,44<\sqrt{6}<2,45$ și valorile $0,35^{2,44}\approx 0,07718$, $0,35^{2,45}\approx 0,07638$.

Rezolvare. Încadrarea exponentului se verifică prin pătrate: $2,44^2=5,9536<6<6,0025=2,45^2$. Baza $0,35$ este între $0$ și $1$, deci ordinea se întoarce: exponentul mai mare dă puterea mai mică. Din $2,44<\sqrt{6}<2,45$ rezultă $0,35^{2,45}<0,35^{\sqrt{6}}<0,35^{2,44}$, adică $0,07638<0,35^{\sqrt{6}}<0,07718$.

Eroarea este $0,07718-0,07638=0,0008$. Ambele margini se rotunjesc la $0,08$ cu două zecimale, deci $0,35^{\sqrt{6}}\approx 0,08$. Aici puterea este mică, sub $1$, iar eroarea ei a ieșit chiar mai mică decât eroarea exponentului.

Exemplul 4 — Margini exacte, cu fracții

a) Arătați că $\frac{4}{3}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$ și deduceți că $256<64^{\sqrt{2}}<512$. b) Comparați această încadrare cu cea dată de $1,4<\sqrt{2}<1,5$.

Rezolvare. a) ${\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}<2<\frac{9}{4}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$, iar numerele fiind pozitive, $\frac{4}{3}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$. Baza $64$ este supraunitară, deci $64^{\frac{4}{3}}<64^{\sqrt{2}}<64^{\frac{3}{2}}$. Cum $64^{\frac{4}{3}}={\left(\sqrt[3]{64}\right)}^4=4^4=256$ și $64^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{64}\right)}^3=8^3=512$, obținem $256<64^{\sqrt{2}}<512$. Marginile sunt exacte, fără calculator.

b) $64^{1,4}=64^{\frac{7}{5}}=2^{\frac{42}{5}}=256\sqrt[5]{4}\approx 337,794$, iar $64^{1,5}=512$, aceeași margine de sus. Marginea de jos este mai strânsă decât $256$, pentru că $1,4>\frac{4}{3}$. Încadrarea cu fracții a dat numere simple; cea zecimală a dat un interval mai îngust.

Exemplul 5 — Cât de repede crește o fisură în metal

La încercările de oboseală ale unui aliaj de aluminiu folosit la aripile avioanelor, viteza de creștere a unei fisuri, măsurată în micrometri pe ciclu de încărcare, este $v=C\cdot S^m$, unde $S$ este amplitudinea solicitării, $C$ o constantă a materialului, iar exponentul $m$, măsurat pe mai multe epruvete, este cuprins între $2,9$ și $3,1$. a) De câte ori crește viteza fisurii dacă amplitudinea crește cu $20\%$? Folosiți $1,2^{2,9}\approx 1,6968$ și $1,2^{3,1}\approx 1,7598$. b) Dar dacă amplitudinea crește de $1,5$ ori, cu $1,5^{2,9}\approx 3,2409$ și $1,5^{3,1}\approx 3,5147$?

Rezolvare. a) Raportul vitezelor este $\frac{C(1,2S{)}^m}{C{S}^m}=1,2^m$, pentru că puterea unui produs se desface în produsul puterilor, iar $C$ și $S^m$ se simplifică. Baza $1,2$ este supraunitară și $2,9\le m\le 3,1$, deci $1,2^{2,9}\le 1,2^m\le 1,2^{3,1}$: viteza crește de un număr de ori cuprins între $1,6968$ și $1,7598$, cu eroarea declarată $1,7598-1,6968=0,063$. O solicitare cu doar o cincime mai mare aproape dublează ritmul de creștere a fisurii.

b) La fel, factorul $1,5^m$ este între $3,2409$ și $3,5147$, cu o eroare de aproape trei zecimi. Incertitudinea exponentului se vede mai tare la raportul mai mare. Legea este valabilă pentru fisurile de lungime medie, după ce au apărut și până aproape de rupere; figura B așază cele două intervale pe axă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Arătați că $16<4^{\sqrt{6}}<32$.

Rezolvare. Din $4<6<\frac{25}{4}$ și din faptul că numerele sunt pozitive rezultă $2<\sqrt{6}<\frac{5}{2}$. Baza $4$ este supraunitară, deci $4^2<4^{\sqrt{6}}<4^{\frac{5}{2}}$. Cum $4^2=16$ și $4^{\frac{5}{2}}={\left(\sqrt{4}\right)}^5=32$, rezultă $16<4^{\sqrt{6}}<32$. Cerința este un antrenament compus de noi, în forma unei cerințe scurte; redactarea cere scrierea explicită a încadrării exponentului înainte de concluzie.

Să exersăm

Scrie la fiecare încadrare dacă baza este mai mare sau mai mică decât $1$. Valorile aproximative date în enunțuri sunt rotunjite la numărul de zecimale scris.

1. Încadrează $\sqrt{15}$ între două numere cu o zecimală și apoi între două numere cu două zecimale, apoi încadrează $3^{\sqrt{15}}$ de două ori, știind că $3^{3,8}\approx 65,0221$, $3^{3,9}\approx 72,5726$, $3^{3,87}\approx 70,2197$ și $3^{3,88}\approx 70,9954$.

2. Știind că $5^{3,16}\approx 161,7131$, $5^{3,17}\approx 164,3368$, $5^{3,162}\approx 162,2345$ și $5^{3,163}\approx 162,4958$, determină partea întreagă a lui $5^{\sqrt{10}}$ și explică de ce două zecimale ale exponentului nu ajung.

3. Încadrează ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{\sqrt{5}}$ folosind $2,23<\sqrt{5}<2,24$ și valorile ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2,23}\approx 0,01840$, ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2,24}\approx 0,01807$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $7,5^{\sqrt{2}}$ este cuprins între $17$ și $18$. Poți folosi $7,5^{1,41}\approx 17,1331$ și $7,5^{1,42}\approx 17,4818$.

5. Încadrează $9^{-\sqrt{7}}$ cu aproximările cu două zecimale ale lui $\sqrt{7}$, folosind valorile $9^{-2,65}\approx 0,00296$ și $9^{-2,64}\approx 0,00303$.

6. Cu cât greșești cel mult dacă scrii $17^{1,73}$ în loc de $17^{\sqrt{3}}$? Folosește $17^{1,73}\approx 134,4859$ și $17^{1,74}\approx 138,3506$.

7. (Problemă aplicată.) Într-o sală cu ecou, intensitatea sunetului scade cu distanța după legea $I=I_0\cdot d^{-p}$, iar la dublarea distanței rămâne fracțiunea $2^{-p}$. Se dau $2^{-1,9}\approx 0,2679$, $2^{-1,95}\approx 0,2588$, $2^{-2,05}\approx 0,2415$ și $2^{-2,1}\approx 0,2333$. Arată că, pentru orice $p$ cuprins între $1,95$ și $2,05$, fracțiunea este între $0,24$ și $0,26$, iar la capetele $p=1,9$ și $p=2,1$ iese din acest interval. Justifică prin monotonie.

8. Care dintre numerele următoare sunt puteri cu exponent irațional după simplificarea exponentului: ${\left(\sqrt{2}\right)}^3$, $3^{\sqrt{4}}$, $2^{\sqrt{8}-\sqrt{2}}$, $5^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}$?

9. Arată, fără calculator, că $0<0,45^{\sqrt{3}}<0,45$.

10. Scrie cu radicali marginile încadrării lui $14^{\sqrt{2}}$ date de aproximările cu o zecimală ale lui $\sqrt{2}$ și verifică, cu $14^{1,4}\approx 40,2327$ și $14^{1,5}\approx 52,3832$, că intervalul este foarte larg.

11. Încadrează $0,5^{1-\sqrt{3}}$, știind că $0,5^{-0,74}\approx 1,6702$ și $0,5^{-0,73}\approx 1,6586$. Explică de ce, față de încadrarea lui $\sqrt{3}$, ordinea marginilor se întoarce de două ori.

12. Arată, prin ridicare la pătrat, că $\frac{19}{11}<\sqrt{3}<\frac{26}{15}$ și scrie încadrarea lui $3,5^{\sqrt{3}}$ pe care o dau aceste fracții, știind că $3,5^{\frac{19}{11}}\approx 8,7047$ și $3,5^{\frac{26}{15}}\approx 8,7710$. Compară lățimea cu cea dată de $1,73<\sqrt{3}<1,74$, care este aproximativ $0,1101$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $0,25^{\sqrt{2}}>\frac{1}{8}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $1<3^{\sqrt{3}-1}<3$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că $5^{-\sqrt{2}}<\frac{1}{5}$.

16. Încadrează $1,8^{\pi }$ întâi cu $3,14<\pi <3,15$, știind că $1,8^{3,14}\approx 6,3322$ și $1,8^{3,15}\approx 6,3695$, apoi cu $3,141<\pi <3,142$, știind că $1,8^{3,141}\approx 6,3359$ și $1,8^{3,142}\approx 6,3397$. Care dintre cele două încadrări îți permite să scrii $1,8^{\pi }$ rotunjit la două zecimale?

17. Scrie aproximările cu două zecimale ale exponentului $1+\sqrt{2}$ și încadrează $6^{1+\sqrt{2}}$, știind că $6^{2,41}\approx 75,049$ și $6^{2,42}\approx 76,406$. Este sigură partea întreagă?

18. (Provocare.) Fie $a>1$ și $r_1<r_2<r_3<\dots$ aproximările prin lipsă ale unui număr irațional $x$. Arată că $a^{r_1}<a^{r_2}<a^{r_3}<\dots <a^x$ și explică de ce șirul marginilor de sus, $a^{s_1}$, $a^{s_2}$, …, este descrescător.

Răspunsuri și explicații

1. Din $3,8^2=14,44<15<15,21=3,9^2$ rezultă $3,8<\sqrt{15}<3,9$; din $3,87^2=14,9769<15<15,0544=3,88^2$ rezultă $3,87<\sqrt{15}<3,88$. Baza $3$ este supraunitară, deci $65,0221<3^{\sqrt{15}}<72,5726$ și apoi $70,2197<3^{\sqrt{15}}<70,9954$. Lățimile sunt $7,5505$ și $0,7757$.

2. Din $3,16^2=9,9856<10<10,0489=3,17^2$ rezultă $3,16<\sqrt{10}<3,17$, iar baza $5$ este supraunitară, deci $161,7131<5^{\sqrt{10}}<164,3368$: partea întreagă poate fi oricare dintre $161$, $162$, $163$ și $164$. Din $3,162^2=9,998244<10<10,004569=3,163^2$ rezultă $162,2345<5^{\sqrt{10}}<162,4958$, deci partea întreagă este sigur $162$. Intervalul de la două zecimale conținea numerele întregi $162$, $163$ și $164$, iar încadrarea nu putea hotărî între ele.

3. Din $2,23<\sqrt{5}<2,24$ și baza $\frac{1}{6}$ subunitară, ordinea se întoarce: $0,01807<{\left(\frac{1}{6}\right)}^{\sqrt{5}}<0,01840$, cu eroarea $0,01840-0,01807=0,00033$. Ambele margini se rotunjesc la $0,02$, deci numărul este aproximativ $0,02$.

4. Adevărat. Din $1,41<\sqrt{2}<1,42$ și baza supraunitară, $17,1331<7,5^{\sqrt{2}}<17,4818$, iar întregul interval este între $17$ și $18$.

5. Din $2,64^2=6,9696<7<7,0225=2,65^2$ rezultă $2,64<\sqrt{7}<2,65$, deci $-2,65<-\sqrt{7}<-2,64$. Baza $9$ este supraunitară, deci $0,00296<9^{-\sqrt{7}}<0,00303$. Aceeași încadrare se obține din $9^{-\sqrt{7}}=\frac{1}{9^{\sqrt{7}}}$: inversarea unor numere pozitive întoarce inegalitățile.

6. Din $1,73<\sqrt{3}<1,74$, numerele $17^{\sqrt{3}}$ și $17^{1,73}$ sunt amândouă în intervalul dintre $17^{1,73}$ și $17^{1,74}$, deci eroarea este cel mult $138,3506-134,4859=3,8647$. Deși exponentul a fost rotunjit cu mai puțin de o sutime, rezultatul poate greși cu aproape patru unități, pentru că puterea este de ordinul sutelor.

7. Baza $2$ este supraunitară, deci $2^{-p}$ scade când $p$ crește. Pentru $p=1,95$ fracțiunea este $0,2588$, sub $0,26$, iar pentru $p=2,05$ este $0,2415$, peste $0,24$. Orice $p$ dintre $1,95$ și $2,05$ dă, prin monotonie, o fracțiune între $0,2415$ și $0,2588$, deci în intervalul cerut. La capete fracțiunea iese din interval: $0,2679>0,26$ și $0,2333<0,24$. Legea ideală, cu $p=2$, dă $2^{-2}=0,25$, iar constanta $I_0$ nu intervine, pentru că se simplifică în raport.

8. ${\left(\sqrt{2}\right)}^3=2\sqrt{2}$ are exponentul $3$, rațional; $3^{\sqrt{4}}=3^2=9$, exponent rațional; $\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$, deci $2^{\sqrt{8}-\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}}$ are exponent irațional; $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$, deci $5^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}=5^4=625$. Un singur număr are exponent irațional, al treilea.

9. Orice putere cu bază pozitivă este pozitivă, deci $0,45^{\sqrt{3}}>0$. Apoi $\sqrt{3}>1$, iar baza $0,45$ este subunitară, deci exponentul mai mare dă puterea mai mică: $0,45^{\sqrt{3}}<0,45^1=0,45$.

10. $14^{1,4}=14^{\frac{7}{5}}=\sqrt[5]{14^7}=\sqrt[5]{105413504}$ și $14^{1,5}=14^{\frac{3}{2}}=14\sqrt{14}$. Intervalul are lățimea $52,3832-40,2327=12,1505$, adică mai mult de un sfert din valoare: o singură zecimală a exponentului e prea puțin pentru o bază mare.

11. Din $1,73<\sqrt{3}<1,74$ rezultă $-0,74<1-\sqrt{3}<-0,73$: prima întoarcere, la schimbarea semnului. Baza $0,5$ este subunitară, deci ordinea se întoarce a doua oară: exponentul $-0,73$, cel mai mare, dă puterea cea mai mică. Rezultă $1,6586<0,5^{1-\sqrt{3}}<1,6702$. Control: $0,5^{1-\sqrt{3}}=2^{\sqrt{3}-1}$, o bază supraunitară cu exponent pozitiv, deci un număr mai mare decât $1$, cum a ieșit.

12. $19^2=361<363=3\cdot 11^2$, deci ${\left(\frac{19}{11}\right)}^2<3$; $26^2=676>675=3\cdot 15^2$, deci ${\left(\frac{26}{15}\right)}^2>3$. Prin urmare $\frac{19}{11}<\sqrt{3}<\frac{26}{15}$ și, baza $3,5$ fiind supraunitară, $8,7047<3,5^{\sqrt{3}}<8,7710$. Lățimea, $8,7710-8,7047=0,0663$, este mai mică decât $0,1101$, deși fracțiile au numitori mici: intervalul dintre $\frac{19}{11}$ și $\frac{26}{15}$ are lungimea $\frac{1}{165}$, adică sub o sutime, deci este mai scurt decât cel dintre $1,73$ și $1,74$.

13. Din $2<\frac{9}{4}$ rezultă $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$. Baza $0,25$ este subunitară, deci $0,25^{\sqrt{2}}>0,25^{\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{0,25}\right)}^3=0,5^3=\frac{1}{8}$.

14. Din $1<3<4$ rezultă $1<\sqrt{3}<2$, deci $0<\sqrt{3}-1<1$. Baza $3$ este supraunitară, deci $3^0<3^{\sqrt{3}-1}<3^1$, adică $1<3^{\sqrt{3}-1}<3$.

15. $\sqrt{2}>1$, deci $-\sqrt{2}<-1$. Baza $5$ este supraunitară, deci $5^{-\sqrt{2}}<5^{-1}=\frac{1}{5}$.

16. Baza $1,8$ este supraunitară. Prima încadrare dă $6,3322<1,8^{\pi }<6,3695$: marginile se rotunjesc la $6,33$ și la $6,37$, deci nu poți scrie încă două zecimale. A doua dă $6,3359<1,8^{\pi }<6,3397$, iar ambele margini se rotunjesc la $6,34$: $1,8^{\pi }\approx 6,34$, cu două zecimale sigure.

17. Din $1,41<\sqrt{2}<1,42$ rezultă $2,41<1+\sqrt{2}<2,42$. Baza $6$ este supraunitară, deci $75,049<6^{1+\sqrt{2}}<76,406$. Partea întreagă nu este încă sigură: intervalul conține numărul $76$, deci valoarea poate fi $75,\dots$ sau $76,\dots$. Mai trebuie o zecimală a exponentului.

18. Aproximările prin lipsă cresc, $r_1<r_2<\dots$, și toate sunt mai mici decât $x$. Pentru $a>1$, puterile cu exponent rațional păstrează ordinea, deci $a^{r_1}<a^{r_2}<a^{r_3}<\dots$, iar fiecare $a^{r_k}$ este sub $a^x$, după definiție. Aproximările prin adaos scad, $s_1>s_2>\dots$, deci puterile lor scad și ele: $a^{s_1}>a^{s_2}>\dots$, toate deasupra lui $a^x$.

De reținut

• Pentru $a>1$ și $x$ irațional, $a^x$ este numărul prins între toate puterile $a^r$ și $a^s$ cu $r<x<s$ raționale; pentru $0<a<1$ inegalitățile se întorc, iar $1^x=1$.
• Încadrarea se transmite de la exponent la putere prin monotonie: $a^s=a^r\cdot a^{s-r}$, iar $a^{s-r}>1$ pentru $a>1$ și $s>r$.
• Lățimea intervalului este eroarea declarată; eroarea puterii nu este eroarea exponentului, ci crește odată cu mărimea puterii.
• Un rezultat se rotunjește la $d$ zecimale numai dacă ambele margini ale încadrării se rotunjesc la fel.
• La exponent negativ, aproximarea prin lipsă a lui $-x$ este opusa aproximării prin adaos a lui $x$; aproximările pot fi și fracții, nu doar zecimale.

Greșeli frecvente

• Crezi că eroarea rezultatului este cât eroarea exponentului. Dacă pentru $20^{\sqrt{2}}$ folosești exponentul $1,41$, greșit cu mai puțin de o sutime, rezultatul poate greși cu peste două unități, fiindcă $20^{1,42}-20^{1,41}\approx 2,08$. Eroarea se citește din lățimea încadrării, nu din cea a exponentului.
• Iei opusele aproximărilor fără să le schimbi locul. Pentru $-\sqrt{6}$, aproximarea prin lipsă cu două zecimale este $-2,45$, nu $-2,44$: schimbarea semnului întoarce ordinea, iar marginea de jos devine cea care avea modulul mai mare.
• Confunzi $2,5^{\sqrt{11}}$ cu $2,5\sqrt{11}$. Primul este o putere, aproximativ $20,88$; al doilea este un produs, aproximativ $8,29$. La calculator, prima scriere cere tasta de putere cu $\sqrt{11}$ în exponent.
• Crezi că baza zero nu admite exponent irațional. Pentru un exponent pozitiv, $0^{\sqrt{3}}=0$, pentru că toate puterile raționale care îl încadrează sunt zero. Nu are sens doar $0$ ridicat la un exponent negativ.
• Calculezi lățimea intervalului ca o putere a diferenței exponenților. Din $5^{2,23}<5^{\sqrt{5}}<5^{2,24}$ nu rezultă că lățimea este $5^{0,01}\approx 1,016$. Lățimea este diferența puterilor, $5^{2,24}-5^{2,23}\approx 0,5873$, pentru că regula câtului dă un raport, nu o diferență.

Aplică acasă

1. Măsoară cu rigla latura și diagonala unei plăci pătrate de gresie. Împarte diagonala la latură și compară cu $\sqrt{2}$: cu câte miimi diferă? Calculează apoi, la telefon, $11^q$ pentru raportul $q$ măsurat și $11^{\sqrt{2}}$, și scrie cât de mare este diferența dintre ele, comparată cu diferența dintre exponenți.
2. Alege o putere cu exponent irațional, de exemplu cu exponentul $\sqrt{7}$ sau $\pi$, și calculeaz-o pe două aplicații diferite, de exemplu calculatorul telefonului și o foaie de calcul. Numără câte cifre coincid și află, din setări, câte zecimale folosește fiecare. Scrie rezultatul cu atâtea zecimale câte sunt sigure pe ambele.
3. Jocul exponentului ascuns: un coleg alege în gând unul dintre numerele $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$ și îți spune doar încadrări tot mai strânse ale lui $2^x$, calculate de el. Ghicește exponentul din cât mai puține încadrări, apoi inversați rolurile.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima din traseul M2 în care un număr este definit printr-un proces de apropiere, nu printr-o formulă. Nivelul este intuitiv, cum îl cere și programa: tabele de încadrare, monotonia puterilor raționale ca justificare și citirea preciziei. Noutatea pentru elevul de științe este eroarea declarată: fiecare rezultat vine cu intervalul în care se află, iar numărul de zecimale scrise se hotărăște din acel interval.

De urmărit în caiet: spune elevul, înainte de încadrare, dacă baza este mai mare sau mai mică decât $1$? Scrie aproximările exponentului cu verificarea prin pătrate? La exponent negativ, pune marginile în ordinea corectă? Rotunjește numai când ambele margini dau aceeași valoare? O întrebare bună de control: „de ce rândul cu eroarea sub o sutime nu dă încă două zecimale sigure pentru $2,5^{\sqrt{11}}$?”. Regulile de calcul cu exponenți reali și comparările sistematice urmează în lecția următoare a suplimentului; aici monotonia servește doar la încadrare.

Programa și examenul. Programa de examen pentru bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a X-a, „proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale”, de aceea exercițiile marcate sunt „tip Bacalaureat M2”. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, Anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, nu mai are puterile cu exponent irațional; aproximările prin lipsă și prin adaos au rămas la clasa a IX-a, în capitolul despre mulțimea numerelor reale. Programa probei MAT_P2 din 2030 nu conține puterile cu exponent irațional. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 nu are o cerință cu puteri cu exponent irațional; exercițiile marcate aici sunt antrenamente proprii, în limitele programei. Programa nouă prevede trei ore de matematică pe săptămână la acest profil (planurile-cadru, OMEC 4350/2025), față de patru ore la clasa a X-a în programa de examen din 2014.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: puterile cu exponent irațional la mate-info. Pasul următor din supliment este lecția despre regulile de calcul cu puteri reale, iar pasul dinainte, proprietățile puterilor cu exponent rațional. Toate lecțiile de puteri ale suplimentului sunt verificate de testul unității despre puteri reale și bijectivitate.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre puterile cu exponent irațional?

Varianta M1 construiește tabelul lui $2^{\sqrt{2}}$ și pune accent pe unicitatea numărului prins între margini. Varianta M2 pornește de la aproximările din clasa a IX-a, adaugă la fiecare încadrare eroarea declarată, întreabă câte zecimale ale exponentului cer o precizie dată și lucrează și cu exponenți negativi, cu fracții și cu exponenți măsurați în laborator.

La ce subiect al Bacalaureatului M2 pot apărea puterile cu exponent irațional?

Programa examenului pentru 2027–2029 le numește la materia clasei a X-a, împreună cu aproximările raționale, fără să le lege de un anumit subiect. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință cu asemenea puteri. Pentru proba MAT_P2 din 2030, puterile cu exponent irațional nu mai fac parte din programă.

Ce legătură are lecția cu aproximările din clasa a IX-a?

Anul trecut, la M2, ai găsit pentru numere ca $\sqrt{13}$ o aproximare de jos și una de sus, cu eroarea lor. Aici le folosești ca exponenți: fiecare pereche de aproximări produce două puteri care încadrează rezultatul. Eroarea exponentului devine astfel o eroare a puterii, de altă mărime.

Cum calculează calculatorul o putere cu exponent irațional?

Nu construiește tabele de încadrare, ci folosește algoritmi care trec prin logaritmi și dau rapid multe zecimale. Numărul calculat este însă același pe care îl prind încadrările din lecție. Calculatorul lucrează cu un număr finit de cifre, așa că și afișajul lui este tot o aproximare, cu o eroare foarte mică.

Ce se întâmplă cu încadrarea dacă exponentul irațional este negativ?

Încadrezi întâi exponentul pozitiv, apoi schimbi semnele, ceea ce întoarce ordinea: din $1,73<\sqrt{3}<1,74$ rezultă $-1,74<-\sqrt{3}<-1,73$. Apoi aplici regula bazei, exact ca la un exponent pozitiv. Poți verifica rezultatul și prin inversare, fiindcă puterea cu exponent negativ este inversul puterii cu exponent pozitiv, iar inversarea numerelor pozitive întoarce inegalitățile.

Câte zecimale ale exponentului sunt de ajuns în practică?

Nu există un număr fix: te oprești când ambele margini ale încadrării se rotunjesc la fel la precizia cerută. La $2,5^{\sqrt{11}}$, rândul cu patru zecimale are deja lățimea sub o sutime, dar marginile lui cad de o parte și de alta a pragului $20,885$, așa că abia rândul următor dă două zecimale sigure. Contează deci și unde cade intervalul față de prag, nu doar cât de îngust este.