Cum transform un exponent zecimal în radical?

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Exponentul rațional: definiție și condiții

O putere cu exponent fracționar se citește printr-un radical. Pentru o bază $a>0$, numitorul exponentului fixează ordinul radicalului, numărătorul fixează puterea: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$. Drumul comod este întâi radicalul, apoi puterea, pentru că lucrezi cu numere mici; baza se descompune mai întâi în factori primi.

Condiția asupra bazei nu e un detaliu. La o bază negativă regula puterii unei puteri s-ar contrazice singură, iar la numitor par nici nu există un număr real potrivit. Baza zero se admite numai cu exponent pozitiv și dă zero. Cu o bază pozitivă, rezultatul este mereu strict pozitiv, iar un minus în exponent trimite la invers.

Fracția $\frac{6}{8}$ și fracția $\frac{3}{4}$ dau aceeași putere: scrierea exponentului nu schimbă rezultatul. În științe, exponenții apar ca zecimale, de exemplu $1,5$ sau $0,4$, pentru că provin din măsurători; înainte de calcul îi transformi în fracții ireductibile și abia apoi citești ordinul radicalului. Un rezultat se controlează fără calculator: dacă $a^{\frac{m}{n}}=b$, atunci $a^m=b^n$. Într-o lege de putere, schimbarea variabilei de $\lambda$ ori schimbă mărimea de ${\lambda }^p$ ori, iar constanta legii dispare din raport.

De reținut

• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$, pentru $a>0$
• exponentul zecimal se scrie întâi ca fracție ireductibilă
• controlul: $a^{\frac{m}{n}}=b$ exact când $a^m=b^n$

Greșeala tipică

Se înmulțește baza cu exponentul, ca în $16^{0,75}=12$; exponentul nu este un factor, iar rezultatul corect este $8$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Valoarea numărului $1331^{\frac{2}{3}}$ este:

   • a) $121$
   • b) $\frac{2662}{3}$
   • c) $11$
   • d) $1331$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $121$

   $1331=11^3$, deci $\sqrt[3]{1331}=11$, iar $11^2=121$. Varianta a doua vine din înmulțirea bazei cu exponentul, o greșeală de citire.

2. Pentru $a>0$, numărul $\sqrt[9]{a^4}$ scris ca putere este:

   • a) $a^{\frac{9}{4}}$
   • b) $a^{36}$
   • c) $a^{\frac{4}{9}}$
   • d) $a^5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a^{\frac{4}{9}}$

   Ordinul radicalului, $9$, trece la numitor, iar puterea de sub radical, $4$, la numărător: $\sqrt[9]{a^4}=a^{\frac{4}{9}}$.

3. Care dintre scrierile următoare NU are sens ca putere cu exponent rațional?

   • a) ${\left(\sqrt{6}-2\right)}^{\frac{1}{2}}$
   • b) $0^{\frac{3}{7}}$
   • c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^{\frac{2}{3}}$
   • d) $1^{-\frac{2}{9}}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^{\frac{2}{3}}$

   $\sqrt{3}>1$, deci baza $1-\sqrt{3}$ este negativă, iar definiția cere bază strict pozitivă. Celelalte au sens: $\sqrt{6}>2$, $0^{\frac{3}{7}}=0$ fiindcă exponentul este pozitiv, iar $1^{-\frac{2}{9}}=1$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: exponent zecimal scris ca radical · cum calculez 16 la puterea 0,75 · putere cu exponent zecimal · exponent fracționar din zecimale