Puteri cu exponent rațional: pe scurt

Pentru $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, definim $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$, cu cazul particular esențial $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$. Definiția nu apare din senin: ea este singura care păstrează valabile regulile de calcul cu puteri cunoscute de la exponenți întregi.

Baza trebuie să fie strict pozitivă. Pentru baze negative, definiția produce contradicții — aceeași fracție scrisă în două moduri echivalente ($\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$) ar da rezultate diferite pentru $(-8{)}^{1/3}$. Radicalii de ordin impar din numere negative rămân valabili ca radicali, dar nu se scriu ca puteri cu exponent fracționar.

Rezultatul unei puteri cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitiv. Definiția este corectă (nu depinde de forma fracției din exponent): dacă $\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$, atunci $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[q]{a^p}$.

Rețeta de calcul: descompune baza în factori primi, extrage întâi radicalul și abia apoi ridică la putere — de exemplu $64^{5/6}={\left(\sqrt[6]{64}\right)}^5=2^5=32$, mult mai rapid decât $\sqrt[6]{64^5}$. Greșeli frecvente: scrierea unei puteri cu bază negativă, confuzia dintre numărătorul exponentului (puterea) și numitorul lui (ordinul radicalului — numitorul stă „dedesubt”, ca indicele) și uitarea faptului că exponentul negativ răstoarnă fracția, fără să schimbe semnul rezultatului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Definiția puterii cu exponent rațional, pentru $a>0$, este:

   • a) $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$
   • b) $a^{m/n}={\left(a^m\right)}^n$
   • c) $a^{m/n}=\frac{a^m}{n}$
   • d) $a^{m/n}=n\cdot a^m$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$

   Puterea cu exponent rațional se definește prin radical: numitorul dă ordinul radicalului, numărătorul dă puterea de sub el.

2. De ce trebuie ca baza să fie strict pozitivă la puteri cu exponent rațional?

   • a) doar din conveniență, fără motiv real
   • b) pentru ca definiția să nu depindă de scrierea fracției din exponent, evitând contradicții
   • c) pentru ca rezultatul să fie negativ
   • d) nu există niciun motiv, e o alegere arbitrară
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) pentru ca definiția să nu depindă de scrierea fracției din exponent, evitând contradicții

   La baze negative, două scrieri echivalente ale aceleiași fracții ar da rezultate diferite (de exemplu $\pm 2$ pentru $(-8{)}^{1/3}$ scris ca $2/6$) — o contradicție pe care restricția $a>0$ o evită.

3. Calculați $8^{2/3}$.

   • a) $16$
   • b) $64$
   • c) $4$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $4$

   $8^{2/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$.